反证法的格式

反證法:(一) 什麼是反證法反證法是一種常用的間接証明方法，它是從“否命題的結論”出發，通過正確的邏輯推理“導致矛盾”，達到“推翻了結論的反面”，從而“肯定這個命題真實”。

反證法在邏輯上的理論依據是形式邏輯中的兩個基本規律──矛盾律和排中律，即在“p 是q ”和“p 不是q ”這兩個判斷中，總有一個是真的另一是假的。

用反證法證明一命題，有三個步驟：（1）反證：假設待證的結論不成立，即假定原結論的反面為真。

（2）歸謬：由反設和已知條件出發，通過一系列正確的邏輯推理，最終得出矛盾。

（3）結論：由所得矛盾，說明反設不成立，從而証抈朋原待證的結論是正確的。

下面用幾個例題來具體說明。

例1 在凸四邊形ABCD 中，已知AB BD AC CD +≤+，求證：AB AC <。

證明：假設AB AC ≥AB ，於是BCA ABC ∠≥∠，由於ABCD 為凸四邊形，因此對角 AC 與BD 都在四邊形內，所以有BCD BCA ABC CBD ∠>∠≥∠>∠ 則：BD CD >，又由假設AB AC ≥有AB BD AC CD +>+這與已知條件中AB BD AC CD +≤+矛盾。

而這矛盾是由假設AB AC ≥得到的，所以AB AC ≥不成立，所以有AB AC <。

例2 已知12a a =2（1b +2b ），求證：方程2x +1a x +1b =0與2x +2a x +2b =0中最多有一個方程没有實根。

證明：假設兩個方程都没有實根，則兩個方程的判別式211140a b ∆=-<、222240a b ∆=-<，所以120∆+∆<且有 22222121212121214()2(2)0a a b b a a a a a a ∆+∆=+-+=+-=-≥這與120∆+∆<矛盾，因此假設不成立，兩個方程中至多有一個没實根。

(二) 用反證法証題要注意的問題1. 正確地作出反設(即否定結論)是正確運用反證法的前提：在否定命題結論時，一定要先弄清命題的結論是什麼，再認真分析，仔細推敲，作出反設.在提出“假設”之後,要回過頭來看看“假設”的對立面DABC是否恰是命題的結論。

证明的格式证明是数学推理的基础，它用于表达和验证某种数学命题的正确性。

在证明中，我们通过逻辑推理和数学知识来展示一个命题为真的理由。

在数学领域中，有许多不同的证明方法和格式，本文将介绍一些常见的证明格式和如何使用Markdown 文本格式来书写证明。

1. 直接证明直接证明是最常见的证明方法，它直接展示了一个命题的证据。

在直接证明中，我们通常假设前提条件为真，并通过一系列逻辑推理的步骤来得出结论。

以下是一个简单的直接证明的例子：定理：若a和b都是偶数，则ab也是偶数。

证明：假设a和b都是偶数，则可以写成a=2m和b=2n 的形式，其中m和n是整数。

那么ab = (2m)(2n) = 4mn，由于4、m和n都是整数，所以mn也是整数。

因此，ab是偶数。

证毕。

在Markdown文本中，我们可以使用以下格式来书写直接证明：**定理：** 若a和b都是偶数，则ab也是偶数。

**证明：** 假设a和b都是偶数，则可以写成a=2m和b=2n的形式，其中m和n是整数。

那么ab = (2m)(2n) = 4mn，由于4、m和n都是整数，所以mn也是整数。

因此，ab是偶数。

证毕。

2. 间接证明间接证明是一种常见的证明方法，它通过推导出一个矛盾或错误的结论来证明一个命题的真实性。

在间接证明中，我们通常假设反命题为真，并使用逻辑推理的步骤来推出矛盾的结论。

以下是一个简单的间接证明的例子：定理：开方2是无理数。

证明：假设开方2是有理数，可以写成开方2 = p/q 的形式，其中p和q是互质的整数。

那么2 = (p/q)^2 = p2/q2。

将等式两边乘以q2，得到2q2 = p2。

因此，p2是偶数。

由于整数的平方只能是偶数或奇数，因此p也是偶数，即p = 2k（其中k是整数）。

将这个结果代入等式中，得到2q^2 = (2k)^2 = 4k2。

因此，将等式两边除以2，得到q2 = 2k2。

这意味着q2也是偶数，从而q也是偶数。

反证法的十大方法
反证法是一种证明方法，通过反驳假设的逆命题来证明原命题的正确性。

下面是十种常见的反证法：
1. 假设对立命题成立，通过推导证明原命题成立。

2. 假设原命题不成立，通过推导证明对立命题不成立。

3. 假设原命题不成立，找出原命题的推论或假设的矛盾点，推出矛盾。

4. 假设原命题不成立，与已知事实或已有结论相矛盾，证明原命题成立。

5. 假设原命题不成立，找出假设的前提条件不成立，推出矛盾。

6. 假设原命题不成立，从反面证明原命题成立。

7. 假设原命题不成立，找出假设的缺陷或矛盾，推出原命题成立。

8. 假设原命题不成立，通过演绎证明得到矛盾，进而证明原命题成立。

9. 假设原命题不成立，找出假设的结果与实际不符，推出矛盾。

10. 假设原命题不成立，通过对其与其他已知事实或已有结论之间的矛盾进行分析，证明原命题成立。

以上是反证法的十种常见方法，反证法在数学、哲学、逻辑等领域都有广泛的应用，是一种重要的思维工具。

1。

反证法格式
反证法是间接论证的一种方法，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法的证明格式可以分为三个步骤：
1. 提出一个与命题的结论相反的假设。

2. 从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾。

3. 由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。

例如：证明“如果 a＞b，那么 a+c＞b+c”。

证明过程如下：
1. 提出一个与命题的结论相反的假设：假设 a≤b。

2. 从这个假设出发，经过正确的推理：因为 a≤b，
所以 a+c≤b+c。

3. 导致矛盾：这与原命题的结论“如果 a＞b，那么 a+c＞b+c”相矛盾。

因此，假设不成立，原命题的结论正确。

高中数学常用证明方法（比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法、放缩法）江西省永丰中学陈保进高中数学证明题是学生学习的一个难点，学生对基本的数学证明方法不熟悉，证明题过程书写不规范，条理不清晰，为此有必要归纳一些常见的数学证明方法。

1.比较法比较法包括作差比较、作商比较，比如要证a >b ，只需证a -b >0;若b >0,要证a >b ，只需证a b >1。

例1：已知b a ,是正数，用比较法证明：b a a b b a +≥+22证明：0))((11)(()(222222222≥-+=--=-+-=+-+ab b a b a a b b a a a b b b a b a a b b a 所以b a ab b a +≥+222．综合法（由因导果法）利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出要证明的结论成立。

例2：已知.9111111,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∈+b a b a R b a 求证：证明：由ab b a 2≥+，1=+b a ，得41≤ab ，111111211 11111189119.a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=∴++≥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭而3.分析法（执果索因法）从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到把要证明的结论归结为一个显然成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。

书写格式：要证……只需证……即证……例3：若a ，b ∈(1，＋∞)，证明：a ＋b <1＋ab .证明：要证a ＋b <1＋ab ，只需证(a ＋b )2<(1＋ab )2，只需证a ＋b －1－ab <0，即证(a －1)(1－b )<0.因为a >1，b >1，所以a －1>0，1－b <0，即(a －1)(1－b )<0成立，所以原不等式成立.4．反证法当命题从正面出发不好证明时，可以从反面入手，用反证法，正所谓"正难则反"。

点击“反证法”(全文)一、知识归纳1. 用反证法证明命题的一般步骤如下：①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2. 反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：①结论本身以否定形式出现；②结论是“至少”“至多”“唯一”“都是”等形式；③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.二、学习要点1. 用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：2. 反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；②由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾；③由假设结论q不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.3. 反证法的逻辑依据.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.三、应用1. 在简易逻辑中的应用.例1设x，y∈R ，P：x+y≠8，q：x≠2或y≠6，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件分析：直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰.解析：因为“？劭q∶x=2 且y=6”是“？劭p∶x+y=8 ”的充分不必要条件，所以p是q充分不必要条件.点评：在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰.2. 在平面向量中的应用.例2. 设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使 + + + + = 成立的点M的个数为（）A. 0B. 1C. 5D. 10分析：先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的.解析：由 + + + + = ，得 = （ + + + + ），由向量加法法则知存在这样的点M；下面用反证法证明点M的个数是唯一的，假设满足条件的点除M外还有点N，那么 + + + += ……①，+ + + + = ……②，①-②得5 = ，则N点与M 点重合，与假设矛盾.所以满足条件的点M只有一个.点评：涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅.3. 在数列中的应用.例3. 已知数列{an}和{bn}满足：a1= ，an+1= an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中为实数，n为正整数.（1）对任意实数，证明数列{an}不是等比数列；（2）略.分析：先假设结论反面成立，再由前三项是等比数列推出矛盾.证明：假设{an}是等比数列，则a22=a1a3又题知：a2= -3，a3= a2-2= -4，（ -3）2= （ -4），9=0，矛盾，故假设不成立，即{an}不是等比数列.点评：数列中涉及到证明“不是等比数列，不是等差数列”这类题型时，利用反证法证明可直捣黄龙.例4. 已知数列{an}满足：a1= ， = ，anan+1分析：先假设存在三项是等差数列，化为整式后利用数论知识推导矛盾.解析：（1）an=（-1）n-1 ，bn= ・（）n-1；（2）假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt（rbt，2bs=br+bt， 2・（）s-1= （）r-1+ （）t-1，两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2・2s-r3t-s，r点评：借助反证法思想，乍看繁难的问题，利用反证法有效的突破了解题困境，一气呵成.4. 在函数中的应用.例5. 设f（x）=x|x+m|+n，m，n为常数，讨论f（x）的奇偶性并说明理由.分析：容易观察m， n都是0时，f（x）是奇函数，利用定义容易证明； m，n至少有一个不为0时，f（x）是非奇非偶函数，利用反证法分两类情况证明.解析：①若m=n=0，则f（-x）=-x│x│=-f（x），故f（x）为奇函数；②若m2+n2≠0，则f（x）是非奇非偶函数，下用反证法证明：假设f（x）是奇函数，则f（0）=n=0， f （-1）=-│m-1│=-f（1）=│m+1│，（m-1）2=（m+1）2，m=0，这与m2+n2≠0矛盾，故f（x）不是奇函数；假设f （x）是偶函数，则f（-1）=-|m-1|+n=|m+1|+n，|m+1|+|m-1|=0，这与|m+1|+|m-1|≥2矛盾，故f（x）不是偶函数. 综合上述，f（x）是非奇非偶函数.点评：函数中涉及到“不是奇（偶）函数，不是单调函数”这类问题的证明时，往往可用反证法将问题解决得干净彻底.例6. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y= （其中x∈R且x≠ ），证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴.分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而假设.证明：设M1（x1，y1）、M2（x2，y2）是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2，假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，即 = ，整理得a（x1-x2）=x1-x2. x1≠x2， a=1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.5. 在立体几何中的应用.例7. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.证明：假设AC平面SOB，直线SO在平面SOB内， ACSO.SO底面圆O， SOAB，SO平面SAB，平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.点评：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.6. 在不等式中的应用.例8. 已知a1，a2，a3，…，a10为大于0的正实数，且a1+a2+a3+…+a10=30，a1a2a3…a10分析：先假设这10个数都大于1，再利用换元法和不等式的性质推导出与已知条件矛盾.证明：假设ai≥1（1≤i≤10，i∈N？鄢），令bi=ai-1≥0，则由a1+a2+...+a10=30得b1+b2+...+b10=20，又a1a2 (10)（b1+1）（b2+1）…（b10+1）=1+（b1+b2+…+b10）+…+（b1b2…b10）≥1+（b1+b2+…+b10）=21，这与条件a1a2…a10点评：不等式中涉及到“必有一个，至少一个，至多一个”等命题的证明时，采用反证法可以使问题解决的十分干脆彻底.例9. 设a>0，b>0，（）A. 若2a+2a=2b+3b，则a>bB. 若2a+2a=2b+3b，则aC. 若2a-2a=2b-3b，则a>bD. 若2a-2a=2b-3b，则a分析：本题将常见不等式题目中的条件和结论进行了交换，直接证明感觉无从下手，采用反证法问题可以迎刃而解.解析：对于A选项，利用反证法，假设a≤b，则2a≤2b，2a≤2b点评：对于常见不等式问题的逆命题，利用反证法可以化难为易.例10. 设 a，b为正实数.现有下列命题：①若a2-b2=1，则a-b分析：对假命题②③，可用特值法判断；对真命题①④，可利用反证法证明.解析：对于②，令a=2，b= ，显然满足条件，但a-b= >1故②错误；对于③，令a=4，b=1，显然满足条件，但│a-b│=3>1故③错误；对于①，假设a-b≥1，a，b>0，a+b>a-b≥1，a2-b2=（a+b）（a-b）>1，即a2-b2≠1，与条件矛盾，假设不成立，故a-b0，a2+ab+b2>（a-b）2= |a-b|2≥1，|a3-b3|=|a-b||a2+ab+b2|>1，与条件矛盾，假设不成立，故|a-b|点评：本题主要考查反证法在不等式中的应用，利用反证法可以扭转不利的局面，从而使问题快速获解.7. 在三角函数中的应用.例11. 存不存在0解析：不存在.否则有cosx-sinx= -tanx= ，。

论文中学常用证明方法及格式总结沈丘县第二高级中学豆孝涛中学常用证明方法及格式总结摘要：五种常用证明方法及格式，综合法，分析法，反证法，穷举法讨论，数学归纳法关键词：证明方法，综合法，分析法，反证法，穷举法讨论，数学归纳法在高中学习数学时，我们经常见到等式，不等式等代数和几何问题的证明，常用的证明方法及格式有哪些？根据十几年的教学经验特总结如下：1.综合法格式从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式。

它的常见书面表达是“∵，∴”或“═>”。

2.分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知靛渐地靠已知（已知条件，已经学过的定义，定理，公理，公式，法则等等）。

这种证明方法的关键在于要保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它常见书写表达是“要证……只需……”或“<═”3。

反证法格式反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。

数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

有时直接证明命题比较困难，则可以改证与原命题等价的逆否命题，就是反证法。

反证法的格式是：①假设结论不成立，②从假设出发，通过推理论证得出矛盾，③由矛盾判断假设不正确，从而肯定原命题正确。

4。

穷举法讨论格式对于已知条件或求证结论的情形比较复杂的证明题，往往可将原题分解成几个特殊问题来分别讨论。

反证法的步骤反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，推导出矛盾的结论，从而证明该命题为真。

反证法的步骤包括以下几个主要内容：1. 假设所要证明的命题为假反证法首先需要假设所要证明的命题为假。

这个假设是必须要有的，因为只有在这个前提下才能推导出矛盾的结论。

例如，如果要证明“所有素数都是奇数”，那么反证法就需要先假设存在一个素数是偶数。

2. 推导出矛盾的结论在假设所要证明的命题为假之后，接下来需要推导出一个矛盾的结论。

这个结论必须与已知事实相矛盾，否则就无法用它来推断原命题为真。

例如，在上面的例子中，如果我们假设存在一个素数是偶数，并且根据定义可知任何一个偶数都可以表示成2n（n为自然数），那么这个素数就可以表示成2n形式。

但由于素数只有1和本身两个因子，因此它不可能同时被2和其他自然数整除，即不可能是一个偶数。

这样就产生了矛盾的结论。

3. 推断原命题为真由于假设的命题与已知事实相矛盾，因此必须否定这个假设。

这样，原命题就可以被推断为真。

例如，在上面的例子中，由于假设存在一个素数是偶数产生了矛盾的结论，因此我们可以否定这个假设，从而推断出“所有素数都是奇数”这个命题为真。

反证法是一种简单而有效的证明方法，它常用于证明一些重要的数学定理和推论。

在实际应用中，反证法也需要注意以下几点：1. 假设必须合理反证法所假设的条件必须是合理的，并且不能与已知事实相矛盾。

否则就会出现无法推导出矛盾结论或者得出错误结论的情况。

2. 矛盾结论必须清晰通过反证法所得到的矛盾结论必须清晰明确，并且能够与已知事实相矛盾。

否则就会出现无法得到正确结论或者得到模棱两可结论的情况。

3. 反证法不适用于所有问题反证法并不适用于所有问题，有些问题可能需要其他方法来进行证明。

因此，在使用反证法时需要谨慎分析问题的性质和特点，确定是否适用于该问题。

总之，反证法是一种简单而有效的证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，并推导出矛盾的结论来证明原命题为真。