2011考研数学归纳-线性代数超强总结

考研数学一大纲重点内容回顾线性代数部分知识点汇总线性代数是考研数学一科目中非常重要的一部分。

在考试中，线性代数占据了相当大的比重，因此熟练掌握线性代数的知识点是非常重要的。

本文将回顾考研数学一大纲中线性代数部分的重点知识点，帮助考生在备考中能够有针对性地进行复习，并为考试发挥出最佳水平做准备。

知识点1：向量空间向量空间是线性代数中最基础的概念之一。

考生需要掌握向量空间的定义、性质和基本运算法则。

此外，需要掌握向量空间的子空间、线性相关性和线性无关性等概念。

知识点2：矩阵与行列式矩阵和行列式也是考研数学一线性代数部分的重要内容。

考生需要掌握矩阵的运算法则，包括矩阵的加法、乘法和转置等运算。

同时，需要了解矩阵的秩以及矩阵可逆的条件。

在行列式方面，需要熟悉行列式的性质，以及行列式的计算方法和展开式。

知识点3：线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要应用，也是考研数学一中的常见考点。

考生需要掌握线性方程组的解法，包括消元法、矩阵法和特征值法等。

同时，还需要了解线性方程组解的存在唯一性条件，以及齐次线性方程组和非齐次线性方程组的关系。

知识点4：特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，也是考研数学一中的热点内容。

考生需要了解特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。

同时，需要掌握矩阵的对角化和相似对角化的相关知识。

知识点5：线性变换线性变换是线性代数的核心内容之一。

考生需要了解线性变换的定义和性质，以及线性变换的矩阵表达式和几何意义。

此外，还需要了解线性变换的基矩阵和过渡矩阵的计算方法。

知识点6：内积空间内积空间是线性代数中的高级内容，也是考研数学一中的难点。

考生需要了解内积空间的定义和性质，以及内积空间的标准正交基和正交投影的相关知识。

同时，还需要了解内积空间的正交补和正交矩阵的概念和计算方法。

综上所述，考研数学一大纲重点内容回顾线性代数部分的知识点汇总包括了向量空间、矩阵与行列式、线性方程组、特征值和特征向量、线性变换以及内积空间等内容。

线性代数考研知识点总结线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。

在计算机科学、物理学、工程学等领域中，线性代数都有着广泛的应用。

在考研中，线性代数是一个必考的科目，以下是线性代数考研的一些重要知识点总结。

1. 向量空间：向量空间是线性代数的基础概念，它包括一组向量和一些满足特定条件的运算规则。

向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，满足交换律、结合律和分配律。

2. 向量的线性相关性和线性无关性：如果向量可以通过线性组合表示为另一组向量的形式，那么这组向量就是线性相关的；如果向量不满足线性相关的条件，那么它们就是线性无关的。

3. 矩阵：矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个由数字排列成的矩形阵列。

矩阵可以用于表示线性变换、解线性方程组等。

常见的矩阵类型有方阵、对称矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。

4. 行列式：行列式是一个用于刻画矩阵性质的重要工具。

行列式可以用来计算线性变换的缩放因子，判断矩阵是否可逆，以及计算矩阵的逆等。

5. 矩阵的相似和对角化：两个矩阵A和B，如果存在一个非奇异矩阵P，使得PAP^(-1)=B，那么矩阵A和B就是相似的。

相似的矩阵有着相同的特征值和特征向量。

对角化是指将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。

6. 线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。

线性变换可以用矩阵表示，相应的矩阵称为线性变换的矩阵表示。

线性变换可以进行合成、求逆等操作。

7. 内积空间：内积空间是一个带有内积运算的向量空间。

内积运算满足对称性、线性性、正定性等性质。

内积空间可以用来定义向量的长度、夹角、正交性等概念。

8. 特征值和特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量使得线性变换作用在该向量上等于该向量的某个常数倍，那么这个常数就是该线性变换的特征值，而对应的非零向量就是特征向量。

特征值和特征向量可以用来分析矩阵的性质，求解线性方程组等。

9. 奇异值分解：奇异值分解是矩阵分解的一种常用方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另两个矩阵是对角矩阵。

线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。

它是高等数学的基础课程之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

下面将全面总结线性代数的知识点。

1.向量向量是线性代数的基本概念之一，它表示有方向和大小的物理量。

向量可以表示为一个有序的元素集合，也可以表示为一个列向量或行向量。

向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。

2.向量空间向量空间是一组向量的集合，其中的向量满足一定的性质。

向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。

向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数，也称为向量空间的基的个数。

3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由若干个数排成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。

矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质，矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。

4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。

线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式，其中未知数对应为向量。

线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。

5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。

行列式的值可以通过一系列的数学运算求得，它可以表示方阵的一些性质，例如可逆性、行列式的大小等。

6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。

特征值表示线性变换后的方向，特征向量表示与特征值对应的方向。

通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质，例如对角化、矩阵的相似等。

7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。

线性变换可以通过矩阵的乘法表示，矩阵中的元素代表了向量的变换规则。

8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。

最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题，它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。

9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。

正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。

线性代数知识点总结1 行列式〔一〕行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：〔用于化简行列式〕〔1〕行列互换〔转置〕，行列式的值不变〔2〕两行〔列〕互换，行列式变号〔3〕提公因式：行列式的某一行〔列〕的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式〔4〕拆列分配：行列式中如果某一行〔列〕的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

〔5〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕，行列式的值不变。

〔6〕两行成比例，行列式的值为0。

〔二〕重要行列式4、上〔下〕三角〔主对角线〕行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：〔A是m阶矩阵，B是n阶矩阵〕，那么7、n阶〔n≥2〕X德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：〔三〕按行〔列〕展开9、按行展开定理：〔1〕任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值〔2〕行列式中某一行〔列〕各个元素与另一行〔列〕对应元素的代数余子式乘积之和等于0〔四〕行列式公式10、行列式七大公式：〔1〕|kA|=k n|A|〔2〕|AB|=|A|·|B|〔3〕|A T|=|A|〔4〕|A-1|=|A|-1〔5〕|A*|=|A|n-1〔6〕假设A的特征值λ1、λ2、……λn，那么〔7〕假设A与B相似，那么|A|=|B|〔五〕克莱姆法那么11、克莱姆法那么：〔1〕非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解〔2〕如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，那么它的系数行列式必为0 〔3〕假设齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2 矩阵〔一〕矩阵的运算1、矩阵乘法考前须知：〔1〕矩阵乘法要求前列后行一致；〔2〕矩阵乘法不满足交换律；〔因式分解的公式对矩阵不适用，但假设B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律〕〔3〕AB=O不能推出A=O或B=O。

考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。

线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。

因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。

线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。

它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。

线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。

下面将详细介绍线性代数的相关知识点。

一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。

行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。

1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。

1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。

1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。

1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。

（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。

（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。

（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。

1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。

二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。

矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。

2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。

矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。

D (j=1、2⋯⋯n)线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a ij n =∑(-1)τ(j1j2..j n)a a...a1j12j2j1j2jnnjn （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式M、代数余子式A=(-1)i+j Mij ij ij定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式D≠0时，有唯一解：x=j 齐次线性方程组：当系数行列式D=1≠0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式：Dja11①转置行列式：a21a31a12a22a32a13a23a33a11→a12a13a21a22a23a31a32a33②对称行列式:a=aij ji③反对称行列式:a=-aij ji奇数阶的反对称行列式值为零a11④三线性行列式:a21a31a12a22a130方法：用k a把a化为零，。

化为三角形行列式12221a33⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、m *n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)ij m *n---------分配、结合律= (∑ a b )等价标准形矩阵 D =  r O ⎫⎪⎪ ⎝ O O ⎭第二章 矩阵矩阵的概念： A矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律数乘 kA = (ka )乘法A *B = (a ) ik m *l*(b )kj l*nl 1ik kj m *n注意什么时候有意义一般 AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0 或 B=0 转置 ( A T )T = A( A + B)T = A T + B T(kA)T = kA T ( AB)T = B T A T (反序定理)方幂： A k 1 A k 2 = A k 1 +k 2( A k 1 )k 2 = A k 1 +k 2几 种 特 殊 的 矩 阵 ： 对 角 矩 阵 ： 若 AB 都 是 N 阶 对 角 阵 ， k 是 数 ， 则 kA 、 A+B 、AB 都是 n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是 0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆 矩 阵 ： 设 A 是 N 阶 方 阵 ， 若 存 在 N 阶 矩 阵 B 的 AB=BA=I 则 称 A 是 可 逆 的 ，A -1 =B (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初 等 变 换 1 、 交 换 两 行 （ 列 ） 2. 、 非 零 k 乘 某 一 行 （ 列 ） 3 、 将 某 行 （ 列 ） 的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵）⎛ I r矩阵的秩 r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若 A 可逆，则满秩若 A 是非奇异矩阵，则 r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1 定义 2 转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵 (ka ij )n = k (a ij )n ，行列式 ka ijn=k n a ij n逆矩阵注： ①AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则 A 与 B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若 A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数知识点全面总结线性代数是一门重要的数学学科，它研究的是向量空间、线性映射和线性方程组等基本概念及其相互关系。

线性代数在数学、物理、计算机科学、经济学等各个领域都有广泛的应用。

下面是线性代数的一些重要知识点的全面总结：1. 向量空间（Vector Space）向量空间由一组满足一些性质的向量组成。

向量空间的定义要求满足加法和数量乘法封闭性、零向量存在性、加法逆元存在性等性质。

在向量空间中，还可以定义线性组合、线性相关性、线性无关性等概念。

2. 矩阵（Matrix）矩阵是由一组数按照一个确定的规律排列成的矩形阵列。

矩阵的加法、数量乘法等运算满足线性运算的性质。

矩阵可以表示线性方程组、线性映射等。

3. 线性映射（Linear Mapping）线性映射是指将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的元素，并保持向量空间的加法和数量乘法运算。

线性映射可以用矩阵表示，并且具有一些重要的性质，比如保持零向量、保持加法和数量乘法等。

4. 线性方程组（Linear System）线性方程组是一组线性方程的集合。

线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。

线性方程组的求解可以使用消元法、矩阵求逆等方法。

5. 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）特征值和特征向量是线性映射中的重要概念。

对于一个线性映射，如果存在一个非零向量x，使得线性映射作用于x的结果等于x乘以一个常数λ（即f(x)=λx），那么λ就是这个线性映射的特征值，x就是对应的特征向量。

6. 内积空间（Inner Product Space）内积空间是向量空间中引入内积运算的概念。

内积可以用来度量向量的夹角和长度，并且可以定义向量的正交性、正交投影等概念。

内积空间可以是实数域或复数域上的。

7. 正交性和正交基（Orthogonality and Orthogonal Basis）正交性是指向量之间的夹角为直角。

线性代数知识点全面总结线性代数是数学的一个重要分支，在科学、工程、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

下面就为大家全面总结一下线性代数的主要知识点。

一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念，它是一个数值。

对于一个二阶行列式，其计算公式为“左上角元素乘以右下角元素减去右上角元素乘以左下角元素”。

对于高阶行列式，可以通过按照某一行（列）展开来计算。

行列式具有很多重要的性质，比如：某一行（列）元素乘以同一数后，加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变；如果行列式某一行（列）元素全为零，则行列式的值为零；交换行列式的两行（列），行列式的值变号等。

二、矩阵矩阵是线性代数的核心概念之一。

它是一个按照矩形排列的数表。

矩阵可以进行加法、减法、数乘和乘法运算。

矩阵加法和减法要求两个矩阵的行数和列数都相同，对应位置的元素相加减。

数乘则是将矩阵的每个元素乘以一个数。

矩阵乘法相对复杂一些，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

而且，矩阵乘法一般不满足交换律。

矩阵还有转置、逆等概念。

矩阵的转置是将行和列互换得到的新矩阵。

如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它与原矩阵相乘得到单位矩阵。

三、线性方程组线性方程组是线性代数中的重要内容。

可以用矩阵的形式来表示线性方程组，通过对增广矩阵进行初等行变换来求解。

齐次线性方程组（常数项都为零的线性方程组）一定有零解，如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则有非零解。

非齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则有解；如果秩相等且等于未知数的个数，则有唯一解；如果秩相等但小于未知数的个数，则有无穷多解。

四、向量向量是既有大小又有方向的量。

在线性代数中，向量可以表示为行向量或列向量。

向量组的线性相关和线性无关是重要概念。

如果存在一组不全为零的数，使得向量组的线性组合等于零向量，则称向量组线性相关；否则，称向量组线性无关。

向量组的秩是指极大线性无关组中向量的个数。

五、特征值与特征向量对于一个方阵 A，如果存在一个数λ和一个非零向量 x，使得 Ax ＝λx，那么λ称为矩阵 A 的特征值，x 称为矩阵 A 对应于特征值λ的特征向量。

线性代数知识点归纳线性代数是现代数学中的一个重要分支，主要研究向量空间及其上的线性映射。

它在许多科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、经济学等。

本文将对线性代数中的一些重要知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这门学科。

一、向量与矩阵1. 向量的定义与运算- 向量的表示：向量可以用有序数组表示，也可以用线段箭头表示。

- 向量的加法与减法：向量之间可以进行加法和减法运算，满足交换律和结合律。

- 向量的数乘：向量与实数之间可以进行数乘运算。

- 内积与外积：向量之间有内积和外积两种运算，分别表示向量的夹角和与之垂直的面积。

2. 矩阵的定义与运算- 矩阵的表示：矩阵可以用二维数组表示，其中每个元素称为矩阵的一个元。

- 矩阵的加法与减法：矩阵之间可以进行加法和减法运算，要求矩阵的维度相同。

- 矩阵的数乘：矩阵与实数之间可以进行数乘运算。

- 矩阵乘法：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。

二、线性方程组与矩阵运算1. 线性方程组- 线性方程组的定义：线性方程组由一组线性方程组成，其中每个方程都是线性的。

- 解的存在性与唯一性：线性方程组的解可能没有，可能有唯一解，也可能有无穷多解。

- 线性方程组的求解方法：高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等。

2. 矩阵的逆与行列式- 矩阵的逆：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。

- 行列式：行列式是一个与矩阵相关的标量值，用于判断矩阵的可逆性和计算矩阵的特征值。

三、线性映射与特征值问题1. 线性映射- 线性映射的定义：线性映射是一个满足线性性质的函数，将一个向量空间映射到另一个向量空间。

- 线性映射的表示与运算：线性映射可以用矩阵表示，可以进行加法、减法和数乘。

- 线性映射的核与像：线性映射的核是所有映射到零向量的向量集合，像是所有映射到的向量集合。

2. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义：对于一个线性映射，若存在一个非零向量使得线性映射作用于该向量后相当于对该向量进行标量乘法，该向量称为特征向量，该标量称为特征值。

线性代数知识点总结本文将对线性代数的关键概念进行总结和概述。

1. 向量和矩阵向量是线性代数中的基本概念之一，它可以表示为具有大小和方向的量。

向量可以通过坐标表示，例如二维向量可以表示为 (x, y)，三维向量可以表示为 (x, y, z)。

矩阵是由一组数字排列成的矩形阵列。

矩阵可以表示为 m 行 n 列的形式，其中 m 表示矩阵的行数，n 表示矩阵的列数。

矩阵的元素可以用小写字母表示，例如矩阵 A 的元素可以表示为a_ij，其中 i 表示行索引，j 表示列索引。

2. 向量和矩阵的运算2.1 向量运算- 向量的加法：向量加法是指将对应位置上的元素相加得到新的向量。

- 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个元素都乘以一个实数得到新的向量。

- 向量的点乘：向量的点乘是指将两个向量对应位置上的元素相乘，并将乘积相加得到一个标量。

2.2 矩阵运算- 矩阵的加法：矩阵加法是指将对应位置上的元素相加得到新的矩阵。

- 矩阵的数乘：矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个实数得到新的矩阵。

- 矩阵的乘法：矩阵的乘法是指将一个矩阵的每一行乘以另一个矩阵的对应列，并将乘积相加得到一个新的矩阵。

3. 线性方程组线性方程组是由一组线性方程构成的方程组。

线性方程组可以用矩阵的形式表示，即 AX = B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知数向量，B 是常数向量。

解线性方程组可以使用消元法、矩阵的逆、矩阵的转置等方法。

4. 特征值与特征向量在线性代数中，特征值与特征向量是矩阵的重要性质。

特征值是一个实数或复数，表示矩阵在特定方向上的伸缩程度。

特征向量是与特征值相对应的向量，表示矩阵在该方向上的不变性质。

5. 线性代数的应用线性代数在许多领域都有广泛的应用，例如计算机图形学、数据分析、机器研究等。

在计算机图形学中，线性代数用于描述和处理三维图形的变换和投影。

在数据分析中，线性代数用于处理和分析大量的数据。

√ 关于：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算：① 假设A B 与都是方阵〔不必同阶〕,那么(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11121211n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E--=++++为A 的一个多项式.√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为12,,,sr r r ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭则：即 用中简若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,√ Ax ο=和Bx ο=同解〔,A B 列向量个数相同〕,那么：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的局部组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的根底解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 局部相关,整体必相关；整体无关,局部必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 假设12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,那么β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，那么12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,那么s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,那么两向量组等价；⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 假设两个线性无关的向量组等价,那么它们包含的向量个数相等.⑳ 假设A 是m n ⨯矩阵,那么{}()min ,r A m n ≤,假设()r A m =，A 的行向量线性无关； 假设()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,假设()r A m =,那么()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,那么该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 矩阵的秩的性质：① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+123,,ααα线性无关,单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行〔列〕向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T T AA A A E ==；③ A 是正交阵,那么T A 〔或1A -〕也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 假设0A =,那么0λ=为A 的特征值,且0Ax =的根底解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 假设()1r A =,那么A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.√ 假设A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f x 是多项式,那么:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ, A *的全部特征值为12,,,n A AAλλλ.√ 1122,.m m A k kA a b aA bEAA A A Aλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= 〔P 为可逆阵〕 记为：A B√ A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 假设n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,那么A 与对角阵相似.1B P AP -= 〔P 为正交矩阵〕 √ 相似矩阵的性质：① 11A B -- 假设,A B 均可逆② TT A B③ k k A B 〔k 为整数〕④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化〔一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--〕.A 与对角阵Λ相似. 记为：AΛ 〔称Λ是A √ 假设A 为可对角化矩阵,那么其非零特征值的个数〔重数重复计算〕()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,那么有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. √ 假设A B , CD ,那么：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. √ 假设A B ,那么()()f A f B ,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX = A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =T B C AC =. 记作：A B 〔,,A B C 为对称阵为可逆阵〕 √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A B √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x xd y =∑标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,√ 实对称矩阵的正〔负〕惯性指数等于它的正〔负〕特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵11110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C 〔正交矩阵〕,1C AC -=Λ； ④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x 不全为零，12(,,,)0n f x x x >.正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性.√ 成为正定矩阵的充要条件〔之一成立〕：① 正惯性指数为n ；② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0； ④ A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =； ⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = 〔从而0A >〕；⑥ 存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦〔i λ大于0〕. √ 成为正定矩阵的必要条件：0ii a > ； 0A >.。

考研数学历年真题线性代数的考点总结线代部分对很多备考的学子来说，最深刻感觉就是，抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。

为大家精心准备了考研数学历年真题线性代数的要点，欢迎大家前来阅读。

?线性代数章节总结第一章行列式本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理问题需要计算行列式，题目难度不是很大。

主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。

而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进展变形、利用相似关系。

06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。

第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。

本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。

其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的那么是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题那么用到了矩阵的秩的相关性质。

14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。

16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。

第三章向量本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。

重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。

复习的时候要注意构造和从不同角度理解。