大学物理讲稿(第1章 质点力学)

大学物理(一) 力学主讲:刘维一参考书：《大学物理》(新版) 上册，吴百诗主编科学出版社《大学物理（新版）学习指导》，张孝林主编，科学出版社基础知识：矢量：有大小，有方向，加法符合平行四边形法则微积分：导数：求变化率的数学运算积分：求和的数学运算第一章质点运动学第一节质点的概念有质量，没有体积质点是理想模型。

忽略了物体的形状、大小所产生的效果,突出了质量、位置和力三者之间的主要矛盾质点→质点组→刚体→弹性→振动→波,,i j k第二节 位移矢量与运动学方程质点位置的确定方法：1、选定参照点2、从参照点到质点作一矢量r用矢量 r即可确定质点的位置质点的运动学方程当质点在空间移动时，质点的位置矢量随时间发生变化：这就是质点的运动学方程直角坐标系下的运动学方程选择直角坐标系oxyz分量形式：分别表示x ，y ，z 三个方向，其大小为1。

直角坐标系的特点：三个基矢量的方向不变。

由质点的运动学方程可以得到质点的全部运动信息：轨迹、速度、加速度()r r t =()()()()r r t x t i y t j z t k==++()()()x x t y y t z z t ===例：质点的运动学方程为： x=Rcos(t) y=Rsin(t)消去时间 t 即得到轨迹方程：X 2＋y 2＝R 2第三节 由位移求速度和加速度（重点）位置矢量与位移矢量的方向速度是位移随时间的变化率速度就是运动学方程对时间求导数运算 在直角坐标系下：分量形式为：速度的大小：()()r r t t r t ∆=+∆- 0lim t r dr v tdt ∆→∆==∆x y z dr dx dy dz v i j k v i v j v kdt dt dt dt==++=++()()()x y z dx t v dt dy t v dt dz t v dt===v =例题1、质点的运动学方程为：求：t ＝0，1秒时的速度。

解：22(10155)101551510d v i tj t k dtd dd i tj t k dt dt dtj tk =++=++=+加速度是速度随时间的变化率加速度就是速度对时间求导数运算也是运动学方程对时间求二阶导数在直角坐标系下速度表示为：222222y x z dv dv dv a i j kdt dt dt d x d y d z i j k dt dt dt =++=++写成分量形式为：210155r i tj t k=++ 22()dv d dr d r a dt dt dt dt ===a =222222x x y y z z dv d x a dt dt dv d y a dt dt dv d z a dt dt ======加速度的大小：书中的例题1.1, 1.4(P.6;P.15) 一质点作匀速圆周运动，半径为r ，角速度为ω，求：直角坐标系中的运动学方程。

导 论一. 物理学的发展简介物理学是研究物质结构和相互作用以及物质运动规律的学科。

早在19世纪末就已形成了三种较为成熟的理论——①经典力学②热力学和统计物理学③电磁学。

紧接着在20世纪初与上述理论不相容的实验事实相继出现，在爱因斯坦(1879—1955)和玻恩（1882—1970）等人的共同努力下又逐步形成了两种比较成熟的理论—①狭义相对论，②量子力学，二者奠定了近代物理学的理论基础。

20世纪内，随着物理学的发展，又形成了原子核物理、粒子物理、天体物理及一些交叉学科.如物理化学、生物物理……。

粒子物理（高能物理）和天体物理是当前物理学研究领域里两个活跃的前沿。

粒子物理在最小尺度上探索物质更深层次的结构；天体物理在最大尺度上寻求天体演化的规律。

二、物质世界及其相互作用简述物质是物理学的研究对象。

物质包括场与实物，其中实物所涉及的范围十分广阔。

大到日地距离（1011m 之上），小到基本粒子（10-14m 之下），目前认为存在三类“基本”粒子：①夸克②轻子（电子、中微子等）③规范玻色子（光子等）现在人们还未观测到它们的内部结构。

物理理论中离不开物质间的相互作用力（简称相互作用）。

由于物质的结构与形态（形状或表现）各异，所以相互作用千差万别。

物质的基本形态只有粒子和场，而相互作用有四种：引力、电磁力、强力、弱力。

相互作用的强度和力程（范围）如下表：1.引力相互作用引力非常弱但它的力程很长，在长程范围内只有电磁力与引力两种。

引力是唯一控制着天体（电中性）运行的力。

2.电磁相互作用运动带电粒子间除了电力外还有磁力相互作用，二者统称为电磁相互作用，也属长程力。

在有电磁力的情况下，引力可略。

因强和弱作用只在原子核的尺度下显示，所以在（宏观上）经典物理中相互作用只有引力和电磁力两种。

3. 强相互作用这种相互作用最强，但力程很短，仅1510-m 。

存在于原子核内质子之间、中子之强力 电磁力 弱力相对强度 力程(m)1210-510-3910-1510-1810-<长长间及质子和中子之间的力就属此。

第一章质点运动学物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。

机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。

在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。

在力学中,这部分内容称为质点运动学。

1．1参考系时间和空间的测量1．1.1参考系坐标系一、参考系在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。

在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。

为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。

不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。

因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。

参考系的选择是任意的。

在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系。

二、坐标系：建立在参照系上的计算系统确定好参照系后，只能定性地描述物体的运动情况，为了定量地描述运动规律，即为了能给出物体运动的数学表达式，则需在参照系中建立坐标系。

常用的坐标系是直角坐标系，另外还有极坐标系、球面坐标系和柱面坐标系。

1.1.2时间和空间1、时间：时间反映物理事件的先后顺序和持续性。

2、空间反映物体位置的变化和物体的大小。

1.1.3长度的测量1.2 质点运动的矢量描述1.2.1质点物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。

例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。

这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。

物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。

如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。

第一篇 力学力学的研究对象是机械运动，所谓机械运动就是物体的空间位置随时间变化的过程．地球绕太阳运动，火车在铁路上行驶，吊车吊起重物等都是机械运动的例子．力学就是研究机械运动的规律及其应用的学科．力学分为三部分：运动学——只从几何观点来研究物体的运动，不考虑产生或改变运动的原因．动力学——联系改变运动状态的原因(力)来研究运动．静力学——研究作用在物体上的力的平衡条件．本篇第一章是运动学的内容，第二至第五章是动力学内容．静力学内容本书不拟介绍。

第一章 质点运动学§1－1 参考系 质点一、参考系和坐标系宇宙间一切物体都在运动．桌子上的书对于桌子和房间里其他物体是静止的，但相对于太阳是运动的，因为地球绕它自己的轴转动，同时又绕太阳作椭圆运动，所以书和房间里其他物体也跟着地球绕太阳运动；太阳也在运动，它以每秒几百公里的速度绕着银河系的中心运动，地球随太阳一起绕银心运动一周约需2亿年；在浩瀚的宇宙中银河系相对于其他星系也在运动，直径大约有10万光年的银河系的巨大银盘在不停地旋转，在引力相互作用下，距离地球约230万光年有着美丽的旋涡状结构的仙女星系与银河系正在相互接近，此外，1923年美国天文学家哈勃用反射望远镜观察，发现距离我们更远的河外星系正在背离我们而去，速度与其距离成正比；绝对静止的物体是没有的，这就是运动的绝对性． 既然一切物体都在运动，为了描述一个物体的机械运动，必须另选一个物体作参考，然后研究这一物体相对于被选作参考的物体的运动，这个被选作参考的物体称为参考系．例如要研究物体A 相对于物体R 的运动（图1－1），就要选择R 作为参考系，然后研究物体A 相对于参考系的运动．参考系的选择可以任意，通常要看问题的性质和研究的方便．例如研究地面上物体的运动，通常选择地球作为参考系．研究地球或其他行星的运动，通常选择太阳作为参考系． 同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，对它的运动的描述就不相同．例如，对于铁路边的标志杆上一个脱落的螺丝，如图1－2所示，若以地面为参考系(即从地面上的人看来)，下落过程中螺丝作直线运动；如以沿水平方向作匀速直线运动的火车机车为参考系(即从机车中的人看来)，此过程中螺丝作平抛运动．选用不同的参考系对同一物体的运动有不同的描述，这个事实称为运动图l －1 图l －2描述的相对性．由于对运动的描述是相对的，所以描述物体的机械运动时必须指明或暗中明确所用的参考系．为了定量地描述物体相对于参考系的运动情况，只有参考系是不够的，还要有一种说明物体相对于参考系的位置的方法．用数值来说明位置的方法是在参考系上选择一个固定的坐标系，如图1－1中固定于物体R的正交坐标系Oxyz，坐标系选定以后，任一时刻物体A中任一点P的位置就可以用该时刻它在这个坐标系中的坐标来描述．例如在图1－2中可以分别选取固定于地面的正交坐标系Oxyz，或者固定于火车机车的正交坐标系O’x’y’z’，任一时刻螺丝的位置就可以用该时刻它在相应坐标系中的坐标来描述了．二、质点任何物体都有一定的大小和形状．在一般情况下，物体运动时，它内部各点的运动情况是各不相同的，而且物体的形状和大小也可能发生变化，例如地球上动物和植物的运动，潮汐的涨落，地震、火山爆发以及由此而引起的海啸等都是地球的大小和形状发生变化的例子．但在某些问题中物体的形状和大小不起作用或所起作用甚小，是次要因素．为了抓住主要因素和掌握它的基本运动情况，我们有必要忽略物体的形状和大小，而把它看作是一个具有质量而没有大小和形状的理想物体，这样的物体称为质点．图l－3质点是一个理想化的模型．物理学中常用理想模型来代替实际研究的对象，突出它的主要性质，忽略它的次要性质，以便简化问题的研究．这样做是必要的，否则即使是最简单的问题也会使我们感到非常复杂，无法下手．除质点外，以后要讲到的刚体、理想气体、绝对黑体等都是理想模型．一个物体能否看作质点要视所研究问题的性质来定．例如，研究地球绕太阳公转时，由于地球的平均半径（约为6.40×10３km）比地球与太阳间的距离（约为1.50×10８km）小得多（图1－3），地球上各点对太阳的运动可视为相同．这时，就可以忽略地球的大小和形状，把地球当作一个质点．但是研究地球的自转时，如果仍然把地球看作一个质点，显然就没有意义了．三、时间和时刻我们要区别“时间”和“时刻”这两个概念．什么是时刻？时刻就是时间的某一瞬时．例如火车八点钟从甲站开出，十点钟到达乙站，这个八点钟和十点钟就是时刻，从八点到十点经过两小时，这两小时就是时间间隔，或简称为时间．质点运动时，它所经过的某一位置对应于某一时刻，质点所走的某一段路程对应于某一时间间隔．§1－2 质点的位移、速度和加速度为了突出位置矢量和位移的矢量性，突出速度和加速度的瞬时性和矢量性，在这一节里我们将从曲线运动讲起，就曲线运动情形介绍位置矢量和位移以及瞬时速度和瞬时加速度概念，然后把所得结果应用于直线运动，求出直线运动的位置矢量、位移、速度和加速度的表示式．一、质点的运动方程 轨道为简单起见，我们讨论平面运动情形(很容易推广到空间运动)．设质点在一平面上运动，在这平面上取坐标系Oxy ，质点P 对于这坐标系的位置由两个正交坐标x 、y 确定，如图l －4．当质点运动时，它的坐标随时间而变化，是时间t 的函数：)()(t y y t x x == （1－1） （1－1）式给出质点在任一时刻t 的位置，所以它表示质点的运动规律，称为质点的运动方程．知道了质点的运动方程，就可以求出质点在各个时刻的坐标，因而就可以画出质点运动的路线．质点运动的路线称为质点运动的轨道，（1－1）式就是轨道的参数方程．由（1－1）式中两式消去t 便得到轨道的正交坐标方程：0),(=y x f如果质点的轨道是一直线，则其运动称为直线运动；如果质点的轨道是一曲线，则其运动称为曲线运动．质点P 的位置还可以用由原点O 到P 点的径矢r 表示，r 称为质点的位置矢量，简称位矢．质点的坐标x 、y 是r 在坐标轴Ox 、Oy 上的分量（图l －4），它们之间有如下关系： j i r y x += （1－2） 其中i 、j 为x 、y 轴上的单位矢．质点的运动方程亦可用矢函数表示如下式：)(t r r = （1－3）（1－3）式和（1－1）式是等效的．如果质点在一直线上运动，并取这直线为x 轴，则质点的位置由一个坐标x 确定．在此情形，质点的运动方程由一个函数表示为)(t x x =二、位移假设质点在如图1-5所示的曲线上运动，在时刻t 质点位于P 点，位矢为r ，在时刻t +Δt 质点运动到Q 点，位矢为r １，则从P 点到Q 点的径矢Δr 称为质点在Δt 时间内的位移．位移是矢量，其大小等于由P 点到Q 点的直线距离，其方向为由P 点到Q 点的方向．由图l-5得知r r r -=1Δ矢量差r １－r 就是位矢r 在Δt 时间内的增量，故用Δr 表示．应区别位移与路程．路程是标量，在Δt 时间内质点通过的路程是弧PQ 的图1—4长度Δs ．而位移是矢量，在Δt 时间内的位移的大小等于割线PQ 的长度r Δ，Δs 与r Δ一般不相等，只当0Δ→t 时，Δs 与r Δ才可视为相等．在直线运动情形，如果质点始终朝一个方向运动，则位移的大小和路程的长度相等，如果从P 点运动到Q 点，然后又回到P 点，则位移的大小为零，但路程的长度等于PQ 的两倍(图1－6)．三、速度假设质点在如图1－7所示的曲线上运动，其运动方程由矢函数)(t r r =表示，在时刻t 质点的位矢为)(t r ，在时刻t +Δt 质点的位矢为)Δ(1t t +=r r ，则在Δt 时间内质点的位移为r r r -=1Δ，位移r Δ与时间Δt 的比值tΔΔr ，称为质点在此时间内的平均速度，用v 表示，则 t ΔΔr =v 符号的上面加一横线“-”表示平均的意思．平均速度是矢量，其大小为t ΔΔr；其方向为r Δ的方向(图1－7)．平均速度(大小或方向或两者)一般与所取时间间隔有关，所以给出平均速度时必须说明是哪一段时间内的平均速度．平均速度不能说明质点在某一时刻或某一位置的运动情况．为了说明在时刻t 的运动情况，就要把Δt 取得很小．Δt 越小，比值tΔΔr 就越能表示时刻t 的运动情况．因此，我们用0Δ→t 时tΔΔr 的极限来描述质点在时刻t 的运动情况，图1－5 图1－6图1—7这个极限称为质点在时刻t 的瞬时速度，简称为速度或在位置P 的速度，用v 表示，即tt t d d ΔΔlim 0Δr r ==→v （1－4） 瞬时速度是矢量，它的方向为0Δ→t 时位移r Δ的极限方向．由图1－7看出，位移r Δ是沿割线PQ 的方向，当0Δ→t 时，Q 点趋近于P 点，而割线PQ 的方向趋近于P 点的切线PT 的方向．所以瞬时速度v 的方向是曲线于P 点的切线的方向．设Δs 为割线PQ 所对应的弧的长度，则速度v 的大小为ts s t s s t t t t t ΔΔlim ΔΔlim ΔΔΔΔlim ΔΔlim 0Δ0Δ0Δ0Δ→→→→⨯===r r r v 因为 1ΔΔl i m 0Δ=→st r 所以 ts t st d d ΔΔl i m 0Δ==→v （1－5） 弧长Δs 为Δt 时间内质点所通过的路程的长度，比值ts ΔΔ称为质点在Δt 时间内的平均速率，而ts d d 则称为在时刻t 的瞬时速率．（1－5）式表示瞬时速度的大小等于瞬时速率．瞬时速度在x 、y 轴上的分量可求之如下：j i r y x +=将此式两边对时间t 求导数得j i r ty t x t d d d d d d +==v （1－6） 如果令x v ，y v 表示v 在x 、y 轴上的分量，则有j i y x v v +=v （1－7）比较（1－6）和（1－7）两式得ty t x y x d d ,d d ==v v （1－8） 所以速度的大小又可写为 2222d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x y x v v v （1－9）设θ角为速度v 与x 轴所成的角，则由图l －8得tx t y x y d d d d tan ==v v θ （1－10） 例题1－1 已知质点的运动方程为t R y t R x ωωsin ),cos 21(=+= （1－11） 其中R 及ω为常量，求质点的轨道及速度．解 将（1－11）式改写为t R y t R x ωωsin ,cos 2==-将以上二式两边平方及相加得 2222R y R x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 这就是轨道的正交坐标方程．上式表示质点的轨道是半径为R 的圆周，圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,2R 处，如图1-9所示．由（1－11）式求得速度的分量为t R ty t R t x y x ωωωωcos d d ,sin d d ==-==v v 由此得速度的大小 R t t R ωωωω=+=22cos sin v （1－12）v 为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动．又当t 从零增加时，x v 为负，y v 为正，所以质点在圆周上以逆时针方向绕圆心运动．速度v 与x 轴所成的角θ由下式决定：t x yωθcot tan -==v v四、加速度图l －8 图l －9假设质点的运动方程由)(t r r =表示，在时刻t 质点在P 点，速度为v （图l －10），经过Δt 时间后，质点运动到Q 点，速度为1v ，则在Δt 时间内速度的增量为v v v -=1Δ，从O ’点作矢量v 及1v ，则由矢量v 的末点到矢量1v 的末点的矢量即为v Δ．速度增量v Δ与时间Δt 的比值t ΔΔv 称为质点在此时间内的平均加速度，用a 表示，即 tΔΔv =a 当0Δ→t 时，平均加速度趋近于一极限，这一极限称为质点在时刻t 的瞬时加速度，简称为加速度，用a 表示，则tt t d d ΔΔlim 0Δv v ==→a （1－13） 加速度是矢量，它的方向为v Δ的极限方向，因为v Δ总是指向曲线凹的一侧(当Δt 足够小时)，所以加速度a 总是指向曲线凹的一侧．因 td d r =v 故 22d d d d tt r a ==v （1－14） 又 j i r y x +=由微分得j i r a 222222d d d d d d ty t x t +== （1－15） 由此得瞬时加速度a 在x 、y 轴上的分量为2222d d ,d d ty a t x a y x == （1－16） 由此得加速度的大小：22222222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a y x （1－17）图l －10设ϕ为加速度a 与x 轴所成的角，则有2222d d d d tan t x t y a a x y ==ϕ （1－18） 加速度等于速度对时间的变化率．不论速度的大小变化或方向变化，速度都发生变化（图1－10），因而都有加速度．例题1－2 设质点的运动方程仍由例题l －1中（1－11）式表示，求加速度． 解 利用（1－16）式及例题1－l 的结果可得t R tt y a t R t t x a y y x x ωωωωsin d d d d cos d d d d 222222-===-===v v 由此得加速度的大小：R R t t R a 22222 sin cos v ==+=ωωωω （1－19） 上式中最后等式是利用了(1—12)式得出的．如果把加速度写成矢量式，则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-= 2 sin cos 222j i j i a y R x t R t R ωωωωω （1－20） 令ρ表示从圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ,2R 到质点（x ，y ）的径矢（图1－8），则 j i ρy R x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2 （1－21） 合并（1－20）及（1－21）式便得到ρa 2ω-=可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向．在以上两个例题中，假设已知运动方程，用微分法求速度和加速度．反之，如果已知加速度)(t a 及初始时刻的速度及坐标，用积分法可求出速度和运动方程．例题1－3 假设以初速度0v 把物体抛出去，0v 与水平方向成0θ角，忽略空气阻力，求物体的速度及运动方程．解 取y 轴竖直向上，0v 轴与x 成0θ角，在不考虑空气阻力的情况下，物体的加速度a 等于重力加速度，其大小为g ，方向竖直向下，即j a g -=用分量式表示则为g ty a t x a y x -====2222d d ,0d d 积分得21d d ,d d C gt ty C t x y x +-====v v （1－22) 其中C 1、C 2为积分常数．取抛出物体时为初始时刻，0=t ，有 0000sin ,cos θθv v v v ==y x代入（1－22）式可决定C 1及C 2：002001sin ,cos θθv v ==C C将C 1、C 2的值代入（1－22）式得gt t y t x y x -====0000sin d d cos d d θθv v v v （1－23)再积分得220010021)sin ()cos (C gt t y C t x +-=+=θθv v 取物体的初始位置为坐标原点，则当0=t 时，0==y x ，所以 0 ,021==C C代入上式得2000021)sin ( ,)cos (gt t y t x -==θθv v （1－24） （1－23）式给出物体的速度，（1－24）式为物体的运动方程．由(1—24)式中两式消去t 得轨道的正交坐标方程： 022020cos 2tan θθv gx x y -=此式表明物体的轨道为一抛物线，如图1—11所示． 五、直线运动情形以上就曲线运动情形介绍了位移、速度和加速度等概念，这些概念对于直线运动也是适用的．如图1－12，取运动所在的直线为x 轴，i 为x 轴上的单位矢量，设在时刻t 质点位于P 点，坐标为x ，经过t Δ时间后质点运动到Q 点，坐标为x 1，则在t Δ时间内质点的位移为i i i i r x x x x x Δ)(Δ11=-=-= （1－25)图l －11其中x x x -=1Δ，质点的位移r Δ或与i 同向，或与i 反向．如果x Δ为正，则r Δ与i 同向；如果x Δ为负，则r Δ与i 反向．所以在直线运动中，质点的位移r Δ的大小和方向完全可用x x x -=1Δ来表示．x Δ表示位移的大小，x Δ的正负号表示位移的方向．x Δ为正时位移沿x 轴的正方向；x Δ为负时，位移沿x 轴的负方向．由（1－4）式及（1－25）式得质点在t 时刻的瞬时速度：i i r tx t x t t t d d ΔΔlim ΔΔlim 0Δ0Δ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→v （1－26） 瞬时速度v 或与i 同向或与i 反向，如果tx d d 为正，则v 与i 同向；如果t x d d 为负，则v 与i 反向．所以在直线运动中，质点的瞬时速度v 的大小和方向完全可以用t x d d 来表示，tx d d 表示速度的大小，t x d d 的正负号表示速度的方向，t x d d 为正时，速度沿x 轴的正方向；tx d d 为负时，速度沿x 轴的负方向．所以矢量式（1－26）可代以标量式：tx d d =v （1－27） 又由（1－13）式及（1－26）式得质点在时刻t 的瞬时加速度： i i a 22d d d d d d d d tx t x t t =⎪⎭⎫ ⎝⎛==v （1－28） 由(1-28)式看出，如果22d d tx 为正，则加速度a 与i 同向，如果 22d d t x 为负，则加速度a 与i 反向，所以在直线运动情形加速度的方。

第1章 质点力学§1.3 质点运动学的两类基本问题质点运动学所要解决的问题一般分为两类:一类是已知质点的运动学方程,求质点在任意时刻的速度和加速度,在数学处理上需用导数运算,称为微分问题;另一类是已知质点的加速度及初始条件(即时的位矢及速度),求任意时刻的速度和位置矢量(或运动学方程),在数学上需用积分运算,称为积分问题.第一类问题前面已讨论过,下面以匀变速直线运动为例讨论第二类问题.设质点作匀变速直线运动,在t=0时,其位置坐标和速度分别为0x 和0υ,要确定任一时刻质点的运动状态,也就是要求得其坐标x 和速度υ随时间t 的函数表达式.先将瞬时加速度的数学式改写成然后积分得：⎰⎰=υ−−→−=υ→υ=υυt adt d adt d dt d a 00积分00υ+=υ=υ-υat at 或即 (1.25) 上式就是确定质点在匀加速直线运动中速度的时间函数式. 根据瞬时速度的数学式,把式(1.25)写成并积分得：⎰⎰υ=−−→−υ=→=υt xx dt dx dt dx dt dx 00积分 2002002121at t x x at t x x +υ+=+υ=-或即 (1.26) 上式就是匀加速直线运动中确定质点位置的时间函数式,也就是质点的运动方程. 此外,如果把瞬时加速度改写成adx d dxd dt dx dx d dt d a =υυ→υυ=υ=υ= 对两边取积分就得)()(02022x x a -=υ-υ (1.27)上式就是质点作匀加速直线运动时,质点坐标和速度υ之间的关系式.以上讨论以x 方向运动为例,同理可求得y 、z 方向的各分量关系,这里不再赘述.下面讨论两个特例.一、直线运动实例自由落体运动 物体自由下落,是近似于匀加速直线运动的一个实例.在自由下落过程中,若无空气阻力,则无论物体的大小、形状、质量等如何,在距地面上同一高度处,它们均有相同的加速度,若降落距离不太大,在降落过程中,加速度可当作常量,空气阻力、g 随高度变化忽略不计,这种理想的运动叫自由落体运动. 自由落体运动中加速度g 是常数,则为匀变速直线运动,以上讨论的公式均适用.因自由落体在开始时,00=υ,且选坐标轴的正方向向下,将这些条件代入匀变速直线运动公式后有gy gt y gt 22122=υ==υ, 竖直上抛运动 与自由落体运动相反,竖直上抛运动有向上的初速度,取向上为坐标轴正方向,且运动过程中加速度为重力加速度,方向始终向下,取负值.则由匀变速直线运动公式得gy gt t y gt y g a 2210020220000-υ=υ-υ=-υ=υ=-=≠υ,, 二、平面曲线运动实例运动叠加原理 从同高度的平抛运动与自由落体运动同时落地的实验事实说明平抛运动中水平运动不影响竖直方向的运动，即平抛运动是竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速运动的叠加。