考研数学超强题型总结,不怕你考不了高分
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
第一讲求极限的各种方法
n n x →∞⎝单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限第二讲 无穷小与函数的连续性
第三讲导数与微分法研究
第四讲微积分中存在性问题的证明方法
第五讲微积分中不等式的证明方法讨论
第六讲中值定理的其它应用
1x
-（
2
(5)65f -=-， 最大值为35
()44
f =。
５.函数的渐近线
例５：求曲线2
1
x xe y =的渐近线.
【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.
【解】 当±∞→x 时，极限y x ±∞
→lim 均不存在，故不存在水平渐近线； 又因为
1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，0)(lim 2
1
=-∞
→x xe x x ，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处2
1
x xe y =无定义，且∞=→2
1
lim x x xe ，可见 x=0为铅直渐近线.
例６：曲线1
ln(1)x y e x
=
++，渐近线的条数为 ３ 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【解】 因为01
lim[ln(1)]x x e x →++=∞，所以0x =为垂直渐近线；
又 1
lim[ln(1)]0x x e x
→-∞++=，所以y=0为水平渐近线； 进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x
→+∞→+∞→+∞++=+==lim
11x
x x e e →+∞=+， 1
lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x →+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]x x e x →+∞
+-
=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x x x x e e x e --→+∞→+∞
+-=+=，
于是有斜渐近线：y = x .
例７ 求曲线()3
223
-+=x x x x f 的渐近线.
【解】 ()132233
→-+=x
x x x x x f )(∞→x 得1=k .再由（3）式
()23
223
-→--+=-x x x x kx x f )(∞→x 得
.2-=b 从而求得此曲线的斜渐近线方程为.2-=x y
又由()()()
133
-+=x x x x f 易见()∞=-→x f x 3lim ，
()∞=→x f x 1
lim 垂直渐近线方程为：1,
3=-x x ＝
第七讲 泰勒公式及其应用
+
!n
第八讲不定积分与定积分的各种计算方法
教学 目的
通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。
重 点 难 点
1不定积分的概念 2不定积分的计算 3定积分的计算 教 学 提 纲
1.不定积分 不定积分的概念
原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。 不定积分的计算
(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法 (4)分部积分法 2.定积分
(1)基本积分法；
(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 (3)利用函数的奇偶性化简定积分 (4)一类定积分问题
第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法
一、不定积分 1不定积分的概念
原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数.
原函数的个数: 若 是
在区间 上的一个原函数, 则对
，
都是
在区间 上的原函数；若
也是
在区间 上的原函数，则必有
.
可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.
原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：
的带有任意常数项的原函数称为
的不定积分。记作⎰dx x f )(
一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则⎰x
a
dt t f )(是的一个
原
函数。
2不定积分的计算 (1)裂项积分法
例1：dx x x dx x x dx x x )1
21(1211122
2424⎰⎰⎰++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23
3
。 例2：⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x
x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222
22222 例3：22
22
22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++⎰⎰221arctan 1dx dx x C x x x -=--++⎰⎰
(2)第一换元积分法
有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos 2xdx ⎰，如果凑上一个常数因子2，使成为
例4：
()()()
2
3222arctan 111dx d x d x
x C
x x x x ===++++⎰⎰⎰
例5：22
221
11111111dx
d d
x x x
x x x x ⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
++⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎰
⎰
⎰
例6： ⎰
⎰⎰+=====+=+=dt t t
x d x x dx x x x
x t 2
1arctan 21arctan 2)
1(arctan
