2020高考数学理科大一轮复习课时作业:第八章 平面解析几何课时作业49
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课时作业49 直线的交点与距离公式
一、选择题
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是( C )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
解析:因为直线x-2y-2=0的斜率为12,所以所求直线的斜率k=-2.所以所求直线的方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.
2.已知直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与l2的距离为( B )
A.85 B.32
C.4 D.8
解析:因为直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,即3x+4y+12=0,所以直线l1与l2的距离为12+732+42=32.
3.当0 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由 kx-y=k-1,ky-x=2k,且0 4.已知b>0,直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,则ab的最小值等于( B ) A.1 B.2 C.22 D.23 解析:因为直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直,所以(b2+1)-b2a=0,即a=b2+1b2,所以ab=b2+1b2b=b2+1b=b+1b≥2(当且仅当b=1时取等号),即ab的最小值等于2. 5.若点P在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为2,则点P的坐标为( C ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) 解析:设P(x,5-3x), 则d=|x-5+3x-1|12+-12=2,化简得|4x-6|=2, 即4x-6=±2,解得x=1或x=2, 故P(1,2)或(2,-1). 6.(2019·西安一中检测)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点( B ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 解析:由题知直线l1过定点(4,0),则由条件可知,直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0),故可知直线l2所过定点为(0,2),故选B. 7.已知点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离d的最大值为( B ) A.23 B.10 C.14 D.215 解析:由(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,此方程是过直线x+y-2=0和3x+2y-5=0交点的直线系方程.解方程组 x+y-2=0,3x+2y-5=0, 可知两直线的交点为Q(1,1),故直线l恒过定点Q(1,1),如图所示,可知d=|PH|≤|PQ|=10, 即d的最大值为10. 二、填空题 8.直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为(0,3). 解析:因为l1∥l2,且l1的斜率为2,则直线l2的斜率k=2,又直线l2过点(-1,1),所以直线l2的方程为y-1=2(x+1),整理得y=2x+3,令x=0,得y=3,所以P点坐标为(0,3). 9.与直线l1:3x+2y-6=0和直线l2:6x+4y-3=0等距离的直线方程是12x+8y-15=0. 解析:l2:6x+4y-3=0化为3x+2y-32=0,所以l1与l2平行,设与l1,l2等距离的直线l的方程为3x+2y+c=0,则|c+6|=c+32,解得c=-154,所以l的方程为12x+8y-15=0. 10.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为6x-y-6=0. 解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′. 所以 b-4a--3·1=-1,-3+a2-b+42+3=0, 解得a=1,b=0. 又反射光线经过点N(2,6), ∴NM′的斜率为6-02-1=6, ∴反射光线所在直线的方程是y=6x-6. 三、解答题 11.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解:(1)由已知可得l2的斜率存在, ∴k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在, ∴b=0. 又∵l1过点(-3,-1), ∴-3a+4=0,即a=43(矛盾), ∴此种情况不存在,∴k2≠0, 即k1,k2都存在. ∵k2=1-a,k1=ab,l1⊥l2, ∴k1k2=-1,即ab(1-a)=-1. ① 又∵l1过点(-3,-1), ∴-3a+b+4=0. ② 由①②联立,解得a=2,b=2. (2)∵l2的斜率存在,l1∥l2, ∴直线l1的斜率存在,k1=k2, 即ab=1-a. ③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2, ∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数, 即4b=b. ④ 联立③④,解得 a=2,b=-2或 a=23,b=2. ∴a=2,b=-2或a=23,b=2. 12.已知方程(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2). (1)证明:对任意的实数λ,该方程都表示直线,且这些直线都经过同一定点,并求出这一定点的坐标; (2)证明:该方程表示的直线与点P的距离d小于42. 解:(1)显然2+λ与-(1+λ)不可能同时为零,故对任意的实数λ,该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x-y-6+λ(x-y-4)=0, ∴ 2x-y-6=0,x-y-4=0,解得 x=2,y=-2, 故直线经过的定点为M(2,-2). (2)证明:过P作直线的垂线段PQ,由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|,当且仅当Q与M重合时, |PQ|=|PM|, 此时对应的直线方程是y+2=x-2,即x-y-4=0. 但直线系方程唯独不能表示直线x-y-4=0, ∴M与Q不可能重合,而|PM|=42, ∴|PQ|<42,故所证成立. 13.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为( C ) A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4) 解析:设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则 y-2x+4×2=-1,y+22=2×-4+x2, 解得 x=4,y=-2, ∴BC所在直线方程为y-1=-2-14-3(x-3), 即3x+y-10=0. 同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),∴AC所在直线方程为y-2=3-2-1--4(x+4), 即x-3y+10=0. 联立 3x+y-10=0,x-3y+10=0,解得 x=2,y=4, 则C(2,4).故选C. 14.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是5. 解析:易知A(0,0),B(1,3)且两直线互相垂直,即△APB为直角三角形, ∴|PA|·|PB|≤|PA|2+|PB|22 =|AB|22=102=5. 当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立. 尖子生小题库——供重点班学生使用,普通班学生慎用 15.已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则( C ) A.直线l与直线P1P2不相交 B.直线l与线段P2P1的延长线相交 C.直线l与线段P1P2的延长线相交 D.直线l与线段P1P2相交 解析:由题可知,(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0表示两点在直线的同侧. 因为|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|, 所以|Ax1+By1+C|A2+B2>|Ax2+By2+C|A2+B2, 所以P1到直线的距离大于P2到直线的距离, 所以直线l与线段P1P2的延长线相交,故选C. 16.已知x,y为实数,则代数式1+y-22+9+3-x2+x2+y2的最小值是41. 解析:如图所示,由代数式的结构可构造点P(0,y),A(1,2),Q(x,0),B(3,3), 则1+y-22+9+3-x2+x2+y2 =|PA|+|BQ|+|PQ|. 分别作点A关于y轴的对称点A′(-1,2), 点B关于x轴的对称点B′(3,-3), 则1+y-22+9+3-x2+x2+y2 ≥|A′B′|=41, 当且仅当P,Q为A′B′与坐标轴的交点时,等号成立,故最小值为41.