2020年广东省湛江市高考(理科)数学(4月份)模拟试卷 含解析

2020年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A．1﹣iB．1C．﹣iD．﹣i2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的数据如下：估计数据落在[31.5，43.5]的概率是（）分组[11.5，15.5）[15.5，19.5）[19.5，23.5）[23.5，27.5）频数 2 4 9 18分组[27.5，31.5）[31.5，35.5）[35.5，39.5）[39.5，43.5）频数11 12 7 3 A．B．C．D．3．已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（）A．3B．4C．7D．84．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5B．6C．7D．85．若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A．22B．27C．31D．566．在△ABC中，AB=2，AC=3，•=1，则BC=（）A．B．C．2D．7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．88．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+8πB．48+12πC．48+8πD．48+12π9．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．10．已知a，b∈R，下列四个条件中，使＞1成立的必要不充分条件是（）A．a＞b﹣1B．a＞b+1C．|a|＞|b|D．（）a＞（）b11．已知实数a，b满足a2+b2﹣4a+3=0，函数f（x）=asinx+bcosx+1的最大值记为φ（a，b），则φ（a，b）的最小值为（）A．1B．2C．D．312．已知函数f（x）=的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，+∞）D．（0，e）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量X满足正态分布X～N（﹣1，σ2），若P（﹣3≤x≤﹣1）=0.4，则P（﹣3≤x≤1）=．14．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．15．如图，半径为4的球O中有一内接圆往，则圆柱的侧面积最大值是．16．对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x）；x∈M}=M，则称函数f（x）具有性质p，给出下列3个函数：①f（x）=sinx②f（x）=x3﹣3x③f（x）=lgx+3其中具有性质p的函数是（填入所有满足条件函数的序号）三、解答题（共5小题，满分60分）17．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．本着健康、低碳的生活理念，湛江市区采用公共自行车的人越来越多，使用年租卡租车的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．假设甲、乙两人相互独立地用年租卡每天租车一次．已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）分别求出甲、乙两人某一天在三小时以上且不超过四小时还车的概率．（Ⅱ）记甲、乙两人一天所付的租车费用之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．（I）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．20．如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为λc（λ∈（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（Ⅰ）当λ=时，求的值；（Ⅱ）设N（a，0），若存在直线l使得BO∥AN，证明：0＜λ＜．21．设函数f（x）=（ax+1）e﹣x（a∈R）（Ⅰ）当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．2020年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A．1﹣iB．1C．﹣iD．﹣i【考点】复数求模．【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，z===1﹣．故选：A．2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的数据如下：估计数据落在[31.5，43.5]的概率是（）分组[11.5，15.5）[15.5，19.5）[19.5，23.5）[23.5，27.5）频数 2 4 9 18分组[27.5，31.5）[31.5，35.5）[35.5，39.5）[39.5，43.5）频数11 12 7 3 A．B．C．D．【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据频率分布表，利用频率=，计算频率即可．【解答】解：数据落在[31.5，43.5]的频数是12+7+3=22，所以数据落在[31.5，43.5]的概率是P==．故选：B．3．已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【考点】子集与真子集．【分析】先求出B={（1，1），（1，2），（2，1）}，由此能求出B的子集个数．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}，∴B的子集个数为：23=8个．故选：D．4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5B．6C．7D．8【考点】等差数列的性质．【分析】由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．【解答】解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．5．若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（）A．22B．27C．31D．56【考点】程序框图．【分析】根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可．【解答】解：第一次运行得：n=0，p=1，不满足p＞20，则继续运行第二次运行得：n=﹣1，p=2，不满足p＞20，则继续运行第三次运行得：n=﹣2，p=6，不满足p＞20，则继续运行第四次运行得：n=﹣3，p=15，不满足p＞20，则继续运行第五次运行得：n=﹣4，p=31，满足p＞20，则停止运行输出p=31．故选C．6．在△ABC中，AB=2，AC=3，•=1，则BC=（）A．B．C．2D．【考点】解三角形；向量在几何中的应用．【分析】设∠B=θ，由•=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：∵•=1，设∠B=θ，AB=2，∴2•BC•cos（π﹣θ）=1，即cosθ=﹣，又根据余弦定理得：cosθ==，∴﹣=，即BC2=3，则BC=．故选A7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+8πB．48+12πC．48+8πD．48+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为棱柱与圆柱的组合体，几何体的表面积为棱柱的表面积加上圆柱的侧面积．【解答】解：由三视图可知该几何体的下部分是底面为边长是4，高是2的四棱柱，上部分是底面直径为4，高为2的圆柱，∴S=4×4×2+4×4×2+4π×2=64+8π．故选A．9．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选B．10．已知a，b∈R，下列四个条件中，使＞1成立的必要不充分条件是（）A．a＞b﹣1B．a＞b+1C．|a|＞|b|D．（）a＞（）b【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于＞1，当b＞0时，a＞b＞0；当b＜0时，a＜b＜0，﹣a＞﹣b＞0，可得＞1⇒|a|＞|b|，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：对于＞1，⇔b（a﹣b）＞0．当b＞0时，a＞b＞0；当b＜0时，a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴＞1⇒|a|＞|b|，反之不成立，例如：取a=2，b=﹣1．∴|a|＞|b|是使＞1成立的必要不充分条件．故选：C．11．已知实数a，b满足a2+b2﹣4a+3=0，函数f（x）=asinx+bcosx+1的最大值记为φ（a，b），则φ（a，b）的最小值为（）A．1B．2C．D．3【考点】三角函数的最值．【分析】点（a，b）在圆（a﹣2）2+b2 =1 上，函数f（x）=asinx+bcosx+1 的最大值为φ（a，b）=+1，表示原点到点（a，b）的距离加1，求出圆上的点到原点的距离的最小值为1，从而求得φ（a，b）的最小值．【解答】解：∵实数a，b满足a2+b2﹣4a+3=0，∴（a﹣2）2+b2 =1，表示以（2，0）为圆心，以1为半径的圆．∵函数f（x）=asinx+bcosx+1 的最大值为φ（a，b）=+1，它的几何意义为原点到点（a，b）的距离加1．再由点（a，b）在圆a2+b2﹣4a+3=0上，原点到圆心（2，0）的距离等于2，故圆上的点到原点的距离的最小值为1，所以φ（a，b）的最小值为2，故选B．12．已知函数f（x）=的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，+∞）D．（0，e）【考点】分段函数的应用．【分析】求出x＞0时关于原点对称的函数g（x）=lnx，由题意可得g（x）的图象和y=kx ﹣2（x＞0）的图象有两个交点．设出直线y=kx﹣2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），求出g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得切点和k的值，由图象即可得到所求范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣ln（﹣x），由f（x）的图象关于原点对称，可得g（x）=lnx（x＞0），由题意可得g（x）的图象和y=kx﹣2（x＞0）的图象有两个交点．设直线y=kx﹣2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），由g（x）的导数为g′（x）=，即有切线的斜率为=k，又lnm=km﹣2，解得m=，k=e，由图象可得0＜k＜e时，有两个交点．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量X满足正态分布X～N（﹣1，σ2），若P（﹣3≤x≤﹣1）=0.4，则P（﹣3≤x≤1）=0.8．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布曲线关于x=﹣1对称，可得P（﹣3≤x≤﹣1）=P（﹣1≤x≤1），即可得出结论．【解答】解：由正态分布曲线的对称性得：P（﹣3≤x≤﹣1）=P（﹣1≤x≤1），∴P（﹣3≤x≤1）=2P（﹣3≤x≤﹣1）=0.8．故答案为：0.8．14．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（﹣∞，1]．【考点】简单线性规划．【分析】先根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．15．如图，半径为4的球O中有一内接圆往，则圆柱的侧面积最大值是32π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值【解答】解：∵设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=4cosα，圆柱的高为8sinα，∴圆柱的侧面积为：32πsin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，∴圆柱的侧面积的最大值为：32π．故答案为：32π．16．对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x）；x∈M}=M，则称函数f（x）具有性质p，给出下列3个函数：①f（x）=sinx②f（x）=x3﹣3x③f（x）=lgx+3其中具有性质p的函数是②（填入所有满足条件函数的序号）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】①对于函数f（x）=sinx，根据其在[﹣，]上是单调增函数，通过分析方程sinx=x在[﹣，]上仅有一解，判断即可；②通过对已知函数求导，分析出函数的单调区间，找到极大值点和极小值点，并求出极大值b和极小值a，而求得的f（a）与f（b）在[a，b]范围内，满足性质P；③根据“性质P”的定义，函数存在“区间M”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“区间P”，判断即可【解答】解：①对于函数f（x）=sinx，若正弦函数存在等值区间[a，b]，则在区间[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函数的值域知道[a，b]⊆[﹣1，1]，但在区间]⊆[﹣1，1]上仅有sin0=0，所以函数f（x）=sinx不具有性质P；②对于函数f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）．当x∈（﹣1，1）时，f′（x）0．所以函数f（x）=x3﹣3x的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1）．取M=[﹣2，2]，此时f（﹣2）=﹣2，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2．所以函数f（x）=x3﹣3x在M=[﹣2，2]上的值域也为[﹣2，2]，则具有性质P；③对于f（x）=lgx+3，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有，即方程lgx+3=x有两个解，这与y=lgx+3和y=x的图象相切相矛盾．故③不具有性质P．故答案为：②．三、解答题（共5小题，满分60分）17．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由等比数列通项公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）先出S n=，从而b n==2（），由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3，∴，解得，∴数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）∵S n为数列{a n}的前n项和，∴=，∴b n===2（），∴数列{b n}的前n项和：T n=2（+）=2（）=．18．本着健康、低碳的生活理念，湛江市区采用公共自行车的人越来越多，使用年租卡租车的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．假设甲、乙两人相互独立地用年租卡每天租车一次．已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）分别求出甲、乙两人某一天在三小时以上且不超过四小时还车的概率．（Ⅱ）记甲、乙两人一天所付的租车费用之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1，利用对立事件概率计算公式求解即可．（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为0，2，4，6，8，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1﹣=，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率为1﹣=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，2，4，6，8，P（ξ=0）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）==，P（ξ=6）=+=，P（ξ=8）=（1﹣）（1﹣）=，∴ξ的分布列为：ξ0 2 4 6 8PEξ=+8×=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．（I）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）取AP中点O，连结DO、BO，推导出PA⊥平面BDO，由此能证明BD⊥PA．（Ⅱ）过P作PE⊥平面ABCD，交DC于E，以E为原点，过E作DA的平行线为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AP中点O，连结DO、BO，∵AD=PD=2，PB=AB=6，∴DO⊥PA，BO⊥PA，又DO∩BO=O，∴PA⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴BD⊥PA．解：（Ⅱ）∵底面ABCD为矩形，AD=PD=2，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上∴过P作PE⊥平面ABCD，交DC于E，PC==2，∴PD2+PC2=CD2，∴PD⊥PC，∴PE==2，DE==2，CE=6﹣2=4，以E为原点，过E作DA的平行线为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，∴A（2，﹣2，0），P（0，0，2），B（2，4，0），C（0，4，0），=（2，﹣2，﹣2），=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），设面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（0，1，），设直线AP与平面PBC所成角为α，则sinα===．∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．20．如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为λc（λ∈（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（Ⅰ）当λ=时，求的值；（Ⅱ）设N（a，0），若存在直线l使得BO∥AN，证明：0＜λ＜．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求出过两点（c、0），（0，b）的直线方程，由点到直线的距离公式可得b=λa，取λ=，求得椭圆方程，然后分别联立直线x=m（﹣a＜m＜a）与椭圆与圆方程，求出点的坐标，则的值可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程，求出A，B的坐标，由斜率相等可得，结合﹣a＜m＜0即可证得0＜λ＜．【解答】（Ⅰ）解：过两点（c、0），（0，b）的直线方程为，即bx+cy﹣bc=0，由原点O到直线bx+cy﹣bc=0的距离为λc（λ∈（0，1），得，即b=λa，当λ=时，b=，此时椭圆方程为．设直线l的方程为x=m（﹣a＜m＜a），联立，解得B（m，），C（m，），联立，解得A（m，），D（m，﹣），∴=；（Ⅱ）证明：如图，由（Ⅰ）得，A（m，），联立，得B（m，λ），又N（a，0），∴，而，由BO∥AN，得，∴m=λ（m﹣a），即．∵﹣a＜m＜0，∴，即，解得：λ＞1（舍）或，又λ∈（0，1），∴0＜λ＜．21．设函数f（x）=（ax+1）e﹣x（a∈R）（Ⅰ）当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导，当a＞0时，令f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间；（Ⅱ）x∈[0，+∞），由题意可知将f（x）≤x+1恒成立，转化为a≤e x+，x∈[0，+∞）恒成立，构造辅助函数F（x）=e x+，g（x）=，求导，F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，由在x=0处极限，=1，可求得F（x）的最小值，求得a的取值范围；【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（ax+1）e﹣x（a∈R）定义域为R，∴f′（x）=e﹣x（﹣ax+a﹣1），令f′（x）=0，解得：x=1﹣，f′（x）＞0，解得x＜1﹣，∴当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；（﹣∞，1﹣）；（Ⅱ）由x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立，即（ax+1）e﹣x≤x+1，可转化为a≤e x+，x∈[0，+∞）恒成立，设F（x）=e x+，g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=（x﹣1）e x+1，则h′（x）=e x+e x（x﹣1）=xe x，当x＞0时，h′（x）=xe x＞0，∴h（x）是上的增函数，∴h（x）＞h（0）=0，∴g′（x）=＞0，即函数g（x）是（0，+∞）上的增函数．∴F（x）在（0，+∞）上的增函数．F（x）在x=0处取最小值，即（e x+）=1+，由洛必达法则可知：=1，故F（x）的最小值为2，∴a≤2，实数a的取值范围（﹣∞，+2]．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接BE，由直径所对圆周角为直角得到∠ABE=90°，由三角形相似的条件得到△ACD∽△AEB，再由相似三角形对应边成比例得AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）由切割弦定理可得CF2=AF•BF，然后再由三角形相似求得AC的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BE，∵AE为圆O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC，又∵∠ACD=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴，又∵AB=BC，∴AE•ED=AC•BC；（Ⅱ）解：∵CF是圆O的切线，∴CF2=AF•BF，又AF=4，CF=6，∴BF=9，∴AB=BF﹣AF=5，又∵∠ACF=∠FBC，∠F为公共角，∴△AFC∽△CFB，∴，∴AC=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用cos2θ+sin2θ=1可把圆C的参数方程化为普通方程，再利用化为极坐标方程．（II）直线l的方程为ρsin（θ+）=2，展开可得直角坐标方程．求出圆心C到直线l 的距离d，利用弦长公式|AB|=2即可得出．【解答】解：（I）圆C的参数方程为（θ为参数），化为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（II）直线l的方程为ρsin（θ+）=2，展开化为：（ρsinθ+ρcosθ）=2，可得直角坐标方程：y+x﹣4=0．由（I）可知：圆C的圆心C（2，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）把f（x）的解析式代入xf（x）+3＞0，去绝对值后化为不等式组，求解不等式组得答案；（2）把f（x）＜m﹣|x|，分离变量m后构造分段函数，求解分段函数的最大值，从而得到m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|，∴xf（x）+3＞0⇔x|x﹣2|+3＞0⇔①或②，解①得：﹣1＜x≤2，解②得x＞2，∴不等式xf（x）+3＞0的解集为：（﹣1，+∞）；（2）f（x）＜m﹣|x|⇔f（x）+|x|＜m，即|x﹣2|+|x|＜m，设g（x）=|x﹣2|+|x|（﹣3＜x＜3），则，g（x）在（﹣3，0]上单调递减，2≤g（x）＜8；g（x）在（2，3）上单调递增，2＜g（x）＜4∴在（﹣3，3）上有2≤g（x）＜8，故m≥8时不等式f（x）＜m﹣|x|在（﹣3，3）上恒成立．2020年7月15日第21页（共21页）。

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小題）.1．已知i是虚数单位，复数z满足z（3+4i）＝1+i，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若函数f（x）是幂函数，且满足＝3，则f（）的值为（）A．﹣3B．﹣C．3D．3．已知直线l1：（m﹣4）x+4y+1＝0和l2：（m+4）x+（m+1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为（）A．1或﹣3B．或﹣C．2或﹣6D．﹣或4．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据＝2.0946）（）A．3.1419B．3.1417C．3.1415D．3.14135．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，sin x+cos x＝．则下列判断正确的是（）A．￢p是假命题B．q是假命题C．p∨q是假命题D．（￢p）∧q是真命题6．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺7．下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系y＝﹣0.1x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型y＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x+4，则c＝e4，k＝0.3．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，则x3的系数为（）A．14B．﹣14C．240D．﹣2409．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．10．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料11．设F1，F2为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若＝2，且•═0，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．四棱锥P﹣ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠BPC，满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是（）A．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分二、填空题13．若x，y满足约束条件．则的最大值为．14．（sin x+）dx＝．15．若圆C：x2+y2+2x+2y﹣7＝0关于直线ax+by+4＝0对称，由点P（a，b）向圆C作切线，切点为A，则线段PA的长度的最小值为．16．已知函数y＝|sin x|的图象与直线y＝m（x+2）（m＞0）恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＞c，△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sin C＝sin A，b＝3．（1）求sin B的值；（2）求边a，c的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．19．已知动点P到直线l：x＝﹣2的距离比到定点F（1，0）的距离多1．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O 的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标．20．已知函数f（x）＝e x•sin x﹣ax．（1）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a≤1时，求证：对于任意的，均有f（x）≥0．21．2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布N（μ，σ2），经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为P n，试证明{P n﹣P n﹣1}（1≤n≤49，n∈N*）是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|＝|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若m∈R，且m≠0，证明：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，复数z满足z（3+4i）＝1+i，则z的共轭复数在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：复数z满足z（3+4i）＝1+i，∴z（3+4i）（3﹣4i）＝（1+i）（3﹣4i），∴5z＝7﹣i，∴z＝﹣i．∴＝+i．则复平面内表示z的共轭复数的点在第一象限．故选：A．2．若函数f（x）是幂函数，且满足＝3，则f（）的值为（）A．﹣3B．﹣C．3D．【分析】设f（x）＝xα（α为常数），由满足＝3，可得α＝log23.．代入即可得出．解：设f（x）＝xα（α为常数），∵满足＝3，∴＝3，∴α＝log23．∴．则f（）＝＝．故选：D．3．已知直线l1：（m﹣4）x+4y+1＝0和l2：（m+4）x+（m+1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数m的值为（）A．1或﹣3B．或﹣C．2或﹣6D．﹣或【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．解：∵直线l1：（m﹣4）x+4y+1＝0和l2：（m+4）x+（m+1）y﹣1＝0，l1⊥l2，∴﹣×（﹣）＝﹣1，解得m＝2或m＝﹣6，∴实数m的值为2或﹣6．故选：C．4．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据＝2.0946）（）A．3.1419B．3.1417C．3.1415D．3.1413【分析】由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得：＝0.8269，所以＝0.8269，又＝2.0946，所以π≈3.1419，得解．解：由几何概型中的面积型可得：＝0.8269，所以＝0.8269，又＝2.0946，所以π≈3.1419，故选：A．5．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，sin x+cos x＝．则下列判断正确的是（）A．￢p是假命题B．q是假命题C．p∨q是假命题D．（￢p）∧q是真命题【分析】利用配方法求得x2+x﹣1的范围，说明命题p为假命题，利用三角函数的化积求得sin x+cos x的最大值等于1，说明命题q为真命题，然后利用符合命题的真值表加以判断即可得到答案．解：由x2+x﹣1＝，所以命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0为假命题；由sin x+cos x＝，当时sin x+cos x＝．所以命题q：∃x∈R，sin x+cos x＝是真命题．由以上可知：￢p是真命题；q是真命题；pⅤq是真命题；（￢p）∧q是真命题．故选：D．6．《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{a n}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴，解得a1＝13.5，d＝﹣1，∴小满日影长为a11＝13.5+10×（﹣1）＝3.5（尺）．故选：C．7．下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系y＝﹣0.1x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型y＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x+4，则c＝e4，k＝0.3．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接利用回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用求出结果．解：下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；根据回归模型中的变量关系，正确．②若变量x，y满足关系y＝﹣0.1x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；应该是负相关．故错误．③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越接近于回归直线的距离越小，故正确．④以模型y＝ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.3x+4，则c＝e4，k＝0.3．故正确．故选：C．8．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，则x3的系数为（）A．14B．﹣14C．240D．﹣240【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n的值，可得通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．解：由二项式的展开式中的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•2n﹣r•，它第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，∴＝，求得n＝6，故通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•．令6﹣＝3，求得r＝2，故x3的系数为•24＝240，故选：C．9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．解：分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21∴这种结果发生的概率是＝同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到P＝故选：B．10．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料【分析】若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾，从而得解．解：把已知条件列表如下：查资料写教案改作业打印资料甲×××乙××丙×丁××若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾．查资料写教案改作业打印资料甲××√×乙××丙×√××丁××所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料．故选：A．11．设F1，F2为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若＝2，且•═0，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（x，y），Q（x1，y1），F1（﹣c，0），F2（c，0），由＝2，得x1＝3c+2x，y1＝2y…①由•═0，得x2﹣c2+y2＝0，②又﹣＝1，③由②③可得P（﹣，），代入①得Q（3c﹣，），将点Q坐标代入③得3c2+a2＝4a，即可求解．解：设P（x，y），Q（x1，y1），∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴＝（c﹣x1，﹣y1），＝（﹣c﹣x，﹣y）∵＝2，∴（c﹣x1，﹣y1）＝2（﹣c﹣x，﹣y），∴c﹣x1＝2（﹣c﹣x），﹣y1＝﹣2y，∴x1＝3c+2x，y1＝2y…①∴＝（x+c，y），＝（x﹣c，y），∵•═0，∴x2﹣c2+y2＝0，②又∵﹣＝1，③由②③可得P（﹣，），代入①得Q（3c﹣，）将点Q坐标代入③得3c2+a2＝4a，⇒9c4﹣26a2c2+17a4＝0⇒9e4﹣26e2+17＝0⇒e2＝1（舍去），e2＝⇒e＝．故选：B．12．四棱锥P﹣ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠BPC，满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是（）A．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分【分析】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，写出点A，B的坐标，根据条件得出Rt△APD∽Rt△CPB，进而得出．，设出点P的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论．解：在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．设点P（x，y），则由题意可得A（﹣3，0），B（3，0）．∵AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠CPB，∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴．即BP2＝4AP2，故有（x﹣3）2+y2＝4[（x+3）2+y2]，整理得：（x+5）2+y2＝16，表示一个圆．由于点P不能在直线AB上（否则，不能构成四棱锥），故点P的轨迹是圆的一部分，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k＝，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），k OA＝＝3，即的最大值为3．故答案为：3．14．（sin x+）dx＝2π．【分析】运用微积分基本定理可解决此问题．解：根据题意，（sin x+）dx＝sin xdx+d x＝0+×π×22＝2π，故答案为2π．15．若圆C：x2+y2+2x+2y﹣7＝0关于直线ax+by+4＝0对称，由点P（a，b）向圆C作切线，切点为A，则线段PA的长度的最小值为3．【分析】由已知得圆心C（﹣1，﹣1）在直线ax+by+4＝0上，从而b＝﹣a+4，点（a，b）向圆所作的切线长为：＝，由此能求出点（a，b）向圆所作的切线长的最小值．解：∵圆C：x2+y2+2x+2y﹣7＝0可化简为：（x+1）2+（y+1）2＝9∴圆C的圆心为（﹣1，1），半径r＝3∵圆C：x2+y2+2x+2y﹣7＝0关于直线ax+by+4＝0对称，∴圆心C（﹣1，﹣1）在直线ax+by+4＝0上，∴﹣a﹣b+4＝0，即b＝﹣a+4，点（a，b）向圆所作的切线长为：＝，∴当a＝2时，点（a，b）向圆所作的切线长取得最小值3．故答案为3．16．已知函数y＝|sin x|的图象与直线y＝m（x+2）（m＞0）恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则＝1．【分析】本题先要根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数y＝|sin x|的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果．解：由题意画出图象如下：根据题意，很明显，在D点处，直线与函数y＝|sin x|的图象相切，D点即为切点．则有，在点D处，y＝﹣sin x，y′＝﹣cos x．而﹣cos x4＝m，且y4＝m（x4+2）＝﹣sin x4，∴x4+2＝＝＝tan x4．∴＝＝1．故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＞c，△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sin C＝sin A，b＝3．（1）求sin B的值；（2）求边a，c的值．【分析】（1）由已知结合和差角公式进行化简可求cos B，进而可求sin B；（2）由已知结合余弦定理及三角形面积公式即可求解．解：（1）由，C＝π﹣（A+B），得，即，∵0＜A＜π∴sin A≠0，∴．∵0＜B＜π∴．（2）由余弦定理得：，得①，又∵，∴ac＝6②，由①②解得，或，∵a＞c，∴a＝3，c＝2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【分析】（1）推导出AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD，再由PA⊥PD，能证明PD⊥平面PAB（2）取AD的中点O，连接PO，CO，推导出PO⊥AD，从而平面PAD⊥平面ABCD，进而PO⊥平面ABCD．PO⊥CO．由AC＝CD，得CO⊥AD，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB ⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（2）取AD的中点O，连接PO，CO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为PA＝PD，所以PO⊥AD，PO⊊平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因为CO⊊平面ABCD，所以PO⊥CO．因为AC＝CD，所以CO⊥AD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）．设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令z＝2，则x＝1，y＝﹣2．所以n＝（1，﹣2，2）．又＝（1，1，﹣1），所以cos＜n，＞＝＝﹣．所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知动点P到直线l：x＝﹣2的距离比到定点F（1，0）的距离多1．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O 的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标．【分析】（1）根据条件列出|x+2|﹣＝1，整理即可得轨迹E；（2）表示出直线AB的方程，令y＝0，可得定点坐标．解：（1）设点P（x，y），根据题意得：|x+2|﹣＝1，整理得：y2＝4x，即轨迹E为y2＝4x；（2）设A（x0，y0），其中，即，则C（﹣2，y0），所以直线OC：y＝﹣x，联立，整理得B（，﹣），所以k AB＝＝＝＝则直线AB的方程为y﹣y0＝（x﹣x0），根据题意，若直线AB过定点，则定点必在x轴上，故令y＝0，解得x＝2，即定点坐标为（2，0），综上，直线AB过定点（2，0）．20．已知函数f（x）＝e x•sin x﹣ax．（1）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a≤1时，求证：对于任意的，均有f（x）≥0．【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性，令，则g（x）min≥a，利用导数求解函数的最小值即可．（2）求出．令，则g'（x）＝2e x cos x．通过①当时，②当时，求解函数的最小值，构造，通过导函数判断函数的单调性，推出f（x）≥0．得到结果．解：（1）因为f（x）＝e x•sin x﹣ax，所以．因为函数f（x）在上单调递增，∴f'（x）在上恒有f'（x）≥0．即恒成立．令，则g（x）min≥a，又因为g'（x）＝2e x cos x，所以g（x）在上单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝1，∴a≤1．故a的取值范围是（﹣∞，1]．（2）证明：因为f（x）＝e x•sin x﹣ax，所以．令，则g'（x）＝2e x cos x．①当时，g'（x）≥0，g（x）递增，有g（x）≥g（x）min＝g（0）＝1，因为a≤1，此时，f'（x）＝g（x）﹣a≥0，f（x）递增，有f（x）≥f（x）min＝f（0）＝0成立．②当时，g'（x）≤0，g（x）递减，有，若a≤0，此时f'（x）＝g（x）﹣a≥0，f（x）递增，显然成立．若a∈（0，1]，此时记f'（x0）＝0，则f（x）在上递增，在上递减．此时有，，构造，则，令t'（x）＝0，求得．故t（x）在上递减，在上递增，所以，所以，此时满足f（x）≥0．综上所述，当a≤1时，对于任意的，均有f（x）≥0．21．2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布N（μ，σ2），经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为P n，试证明{P n﹣P n﹣1}（1≤n≤49，n∈N*）是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出．（2）由X～N（300，502）．利用正态分布的对称性可得P（250＜X≤400）．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，P0＝1．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即P1＝．遥控车移到第n（2≤n≤49）格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第n﹣2格，又掷出反面，其概率为P n﹣2．②遥控车先到第n﹣1格，又掷出正面，其概率为P n﹣1．可得：P n＝P n﹣2+P n﹣1．变形为P n﹣P n﹣1＝﹣（P n﹣1﹣P n﹣2）．即可证明1≤n≤49时，数列{P n﹣P n﹣1}是等比数列，首项为P1﹣P0，公比为﹣的等比数列．利用P n＝（P n﹣P n﹣1）+（P n﹣1﹣P n﹣2）+……+（P1﹣P0）+P0，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率P49，失败的概率P50．进而得出结论．解：（1）＝0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405＝300（千米）．（2）由X～N（300，502）．∴P（250＜X≤400）＝0.9545﹣＝0.8186．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，P0＝1．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即P1＝．遥控车移到第n（2≤n≤49）格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第n﹣2格，又掷出反面，其概率为P n﹣2．②遥控车先到第n﹣1格，又掷出正面，其概率为P n﹣1．∴P n＝P n﹣2+P n﹣1．∴P n﹣P n﹣1＝﹣（P n﹣1﹣P n﹣2）．∴1≤n≤49时，数列{P n﹣P n﹣1}是等比数列，首项为P1﹣P0＝﹣，公比为﹣的等比数列．∴P1﹣1＝﹣，P2﹣P1＝，P3﹣P2＝，……，P n﹣P n﹣1＝．∴P n＝（P n﹣P n﹣1）+（P n﹣1﹣P n﹣2）+……+（P1﹣P0）+P0＝++……﹣+1＝＝．（n＝0，1，……，49）．∴获胜的概率P49＝，失败的概率P50＝P48＝＝．∴P49﹣P50＝﹣＝＞0．∴获胜的概率大．∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|＝|AB|2，求a的值．【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），可化为ρ2sin2θ＝aρcosθ（a＞0），即y2＝ax（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，化为普通方程是y＝x﹣2；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝ax（a＞0）中，得；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则；∵|PA|•|PB|＝|AB|2，∴t1•t2＝，∴＝+4t1•t2＝5t1•t2，即；解得：a＝2或a＝﹣8（不合题意，应舍去）；∴a的值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若m∈R，且m≠0，证明：．【分析】（I）当a＝2时，去掉绝对值，再求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）f（m）+f（﹣）＝|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|＝2（|m|+）≥4，可得结论．【解答】（I）解：当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x+|，不等式f（x）＞3等价于或或，∴x＜﹣或x＞，∴不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（Ⅱ）证明：f（m）+f（﹣）＝|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|＝2（|m|+）≥4，当且仅当m＝±1，a＝1时等号成立，∴f（m）+．。

广东省湛江第一中学2024届高三高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足()34i 43i z -=+，则z 的虚部为（）A ．4-B ．45-C ．4D ．452．已知集合2{|340}M x x x =--≤，(){|ln 2}N x y x ==-，则M N = （）A ．()2,4B ．(]2,4C ．(]1,4-D ．[]1,4-3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，若F 关于渐近线b y x a =的对称点R 恰好落在渐近线by x a=-上，则ORF 的面积为（）AB ．2C ．3D ．4．已知直线1y kx =+与圆224x y +=相交于,M N 两点，若MN =，则k =（）A ．12B ．1C D ．25．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.10.04lg20.30≈≈，）A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年6．函数π32cos 23y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．()2ππππ36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦ZB ．()ππππ63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，C ．()π4π2π2π33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，D ．()ππ2π2π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，7．在ABC V 中，已知D 为边BC 上一点，CD DB λ=，π4BAD ∠=．若tan ACB ∠的最大值为2，则常数λ的值为（）A ．34B ．34C ．14+D ．148．已知1x ，2x 是函数()222ln f x x ax x =-+的两个极值点，且12x x <，当52a ≥时，不等式()12f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围（）A ．9ln 2,08⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．9,ln 28∞⎛⎤--- ⎥⎝⎦C ．9ln 2,08⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．9ln 2,8∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭二、多选题9．已知向量()()cos ,sin ,3,4a b θθ==-，则（）A ．若//a b，则4tan 3θ=-B ．若a b ⊥，则3sin 5θ=C ．a b - 的最大值为5D ．若()0a a b ⋅-=，则a b -= 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x -=，若对于任意的1x ，[]22,4x ∈，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则（）A ．()f x 的图象关于点()2,0-中心对称B ．()()8f x f x =+C ．()f x 在区间[]22-,上单调递增D ．()f x 在66x =处取得最大值11．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点N 是底面正方形ABCD 内及边界上的动点，点M 是棱1DD 上的动点（包括点1D D ，），已知4MN =，P 为MN 中点，则下列结论正确的是（）A ．无论M ，N 在何位置，1,AP CC 为异面直线B ．若M 是棱1DD 中点，则点P 的轨迹长C ．M ，N 存在唯一的位置，使1A P ∥平面1AB CD ．AP 与平面11A BCD 所成角的正弦最大值为12三、填空题12．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49．乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为．13．已知函数()cos sin (0,0)f x A x x A ωωω=>>的对称中心是ππ,0(Z)26k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=．14．斜率为1-的直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，点T 是椭圆上的一点，且满足TA TB ⊥，点,P Q 分别是,OAT OBT 的重心，点R 是TAB △的外心.记直线,,OP OQ OR 的斜率分别为123,,k k k ，若12318k k k =-，则椭圆C 的离心率为.四、解答题15．已知函数2()ln ,R af x x a x=+∈，(1)讨论函数的单调性；(2)若函数()f x 在[1,e]上的最小值为3，求实数a 的值.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，1CB =，CA =，1AA =M 为侧棱1CC 上一点，1AM BA ⊥．(1)求证：AM ⊥平面1A BC ；(2)求二面角B AM C --的大小；(3)求点C 到平面ABM 的距离．17．已知椭圆C 的方程2213x y +=椭圆左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的一点12120F PF ∠=︒.(1)若12120F PF ∠=︒，求12F PF 的面积；(2)在椭圆C 上找一点P ，使它到直线l ：40x y ++=的距离最短，并求出最短距离.18．近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.19．定义：{}{},,,,max ,min ,,,,,a ab b a b a b a b b a b a a b ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩已知数列{}n a 满足1212min{,}max{,}n n n n n a a a a a +++++=．(1)若22a =，33a =，求1a ，4a 的值；(2)若*n ∀∈N ，*k ∃∈N ，使得n k a a ≤恒成立．探究：是否存在正整数p ，使得0p a =，若存在，求出p 的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；(3)若数列{}n a 为正项数列，证明：不存在实数A ，使得*,n n N a A ∀∈≤．参考答案：题号12345678910答案B BABCBDBADBCD题号11答案ABD1．B【分析】根据复数除法运算可求得z ，再由共轭复数和虚部定义即可求得结果．【详解】由()34i 43i z -=+，则()()()534i 43i 534i 34i34i 34i 34i 55z ⨯++====+---+，所以34i 55z =-，故z 的虚部为45z =-．故选：B ．2．B【分析】解二次不等式与求对数型函数定义域化简集合,M N ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为2{|340}{|14}M x x x x x =--≤=-≤≤，(){|ln 2}{|2}N x y x x x ==-=>，所以{|24}M N x x ⋂=<≤=(]2,4.故选：B.3．A【分析】根据题意，由点F 与点R 关于直线by x a=对称可得60POF ∠=︒，PO PF ⊥，再由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】设RF 与渐近线by x a=的交点为P ，由题意可知2OF =，60POF ∠=︒，PO PF ⊥，所以1PF PO ==，则12212ORF POF S S ==⨯= .故选：A 4．B【分析】先计算直线10kx y -+=到圆心O 的距离d ，然后根据勾股定理得到22144d MN +=，从而代入条件即可解出2k ，从而得到k .【详解】如图所示：设坐标原点O 到直线10kx y -+=的距离为d ，则d =设线段MN 的中点为P ，则MN OP ⊥，根据勾股定理，有22222144OMOP PMd MN ==+=+.由MN =22211144414d MN k =+=++，故21112k =+，解得21k =，故1k =.故选：B.5．C【分析】假设经过n 年后全年投入的研发资金开始超过200万元，列不等式求解即可.【详解】假设经过n 年后全年投入的研发资金开始超过200万元，即160(1.1)200n ⋅>，所以13lg20.12.5lg1.10.04n ->==，因此超过200万元的年份是2026年．故选：C ．6．B【分析】根据题意要求函数y 的单调递增区间即求函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间即可求解.【详解】由题意得πππ32cos 232cos232cos 2333y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，要求y 的递增区间即求πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间，当π2π2π2π3k x k ≤+≤+，k ∈Z ，即ππππ63k x k -≤≤+，k ∈Z 时，πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，即π3cos 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递增，故B 正确.故选：B.7．D【分析】令2CD DB λλ==且01λ≤≤，求得ABD △外接圆半径为r =若(1,0),(1,0)B D -，结合已知得点A 在圆22(1)2x y +-=被BD 分割的优弧上运动，进而确定tan ACB ∠的最大，只需AC 与圆相切，综合运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数λ.【详解】令2CD DB λλ==且01λ≤≤，即2BD =，则ABD △外接圆半径为2sin BDr BAD=∠，若(1,0),(1,0)B D -，ABD △的外接圆方程为22()()2x m y n -+-=，所以()()2222120112m n m n m n ⎧++==⎧⎪⇒⎨⎨=±-+=⎩⎪⎩，令圆心(,)m n 为(0,1)，即点A 在圆22(1)2x y +-=被BD分割的优弧上运动，如下图，要使tan ACB ∠的最大，只需AC 与圆相切，由上易知(12,0)C λ+，则||2AC =||2(1)BC λ=+，由圆的性质有DAC B ∠=∠，ABC V 中||||πsin sin()4AC BC BB =∠∠+，π3ππ(2)244ACB B B ∠=-∠+=-∠，显然3π8B ∠<，由3πtan tan(2)24ACB B ∠=-∠=，则1tan 22tan 23tan 21B B B +∠=⇒∠=∠-，所以222tan 33tan 2tan 301tan B B B B ∠=⇒∠+∠-=-∠，可得tan B ∠=，故sin ,cos B B ∠∠πsin()4B =∠+所以22(1)sin sin 12sin cos B B B Bλλ+==∠∠+∠∠，=λ=故选：D【点睛】关键点点睛：令2CD DB λλ==且01λ≤≤，(1,0),(1,0)B D -得到点A 在圆22(1)2x y +-=被BD 分割的优弧上运动为关键.8．B【分析】先求导由1x ，2x 是极值点，得1212,1x x a x x +==，进而将不等式()12f x mx ≥恒成立转化为()31111min22ln m x x x x ≤--+，构造函数()g x 求得最小值，即可求出实数m 的取值范围.【详解】由题意得，0x >，()()221222x ax f x x a x x='-+=-+，所以1x ，2x 是方程210x ax -+=的两个正根，所以21212540,,12a x x a x x ∆=->+=≥=，不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立；又()()21323211111111121112222ln 22ln 22ln f x x ax x x ax x x x x x x x x x x -+==-+=-++3111122ln x x x x =--+，则()31111min22ln m x x x x ≤--+，又12125,12x x a x x +=≥=，可得11152x x +≥，则1102x <≤.令()322ln ,102g x x x x x x ⎛⎫=--+≤ ⎝<⎪⎭，则()223222ln 32ln 0g x x x x x '=--++=-+<，所以()g x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 19ln 228g x g ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，故9ln 28m ≤--.故选：B.【点睛】解决极值点问题，通常求导转化为导数根的问题，结合韦达定理可将双变量问题转化为单变量问题；而恒成立问题，通常采用参变分离，转化为函数最值问题，利用导数加以解决.9．AD【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A ；根据向量垂直的坐标公式即可判断B ；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C ；根据()0a a b ⋅-= ，求出sin ,cos θθ的关系，进而可判断D.【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，所以1a == ，5b = ，对于A ，若//a b，则4cos 3sin θθ=-，所以4tan 3θ=-，故A 正确；对于B ，若a b ⊥ ，则3cos 4sin 0a b θθ⋅=-+=，所以3tan 4θ=，又22sin 3tan cos 4sin cos 1θθθθθ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得3sin 5θ=或3sin 5θ=-，故B 错误；对于C ，a b -==3tan 4ϕ=，当()sin 1θϕ-=-时，a b -取得最大值6，故C 错误；对于D ，若()0a a b ⋅-= ，则20a a b -⋅= ，即13cos 4sin 0θθ+-=，所以4sin 3cos 1θθ-=，所以a b -===D 正确.故选：AD.10．BCD【分析】根据函数奇偶性、对称性、周期性、单调性的定义和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由()()4f x f x -=，得()f x 的图象关于直线2x =对称；又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称；由对称性可知，函数()f x 的图象关于点()4,0中心对称，再根据()f x 是奇函数可得，函数()f x 的图象关于点()4,0-中心对称，A 错误；对B ：由()()f x f x -=-与()()4f x f x -=，得()()()4f x f x f x +=-=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，B 正确；对C ：因为对于任意的1x ，[]22,4x ∈，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在[]2,4上单调递减，又函数()f x 的图象关于点()4,0中心对称，则()f x 在[]4,6上单调递减，因为()f x 的图像关于直线2x =对称，则()f x 在区间[]22-,上单调递增，C 正确；对D ：由C 可知，()f x 在2x =处取得最大值，()()()668822f f f =⨯+=，则()f x 在66x =处取得最大值，D 正确.故选：BCD.11．ABD【分析】根据1,AP AA 相交，而11//AA CC 即可判断A ，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P14，即可判断B ，根据法向量与方向向量垂直即可判断C,根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解.【详解】由于1,AP AA 相交，而11//AA CC ，因此1,AP CC 为异面直线，A 正确，当M 是棱1DD 中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()()()()()()11,,,0,0,2,4,0,0,0,4,0,0,4,4,4,4,4P x y z M A C C B ,故()2,2,22N x y z -，024,024x y ≤≤≤≤且220z -=，由于4MN =，故()()()2222222216x y z ++--=，化简得223x y +=，由于024,024x y ≤≤≤≤，所以点P14，故长度为π2，B 正确，设()()10,0,,4,0,4M a A ,则()2,2,2N x y z a -，024,024x y ≤≤≤≤且20z a -=，()()114,,4,0,4,4A P x y z AB =--= ，()4,4,0AC =-,设平面1AB C 的法向量为(),,m m n k =，则1440440AB m n k AC m m n ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1m =，则()1,1,1m =- ,()()1440A P m x y z ⋅=-+--=，故0x y z +-=，由于4MN =，故()()()222222216x y z a ++-=，化简得2224y x z ++=，联立2222224x y z x y xy x y z +-=⎧⇒++=⎨++=⎩，故解不唯一，比如取0,x y ==，则或取0,y x ==，故C 错误，由于11A D ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，故111A D AB ⊥,又四边形11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,111111,,A B A D A B A D ⋂⊂平面11A BCD ，所以1AB ⊥平面11A BCD ，故平面11A BCD 的法向量为()10,4,4AB =()4,,AP x y z =-，设AP 与平面11A BCD 所成角为θ，则111sin cos ,AP AB AP AB AP AB θ⋅===，则()()()222222222222121sin 2244y zy z yz x y z x y z θ+++=≤-++-++，当且仅当y z =时取等号，()()222222222244sin 208444y z x x xx y z x x θ+--≤==--++-+-，∈0,2时，令2080x t -=>，则208tx -=，故22201444404820864t t x t x t-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-，由于14424t t +≥，当且仅当144t t =，即12t =时等号成立，此时1x =，由2224y x z ++=且y z =可得y z =因此21444024401sin 64644t t θ⎛⎫-++ ⎪-+⎝⎭≤≤=，由于π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 0θ≥，故sin θ的最大值为12，故D 正确，、故选：ABD【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.12．60.5【分析】根据百分位数的计算规则计算可得；【详解】解：因为1225%3⨯=，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和4个数的平均数，为202522.52+=；又1280%9.6⨯=，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为38，所以22.53860.5+=故答案为：60.513．0【分析】利用辅助角公式，结合三角函数的性质可得ω，进而求得A ，从而代入求解即可得解.【详解】因为2()cos 3sin 3cos()f x A x x A x ωωωϕ=-=++，其中3tan Aϕ=，又()f x 的对称中心是ππ,0(Z)26k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭知，则两个相邻的对称中心相距π2，故()f x 的最小正周期πT =，即2π2T ω==，则()cos 23sin 2f x A x x =-，所以πππ13cos 3sin 063322f A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得3A =，故π2π2π133cos 3sin 33033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.14．22【分析】取,AT BT 的中点,C D ，利用点差法可得232ABb k k a =-，221222,AT BT b b k k k k a a=-=-，结合已知求出22b a即可求出离心率.【详解】取,AT BT 的中点,C D ，依题意，点R 是AB 中点，点,P Q 分别在,OC OD 上，设1122()A x y B x y ,,(,)，由2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩两式相减得2212121212()()()()0b x x x x a y y y y -++-+=，直线AB 斜率12121AB y y k x x -==--，直线OR 斜率12312OR y y k k x x +==+，则232AB b k k a=-，直线,AT BT 的斜率分别为,AT BT k k ，同理221222,AT BT b b k k k k a a=-=-，又1AT BT k k =-，因此2312312321()8AT BT AB b k k k k k k k k k a -=⋅⋅==-，解得2212b a =，所以椭圆C 的离心率2222212a b b e a a -==-=.故答案为：22【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解.15．(1)答案见解析(2)ea =【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）分类讨论a 的取值范围，结合（1）中结论得到()f x 的最小值，进而得到关于a 的方程，解之即可得解.【详解】（1）因为()2()ln 0a f x x x x=+>，则()22122a x af x x x x -'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得2x a =，当()0,2∈x a 时，()0f x '<，()f x 上单调递减；当()2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 上单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,2a 上单调递减，在()2,a +∞单调递增.（2）当21a ≤，即12a ≤时，由（1）知()f x 在[1,e]上单调递增，所以()()min 123f x f a ===，即32a =（舍去）；当12e a <<，即122ea <<时，由（1）知()f x 在[]1,2a 单调递减，在[]2,e a 单调递增所以()()min 2ln213f x f a a ==+=，解得2e 2a =（舍去）；当2e a ≥，即e2a ≥时，由（1）知()f x 在[1,e]单调递减，所以()()min 22e ln e 13e ea a f x f ==+=+=，解得e a =；综上所述，e a =.16．(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）证明出⊥BC 平面11AAC C ，可得出AM BC ⊥，由1AM A B ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理可证明出AM ⊥平面1A BC ；（2）方法一：设1A C AM O =I ，由（Ⅰ）得知BOC ∠为二面角B AM C --的平面角，计算出CO ，利用锐角三角函数的定义求出BOC ∠；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果；（3）方法一：计算出三棱锥M ABC -的体积M ABC V -，设点C 到平面ABM 的距离为h ，计算出ABM 的面积，由C ABM M ABC V V --=可计算出h ，即点C 到平面ABM 的距离；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果；【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂ 平面ABC ，1BC AA ∴⊥，又90ACB ∠=︒ ，BC AC ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC ⊂平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AACC ，BC ∴⊥平面11AAC C ，AM ⊂ 平面11AAC C ，AM BC ∴⊥．1AM A B ⊥Q ，1A B BC B =I ，1A B 、⊂BC 平面1A BC ，AM ∴⊥平面1A BC ；（2）方法一：设1AM A C O =I ，连接OB ，由（1）知，AM ⊥平面1A BC ．,OB OC ⊂ 平面1A BC ，AM OB ∴⊥，AM OC ⊥，BOC ∴∠为二面角B AM C --的平面角，在Rt ACM 和1Rt AAC △中，90OAC ACO ∠+∠=︒，1AA C MAC ∴∠=∠，1Rt Rt ACM AA C ∴ ∽，1AA AC MC AC∴=，21AC MC AA ∴=⋅，212AC MC AA ∴==，在Rt ACM中，2AM =，1122AC MC AM CO ⋅=⋅Q，1AC MC CO AM⋅∴==，在Rt BOC 中，tan 1BCBOC CO∠==，45BOC ∴∠=o ．因此，二面角B AM C --的大小为45︒；方法二：以点C 为坐标原点，,CA CB ，1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系-C xyz ，则3,0,0，1A ，()0,1,0B ，设点()10,0,M z，则()()11,1,,0,1,0AM z BA CB ==-=，1AM BA ⊥Q，1130AM BA ∴⋅=-+=，解得1z =0,0,2M ⎛∴ ⎝⎭.设平面AMB 的一个法向量为 =s s ，由00m AM m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩，可得y z ⎧=⎪⎨⎪⎩，令1x =，则y =z =，∴平面AMB的一个法向量为(m =．显然，CB是平面AMC的一个法向量，cos ,2m CB m CB m CB⋅=⋅，结合图形知，二面角B AM C --为锐角，它的大小为45︒；（3）方法一：设点C 到平面ABM 的距离为h，易知BO =111133224M ABC ABC V MC S -=⋅=⨯⨯⨯=V ，可知113222ABM S AM BO =⋅=V ，C ABMM ABC V V --=Q，即134ABM h S ⋅=V，24432ABM h S ∴==⨯= ，因此，点C 到平面ABM；方法二：易知点C 到平面ABM的距离为2m CBm⋅=．17．(2)P 的坐标为21,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解即可；（2）转化为求出与直线l ：40x y ++=平行的直线0x y m ++=，利用平行线间的的距离求解.【详解】（1）已知椭圆C 的方程为2313x y +=，因为点P 是椭圆C 上的一点，且12120F PF ∠=︒，易得12PF PF +=12F F =，在12F PF 中，由余弦定理得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅，整理得221212|8PF PF PF PF +-=-⋅，即()212128PF PF PF PF +-=⋅，又12PF PF +=124PF PF ⋅=，则21211sin1202F PF S PF PF =⋅︒=△（2）如图，不妨设与直线l ：40x y ++=平行的直线0x y m ++=与椭圆相切，联立22130x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，消去y 并整理得2246330x mx m ++-=，①因为()22(6)16330m m ∆=--=，解得2m =±，当2m =时，直线l 与直线20x y ++=的距离d =当2m =-时，直线l 与直线20x y +-=的距离d==<2m =符合题意，将2m =代入①式中，解得32x =-，当32x =-时，12y =-，则点P 的坐标为31,22⎛⎫--⎪⎝⎭，.18．(1)718(2)1324(3)30【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算；（2）设出事件，利用全概率公式进行求解；（3）设抽取次数为X ，求出X 的分布列和数学期望，利用错位相减法求出()10.980.02n E X -=，利用单调性，结合特殊值，求出答案.【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率112112112711111123323323318P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）记事件C ：丁周六选择A 健身中心，事件D ：丁周日选择B 健身中心，则()()11321()(,1,124433P C P C P D C P D C ===-==-=，由全概率公式得()()131113()()()242324P D P C P D C P C P D C =+=⨯+⨯=.故丁周日选择B 健身中心健身的概率为1324.（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p ，则0.02p =，设抽取次数为X ，则X 的分布列为X123L n 1-nPp()1p p -2(1)p p-L2(1)n p p --1(1)n p --故()()()22112(1)3(1)1(1)n n E X p p p p p p p n p n --=+-⨯+-⨯++-⨯-+-⨯ ，又()()()()23111(1)2(1)3(1)1(1)n np E X p p p p p p p p n p n --=-+-⨯+-⨯++-⨯-+-⨯ ，两式相减得()()()()()2211111n n pE X p p p p p p p p p --=+-+-++-+- ，所以()()()()()22111111n n E X p p p p --=+-+-++-+- ()()()111110.98110.02nnnp p p p -----===--，所以()10.980.02n E X -=在N n *∈时单调递增，可知当29n =时，()2910.9810.55722.150.020.02E X --=≈=；当30n =时，()3010.9810.54522.750.020.02E X --=≈=；当31n =时，()3110.9810.53523.250.020.02E X --=≈=.若抽取次数的期望值不超过23，则n 的最大值为30.19．(1)11a =，41a =或45a =(2){1,2}p k k ∈++(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，由定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，将问题转化为{}12max ,k k k k a a a a ++≤≤，即可得到结果；（3）根据题意，分S =∅与S ≠∅讨论，当S ≠∅时，再分S 为有限集与S 为无限集讨论，即可证明.【详解】（1）依题意，1212max{,}min{,}n n n n n a a a a a ++++=-，显然0n a ≥；故12323max{,}min{,}1a a a a a =-=；23434max{,}min{,}2a a a a a =-=，即342a a -=或432a a -=，则41a =或45a =．（2）{}{}1212max ,min ,n n n n a a a a ++++≥ ，{}{}1212max ,min ,0,n n n n n a a a a a ++++∴=-≥n k a a ≤ 对*n ∀∈N 恒成立，{}1212,,max ,k k k k k k k a a a a a a a ++++∴≤≤∴≤.{}{}{}121212max ,min ,max ,k k k k k k k a a a a a a a ++++++=-≤ {}12max ,k k k k a a a a ++∴≤≤，{}{}1212max ,,min ,0k k k k k a a a a a ++++∴=∴=，①120,0k k a a ++=≠时,{}{}12122max ,min ,0k k k k k k a a a a a a +++++=-=≠{}{}1112max ,min ,0k k k k k k k a a a a a a a -+++=-==≠{}{}211max ,min ,0k k k k k k k a a a a a a a ---=-=-={}{}321212max ,min ,00k k k k k k k k a a a a a a a a -----+=-=-==≠∴当32,p k m m =+-∈Z ,且0p >时,0p a =.p ∴的集合为{32,p p k m m =+-∈Z ∣且0}p >②210,0k k a a ++=≠时,{}{}12121max ,min ,0k k k k k k a a a a a a +++++=-=≠，{}{}11111max ,min ,0k k k k k k k a a a a a a a -++++=-=-=，{}{}2111max ,min ,0k k k k k k a a a a a a ---+=-=≠，∴当31,p k m m =+-∈Z ,且0p >时,0p a =.p ∴的集合为{31,p p k m m =+-∈Z ∣且0}p >③10k a +=且20k a +=时,0,k a p =的集合为*N（3）1212max{,}min{,}0n n n n n a a a a a ++++=-> ，12n n a a ++∴≠；设*1{|,}n n S n a a n +=>∈N ，①若S =∅，则12a a ≤，*1(2,)i i a a i i +<∈N ≥，对任意0A >，取11[]2A n a =+①（[x ]表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，11232223121()()()(1)n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n a -----=-+-++-+=++++- ≥11111(1)([]1)n A A n a a a A a a >-=+>⋅=；②若S ≠∅，ⅰ）若S 为有限集，设*1max{|,}n n m n a a n +=>∈N ，*1()m i m i a a i +++<∈N ，对任意0A >，取21[1]m A n m a +=++（[x ]表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211231()()()n n n n n m m m n n m m a a a a a a a a a a a a ---+++--+=-+-++-+=++++ 1211111()()([]1)m m m m m m AAn m a n m a a a A a a ++++++->-=+>⋅=≥；ⅱ）若S 为无限集，设*11min{|,}n n p n a a n +=>∈N ，*11min{|,}()i n n i p n a a n p i ++=>>∈N ，若11i i p p +-=，则12i i i p p p a a a ++>>，又12max{,}i i i p p p a a a ++<，矛盾；故*12(i i p p i +-∈N ≥）；记*1(i i p m a i +=∈N ）；当12i i p p +-=时，1i i p p a a +>，12i i p p a a ++<，23i i p p a a ++>；因为123i i i p p p a a a +++=-，所以111(2)13211i i i i i i i i p p p p p p p i m a a a a a a a m +++++++++====-=>=；当13i i p p +-≥时，1i i p p a a +>，112i i i p p p a a a +++<<< ，111i i p p a a +++>因为11111i i i p p p a a a +++-+=-，故111111112i i i i i i p p p p p i m a a a a a m +++++++--==-==≥；因为11121i i i p p p a a a +++++=-，故11111211121i i i i i i p p p p i p p a a a a m a m a m +++++++++=-=+++≥≥，故对任意0A >，取31[1A n m =+，当3k n >时，112211122222222121()()()(1)k k k k k p p p p p p p p p a a a a a a a a k m a km ---+++++++++=-+-++-+≥-+> 1111([1])A A m m A m m >+>⋅=；综上所述，不存在实数A ，使得*,n n N a A ∀∈≤．综上所述，不存在实数A ，使得对任意的正整数n ，都有n a A ≤．【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定于与数列综合问题，难度较大，解答本题的关键在于理解新定义的概念，以及结合数列的知识解答.。

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x≤5}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣5≤x＜4} 2．设（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．2D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，则a10＝（）A．25B．32C．35D．404．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘成频率分布直方图如图：嘉宾A B C D E F评分969596899798嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）A．B．C．D．6．若两个非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．已知{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，则a2+a11＝（）A．9B．﹣9C．D．8．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A，B，过点B作x轴的垂线，垂足恰为F1，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．2D．9．已知a＝log0.30.5，b＝log30.5，c＝log0.50.9，则（）A．ab＜ac＜a+b B．a+b＜ab＜ac C．ac＜ab＜a+b D．ab＜a+b＜ac 10．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8，则|AB|＝（）A．6B．9C．9D．611．已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p＝p0时，f（p）最大，则p0＝（）A．1﹣B．C．D．1﹣二、填空题13．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．14．已知函数f（x）＝ln为奇函数，则a＝．15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成种不同的音序．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为﹣，当三棱锥P﹣ABC的体积最大值为时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题17．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝，点D在线段AB上．（1）若cos∠CDB＝﹣，求CD的长；（2）若AD＝2DB，sin∠ACD＝sin∠BCD，求△ABC的面积．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB1＝CB1．（1）证明：平面BDD1B1⊥平面ABCD；（2）若∠DAB＝60°，△DB1B是等边三角形，求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．19．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm，只要误差的绝对值不超过0.03cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．20．已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线交椭圆于A，B两点，若，在线段AB上取点D，使，求证：点D在定直线上．21．设函数f（x）＝ax（2+cos x）﹣sin x，f'（x）是函数f（x）的导数．（1）若a＝1，证明f'（x）在区间上没有零点；（2）在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求l的普通方程和C1的直角坐标方程；（2）把曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|的最小值为．（1）求证：a+2b＝1；（2）若2a+b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案一、选择题1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x≤5}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣5≤x＜4}【分析】先求出集合M，N，由此能求出M∩N．解：集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，则M∩N＝{x|1＜x ≤2}，故选：B．2．设（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．2D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：z＝＝+2i＝1﹣i+2i＝1+i，则|z|＝．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，则a10＝（）A．25B．32C．35D．40【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出a1＝﹣1，d＝4，由此能求出a10．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，∴，解得a1＝﹣1，d＝4，∴a10＝﹣1+4×9＝35．故选：C．4．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘成频率分布直方图如图：嘉宾A B C D E F评分969596899798嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【分析】计算，，，进行比较，得出结论．解：，＝75×0.2+85×0.3+95×0.5＝88，由于场外有数万人观众，则．故选：C．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）可以为（）A．B．C．D．【分析】由图象结合趋近性即可得出结论．解：由图象可知，当x→0+时，f（x）→﹣∞，故可排除BD；当x→+∞时，f（x）→+∞，故可排除C；故选：A．6．若两个非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设与夹角为θ，由分析可得||＝||，对变形可得：10•＝3（2+2），由数量积公式分析可得答案．解：根据题意，设与夹角为θ，若两个非零向量满足，则有2﹣2＝0，即||＝||，又由，则（+）2＝4（﹣）2，变形可得：10•＝3（2+2），则有cosθ＝；故选：D．7．已知{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，则a2+a11＝（）A．9B．﹣9C．D．【分析】推导出a5a8＝a4a9＝﹣18，从而a5，a8是方程x2+3x﹣18＝0的两个根，求出a5＝3，a8＝﹣6或a5＝﹣6，a8＝3，解得或，再由a2+a11＝a1q（1+q9），能求出结果．解：∵{a n}为等比数列，a5+a8＝﹣3，a4a9＝﹣18，∴a5a8＝a4a9＝﹣18，∴a5，a8是方程x2+3x﹣18＝0的两个根，∴a5＝3，a8＝﹣6或a5＝﹣6，a8＝3，∴，或，解得或，∴a2+a11＝a1q（1+q9）＝．故选：C．8．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A，B，过点B作x轴的垂线，垂足恰为F1，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．2D．【分析】可得直线AB的方程为：．联立可得．依题意可得，求得2a2＝b2即可从而求得双曲线C的离心率．解：设双曲线C：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0），双曲线C的一条渐近线方程设为bx±ay＝0，直线AB的方程为：．联立可得．依题意可得，∴2a2＝b2，则双曲线C的离心率为e＝．故选：B．9．已知a＝log0.30.5，b＝log30.5，c＝log0.50.9，则（）A．ab＜ac＜a+b B．a+b＜ab＜ac C．ac＜ab＜a+b D．ab＜a+b＜ac 【分析】可先根据对数的换底公式和对数的运算求出，，ac＝log0.30.5•log0.50.9，然后根据对数函数的单调性即可得出ab，a+b和ac的大小关系．解：，＝，ac＝log0.30.5•log0.50.9，∵log0.50.3＞0，log0.53＜0，0＜log0.50.9＜1，log0.30.5＞0，∴log0.50.3•log0.53＜0，＜log0.30.5•log0.50.9，∴ab＜a+b＜ac．故选：D．10．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝2，抛物线的准线l与x轴交于C，△ACF的面积为8，则|AB|＝（）A．6B．9C．9D．6【分析】设焦点F的坐标及直线AB的方程，与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，由且＝2，可得A，B的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得斜率的值，再由抛物线的性质可得三角形ACF的面积，再由题意可得p的值，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出弦长AB的值．解：由抛物线的方程可得焦点F（，0），有题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线联立可得：，整理可得y2﹣2mpy﹣p2＝0，y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，因为＝2，即（﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣，y2），所以可得：y1＝﹣2y2，所以，可得：＝，所以|m|＝，所以|y2|＝＝，|y1|＝2|y2|＝p，所以S△CFA＝|CF|•|y1|＝＝8，解得：p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝8x，所以|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2m2p+2p＝2•4+8＝9，故选：B．11．已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意可知，g（x）＝A cos（φ）由图象可知A，T，ω，把代入（，0）后可得φ，进而可得即g（x）＝cos（2x+），f（x）＝cos（2x﹣）＝﹣cos（2x+），利用三角函数知识分析充分性和必要性即可．解：由题意可知，g（x）＝A cos（φ），由图象知，A＝1，T＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，所以ω＝＝2；代入（，0）后可得：cos（φ）＝0，φ＝kπ+，k∈Z，所以φ＝kπ﹣π﹣，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝﹣，即g（x）＝cos（2x+），f（x）＝cos（2x﹣）＝﹣cos（2x+）当f（x）＝时，cos（2x+）＝﹣；cos（2x+）＝2cos（x+）2﹣1＝﹣，解得cos（x+）＝，g（+）＝cos（x+）＝﹣cos（x+）＝，当时，g（）＝cos[2（）+]＝cos[x+]＝﹣cos（x+）＝，所以cos（x +）＝﹣，所以f（x）＝cos（2x ﹣）＝cos[π﹣2（x +）]＝﹣cos2（x +）＝﹣[2cos2（x +）﹣1]＝﹣[2（﹣）2﹣1]＝．故是的必要不充分条件．故选：B．12．强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p＝p0时，f（p）最大，则p0＝（）A．1﹣B ．C ．D．1﹣【分析】先求出概率，再求最大值，借助于不等式求解．解：设事件A为：检测了5个人确定为“感染高危户”；设事件B为：检测了6个人确定为“感染高危户”；∴P（A）＝p（1﹣p）4，P（B）＝p（1﹣p）5，即f（p）＝p（1﹣p）4+p（1﹣p）5＝p（2﹣p）（1﹣p）4，设x＝1﹣p＞0，则g（x）＝f（p）＝（1﹣x）（1+x）x4＝（1﹣x2）x4，∴g（x）＝（1﹣x2）x4＝≤＝．当且仅当2﹣2x2＝x2，即时取等号．即．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x，y 满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为1．【分析】画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值．解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示；化目标函数为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点B时，直线在y轴上的截距最小，由，解得A（3，﹣1）；∴z的最小值为3﹣2×1＝1．故答案为：1．14．已知函数f（x）＝ln为奇函数，则a＝1或﹣1．【分析】由已知可得f（﹣x）+f（x）＝0，代入后结合对数的运算性质即可求解．解：因为f（x）＝ln为奇函数，所求f（﹣x）+f（x）＝ln（）＝0，故＝1，所以a＝1或a＝﹣1，当a＝﹣1时，f（x）＝0符合题意，当a＝1时，f（x）＝ln符合题意．综上可得，a＝1或a＝﹣1故答案为：1或﹣115．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成32种不同的音序．【分析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．解：若角排在一或五，则有＝24种，若角排在二或四，则有2＝8，根据分类计数原理可得，共有24+8＝32种，故答案为：32．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为﹣，当三棱锥P﹣ABC的体积最大值为时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π．【分析】根据题意作出图象，利用三垂线定理找出二面角P﹣AC﹣B的平面角，再设出AB，BC的长，即可求出三棱锥P﹣ABC的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值，从而可得出各棱长的长度，最后根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关机即可求出外接球的表面积．解：如图所示，过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作DE⊥AC交AC于点D，连接PD，则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角，即有cos∠PDE＝，易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，所以D为AC中点，设AB＝a，BC＝b，AC＝＝c，则PE＝PD sin∠PDE＝×c×＝，故三棱锥P﹣ABC的体积为：V＝ab×＝abc≤c×＝，当且仅当a＝b＝c时，体积最大，则＝，即a＝b＝，c＝2，所以B、D、E三点共线，设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，过点O作OF⊥PE于F，则四边形ODEF为矩形，则OD＝EF＝，ED＝OF＝PD cos∠PDE＝＝，PE＝1，在Rt△PFO中，R2＝2+（1﹣）2，解得R2＝2，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为S＝4πR2＝8π，故答案为：8π．三、解答题17．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝，点D在线段AB上．（1）若cos∠CDB＝﹣，求CD的长；（2）若AD＝2DB，sin∠ACD＝sin∠BCD，求△ABC的面积．【分析】（1）根据已知条件可得，再由正弦定理可得答案；（2）先在△ADC及△BDC中，分别运用正弦定理可得，再利用余弦定理可得AB＝3，最后由三角形面积公式得到答案．解：（1）由cos∠CDB＝﹣，得，∴，由正弦定理得，即，解得；（2）在△ADC中，由正弦定理，①，在△BDC中，由正弦定理，②，又，由得，，由余弦定理可得，CB2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A，即7＝4+AB2﹣2AB，解得AB＝3，∴．18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AB1＝CB1．（1）证明：平面BDD1B1⊥平面ABCD；（2）若∠DAB＝60°，△DB1B是等边三角形，求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．【分析】（1）首先由AC⊥BD，B1O⊥AC可得AC⊥平面BDD1B1，而AC在平面ABCD 内，由面面垂直的判定即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式计算得出答案．解：（1）证明：如图，设AC与BD相交于点O，连接B1O，又面ABCD为菱形，故AC⊥BD，O为AC中点，又AB1＝CB1，故B1O⊥AC，又BD在平面BDD1B1内，B1O在平面BDD1B1内，且BD∩B1O＝O，∴AC⊥平面BDD1B1，又AC在平面ABCD内，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD；（2）由△DB1B是等边三角形，可得B1O⊥BD，故B1O⊥平面ABCD，∴B1O，AC，BD两两互相垂直，则以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则，则，设平面C1BD的一个法向量为，则，可取，设平面A1BD的一个法向量为，则，可取，∴，∴二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为0．19．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm，只要误差的绝对值不超过0.03cm就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．【分析】（1）设该批次产品长度误差绝对值为X，则X的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0，然后依次求出每个X的取值所对应的概率即可得解；（2）设生产一件产品为标准长度是事件A，则P（A）＝0.4，再结合对立事件的概率求出工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率，然后与0.8比较大小即可判断设备是否符合要求；当符合要求时，设P（A）＝p，再用p表示出至少有1件是标准长度产品的概率，并列出不等式，解之即可得解．解：（1）设该批次产品长度误差绝对值为X，则X的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0，P（X＝0.04）＝，P（X＝0.03）＝，P（X＝0.02）＝，P（X＝0.01）＝，P（X＝0）＝．所以该批次产品长度误差绝对值的数学期望为0.04×0.025+0.03×0.075+0.02×0.2+0.01×0.3+0×0.4＝0.01025．（2）设生产一件产品为标准长度是事件A，则，工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P＝，所以现有设备不符合此要求．当符合要求时，设P（A）＝p，则工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P＝，解得，所以生产一件产品为标准长度的概率的最小值为．20．已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（4，0）的直线交椭圆于A，B两点，若，在线段AB上取点D，使，求证：点D在定直线上．【分析】（1）由题意过的点的坐标及离心率和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）设D，A，B的坐标由，，可得A，B，D的坐标的关系，再由A，B在椭圆上可得D在定直线上．解：（1）由题意可得：+＝1，＝，c2＝a2﹣b2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的方程为：+＝1；（2）证明：设D（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由，，可得（4﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣4，y2），（x﹣x1，y﹣y1）＝﹣λ（x2﹣x，y2﹣y），可得：x1+λx2＝4（1+λ）①x1﹣λx2＝x（1﹣λ）②y1+λy2＝0③y1﹣λy2＝y（1﹣λ）④①×②可得：x12﹣λ2x22＝4x（1﹣λ2）⑤，③×④可得y12﹣λ2y22＝0⑥因为A，B在椭圆上，所以x12+3y12＝6，x22+3y22＝6，所以⑤×+⑥×3可得6﹣λ2×6＝8x（1﹣λ2），因为λ＜0，λ≠﹣1，所以8x＝6，即x＝，即证D在定直线x＝上．21．设函数f（x）＝ax（2+cos x）﹣sin x，f'（x）是函数f（x）的导数．（1）若a＝1，证明f'（x）在区间上没有零点；（2）在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1带入，求导可得f′（x）＝2﹣x sin x，进一步研究导函数f′（x），可得当时，f′（x）单调递增，当时，f′（x）单调递减，结合即可得出结论；（2）问题等价于恒成立，设，易判断当时，符合题意；当a≤0时，不合题意；难点在于判断当时的情况，先通过构造函数g（x）＝sin x﹣3ax，利用导数可知当x∈（0，x1）时，sin x＞3ax，进而放缩可得，由此判断此情况也不合题意，综合即得出实数a的取值范围．解：（1）证明：若a＝1，则f（x）＝x（2+cos x）﹣sin x，则f′（x）＝2﹣x sin x，设h （x）＝f′（x）＝2﹣x sin x，则h′（x）＝﹣sin x﹣x cos x，h′（0）＝0，且h′（﹣x）＝sin x+x cos x＝﹣h′（x），故函数h′（x）为奇函数，当时，sin x＞0，x cos x＞0，这时h′（x）＜0，又函数h′（x）为奇函数，∴当时，h′（x）＞0，综上，当时，f′（x）单调递增，当时，f′（x）单调递减，又，故f′（x）＞0在上恒成立，∴f′（x）在上没有零点；（2），由cos x∈[﹣1，1]可知，2+cos x＞0恒成立，若f（x）＞0，则恒成立，记，则，故当时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，又F（0）＝0，∴当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；当a≤0时，有，与题设矛盾；当时，令g（x）＝sin x﹣3ax，则g′（x）＝cos x﹣3a，又3a＜1，故g′（x）＝0在（0，+∞）上有无穷多个零点，设最小的零点为x1，则当x∈（0，x1）时，g′（x）＞0，因此g（x）在（0，x1）上单调递增，故当x∈（0，x1）时，g（x）＞g（0）＝0，故sin x＞3ax，于是，当x∈（0，x1）时，，得，与题设矛盾．综上，实数a的取值范围为．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求l的普通方程和C1的直角坐标方程；（2）把曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0．（2）曲线C1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2（纵坐标不变），即代入x2+y2﹣2y＝0，得到，转换为参数方程为（θ为参数），所以点P（2cosθ，sinθ）到直线的距离d＝＝，即当时，．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|的最小值为．（1）求证：a+2b＝1；（2）若2a+b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【分析】（1）由题意可得f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|＝|x+|+|x+|+|x﹣b|，运用绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得f（x）的最小值，即可得到所求；（2）由题意可得t≤+恒成立，运用乘1法和基本不等式可得此不等式右边的最小值，即可得到t的最大值．解：（1）证明：a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|＝|x+|+|x+|+|x﹣b|≥|﹣+|+|x+﹣x+b|＝0+|b+|＝b+，当且仅当x＝b时，上式取得等号，可得f（x）的最小值为b+，则b+＝，即a+2b＝1；（2）若2a+b≥tab恒成立，由a，b＞0，可得t≤+恒成立，由+＝（a+2b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当a＝b＝，上式取得等号，则t≤9，可得t的最大值为9．。

2020年广东省湛江市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题1. 已知集合M ＝{x|−1<x <4}，N ＝{x|x 2+3x −10≤0}，则M ∩N ＝（ ） A.{x|−1<x ≤5} B.{x|−1<x ≤2} C.{x|−1<x ≤1} D.{x|−5≤x <4}2. 设z =21+i +(1+i)2（i 是虚数单位），则|z|＝（ ） A.√2 B.1C.2D.√53. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝7，S 3＝9，则a 10＝（ ） A.25 B.32C.35D.404. 某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分．某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[70, 80),[80, 90),[90, 100]分组，绘成频率分布直方图如图：嘉宾评分的平均数为x ¯1，场内外的观众评分的平均数为x ¯2，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ¯，则下列选项正确的是（ ）A.x ¯=x ¯1+x ¯22 B.x ¯>x ¯1+x ¯22C.x ¯<x ¯1+x ¯22D.x ¯1>x ¯2>x ¯>x ¯1+x ¯225. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)可以为（ ）A.f(x)=x3−3x B.f(x)=e x −e −xxC.f(x)=2x −xD.f(x)=e |x|x6. 若两个非零向量a →,b →满足(a →+b →)⋅(a →−b →)=0，且|a →+b →|=2|a →−b →|，则a →与b →夹角的余弦值为（ ） A.±12B.±35C.12D.357. 已知{a n }为等比数列，a 5+a 8＝−3，a 4a 9＝−18，则a 2+a 11＝（ ） A.9 B.−9C.212D.−2148. 已知F 1，F 2分别是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A ，B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为F 1，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.√3 C.2√3 D.√59. 已知a ＝log 0.30.5，b ＝log 30.5，c ＝log 0.50.9，则（ ）A.ab <ac <a +bB.a +b <ab <acC.ac <ab <a +bD.ab <a +b <ac10. 过抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →=2FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，△ACF 的面积为8√2，则|AB|＝（ ） A.6B.9C.9√2D.6√211. 已知函数f(x)=A cos (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)，将函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度，得到函数g(x)的部分图象如图所示，则f(x)=13是g(x2+π12)=√33的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12. 2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID −19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快，因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p <1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p ＝p 0时，f(p)最大，则p 0＝（ ） A.1−√63B.√63C.12D.1−√33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.若x ，y 满足约束条件{y ≤3x +y ≥2x −3y ≤6 ，则z ＝x +2y 的最小值为________．已知函数f(x)＝ln x+11−ax 为奇函数，则a ＝________．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成________种不同的音序．在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，三角形PAC 为等边三角形，二面角P −AC −B 的余弦值为−√63，当三棱锥P −ABC 的体积最大值为13时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为________． 三、解答题如图，在△ABC 中，AC ＝2，∠A=π3，点D 在线段AB 上．（1）若cos ∠CDB =−13，求CD 的长；（2）若AD ＝2DB ，sin ∠ACD =√7sin ∠BCD ，求△ABC 的面积．如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AB 1＝CB 1．（1）证明：平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ；（2）若∠DAB ＝60∘，△DB 1B 是等边三角形，求二面角A 1−BD −C 1的余弦值．某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm ，只要误差的绝对值不超过0.03cm 就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求．现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√3,1)，离心率为√63． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M(4, 0)的直线交椭圆于A ，B 两点，若AM →=λMB →，在线段AB 上取点D ，使AD →=−λDB →，求证：点D 在定直线上．设函数f(x)＝ax(2+cos x)−sin x ，f ′(x)是函数f(x)的导数． （1）若a ＝1，证明f ′(x)在区间(−π2,π2)上没有零点；（2）在x ∈(0, +∞)上f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2√2+2t,y =√2−t（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ． （1）求l 的普通方程和C 1的直角坐标方程；（2）把曲线C 1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C 2（纵坐标不变），设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．已知a >0，b >0，函数f(x)＝|2x +a|+|x −b|的最小值为12．（1）求证：a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．参考答案与试题解析2020年广东省湛江市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】集合M＝{x|−1<x<4}，N＝{x|x2+3x−10≤0}＝{x|−5≤x≤2}，则M∩N＝{x|1<x≤2}，2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】z=21+i +(1+i)2=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i＝1−i+2i＝1+i，则|z|=√2．3.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出a1＝−1，d＝4，由此能求出a10．【解答】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝7，S3＝9，∴{a1+2d=73a1+3×22d=9，解得a1＝−1，d＝4，∴a10＝−1+4×9＝35．4.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】计算x¯1，x¯2，x¯，进行比较，得出结论．【解答】x1¯=96+95+96+89+97+986≈95.17，x2¯=75×0.2+85×0.3+95×0.5＝88，由于场外有数万人观众，则x2¯<x¯<x1¯+x2¯2<x1¯．5.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由图象结合趋近性即可得出结论．【解答】由图象可知，当x→0+时，f(x)→−∞，故可排除BD；当x→+∞时，f(x)→+∞，故可排除C；6.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据题意，设a→与b→夹角为θ，由(a→+b→)⋅(a→−b→)=0分析可得|a→|＝|b→|，对|a→+b→|=2|a→−b→|变形可得：10a→⋅b→=3(a→2+b→2)，由数量积公式分析可得答案．【解答】根据题意，设a→与b→夹角为θ，若两个非零向量a→,b→满足(a→+b→)⋅(a→−b→)=0，则有a→2−b→2＝0，即|a→|＝|b→|，又由|a→+b→|=2|a→−b→|，则(a→+b→)2＝4(a→−b→)2，变形可得：10a→⋅b→=3(a→2+b→2)，则有cosθ=35；7.【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】推导出a5a8＝a4a9＝−18，从而a5，a8是方程x2+3x−18＝0的两个根，求出a5＝3，a8＝−6或a5＝−6，a8＝3，解得{a1q=−32q3=−2或{a1q=12q3=−12，再由a2+a11＝a1q(1+q9)，能求出结果．【解答】∵{a n}为等比数列，a5+a8＝−3，a4a9＝−18，∴a5a8＝a4a9＝−18，∴a5，a8是方程x2+3x−18＝0的两个根，∴a5＝3，a8＝−6或a5＝−6，a8＝3，∴{a1q4=3a1q7=−6，或{a1q4=−6a1q7=3，解得{a1q=−32q3=−2或{a1q=12q3=−12，∴a2+a11＝a1q(1+q9)=212．8.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】可得直线AB的方程为：y=−ab (x−c)．联立{y=−ab(x−c)y=−bax可得x=a2ca2−b2．依题意可得a2ca2−b2=−c，求得2a2＝b2即可从而求得双曲线C的离心率．【解答】设双曲线C：双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点F2(c, 0)，双曲线C的一条渐近线方程设为bx±ay＝0，直线AB的方程为：y=−ab(x−c)．联立{y=−ab(x−c)y=−bax可得x=a2ca2−b2．依题意可得a 2ca2−b2=−c，∴2a2＝b2，则双曲线C的离心率为e=ca =√1+(ba)2=√3．9.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】可先根据对数的换底公式和对数的运算求出ab=1log0.50.3⋅log0.53，a+b=log0.50.9log0.50.3⋅log0.53，ac＝log0.30.5⋅log0.50.9，然后根据对数函数的单调性即可得出ab，a+b和ac的大小关系．【解答】ab=log0.30.5⋅log30.5=1log0.50.3⋅log0.53，a+b=log0.30.5+log30.5=1log0.50.3+1log0.53=log0.50.9log0.50.3⋅log0.53，ac＝log0.30.5⋅log0.50.9，∵log0.50.3>0，log0.53<0，0<log0.50.9<1，log0.30.5>0，∴log0.50.3⋅log0.53<0，1log0.50.3⋅log0.53<log0.50.9log0.50.3⋅log0.53<0<log0.30.5⋅log0.50.9，∴ab<a+b<ac．10.【答案】B【考点】抛物线的性质【解析】设焦点F的坐标及直线AB的方程，与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，由且AF→=2FB→，可得A，B的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得斜率的值，再由抛物线的性质可得三角形ACF的面积，再由题意可得p的值，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出弦长AB的值．【解答】由抛物线的方程可得焦点F(p2, 0)，有题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：x＝my+p2，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线与抛物线联立可得：{x=my+p2y2=2px，整理可得y2−2mpy−p2＝0，y1+y2＝2mp，y1y2＝−p2，因为AF→=2FB→，即(p2−x1, −y1)＝2(x2−p2, y2)，所以可得：y1＝−2y2，所以{−y2=2mp−2y22=−p2，可得：12=4m21，所以|m|=2√2，所以|y2|=2√2=√2p2，|y1|＝2|y2|=√2p，所以S△CFA=12|CF|⋅|y1|=12p⋅√2p=8√2，解得：p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝8x，所以|AB|＝x1+x2+p＝m(y1+y2)+2p＝2m2p+2p＝2⋅18⋅4+8＝9，11.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意可知，g(x)＝A cos(ωx+ω3π4+φ)由图象可知A，T，ω，把代入(π6, 0)后可得φ，进而可得即g(x)＝cos(2x+7π6)，f(x)＝cos(2x−π3)＝−cos(2x+2π3)，利用三角函数知识分析充分性和必要性即可．【解答】由题意可知，g(x)＝A cos(ωx+ω3π4+φ)，由图象知，A＝1，3 4T=π6−(−7π12)=3π4，解得T＝π，所以ω=2πT=2；代入(π6, 0)后可得：cos(π3+3π2+φ)＝0，π3+3π2+φ＝kπ+π2，k∈Z，所以φ＝kπ−π−π3，k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ=−π3，即g(x)＝cos(2x+7π6)，f(x)＝cos(2x−π3)＝−cos(2x+2π3)当f(x)=13时，cos(2x+2π3)=−13；cos(2x+2π3)＝2cos(x+π3)2−1=−13，解得cos(x+π3)=±√33，g(x2+π12)＝cos(x+4π3)＝−cos(x+π3)=±√33，当g(x2+π12)=√33时，g(x2+π12)＝cos[2(x2+π12)+7π6]＝cos[x+4π3]＝−cos(x+π3)=√33，所以cos(x+π3)=−√33，所以f(x)＝cos(2x−π3)＝cos[π−2(x+π3)]＝−cos2(x+π3)＝−[2cos2(x+π3)−1]＝−[2(−√33)2−1]=13．故f(x)=13是g(x2+π12)=√33的必要不充分条件．12.【答案】A【考点】相互独立事件相互独立事件的概率乘法公式【解析】先求出概率，再求最大值，借助于不等式求解．【解答】设事件A为：检测了5个人确定为“感染高危户”；设事件B为：检测了6个人确定为“感染高危户”；∴P(A)＝p(1−p)4，P(B)＝p(1−p)5，即f(p)＝p(1−p)4+p(1−p)5＝p(2−p)(1−p)4，设x＝1−p>0，则g(x)＝f(p)＝(1−x)(1+x)x4＝(1−x2)x4，∴g(x)＝(1−x2)x4=12×[(2−2x2)x2x2]≤12×[(2−2x2)+x2+x23]3=427．当且仅当2−2x2＝x2，即x=√63时取等号．即p=p0=1−√63．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】1【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值．【解答】画出x，y满足约束条件{y≤3x+y≥2x−3y≤6表示的平面区域，如图所示；化目标函数为y=−12x+12z，由图可知，当直线y=−12x+12z过点B时，直线在y轴上的截距最小，由{x+y=2x−3y=6，解得A(3, −1)；∴z的最小值为3−2×1＝1．【答案】1或−1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】由已知可得f(−x)+f(x)＝0，代入后结合对数的运算性质即可求解．【解答】因为f(x)＝ln x+11−ax为奇函数，所求f(−x)+f(x)＝ln(1−x1+ax ⋅1+x1−ax)＝0，故1−x 21−(ax)2=1，所以a＝1或a＝−1，当a＝−1时，f(x)＝0符合题意，当a＝1时，f(x)＝ln1+x1−x符合题意．综上可得，a＝1或a＝−1【答案】32【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．【解答】若角排在一或五，则有A21A22A32=24种，若角排在二或四，则有2A22A22=8，根据分类计数原理可得，共有24+8＝32种，【答案】8π【考点】球的表面积和体积【解析】根据题意作出图象，利用三垂线定理找出二面角P−AC−B的平面角，再设出AB，BC的长，即可求出三棱锥P−ABC的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值，从而可得出各棱长的长度，最后根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关机即可求出外接球的表面积．【解答】如图所示，过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作DE⊥AC交AC于点D，连接PD，则∠PDE为二面角P−AC−B的平面角的补角，即有cos∠PDE=√63，易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，所以D为AC中点，设AB＝a，BC＝b，AC=√a2+b2=c，则PE＝PD sin∠PDE=√32×c×√33=c2，故三棱锥P−ABC的体积为：V=13×12ab×c2=112abc≤112c×a2+b22=c324，当且仅当a＝b=√22c时，体积最大，则c324=13，即a＝b=√2，c＝2，所以B、D、E三点共线，设三棱锥P−ABC的外接球的球心为O，半径为R，过点O作OF⊥PE于F，则四边形ODEF为矩形，则OD＝EF=√R2−1，ED＝OF＝PD cos∠PDE=√3×√63=√2，PE＝1，在Rt△PFO中，R2＝2+(1−√R2−1)2，解得R2＝2，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为S＝4πR2＝8π，三、解答题【答案】由cos∠CDB=−13，得cos∠CDA=−cos∠CDB=13，∴sin∠CDA=2√23，由正弦定理得CDsin A=ACsin∠CDA，即√32=2√23，解得CD=3√64；在△ADC中，由正弦定理，ADsin∠ACD=ACsin∠ADC①，在△BDC中，由正弦定理，DBsin∠BCD=CBsin∠BDC②，又sin∠ADC=sin∠BDC,AD=2DB,sin∠ACD=√7sin∠BCD，由得，CB=√7，由余弦定理可得，CB2＝AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cos A，即7＝4+AB2−2AB，解得AB＝3，∴S△ABC=12AC⋅AB⋅sin A=3√32．【考点】三角形的面积公式解三角形【解析】（1）根据已知条件可得sin∠CDA=2√23，再由正弦定理可得答案；（2）先在△ADC及△BDC中，分别运用正弦定理可得CB=√7，再利用余弦定理可得AB＝3，最后由三角形面积公式得到答案．【解答】由cos∠CDB=−13，得cos∠CDA=−cos∠CDB=13，∴sin∠CDA=2√23，由正弦定理得CDsin A=ACsin∠CDA，即√32=2√23，解得CD=3√64；在△ADC中，由正弦定理，ADsin∠ACD=ACsin∠ADC①，在△BDC 中，由正弦定理，DB sin ∠BCD=CB sin ∠BDC②，又sin ∠ADC =sin ∠BDC,AD =2DB,sin ∠ACD =√7sin ∠BCD ， 由得，CB =√7，由余弦定理可得，CB 2＝AC 2+AB 2−2AC ⋅AB ⋅cos A ，即7＝4+AB 2−2AB ，解得AB ＝3， ∴ S △ABC =12AC ⋅AB ⋅sin A =3√32． 【答案】证明：如图，设AC 与BD 相交于点O ，连接B 1O ， 又面ABCD 为菱形，故AC ⊥BD ，O 为AC 中点， 又AB 1＝CB 1，故B 1O ⊥AC ，又BD 在平面BDD 1B 1内，B 1O 在平面BDD 1B 1内，且BD ∩B 1O ＝O ， ∴ AC ⊥平面BDD 1B 1， 又AC 在平面ABCD 内，∴ 平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ；由△DB 1B 是等边三角形，可得B 1O ⊥BD ，故B 1O ⊥平面ABCD ，∴ B 1O ，AC ，BD 两两互相垂直，则以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AB ＝2，则AO =√3,OB 1=√3，则A(√3,0,0),B(0,1,0),B 1(0,0,√3),D(0,−1,0),A 1(√3,−1,√3),C 1(−√3,−1,√3)，设平面C 1BD 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅BD →=2y =0n →⋅OC 1→=−√3x −y +√3z =0 ，可取n →=(1,0,1)，设平面A 1BD 的一个法向量为m →=(a,b,c)，则{m →⋅BD →=2b =0m →⋅OA 1→=√3a −b +√3c =0，可取m →=(−1,0,1)，∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=0，∴ 二面角A 1−BD −C 1的余弦值为0．【考点】二面角的平面角及求法 平面与平面垂直【解析】（1）首先由AC ⊥BD ，B 1O ⊥AC 可得AC ⊥平面BDD 1B 1，而AC 在平面ABCD 内，由面面垂直的判定即得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式计算得出答案． 【解答】证明：如图，设AC 与BD 相交于点O ，连接B 1O ， 又面ABCD 为菱形，故AC ⊥BD ，O 为AC 中点， 又AB 1＝CB 1，故B 1O ⊥AC ，又BD 在平面BDD 1B 1内，B 1O 在平面BDD 1B 1内，且BD ∩B 1O ＝O ， ∴ AC ⊥平面BDD 1B 1， 又AC 在平面ABCD 内，∴ 平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ；由△DB 1B 是等边三角形，可得B 1O ⊥BD ，故B 1O ⊥平面ABCD ，∴ B 1O ，AC ，BD 两两互相垂直，则以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AB ＝2，则AO =√3,OB 1=√3，则A(√3,0,0),B(0,1,0),B 1(0,0,√3),D(0,−1,0),A 1(√3,−1,√3),C 1(−√3,−1,√3)，设平面C 1BD 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅BD →=2y =0n →⋅OC 1→=−√3x −y +√3z =0 ，可取n →=(1,0,1)，设平面A 1BD 的一个法向量为m →=(a,b,c)，则{m →⋅BD →=2b =0m →⋅OA 1→=√3a −b +√3c =0，可取m →=(−1,0,1)，∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=0，∴ 二面角A 1−BD −C 1的余弦值为0．【答案】设该批次产品长度误差绝对值为X ，则X 的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0， P(X ＝0.04)=251000=0.025， P(X ＝0.03)=25+501000=0.075， P(X ＝0.02)=85+1151000=0.2， P(X ＝0.01)=140+1601000=0.3，P(X ＝0)=4001000=0.4．所以该批次产品长度误差绝对值的数学期望为0.04×0.025+0.03×0.075+0.02×0.2+0.01×0.3+0×0.4＝0.01025．设生产一件产品为标准长度是事件A ，则P(A)=4001000=0.4，工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P =1−C 22×(1−0.4)2=0.64<0.8，所以现有设备不符合此要求．当符合要求时，设P(A)＝p，则工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P=1−C22(1−p)2≥0.8，解得1−√55≤p<1，所以生产一件产品为标准长度的概率的最小值为1−√55．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列频率分布直方图【解析】（1）设该批次产品长度误差绝对值为X，则X的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0，然后依次求出每个X的取值所对应的概率即可得解；（2）设生产一件产品为标准长度是事件A，则P(A)＝0.4，再结合对立事件的概率求出工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率，然后与0.8比较大小即可判断设备是否符合要求；当符合要求时，设P(A)＝p，再用p表示出至少有1件是标准长度产品的概率，并列出不等式，解之即可得解．【解答】设该批次产品长度误差绝对值为X，则X的取值为0.04，0.03，0.02，0.01，0，P(X＝0.04)=251000=0.025，P(X＝0.03)=25+501000=0.075，P(X＝0.02)=85+1151000=0.2，P(X＝0.01)=140+1601000=0.3，P(X＝0)=4001000=0.4．所以该批次产品长度误差绝对值的数学期望为0.04×0.025+0.03×0.075+0.02×0.2+0.01×0.3+0×0.4＝0.01025．设生产一件产品为标准长度是事件A，则P(A)=4001000=0.4，工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P=1−C22×(1−0.4)2=0.64<0.8，所以现有设备不符合此要求．当符合要求时，设P(A)＝p，则工厂生产的产品中随机抽取2件，至少有1件是标准长度产品的概率为P=1−C22(1−p)2≥0.8，解得1−√55≤p<1，所以生产一件产品为标准长度的概率的最小值为1−√55．【答案】由题意可得：3a2+1b2=1，ca=√63，c2＝a2−b2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的方程为：x26+y22=1；证明：设D(x, y)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，由AM→=λMB→，AD→=−λDB→，可得(4−x1, −y1)＝λ(x2−4, y2)，(x−x1, y−y1)＝−λ(x2−x, y2−y)，可得：x1+λx2＝4(1+λ)①x1−λx2＝x(1−λ)②y1+λy2＝0③y1−λy2＝y(1−λ)④①×②可得：x12−λ2x22＝4x(1−λ2)⑤，③×④可得y12−λ2y22＝0⑥因为A，B在椭圆上，所以x12+3y12＝6，x22+3y22＝6，所以⑤+⑥×3可得6−λ2×6＝4x(1−λ2)，因为λ<0，λ≠−1，所以4x＝6，即x=32，即证D在定直线x=32上．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由题意过的点的坐标及离心率和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）设D，A，B的坐标由AM→=λMB→，AD→=−λDB→，可得A，B，D的坐标的关系，再由A，B在椭圆上可得D在定直线上．【解答】由题意可得：3a2+1b2=1，ca=√63，c2＝a2−b2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的方程为：x26+y22=1；证明：设D(x, y)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，由AM →=λMB →，AD →=−λDB →，可得(4−x 1, −y 1)＝λ(x 2−4, y 2)，(x −x 1, y −y 1)＝−λ(x 2−x, y 2−y)，可得：x 1+λx 2＝4(1+λ)① x 1−λx 2＝x(1−λ)② y 1+λy 2＝0③y 1−λy 2＝y(1−λ)④①×②可得：x 12−λ2x 22＝4x(1−λ2)⑤，③×④可得y 12−λ2y 22＝0⑥因为A ，B 在椭圆上，所以x 12+3y 12＝6，x 22+3y 22＝6， 所以⑤+⑥×3可得6−λ2×6＝4x(1−λ2)， 因为λ<0，λ≠−1， 所以4x ＝6，即x =32，即证D 在定直线x =32上．【答案】证明：若a ＝1，则f(x)＝x(2+cos x)−sin x ，则f′(x)＝2−x sin x ，设ℎ(x)＝f′(x)＝2−x sin x ，则ℎ′(x)＝−sin x −x cos x ，ℎ′(0)＝0，且ℎ′(−x)＝sin x +x cos x ＝−ℎ′(x)，故函数ℎ′(x)为奇函数， 当x ∈(0,π2)时，sin x >0，x cos x >0，这时ℎ′(x)<0， 又函数ℎ′(x)为奇函数，∴ 当x ∈(−π2,0)时，ℎ′(x)>0，综上，当x ∈(−π2,0)时，f′(x)单调递增，当x ∈(0,π2)时，f′(x)单调递减， 又f ′(−π2)=2−π2>0,f ′(π2)=2−π2>0，故f′(x)>0在(−π2,π2)上恒成立， ∴ f′(x)在(−π2,π2)上没有零点；f(x)=(2+cos x)(ax −sin x2+cos x )，由cos x ∈[−1, 1]可知，2+cos x >0恒成立， 若f(x)>0，则ax −sin x2+cos x >0恒成立，记F(x)=ax −sin x2+cos x ，则F ′(x)=a −2cos x+1(2+cos x)2=a −22+cos x +3(2+cos x)2=3(12+cos x −13)2+a −13，故当a ≥13时，F′(x)≥0，F(x)单调递增，又F(0)＝0，∴ 当x >0时，F(x)>0，符合题意；当a ≤0时，有F(π2)=π2×a −12<0，与题设矛盾； 当0<a <13时，令g(x)＝sin x −3ax ，则g′(x)＝cos x −3a ，又3a <1，故g′(x)＝0在(0, +∞)上有无穷多个零点，设最小的零点为x 1，则当x ∈(0, x 1)时，g′(x)>0，因此g(x)在(0, x 1)上单调递增，故当x ∈(0, x 1)时，g(x)>g(0)＝0，故sin x >3ax ， 于是，当x ∈(0, x 1)时，sin x 2+cos x>sin x 3>ax ，得ax −sin x 2+cos x<0，与题设矛盾．综上，实数a 的取值范围为[13,+∞)． 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）将a ＝1带入，求导可得f′(x)＝2−x sin x ，进一步研究导函数f′(x)，可得当x ∈(−π2,0)时，f′(x)单调递增，当x ∈(0,π2)时，f′(x)单调递减，结合f ′(π2)>0,f ′(−π2)>0即可得出结论； （2）问题等价于ax −sin x 2+cos x>0恒成立，设F(x)=ax −sin x2+cos x，易判断当a ≥13时，符合题意；当a ≤0时，不合题意；难点在于判断当0<a <13时的情况，先通过构造函数g(x)＝sin x −3ax ，利用导数可知当x ∈(0, x 1)时，sin x >3ax ，进而放缩可得sin x2+cos x >sin x 3>ax ，由此判断此情况也不合题意，综合即得出实数a 的取值范围． 【解答】证明：若a ＝1，则f(x)＝x(2+cos x)−sin x ，则f′(x)＝2−x sin x ，设ℎ(x)＝f′(x)＝2−x sin x ，则ℎ′(x)＝−sin x −x cos x ，ℎ′(0)＝0，且ℎ′(−x)＝sin x +x cos x ＝−ℎ′(x)，故函数ℎ′(x)为奇函数， 当x ∈(0,π2)时，sin x >0，x cos x >0，这时ℎ′(x)<0， 又函数ℎ′(x)为奇函数，∴ 当x ∈(−π2,0)时，ℎ′(x)>0，综上，当x ∈(−π2,0)时，f′(x)单调递增，当x ∈(0,π2)时，f′(x)单调递减， 又f ′(−π2)=2−π2>0,f ′(π2)=2−π2>0，故f′(x)>0在(−π2,π2)上恒成立， ∴ f′(x)在(−π2,π2)上没有零点；f(x)=(2+cos x)(ax −sin x2+cos x )，由cos x ∈[−1, 1]可知，2+cos x >0恒成立，若f(x)>0，则ax −sin x 2+cos x>0恒成立，记F(x)=ax −sin x 2+cos x，则F ′(x)=a −2cos x+1(2+cos x)2=a −22+cos x+3(2+cos x)2=3(12+cos x−13)2+a −13，故当a ≥13时，F′(x)≥0，F(x)单调递增，又F(0)＝0， ∴ 当x >0时，F(x)>0，符合题意；当a ≤0时，有F(π2)=π2×a −12<0，与题设矛盾； 当0<a <13时，令g(x)＝sin x −3ax ，则g′(x)＝cos x −3a ，又3a <1，故g′(x)＝0在(0, +∞)上有无穷多个零点，设最小的零点为x 1，则当x ∈(0, x 1)时，g′(x)>0，因此g(x)在(0, x 1)上单调递增，故当x ∈(0, x 1)时，g(x)>g(0)＝0，故sin x >3ax ， 于是，当x ∈(0, x 1)时，sin x 2+cos x>sin x 3>ax ，得ax −sin x 2+cos x<0，与题设矛盾．综上，实数a 的取值范围为[13,+∞)． 【答案】直线l 的参数方程为{x =2√2+2t,y =√2−t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +2y −4√2=0．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ转换为直角坐标方程为x 2+y 2−2y ＝0．曲线C 1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C 2（纵坐标不变）， 即{y ′=y −1x ′=2x代入x 2+y 2−2y ＝0，得到x ′24+y ′2=1，转换为参数方程为{x =2cos θy =sin θ（θ为参数），所以点P(2cos θ, sin θ)到直线x +2y −4√2=0的距离d =√2|22=|2√2cos (θ−π4)−4√2|√5，即当θ=π4时，d min =√2−2√2√5=√2√5=2√105．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】直线l 的参数方程为{x =2√2+2t,y =√2−t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +2y −4√2=0．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ转换为直角坐标方程为x 2+y 2−2y ＝0．曲线C 1向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C 2（纵坐标不变）， 即{y ′=y −1x ′=2x代入x 2+y 2−2y ＝0，得到x ′24+y ′2=1，转换为参数方程为{x =2cos θy =sin θ（θ为参数），所以点P(2cos θ, sin θ)到直线x +2y −4√2=0的距离d =√2|22=|2√2cos (θ−π4)−4√2|√5，即当θ=π4时，d min =√2−2√2√5=√2√5=2√105．【答案】证明：a >0，b >0，函数f(x)＝|2x +a|+|x −b|＝|x +a2|+|x +a2|+|x −b| ≥|−a2+a2|+|x +a2−x +b|＝0+|b +a2|＝b +a2，当且仅当x ＝b 时，上式取得等号，可得f(x)的最小值为b +a2， 则b +a2=12，即a +2b ＝1；若2a +b ≥tab 恒成立，由a ，b >0，可得t ≤1a +2b 恒成立， 由1a+2b=(a +2b)(1a+2b)＝5+2a b+2b a≥5+2√2a b⋅2b a=9，当且仅当a ＝b =13，上式取得等号， 则t ≤9，可得t 的最大值为9． 【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）由题意可得f(x)＝|2x +a|+|x −b|＝|x +a 2|+|x +a2|+|x −b|，运用绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得f(x)的最小值，即可得到所求；（2）由题意可得t ≤1a +2b 恒成立，运用乘1法和基本不等式可得此不等式右边的最小值，即可得到t 的最大值． 【解答】证明：a >0，b >0，函数f(x)＝|2x +a|+|x −b|＝|x +a2|+|x +a2|+|x −b| ≥|−a2+a2|+|x +a2−x +b|＝0+|b +a2|＝b +a2，当且仅当x ＝b 时，上式取得等号，可得f(x)的最小值为b +a2，则b +a 2=12，即a +2b ＝1；若2a +b ≥tab 恒成立，由a ，b >0，可得t ≤1a +2b 恒成立， 由1a +2b =(a +2b)(1a +2b )＝5+2a b+2b a≥5+2√2a b ⋅2b a=9，当且仅当a＝b=1，上式取得等号，3则t≤9，可得t的最大值为9．。

广东省湛江市2020届高三数学模拟测试试题（一）理（含解析） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合1|1||M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{|lg 0}N x x =>，则()R M N =（ ） A. ∅B. (1,1)-C. (1,)+∞D. (,1)-∞- 【答案】D【解析】【分析】解出集合,M N ，再求出R N ，根据交集定义即可求得()R M N . 【详解】由11||x <，解得1x <-或1x >， {|1M x x ∴=<-或1}x >．由lg 0x >，解得1x >，{|1}N x x ∴=>．{|1}R N x x ∴=．(){|1}R M N x x ∴=<-．故选：D ．【点睛】本题主要考查的是集合的交集，补集的运算，以及分式、绝对值不等式，以及对数不等式的求解，是基础题.2. 已知复数z 满足||2z i -（i 是虚数单位），则||z 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】 由复数的几何意义可知Z 对应的轨迹，从而得到||z 的最大值.【详解】由复数的模的几何意义可知，复数z 在复平面内对应的点Z 的轨迹为：以(0,1)为圆心，以2为半径的圆的内部（包括圆周）． 而||z 表示点Z 到点(0,0)的距离，所以当点Z 为()0,3时，||z 最大，故||z 的最大值是3.故选：B ．【点睛】本题主要考查的是复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题.3. 已知136a =，2log b =，21.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【答案】C【解析】【分析】由对数运算，指数运算，即可容易判断.【详解】∵32223log log 22b ===，21.2 1.44c ==，136a =， ∴331366a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=． ∵3327628⎛⎫=< ⎪⎝⎭， ∴a b c >>．故选：C ．【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。

广东省湛江市高考数学四模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）．A . 0或B . 0或3C . 1或D . 1或32. （2分）若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A . -3B . -3或1C . 3或-1D . 13. （2分）等差数列中，，则前9项的和（）A . 99B . 66C . 297D . 1444. （2分）总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．A . 08B . 07C . 02D . 015. （2分）如图程序运行后,输出的值是（）A . -4B . 5C . 9D . 146. （2分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）A . 1C . 3D . 47. （2分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期为π，则（）A . f（x）的图象过（0，）B . f（x）在[，]上是减函数C . f（x）的一个对称中心是（， 0）D . 将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=2sinωx的图象8. （2分）已知实数，满足条件，则的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·哈尔滨模拟) 若函数与图像的交点为 ,，…，，则（）A . 2B . 4C . 610. （2分） (2017高一下·定州期末) 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A . cm3B . cm3C . 2cm3D . 4cm311. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知双曲线（）的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为（）A .B . 2C .D .12. （2分）一条线段的长等于，两端点分别在轴和轴上滑动，在线段上且，则点的轨迹方程是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·临汾期末) 平面向量与的夹角为 , , ,则________．14. （1分） (2016高一上·浦东期中) x，y为实数，使x＞y且＞同时成立的一个充要条件是________．15. （1分） (2018高一上·寻乌期末) 圆在点处的切线方程为________．16. （1分） (2015高三上·河西期中) 已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）= ，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2015）上零点的个数为________．三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分）(2018·徐州模拟) 在中，角，，所对的边分别为，，，且 ,.（1）求的值；（2）若，求的面积.18. （10分） (2019高三上·玉林月考) 某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试，若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．19. （5分）(2017·福州模拟) 如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．20. （5分） (2017高二下·湖州期中) 如图，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，过点（0，﹣b），（a，0）的直线与原点的距离为，M（x0 ， y0）是椭圆上任一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若记直线OP，OQ的斜率分别为k1 ， k2 ，试求k1k2的值．21. （15分） (2018高二下·葫芦岛期中) 已知函数f1(x)＝ x2 ， f2(x)＝alnx(其中a>0)．（1）求函数f(x)＝f1(x)·f2(x)的极值；（2）若函数g(x)＝f1(x)－f2(x)＋(a－1)x在区间( ，e)内有两个零点，求正实数a的取值范围；（3）求证：当x>0时， .(说明：e是自然对数的底数，e＝2.71828…)22. （10分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），将圆上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 .（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.23. （10分）已知函数与（其中）在上的单调性正好相反，回答下列问题：（1）对于，，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）令，两正实数、满足，求证： .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

广东省湛江市实验中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣参考答案：D【考点】圆的切线方程；直线的斜率．【专题】计算题；直线与圆．【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．2. 已知A，B为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为（）A. [3,4]B.C. [1,9]D.参考答案：C【分析】由题可得，设，由两点间距离公式结合可得解.【详解】为椭圆上的两个动点，为其左焦点.，则有..设，则..由，得.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题.3. 已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：D略4. 函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．5. 已知条件：p：，条件q：直线与圆相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A圆的标准方程为：，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，即：，解得：，据此可得：是的充分不必要条件.本题选择A选项.6. 设等差数列的前项和为，若，则( )A．27 B．36 C.45 D．54参考答案：D7. 函数的图象为，①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象，以上三个论断中，正确论断的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C略8. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）=A．B．2 C．D．3参考答案：A9. 设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”?“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．即可判断出结论．【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”?“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 有四个关于三角函数的命题：：x R, +=: ,: x,:其中假命题的是A.，B.，C.，D.，参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .参考答案：12. 若，且，则的最大值是．参考答案：13. 等差数列中，，记，则当____时，取得最大值.参考答案：4略14. 已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则前8项之和等于. 参考答案：1715. 已知等差数列满足，，则参考答案：2016. 已知不等式的解集不是空集,则实数a的取值范围是▲；若不等式对任意实数a恒成立，则实数x的取值范围是▲ .参考答案：的最小值为，则要使不等式的解集不是空集，则有化简不等式有，即而当时满足题意，解得或所以答案为17. 已知圆柱的底面半径为2，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为．参考答案：24π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据已知求出圆柱的母线长，代入圆柱表面积公式S=2πr（r+l）可得答案．【解答】解：∵圆柱的底面半径为2，母线长与底面的直径相等，故圆柱的母线l=4，故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=24π，故答案为：24π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年广东省湛江市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合M={2,3，4，5}，N={x|x2−5x+4<0}，则M∩N为()A. {2,3，4，5}B. {2,3}C. {3,4，5}D. {2,3，4}2.若z=1+i，则|z2–2z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=5，a7=1，则a1=()A. −12B. −1 C. 12D. 144.某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四个等级，其中分数在［60，70)为D等级；分数在［70，80)为C等级；分数在［80，90)为B等级；分数在［90，100］为A等级．考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是()A. 80.25B. 80.45C. 80.5D. 80.655.图中的图象所表示的函数的解析式为()A. y=32|x−1|(0≤x≤2)B. y=32−32|x−1|(0≤x≤2)C. y=32−|x−1|(0≤x≤2)D. y=1−|x−1|(0≤x≤2)6.已知向量m⃗⃗⃗ ，n⃗满足|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|，且|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|，则m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角的余弦值为A. 13B. 14C. 16D. 187.在等比数列{a n}中，若a2+a5=3，a5+a8=6，则a11=()A. 4B. 8C. 16D. 32 8. F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，过F 作直线l 与一条渐近线平行，直线l 与双曲线交于点M ，与y 轴交于点N ，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √2 B. √3 C. √5 D. √109. 设a =2−5，b =log 52，c =log 32则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. c <a <b10. 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与其准线交于点M ，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 23B. 43C. 13D. 1 11. 已知函数的图象向左平移π6个单位后得到g(x)=cos(2x +π6)的图象，则φ的值为( ) A. −2π3 B. −π3 C. π3 D. 2π3 12. 武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查，在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p <1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p =p 0时，f(p)最大，则p 0=( )A. 1−√63 B. √63 C. 12 D. 1−√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x ，y 满足约束条件{2x +y +2≥0x −y +1≥0−2x +y +2≥0则z =3x −2y 的最小值为__________．14. 已知函数f(x)=lg (21−x +a)是奇函数，则a =________．15. “宫、商、角、徽、羽”是中国古代的五声音阶，类似于简谱中的1、2、3、5、6，古人以这五音进行组合，得到不同的音律．现要用“宫、商、角、徽、羽”排列成一个音序，要求五声音阶全部用上，且每声音阶只能使用一次，则“角”不在第四位且“宫”不在头尾的音序种数为________．16.如图，在边长为6的菱形ABCD中，若∠BCD=60°，现将△ABD沿对角线BD折起，得到三棱时，三棱锥P−BCD的外接球的表面积为___．锥P−BCD，则当二面角P−BD−C的大小为2π3三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=AC，BD=1，sin∠CAD=3sin∠BAD．(1)求DC的长；(2)若AD=2，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=PB，求二面角A−PC−D的余弦值．19.某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p−1(0.5≤p≤1)．(1)从A,B生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．①已知A,B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A,B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如下图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−√3,0)，且过点P(√32,√134)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q,A2Q分别交椭圆C于不同的两点M,N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．21. 已知函数f(x)=2sinx −xcosx −x ，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x ∈[0,π]时，f(x)≥ax ，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为{x =1+cos φy =1+sin φ(φ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈(0,π4]时，求|OA|+|OB|的取值范围．23. 已知函数f(x)=|2x +a|+|2x −b|+2的最小值为3．(1)求a +b 的值；(2)若a >0，b >0，求证：a +b ≥3−log 3(4a +1b )．【答案与解析】1.答案：B解析：化简集合N ，根据交集的定义写出M ∩N ．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．解：集合M ={2,3，4，5}，N ={x|x 2−5x +4<0}={x|1<x <4}，则M ∩N ={2,3}．故选：B ．2.答案：D解析：本题考查复数的运算和模，考查计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则和模长公式即可求解．解：由题意，得z 2–2z =(1+i)2−2(1+i)=−2，故|z 2–2z|=2，故选D ．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．设该等差数列的公差为d ，则根据通项公式和前n 项和公式列出关于a 1、d 的方程组，通过解方程组即可得到答案． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+6d =110a 1+10×92d =5, 解得{a 1=−1d =13． 故选B ．4.答案：C解析：本题考查利用频率分布直方图估计平均数，属于基础题．取每个区间的中点作为该区间的变量，频率作为权重，加权平均即可．解：平均数为x=(65×0.015+75×0.040+85×0.020+95×0.025)×10=80.5．故选C．5.答案：B解析：特殊值代入排除法既可以提高解题速度，又可以提高解题精度，是解答选择题常用的方法．特殊值代入排除法的关键是寻找最易于运算的特殊值，如本题中的(0,0)点，求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法．)在函数图象上，解：由已知函数图象易得：点(0,0)、(1,32)代入可排除D.将点(0,0)代入可排除A、C，将(1,32故选B．6.答案：B解析：本题主要考查了用向量的数量积求夹角的应用问题，是基础题．由题意利用两个向量的数量积定义，求得m⃗⃗⃗ 与n⃗夹角的余弦值．解：非零向量m⃗⃗⃗ ，n⃗满足|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|，且|m⃗⃗⃗ |=2|n⃗|，∴|m⃗⃗⃗ +n⃗|2=|m⃗⃗⃗ −2n⃗|2，即m⃗⃗⃗ 2+2m⃗⃗⃗ ·n⃗+n⃗2=m⃗⃗⃗ 2−4m⃗⃗⃗ ·n⃗+4n⃗2∴m⃗⃗⃗ ·n⃗=1n⃗2，2设向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角为θ，|n⃗|2，则|m⃗⃗⃗ |·|n⃗|cosθ=2|n⃗|2cosθ=12∴cosθ=14， 即m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角的余弦值为14． 故选B ． 7.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式和性质，属于较易题．根据已知求公比，然后利用通项求项．解：因为a 2+a 5=3，a 5+a 8=6，所以a 5+a 8a 2+a 5=a 1q 4+a 1q 7a 1q+a 1q 4=q 3=2，因为a 2+a 5=a 2(1+q 3)=3，所以a 2=1，则a 11=a 2q 9=1×23=8，故选B ．8.答案：B解析：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量相等等基础知识与基本技能方法，属于中档题.如图所示，过F 作直线l 与一条渐近线平行，可得直线l 的方程为y =ba (x −c)，与双曲线方程联立解得点M 的坐标，再利用FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出． 解：如图所示，∵过F 作直线l 与一条渐近线平行， ∴直线l 的方程为y =ba (x −c)， 联立{y =ba (x −c)x 2a 2−y 2b 2=1，化为x =a 2+c 22c，. ∵FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴a 2+c 22c−c =−12a 2+c 22c，化为c 2=3a 2， 解得e =ca =√3． 故选B ．9.答案：A解析：本题考查利用对数函数的性质比较大小，涉及对数运算，属于基础题． 由对数函数的换底公式可知b <c ，再由a =2−5=132=log 55132<log 52=b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．解：因为b =log 52=lg2lg5，c =log 32=lg2lg3， 由lg5>lg3，则b <c ，且a =2−5=132=log 55132<log 52=b ，所以a <b <c ． 故选A ．10.答案：B解析：本题主要考查直线与抛物线的关系，以及抛物线的性质．利用比例关系求出PM =2PN ，进而求出直线方程，联立得到交点，即可得答案 解：如图所示：过点P 作PN 垂直于准线x =−1， 根据抛物线的定义，可知PN =PF ， 又因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PM =2PN ，所以∠PMN =30°，则∠MFO =60°， 所以直线l 的方程为y =√3(x −1)，所以{y =√3(x −1)y 2=4x，解得x P =13,x Q =3， 所以|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13+1=43． 故选B ．11.答案：C解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式，属于基础题． 利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式即可求得φ的值． 解：函数的图象向左平移π6个单位长度，得到函数的图象，又，所以，|φ|<π，则φ=π3，故选C．12.答案：A解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率，利用导数研究闭区间上函数的最值，考查概率的实际应用，理解题意是解题的关键，属于中档题．由题意，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)=(1−p)4p+(1−p)5p，再利用导数求f(p)最大值可得结论．解：由题意，该家庭第5个人检测为阳性的概率为(1−p)4p，该家庭第6个人检测为阳性的概率为(1−p)5p，∴该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)=(1−p)4p+(1−p)5p，(0< p<1)，∴f′(p)=4(p−1)3p+(1−p)4−5(1−p)4p+(1−p)5=(p−1)3(−6p2+12p−2)，令f′(p)=0，∵0<p<1，∴−6p2+12p−2=0，即3p2−6p+1=0，解得p=1−√63或p=1+√63(舍去)易知0<p<1−√63时，f′(p)>0，f(p)单调递增，1−√63<p<1时，f′(p)<0，f(p)单调递减，∴p=p0=1−√63时，f(p)最大．故选A．13.答案：−3解析：本题考查了简单的线性规划，作出可行域寻找最优解是解题关键，作出可行域，由目标函数变形得y=32x−z2，根据可行域找出最优解即可，属于基础题．解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z =3x −2y 得y =32x −z2，由图象可知当直线y =32x −z2经过点A 时，截距最大，即z 最小． 解方程组{2x +y +2=0x −y +1=0得x =−1，y =0，即A(−1,0)．∴z 的最小值为−3+0=−3． 故答案为−3．14.答案：−1解析：本题考查了奇函数的性质，以及对数的运算性质的应用，考查了化简、变形能力，属于基础题． 根据奇函数的性质：f(−x)=−f(x)列出方程，利用对数的运算性质化简后求出a 的值． 解：∵函数f(x)=lg (21−x +a)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)，则lg (21+x +a)=−lg (21−x +a)=lg 1−x2+a−ax ， ∴21+x+a =1−x 2+a−ax，化简得(a +1)(a −1)x 2=(a +1)(a +3)，则当a =−1时上式恒成立， 故答案为−1．15.答案：60解析：本题考查了排列组合的综合应用，分类加法计数原理的应用，属于基础题．分两种情况：若“角”在头或尾和若“角”不在头或尾，也不在第四位，并结合分类加法计数原理解答即可．解：若“角”在头或尾，则有2×3×A33=36种；若“角”不在头或尾，也不在第四位，则有2×2×A33=24，故共有36+24=60种．故答案为60．16.答案：解析：【试题解析】本题考查了球的表面积和体积，线面垂直的判定，线面垂直的性质和二面角，属于中档题．取BD的中点E，连接PE、CE，利用平面几何知识得BD⊥PE，BD⊥CE，且PE=CE=3√3，再利用二面角平面角定义得∠PEC是二面角P−BD−C的平面角，从而得，设三棱锥P−BCD的外接球的球心为O，△ABD和△BCD的外心分别为G和H，利用平面几何知识得EG=EH=√3，连接OP、OG、OH、OE，利用球心与小圆圆心的连线与小圆所在平面垂直得OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，且OP是三棱锥P−BCD的外接球半径，再利用线面垂直的性质得OG⊥BD，OH⊥BD，再利用线面垂直的性质得BD⊥平面POE，BD⊥平面OEC，再利用过空间一点能只能作一个平面与已知直线垂直得平面POE与平面OEC重合，再利用线面垂直的性质得OG⊥PE，OH⊥EC，再利用平面几何知识得，从而得和，再解得OP，最后利用球的表面积公式，计算得结论．解：如图：因为在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以△ABD和△BCD都是边长为6的正三角形，现将△ABD沿对角线BD折起得到△PBD，因此△PBD也是边长为6的正三角形．取BD的中点E，连接PE、CE，则BD⊥PE，BD⊥CE，且PE=CE=√32×6=3√3，因此∠PEC是二面角P−BD−C的平面角，所以．设三棱锥P−BCD的外接球的球心为O，△ABD和△BCD的外心分别为G和H，则EG=EH=13PE=√3．连接OP、OG、OH、OE，则OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，且OP是三棱锥P−BCD的外接球半径．又因为BD⊂平面PBD，BD⊂平面BCD，所以OG⊥BD，OH⊥BD．又因为OG∩PE=G，OG、PE⊂平面POE，所以BD⊥平面POE，同理可得BD⊥平面OEC，因此由过空间一点能只能作一个平面与已知直线垂直知：平面POE与平面OEC重合．又因为OG⊥平面PBD，OH⊥平面BCD，PE⊂平面PBD，EC⊂平面BCD，所以OG⊥PE，OH⊥EC，因此，所以，因此．在中，PG=23PE=23×3√3=2√3，因此OP=√PG2+OG2=√21，所以三棱锥P−BCD的外接球的表面积为．故答案为．17.答案：解：(1)在ΔABD中，由正弦定理得，，在ΔADC中，由正弦定理得，，因为AB=AC，sin∠ADB=sin∠ADC，BD=1，sin∠CAD=3sin∠BAD，所以DC=3BD=3，(2)在ΔABD中，由余弦定理得，，在ΔADC 中，由余弦定理得，，因为AB =AC ，AD =2，BD =1，DC =3，cos∠ADB =−cos∠ADC ， 所以4+1+2×2×1×cos∠ADC =4+9−2×2×3×cos∠ADC ， 解得cos∠ADC =12， 所以∠ADC =60°， 所以=2√3．解析：本题主要考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式． (1)利用正弦定理，即可得；(2)利用余弦定理，以及三角形的面积公式，即可得．18.答案：(1)证明：取AB 的中点为O ，连接CO ，PO ，∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴AB =BC =2． ∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴CO ⊥AB ，OC =√3． ∵PA ⊥PB ，∴PO =12AB =1．∵PC =2，∴OP 2+OC 2=PC 2，∴CO ⊥PO ． ∵AB ∩PO =O ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．(2)∵OP 2+OA 2=12+12=(√2)2=PA 2，∴PO ⊥AO ． 由(1)知，平面PAB ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∴直线OC ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 则O(0,0，0)，A(0,−1,0)，B(0,1，0)，C(√3,0，0)，D(√3,−2,0)，P(0,0，1)，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)．设平面APC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{y 1+z 1=0,√3x 1−z 1=0,取x 1=1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)，设平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{n ⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x 2−z 2=0,2y 2=0,取x 2=1，得n ⃗ =(1,0，√3)， ∴cos 〈m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |·|n ⃗⃗ |=2√77， 由图易知二面角A −PC −D 为锐二面角， ∴二面角A −PC −D 的余弦值为2√77．解析：本题考查面面垂直的判定，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题． (1)先证明CO ⊥平面PAB ，再根据面面垂直的判定定理即可得到答案；(2)建立空间直线坐标系，求出半平面的法向量，进而求出它们的夹角的余弦值，即可得到二面角A −PC −D 的余弦值．19.答案：解：(1)记“从A 生产线上抽检到合格品”为事件A ，“从生产线B 上抽检到合格品”为事件B ，“从A 、B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格”为事件C ， 则P(C)=1−P(A)⋅P(B)=1−(1−p)[1−(2p −1)]=1−2(1−p)2⩾0.995， 解得p ⩾0.95 ，故p 的最小值p 0=0.95．(2)由(1)可知A ，B 生产线生产的产品为不合格品率分别为0.05和0.1 ，①设从A 、B 生产线上各随机抽检1000件产品，抽到的不合格品件数分别为X 1、X 2，挽回损失分别为Y 1、Y 2，则X 1∼B(1000 , 0.05)，X 2∼B(1000 , 0.1)，且E(Y 1)=E(5X 1)=5E(X 1)=5×1000×0.05=250(元)， E(Y 2)=E(3X 2)=3E(X 2)=3×1000×0.1=300(元)， 故估计B 生产线挽回的平均损失较多． ②X 的取值为10，8，6， 用样本的频率分布估计总体分布， 则P(X =10)=20+35200=1140，P(X =8)=60+40200=12，P(X =6)=20+25200=940，∴X 的分布列为：∴E(X)=10×1140+8×12+6×940=8.1(元)， 设该厂产量2000件时的利润为Y ，则E(Y)=E(2000X)=2000E(X)=2000×8.1=16200(元).解析：本题考查概率的求法及应用，离散型随机变量的数学期望的求法，离散型随机变量及其分布列，考查运算求解能力，是中档题．(1)记′′从A 、B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格”为事件C ，则P(C)=1−(1−p)[1−(2p −1)]，再根据题意列出不等式求解即可；(2)由(1)可知A ，B 生产线生产的产品为不合格品率分别为0.05和0.1，①设从A 、B 生产线上各随机抽检1000件产品，抽到的不合格品件数分别为X 1、X 2，挽回损失分别为Y 1、Y 2，则X 1∼B(1000 , 0.05)，X 2∼B(1000 , 0.1)，分别求解； ②X 的取值为10，8，6，从而求得分布列，求解即可．20.答案：解：(1)由题意可知，{a 2−b 2=334a 2+1316b 2=1，解得a =2，b =1，则椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)设Q(1,t)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则直线A 1Q 的方程为y =t3(x +2)， 将直线方程代入椭圆方程消去y 得，(4t 2+9)x 2+16t 2x +16t 2−36=0， ∵x 1×(−2)=16t 2−364t 2+9，∴x 1=−8t 2+184t 2+9，代入直线方程解得M(−8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9)，同理可得N(8t 2−24t 2+1,4t4t 2+1)，k MN =4t 4t 2+1−12t4t 2+98t 2−24t 2+1−−8t 2+184t 2+9=−2t4t 2+3，直线MN 的方程为y −12t4t 2+9=−2t4t 2+3(x −−8t 2+184t 2+9)，即y =−2t4t 2+3(x −4)，故直线MN 过定点(4,0)．解析：【试题解析】本题考查直线椭圆位置关系的综合应用，属于较难题．(1)利用焦点坐标以及点的坐标满足方程得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 即可；(2)设出Q ，M ，N 坐标，写出直线A 1Q 的方程，与椭圆联立方程组，结合根与系数的关系求出M 点坐标，同理求出N 点坐标，写出直线MN 方程，即可得到定点坐标．21.答案：(1)设g(x)=f′(x)，则g(x)=cosx +xsinx −1，g′(x)=xcosx ．当x ∈(0, π 2)时，g′(x)>0；当x ∈( π 2,π)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0, π 2)单调递增，在( π 2,π)单调递减． 又g(0)=0，g( π 2)>0，g(π)=−2， 故g(x)在(0,π)存在唯一零点． 所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点．(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a ≤0． 由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一个零点，设为x 0， 且当x ∈(0,x 0)时，f′(x)>0； 当x ∈(x 0,π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x 0)单调递增，(x 0,π)单调递减． 又f(0)=0，f(π)=0，所以，当x ∈[0,π]时，f(x)≥0．又当a ≤0，x ∈[0,π]时，ax ≤0，故f(x)≥ax ． 因此，a 的取值范围是(−∞,0]．解析：本题考查导数与函数的零点．(1)令g(x)=f′(x)，再对g(x)求导后分类讨论；(2)根据第一问单调性求解参数a的取值范围．22.答案：解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)．曲线M的普通方程为(x−1)2+(y−1)2=1，即x²+y²−2x−2y+1=0，因为，，x2+y2=ρ2，所以极坐标方程为．(2)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，且ρ1，ρ2均为正数，将θ=α代入，得，当α∈(0,π4]时，，所以，根据极坐标的几何意义，，分别是点A，B的极径．从而：．当α∈(0,π4]时，α+π4∈(π4,π2]，故的取值范围是(2,2√2]．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(1)消去参数φ可得曲线M的普通方程，进而求出M的极坐标方程；根据题意可得直线l的极坐标方程；(2)根据极径的几何意义可得，再利用三角函数的性质即可求解．23.答案：(1)解：∵f(x)=|2x+a|+|2x−b|+2≥|2x+a−(2x−b)|+2=|a+b|+2，当且仅当(2x+a)(2x−b)≤0时，“=”成立，∴f(x)的最小值为|a+b|+2=3，∴|a+b|=1，∴a+b=±1．(2)证明：a>0，b>0，由(1)得：a+b=1，∴4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba +ab≥5+2×2=9，当且仅当4ba =ab,且a+b=1即a=23,b=13时取“=”，∴3−log3(4a +1b)≤3−log39=1=a+b，故命题得证．解析：本题考查了绝对值三角不等式，基本不等式的应用与不等式证明．属于中档题．(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值，即得a+b的值；(2)利用基本不等式证明．。

2020年广东省湛江市师范学院附属中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线两个焦点为分别为，过点的直线与该双曲线的右支交于两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为() A．B．C．D．参考答案：D2. 设集合，则等于A. B. C. D.参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算．A1B 解析：,∴ ,又∵,∴.故选B.【思路点拨】利用集合的并集定义，求出；利用补集的定义求出．3. 极坐标方程表示的曲线为（）A．极点 B．极轴 C．一条直线 D．两条相交直线参考答案：D略4. 设函数其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数不同零点的个数为()A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B略5. 在平面直角坐标系中，点在直线的右上方，则的取值范围是A．（1，4）B．（—1，4）C．（—∞，4）D．（4，+∞）参考答案：D试题分析：由题意，．考点：二元一次不等式表示的平面区域．6. 已知集合M={1，2，3，4}，则集合P={x|x∈M，且2x?M}的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．8参考答案：C【考点】集合中元素个数的最值．【分析】根据题意，写出集合P即可．【解答】解：根据题意，若1∈P，则2×1=2∈M，故不满足题意；若2∈P，则2×2=4∈M，故不满足题意；若3∈P，则2×3=6?M，故满足题意；若4∈P，则2×4=8?M，故满足题意；综上，P={3，4}，所以集合P的子集有：?，{3}，{4}，{3，4}，故选：C．【点评】本题考查集合的定义及子集，属于基础题．7. 设集合，，则( )A． B. C． D.参考答案：C试题分析：，，；故选C．【易错点睛】本题考查利用描述法表示集合以及集合的运算，属于基础题；利用描述法表示集合时，要注意其代表元素的意义，如表示函数的定义域，表示函数的值域，表示函数的图象.考点：1.集合的表示；2.集合的运算．8. 已知，且，则等于A．B．C．D．参考答案：A因为,所以,解得,因为,所以；本题选择A选项.9. 设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（）A．B． C. D．参考答案：A10. 已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）....参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，则_____________．参考答案：12. 如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，数列的前项和为，则=参考答案：13. 若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为___________.参考答案：略14. 是虚数单位，= ▲ .参考答案：15. 设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f（）+f（）的值为．参考答案：﹣8058【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得f（x）=x+sinπx﹣3的一个对称中心为（1，﹣2），由此能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值．【解答】解：在f（x）=x+sinπx﹣3中，若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=（x1+x2）+sin（x1π）+sin（x2π）﹣6=2+sin（x1π）+sin（2π﹣x1π）﹣6=﹣4，∴f（x）=x+sinπx﹣3的一个对称中心为（1，﹣2），∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=2014×（﹣4）+f（）=﹣8056+（1+sinπ﹣3）=﹣8058．故答案为：﹣8058．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦函数的性质的合理运用．16. 若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于．参考答案：63略17. 设U=，A=，若，则实数m=____参考答案：-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省湛江市前山中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（）A．B．4 C．D．参考答案：C2. 已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是（）A BC D参考答案：C3. 设均为实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C因为，所以，即“”是“”的充要条件，选C.4. 已知函数f（x）=asinx﹣btanx+4cos，且f（﹣1）=1，则f（1）=（）A．3 B．﹣3 C．0 D．4﹣1参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由已知利用函数性质推导出asin1﹣btan1=1，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）=asinx﹣btanx+4cos，且f（﹣1）=1，∴f（﹣1）=asin（﹣1）﹣btan（﹣1）+4×=﹣asin1+btan1+2=1，∴asin1﹣btan1=1，∴f（1）=asin1﹣bsin1+4×=1+2=3．故选：A．5. 如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A、－B、C、D、2参考答案：D6. 已知直线和平面，，，，且在内的射影分别为直线和，则和的位置关系是（）A．相交或平行 B。

相交或异面 C。

平行或异面 D。

相交﹑平行或异面参考答案：D7. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n 项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．参考答案：A【考点】等差数列的性质．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．8. 若实数满足，则的取值范围是（）A、 B、 C、D、参考答案：C9. 设,函数的图象可能是（）参考答案：解析：可得是函数的两个零点当时, 则当时, 则当时, 则故选B10. 已知集合，则（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. (不等式选做题)若关于的方程有实根，则的取值范围是 .12. （几何证明选讲）如图，半径为2的⊙D中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙D于点E，则线段DE的长为。

2020年广东省湛江市洋青中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某校高三(38)班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数参考答案：C略2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限参考答案：D.考点：复数的概念及其运算.3. 数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（）A．B． C．或 D．参考答案：C略4. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．）D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．故选A．5. 已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g （x2）成立，则a的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，]参考答案：A考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意，要使对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g （x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．解答：解：因为f′（x）===，易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）min=f（1）=．对于二次函数g（x）=）=﹣x2﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，所以要使对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，即或，所以或．解得．故选A．点评：本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．6. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（）A．B．C．D．参考答案：D7. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．参考答案：C 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是直三棱柱，结合图中数据，计算它的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，结合图中数据，计算它的体积是V三棱柱=×2×1×2=2．故选：C．8. 已知双曲线（k＞0）的一条渐近线与直线x－2y－3＝0平行，则双曲线的离心率是A． B． C．4 D．参考答案：A9. 双曲线的离心率的值为（）A. B. C. D.参考答案：C10. 已知实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】首先解出的等价条件，然后根据充分条件与必要条件的定义进行判定。

广东省湛江市2020届高三数学下学期模拟考试试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合{}|14M x x =-<<，{}2|3100N x x x =+-≤，则MN =（ ）A. {}|15x x -<≤B. {}|12x x -<≤C. {}|11x x -<≤D. {}|54x x -≤<【答案】B 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ,即可根据交集的运算求出M N ⋂.【详解】∵{}{}2|310052N x x x x x =+-≤=-≤≤,而{}|14M x x =-<<,∴MN ={}|12x x -<≤.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题. 2.设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）B. 1C. 2【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ．【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A. 25B. 32C. 35D. 40【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题．4.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾 A BC D EF评分 96 9596 89 9798嘉宾评分平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ）A. 122x x x +=B. 122x x x +>C.122x x x +<D.12122x x x x x +>>>【答案】C 【解析】 【分析】计算出1x 、2x ，进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈，由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >， 由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A. 3()3x f x x=-B. e e ()x xf x x--=C. 2()f x x x=- D.||e ()xf x x= 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C.故选：A ．【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．6.若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A.35B. 35±C.12D. 12±【答案】A 【解析】 【分析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，由已知条件得出a b =，在等式2a b a b +=-两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求. 【详解】设平面向量a 与b 的夹角为θ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，可得a b =，在等式2a b a b +=-两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，化简得3cos 5θ=. 故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ）A. 9B. －9C.212D. 214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.8.已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2C.【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bc y x a a =-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bc b a a k c a b-==-=-，222b a∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题.9.已知0.3log 0.5a =，3log 0.5b =，0.5log 0.9c =，则（ ） A. ab ac a b <<+ B. a b ab ac +<< C. ac ab a b <<+ D. ab a b ac <+<【答案】D 【解析】 【分析】先根据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围, 再利用对数的运算性质和换底公式化简,即可得出三个式子的大小关系.【详解】∵0.30.30.30log 1log 0.5log 0.31=<<=,即01a <<,33log 0.5log 10<=,即0b <,0.50.50.50log 1log 0.9log 0.51=<<=,即01c <<,∴0,01ab ac <<<,即有ab ac <. ∵0.50.50.5log 0.3log 3log 01.91c a b ++===,即01a bc ab+<=<, ∴0ab a b <+<. 综上, ab a b ac <+<. 故选：D ．【点睛】本题主要考查对数的运算性质, 换底公式以及对数函数的单调性的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.10.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ） A. 6 B. 9C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB .【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2AF FB =，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=.故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象求出函数()g x 的解析式,再由平移知识得到()f x 的解析式,然后分别找出1()3f x =和3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【详解】设()()sin g x A x ωμ=+,根据图象可知,371,24612A T T πππω⎛⎫==--⇒=⇒= ⎪⎝⎭, 再由77sin 211212g ππμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 取3πμ=-, ∴()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将函数()g x 的图象向右平移34π个单位长度,得到函数()f x 的图象, ∴33()sin 2cos 24433f x g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.11()cos 2333f x x π⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭,3sin 2126x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令6x πθ=-,则231sin cos 212sin 3θθθ=⇒=-=,显然,13cos 2sin 3θθ=⇒=∴1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题. 三、解答题12.如图，在ABC ∆中，2AC =，3A π∠=，点D 在线段AB 上.（1）若1cos 3CDB ∠=-，求CD 的长；（2）若2AD DB =，sin 7ACD BCD ∠=∠，求ABC ∆的面积.【答案】（1）36CD =（233【解析】 【分析】（1）先根据平方关系求出sin CDA ∠,再根据正弦定理即可求出CD ；（2）分别在ADC ∆和BDC ∆中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB ，再根据余弦定理求出AB ，即可根据1sin 2S AC AB A =⋅⋅求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）由1cos 3CDB ∠=-，得1cos 3CDA ∠=，所以22sin 3CDA ∠=.由正弦定理得，sin sin CD AC A CDA =∠，即3223=，得36CD =. （2）由正弦定理，在ADC ∆中，sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，①在BDC ∆中，sin sin DB CBBCD BDC=∠∠，②又sin sin ADC BDC ∠=∠，2AD DB =，sin 7sin ACD BCD ∠=∠，由①②得7CB =， 由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅， 即2742AB AB =+-，解得3AB =， 所以ABC ∆的面积133sin 22S AC AB A =⋅⋅=. 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．13.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，11AB CB =.（1）证明：平面11BDD B ⊥平面ABCD ；（2）若60DAB ∠=︒，1DB B ∆是等边三角形，求二面角11A BD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）0 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明AC ⊥平面11BDD B 即可．由ABCD 为菱形可得AC BD ⊥，连接1B 和AC 与BD 的交点O ， 由等腰三角形性质可得1B O AC ⊥，即能证得AC ⊥平面11BDD B ；（2）由题意知，1B O ⊥平面ABCD ，可建立空间直角坐标系Oxyz ，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，再分别求出平面1C BD 的法向量，平面1A BD 的法向量，即可根据向量法求出二面角11A BD C --的余弦值． 【详解】（1）如图，设AC 与BD 相交于点O ，连接1B O ，又ABCD 为菱形，故AC BD ⊥，O 为AC 的中点. 又11AB CB =，故1B O AC ⊥.又BD ⊂平面11BDD B ，1B O ⊂平面11BDD B ，且1BD B O O =，故AC ⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面ABCD ， 所以平面11BDD B ⊥平面ABCD .（2）由1DB B ∆是等边三角形，可得1B O BD ⊥，故1B O ⊥平面ABCD ，所以1B O ，AC ，BD 两两垂直.如图以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .不妨设2AB =，则3AO =13OB ，则3,0,0)A ，(0,1,0)B ，13)B ，(0,1,0)D -，1(3,13)A -，1(3,13)C --，设()111,,n x y z =为平面1C BD的法向量，则10,0,n BD n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111120,330,y x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩可取(1,0,1)n =， 设()222,,m x y z =为平面1A BD 的法向量，则10,0,m BD m OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,330,y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取(1,0,1)m =-，所以cos ,0n m n n mm ⋅<>==.所以二面角11A BD C --的余弦值为0.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题． 14.某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm ，只要误差的绝对值不超过0.03cm 就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.【答案】（1）0.01025（2）51 【解析】 【分析】（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值X 的频率分布列，再根据期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为x ，可根据上述方法求出21(1)P x =--，解21(1)0.8x --≥，即可得出最小值.【详解】（1）由柱状图，该批次产品长度误差绝对值X 的频率分布列为下表：所以X 的数学期望的估计为()00.40.010.30.020.20.030.0750.040.0250.01025E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件B ，则2316()10.640.8525P B ⎛⎫=-==< ⎪⎝⎭，故不符合概率不小于0.8的要求.设生产一件产品为标准长度的概率为x ，由题意2()1(1)0.8P B x =--≥，又01x <<，解得1x ≥-所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为1. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的应用，对立事件的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．15.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.【答案】（1）22162x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b 的值，进而可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，设直线AB 的方程为4x my =+，将该直线的方程与椭圆C 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点D 的坐标表达式，并代入韦达定理，消去λ，可得出点D 的横坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意得22222311c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =. 所以椭圆C 的方程是22162x y +=；（2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=.()()222840305m m m ∆=-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=，得12y y λ-=，由AD DB λ=-，可得1212011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++，212112012122102225381213y y y y y m y y m y y m m y λλ⨯-+=====---+++，综上，点D 在定直线32x =上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.16.设函数()(2cos )sin f x ax x x =+-，()f x '是函数()f x 的导数.（1）若1a =，证明()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点；（2）在(0,)x ∈+∞上()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出()f x '，再由函数()f x '的导数可知，函数()f x '在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而02f π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，02f π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，可知()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点；（2）由题意可将()0f x >转化为sin 02cos x ax x ->+，构造函数sin ()2cos xF x ax x=-+，利用导数讨论研究其在(0,)x ∈+∞上的单调性，由min 0F >，即可求出a 的取值范围． 【详解】（1）若1a =，则()(2cos )sin f x x x x =+-，()2sin f x x x '=-， 设()()2sin h x f x x x '==-，则()sin cos h x x x x '=--，(0)0h '=，()sin cos ()h x x x x h x ''-=+=-，故函数()h x '是奇函数．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x x >，这时()0h x '<，又函数()h x '是奇函数，所以当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '>.综上，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x '单调递增；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x '单调递减.又2022f ππ⎛⎫'-=-> ⎪⎝⎭，2022f ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 故()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上没有零点.（2）sin ()(2cos )2cos x f x x ax x ⎛⎫=+-⎪+⎝⎭，由[]cos 1,1x ∈-，所以2cos 0x +>恒成立，若()0f x >，则sin 02cos x ax x ->+，设sin ()2cos xF x ax x=-+，222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x F x a a x x x +'=-=-++++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭. 故当13a ≥时，()0F x '≥，又(0)0F =，所以当0x >时，()0F x >，满足题意； 当0a ≤时，有10222F a ππ⎛⎫=⨯-< ⎪⎝⎭，与条件矛盾，舍去； 当103a <<时，令()sin 3g x x ax =-，则()cos 3g x x a '=-， 又31a <，故()cos 30g x x a '=-=在区间(0,)+∞上有无穷多个零点， 设最小的零点为1x ，则当()10,x x ∈时，()0g x '>，因此()g x 在()10,x 上单调递增.()(0)0g x g >=，所以sin 3x ax >.于是，当()10,x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，得sin 02cos xax x-<+，与条件矛盾.故a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．17.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求l 的普通方程和1C 的直角坐标方程；（2）把曲线1C 向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C （纵坐标不变），设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）:20l x y +-=，()22:11C x y +-=；（2）5. 【解析】 【分析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ得22sin ρρθ=，进而可化简得出曲线1C 的直角坐标方程；（2）根据变换得出2C 的普通方程为2214x y +=，可设点P 的坐标为()2cos ,sin θθ，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.【详解】（1）由2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）2=-，化简得20x y +-=， 故直线l的普通方程为20x y +-=.由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.所以1C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）由（1）得曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y +-=，向下平移1个单位得到221x y +=，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线2C 的方程为2214x y +=，所以曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.故点P 到直线l的距离为d ==， 当4πθ=时，d最小为5. 【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题. 18.已知0a >，0b >，函数()2f x x a x b =++-的最小值为12. （1）求证：21a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）最大值为9. 【解析】 【分析】（1）将函数()y f x =表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立；（2）由2a b tab +≥可得出12t a b ≤+，并将代数式12a b+与2+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得12a b+的最小值，进而可得出实数t 的最大值. 【详解】（1）()3,22,23,a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+<-⎪⎪⎪=++-=++-≤<⎨⎪+-≥⎪⎪⎩.当2a x <-时，函数()y f x =单调递减，则()2a f x f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭；当2ax b -≤≤时，函数()y f x =单调递增，则()()2a f f x f b ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭； 当x b >时，函数()y f x =单调递增，则()()f x f b >. 综上所述，()1222a af x f b ⎛⎫≥-=+= ⎪⎝⎭，所以21a b +=；（2）因为2a b tab +≥恒成立，且0a >，0b >，所以2a bt ab +≤恒成立，即min21t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.因为()2121222559b a a b b a b a a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时等号成立，所以9t ≤，实数t 的最大值为9.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。