考研数学一概率题型总结

第1章随机事件及其概率
我们作了次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影
响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。

用
表示每次试验发生的概率，
则发生的概率为，用
表示重伯努利试验中
出现次的概率，
，。

n A A n A A A n p A A q p =-1)(k P n n A )0(n k k ≤≤k
n k k
n n q p k P C -=)(n k ,,2,1,0 =
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
2
(
x
f)
dx
,
dxdy
)dx
x f X )()]2dy
y f Y )()]2
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
31。

解读考研数学概率论常见题型及解题思路概率论是考研数学中的一个重要章节，它涉及到随机事件的发生概率和统计规律。

解题时，考生需要熟悉常见的概率论题型，并且掌握相应的解题思路。

本文将对考研数学概率论常见题型及解题思路进行解读。

一、排列组合问题排列组合是概率论中的常见题型之一。

在解答这类题目时，考生需要了解排列与组合的概念以及它们的计算方法。

排列是指从一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列的方式，而组合则是从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。

在解决排列组合问题时，首先需要确定题目中的条件，然后根据条件选择适当的计算方法。

对于组合问题，可以使用组合公式进行计算；而对于排列问题，则需要使用排列公式进行计算。

二、事件的概率计算计算事件的概率是概率论中的重点内容。

在解决这类问题时，考生需要了解事件的概念、试验的基本原理以及概率的定义和性质。

要计算事件的概率，可以使用等可能性原理、频率与概率之间的关系以及概率的加法和乘法原理等方法。

在运用这些方法时，需要注意题目中条件的具体要求，有时需要进行条件概率的计算。

三、独立事件与非独立事件事件的独立性在概率论中是一个重要的概念。

当两个或多个事件之间互不影响时，它们是相互独立的；当事件之间有一定联系时，它们是非独立的。

在解决独立事件和非独立事件的问题时，考生需要根据题目给出的条件进行分析。

对于独立事件，可以直接使用乘法原理计算它们同时发生的概率；而对于非独立事件，需要考虑条件概率的影响，并运用条件概率的公式进行计算。

四、贝叶斯定理与事件的发生贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它描述了已知后验概率时，如何根据先验概率计算事件的发生概率。

在解决贝叶斯定理与事件发生的问题时，考生需要首先了解贝叶斯定理的基本原理，并理解先验概率和后验概率的关系。

然后根据题目中给出的条件，运用贝叶斯定理进行计算。

五、随机变量与概率分布函数随机变量是概率论中的重要概念，它用于描述随机事件的结果。

考研概率统计重点内容及常见题型
考研概率统计是考研数学的重要组成部分。

下面列举一些概率统计的重点内容及常见题型。

一、随机事件与概率
随机事件是指在一定条件下，无法准确预测发生结果的事件。

概率是随机事件发生的可能性大小。

概率的计算方法有两种：古典概率和几何概率。

古典概率适用于有限样本空间、等可能性事件的计算，而几何概率适用于事件连续发生的情况下，通过比较线段长度或面积来计算概率。

常见题型：
1、求古典概率
2、求条件概率
3、求贝叶斯公式
二、随机变量及分布
随机变量是指随机试验结果的数量特征，是具有随机性的变量。

分布是指随机变量可能取得的值与相应概率的对应关系。

随机变量分为离散型和连续型两种，对应的分布分别是离散型概率分布和连续型概率分布。

1、离散型随机变量的概率分布、分布函数和期望
3、离散型随机变量的独立性和连续型随机变量的独立性
三、参数估计与假设检验
参数估计是通过已知样本数据对总体参数进行估计的方法。

常见的参数估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。

假设检验是指在已知总体参数或样本数据的基础上，对总体参数做出某种假设，并通过样本数据的观测结果来判断假设是否成立。

1、参数估计的最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计
2、单总体假设检验和双总体假设检验
3、拟合优度检验和独立性检验
四、常用分布
常用分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布、正态分布、t分布、F分布和卡方分布等。

2、各种分布的性质、应用场景和参数估计方法。

考研数学(一)真题知识点分布总结科目/知识题型点高等数学线性代数概率论与数理统计选择题 1. 渐近线的计算2. 函数图形的凹凸性3. 交换累次积分的次序与坐标系的转换4. 定积分的计算5. 数值型行列式的计算6. 向量组的线性无关7. 概率的基本公式8. 随机变量函数的期望、方差填空题9. 曲面的切平面10. 函数的周期性11. 变量替换求解微分方程12. 斯托克斯公式13. 惯性指数14. 无偏估计解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 函数的极值17. 二阶偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程18. 曲面积分的计算19. 级数收敛的比较判别法20. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解21. 矩阵可相似对角化的充要条件22. 随机变量函数的分布、随机变量的数学期望23. 随机变量的数学期望、最大似然估计、辛钦大数定律科目/知识题型点高等数学线性代数选择题 1. 高阶无穷小2. 渐近线的计算3. 函数图形的凹凸性4. 曲率半径5. 等价无穷小、洛必达法则6. 多元函数的最值7. 数值型行列式的计算8. 向量组的线性无关填空题9. 反常积分的计算10. 函数的周期性11. 多元函数的全微分12. 坐标系的变换、导数的几何意义13. 质心14. 惯性指数解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 函数的极值17. 二重积分的计算（轮换对称性）18. 二阶偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程19. 函数单调性的判别20. 平面图形的面积21. 旋转体的体积22. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解23. 矩阵可相似对角化的充要条件科目/知识题题点高等数学线性代数概率论与数理统计选择题 1. 极限的概念2. 渐近线的计算3. 高阶无穷小4. 函数图形的凹凸性5.数值型行列式的计算6. 向量组的线性无关7. 概率的基本公式8. t分布填空题9. 导数的经济意义10. 平面图形的面积11. 定积分的分部积分法12. 交换累次积分的次序、二重积分的计算13. 惯性指数14. 随机变量的数学期望解答题15. 等价无穷小代换求极限16. 二重积分的计算（轮换对称性）17. 多元函数的偏导数、一阶线性微分方程18. 幂级数的收敛域、和函数19. 函数单调性的判别20. 齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解21. 矩阵可相似对角化的充要条件22. 随机变量函数的分布、随机变量的数学期望23. 二维离散型随机变量的概率分布、概率的计算。

考研数学一大纲重点梳理概率论与数理统计部分概率论和数理统计是考研数学一科目中的重要部分，本文将针对概率论与数理统计这一大纲进行重点梳理。

首先，我们将介绍概率论的基本概念和理论，然后详细讨论数理统计的相关内容。

一、概率论的基本概念和理论1. 概率的基本概念概率是研究随机现象的定量描述，用来描述事件发生的可能性大小。

概率可以用数值表示，范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。

2. 概率的运算规则概率的运算规则包括加法规则和乘法规则。

加法规则适用于互斥事件，乘法规则适用于独立事件。

3. 随机变量和概率分布随机变量是用来描述随机现象的变量，可以分为离散随机变量和连续随机变量。

概率分布描述了随机变量的取值与概率之间的关系，常见的概率分布包括二项分布、泊松分布和正态分布等。

4. 期望和方差期望是随机变量的平均值，用来描述随机变量的集中趋势；方差是随机变量与期望之间的差异程度，用来描述随机变量的离散程度。

二、数理统计的相关内容1. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和研究的过程，抽样分布是指样本统计量的概率分布。

常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。

2. 参数估计参数估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。

点估计是用单个数值来估计参数的值，区间估计是用一个区间来估计参数的值。

3. 假设检验假设检验是根据样本提供的信息，对总体的某个参数是否满足某种假设进行判断。

假设检验可以分为单侧检验和双侧检验，常见的假设检验方法包括z检验和t检验等。

4. 方差分析方差分析是用来比较两个或多个总体间均值差异是否显著的统计方法。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，常用的方法包括单因素方差分析和双因素方差分析等。

5. 回归分析回归分析是用来研究自变量与因变量之间的关系的方法。

简单线性回归是一种自变量和因变量之间存在线性关系的回归分析方法，多元线性回归是多个自变量和一个因变量之间的回归分析方法。

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祝大家学有所得。

第一章随机事件概率随机试验：满足以下三个条件的试验：（1）可重复；（2）知道所有可能；（3）结果不可预知。

样本点：每一个可能的结果叫做一个样本点。

样本空间：全体样本点的集合，记为Ω。

随机事件：随机试验中每一个可能出现的结果，叫做随机事件。

基本事件：试验中不可再分的事件。

不可能事件：不可能发生的事件。

必然事件：必定要发生的事件。

复合事件：由两个或两个以上的事件构成的事件。

事件的关系与运算：事件的关系定义文氏图A B⊂：包含关系：事件B发生必然导致事件A发生，则称事件A包含事件B。

事件相等：A=B 事件A,B 相互包含，就称事件A,B相等。

互斥事件：AB=∅不可能同时发生的事件对立事件：若AB=∅且=0A B，称事件A,B对立事件。

两者之一必然发生，但又不可能同时发生的事件。

事件的并：A B事件A,B中至少有一个发生，称事件A B发生。

事件的差：A-B 事件A发生且B不发生，事件的交：A B AB=事件A,B同时发生，称事件AB发生。

概率：事件发生可能性大小的描述。

条件概率：设A,B 是两个基本事件，且P(A)>0，则：()()()P AB P B A P A =称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。

事件的独立性：如果两事件A,B 满足：()()()P AB P A P B =,则称A 与B 独立。

A,B 独立 ⇔ ()()P A B P A =⇔()()P B A P B A =独立和互斥的关系：()0,()0P A P B >>时，独立一定不互斥，互斥一定不独立。

对于三个以上的事件：相互独立 ⇒ 两两独立， 两两独立退不出相互独立。

取反运算不改变事件的独立性：,A B 相互独立⇔,A B 相互独立⇔,A B 相互独立。

概率的基本性质： 非零性：0()1P A ≤≤ 归一性：()1iP A =∑：()1()1()P A B P A B P AB =-=-古典概率满足： （1），试验的样本空间的元素只有有限个； （2），每个样本点出现的可能性相等： 古典概型事件A 的计算公式：()k P A n=n---样本点数，k---事件A 包含的样本点数。

考研数学⼀-概率论与数理统计（⼀）考研数学⼀-概率论与数理统计(⼀)(总分：100.00，做题时间：90分钟)⼀、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设随机变量X服从正态分布N(1，σ2 )，其分布函数为F(x)，则对任意实数x，有______（分数：4.00）A.F(x)+F(-x)=1．B.F(1+x)+F(1-x)=1．√C.F(x+1)+F(x-1)=1．D.F(1-x)+F(x-1)=1．解析：[解析] 由于X～N(1，σ2 )，所以X的密度函数f(x)的图形是关于x=1对称的，⽽可知正确答案是B．2.设X～P(λ)，P 1，P 2分别为随机变量X取偶数和奇数的概率，则______（分数：4.00）A.P1=P2．B.P1＜P2．C.P1＞P2．√D.P1，P2⼤⼩关系不定．解析：[解析] 若X～P(λ)，则，其中X取偶数的概率为X取奇数的概率为于是应选C．3.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对于任意实数a，有______ A．B．C．F(-a)=F(a)．D．F(-a)=2F(a)-1．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 概率密度f(x)为偶函数，于是对于任意实数a，有F(-a)=1-F(a)成⽴；利⽤区间可加性得结合上⾯的等式，于是得应选B．4.设⼆维随机变量(X，Y)在区域D:x 2 +y 2≤9a 2 (a＞0)上服从均匀分布，p=P{X 2 +9Y 2≤9a 2 }，则A．p的值与a⽆关，且B．p的值与a⽆关，且C．p的值随a值的增⼤⽽增⼤．D．p的值随a值的增⼤⽽减⼩．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为(X，Y)在区域D：x 2 +y 2≤9a 2上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为故选B．5.设随机变量X与Y服从正态分布N(-1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，aX+Y与X+by亦不相关，则______（分数：4.00）A.a-b=1．B.a-b=0．C.a+b=1．D.a+b=0．√解析：[解析] X～N(-1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2．⼜Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0，由协⽅差的性质有故选D．6.已知总体X的期望E(X)=0，⽅差D(X)=σ2．X 1，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，其均值为，则下⾯可以作为σ2⽆偏估计量的是______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=σ2，则所以选择C．对于A，B选项，由E(S 2 )=σ2，知均不是σ2的⽆偏估计量．7.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独⽴，则根据⾟钦⼤数定律，当n→∞时，于其数学期望，只要{X n，n≥1}满⾜______（分数：4.00）A.有相同的数学期望．B.服从同⼀离散型分布．C.服从同⼀泊松分布．√D.服从同⼀连续型分布．解析：[解析] ⾟钦⼤数定律的应⽤条件为：“独⽴同分布且数学期望存在”，选项A缺少同分布条件，选项B、D虽然服从同⼀分布但不能保证期望存在，只有C符合该条件．故选C．8.设X 1，X 2，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，是样本均值，C为任意常数，则______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析故选C．9.设总体X服从正态分布N(0，σ2 )，X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，统计量从F分布，则i等于______（分数：4.00）A.4．B.2．√C.3．D.5．解析：[解析] 因为X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，故独⽴同分布于N(0，σ2 )因此，则有⼜与相互独⽴，故故选B．10.在假设检验中，如果待检验的原假设为H 0，那么犯第⼆类错误是指______（分数：4.00）A.H0成⽴，接受H0．B.H0不成⽴，接受H0．√C.H0成⽴，拒绝H0．D.H0不成⽴，拒绝H0．解析：[解析] 直接应⽤“犯第⼆类错误”=“取伪”=“H 0不成⽴，接受H 0”的定义，选择B．⼆、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.每次从1，2，3，4，5中任取⼀个数，且取后放回，⽤b i表⽰第i次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T，三阶⽅阵，求线性⽅程组Ax=b有解的概率．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对增⼴矩阵作初等⾏变换有于是Ax=b有解的充要条件是，即b 3 -2b 2 +b 1 =0，其中b 1，b 2，b 3相互独⽴，且分布律相同：，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3．所以Ax=b有解的概率为甲、⼄两个⼈投球，甲先投，当有任⼀⼈投进之后便获胜，⽐赛结束．设甲、⼄命中率分别为p 1，p 2，0＜p 1，p 2＜1．求：（分数：6.00）(1).甲、⼄投球次数X 1与X 2的分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：每次投篮是相互独⽴的与其他⼏次⽆关．事件X 1 =n表⽰“甲投了n次”，即“甲、⼄各⾃在前n-1次没有投进，在第n次时甲投进或⼄投进”，所以P{X 1 -n}=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，…其中：q i =1-p i，i=1，2．事件“X 2=m”表⽰“⼄投了m次”，即“甲、⼄前m-1次均没有投进，甲在第m次也没有投进，⼄在第m 次投进”，或“甲、⼄前m次均没有投进，甲在第m+1次投进”．特殊地，当m=0时，表⽰甲第⼀次就投中，所以P{X 2 =m}=(q 1 q 2 ) m-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) m-1，m=1，2，…(2).若使甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则p 1，p 2满⾜什么条件?（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设事件A表⽰“甲获胜”，则总投篮次数为奇数．当X 1 +X 2 =2n-1时，意味着甲、⼄前n-1次都未投进，甲在第n次投进，于是有P{X 1 +X 2 =2n-1}=p 1 (q 1 q 2 ) n-1，则若甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则12.设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，⼜求Y的概率密度f Y (y)与分布函数F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解法⼀：应⽤单调函数公式法先求Y的概率密度f Y (y)．由于X在(0，1)内取值所以的值域为(0，+∞)，且y=g(x)在(0，1)单调．因此其反函数在(0，+∞)内单调可导，其导数h"(y)=2e -2y，在其定义域(0，+∞)内恒不为零．⼜因为X的概率密度所以Y的概率密度因此可见Y服从参数为2的指数分布，其分布函数为解法⼆：⽤分布函数法先求出Y的分布函数F Y (y)．当y≤0时，F Y (y)=0；当y＞0时，0＜x=1-e -2y＜1，最后⼀步是由于X服从(0，1)上的均匀分布．故所求Y的分布函数为将F Y (y)对y求导，得设随机变量(X，Y)的概率密度为试求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的分布函数；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：①当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0，故F(x，y)=0．②当0＜x≤1，0＜y≤2时，③当0＜x≤1，y＞2时，④当x＞1，0＜Y≤2时，⑤当x＞1，y＞2时，综上所述，分布函数为(2).(X，Y)的边缘分布密度；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当0≤x≤1时，当0≤y≤2时，(3).概率P{X+Y＞1}，P{Y＞X} 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，如下图所⽰，所以设(X，Y)服从D={(x，y)|y≥0，x 2 +y 2≤1}上的均匀分布，定义（分数：6.00）(1).求(U，V)的联合分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由题设可知，故(U，V)的可能值为(0，0)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)．则(U．V)的联合分布律为(2).求关于V的边缘分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由(U，V)的联合分布律得V的边缘分布律为(3).求在U=1的条件下V的分布律．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，所以所以所求V的分布律为13.设随机变量X的概率密度为，求随机变量 F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记如下图所⽰，φ(x)在[0，+∞)内最⼩值为-1，⽆最⼤值，在[0，+∞)左端点处的值为0．y=-1，0将y轴分成(-∞，-1)，[-1，0)，[0，+∞)三个区间．当y∈(-∞，-1)时，F Y (y)=0．当y∈[-1，0)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴上的投影与[0，+∞)的交集为F Y (y)=f X (x)在上的积分为当y∈[0，+∞)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴的投影与[0，+∞)的交集为，此时F Y (y)=f X (x)在上的积分为综上所述，y的分布函数为设随机变量X在区间(0，2)上随机取值，在X=x(1＜x＜2)条件下，随机变量Y在区间(1，x)上服从均匀分布．（分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合概率密度，并问X与Y是否独⽴；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：根据题设X在(0,2)上服从均匀分布，其密度函数为⽽变量Y，在X=x(1＜-x＜2)的条件下，在区间(1，x)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度⼜所以由于f X (x)f Y(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独⽴．(2).求P{3Y≤2X}；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，(3).记Z=X-Y，求Z的概率密度f Z (z)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：已知(x，y)～f(x，y)，则Z=X-Y的取值范围为0＜Z＜1．当0＜z＜1时，Z=X-Y的分布函数为则故设随机变量X与Y相互独⽴，X的概率分布为，Y的概率密度函数为Z=X+Y．求：（分数：6.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).Z的概率密度函数．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X=-1，Y≤z+1}+P{X=0，Y≤z}+P{X=1，Y≤z-1}．因为X与Y相互独⽴，故①当z+1＜0(z-1＜-2)，即z＜-1时，f Y (y)=0，从⽽F Z (z)=0；②当0≤z+1＜1(-2≤z-1＜-1)，即-1≤z＜0时，③当-1≤z-1＜0(1≤z+1＜2)，即0≤z＜1时，④当0≤z-1＜1(2≤z+1＜3)，即1≤z＜2时，⑤当1≤z-1(3≤z+1)，即z≥2时，综上故设⼆维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为U=X+Y，V=X-Y．求：（分数：6.00）(1).U的分布函数F 1 (u)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当u＜0时，F 1 (u)=0；当u≥0时，故U的分布函数F 1 (u)为(2).V的分布函数F 2 (v)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当v＜0时，F 2 (v)=0；当v≥0时，故V的分布函数F 2 (v)为(3).P{U≤u，V≥v}(u＞v＞0)，并判断U与V是否独⽴．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()当u＞0，v＞0时，P{U≤u}P{V≥v}=F 1(u)·[1-F 2 (v)]=e -2v (1-e -u ) 2≠P{U≤u，V≥v}，从⽽可知，U与V不独⽴．设⼆维随机变量(X，Y)在矩形区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}上服从⼆维均匀分布，随机变量求：（分数：6.00）(1).U和V的联合概率分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(U，V)的可能取值为(-1,-1)，(-1,1)，(1,-1,)，(1,1)，如下图．依题意知，X与Y的联合概率密度为则有同理类似地可以计算出其他P ij的值：(2).讨论U和V的相关性和独⽴性．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：从(U，V)的联合分布与边缘分布可以计算出所以E(UV)=E(U)·E(V)，U与V不相关；⼜因为P{U=u，V=v}=P{U=u}·P{V=v}，所以U与V相互独⽴．。

2025年考研数学一题型分布一、函数、极限与连续本部分主要包括函数的定义、性质以及极限的运算。

其中，极限部分是重点，需要掌握极限的定义、性质以及运算方法。

二、一元函数微分学本部分主要考察一元函数的导数与微分的运算以及相关概念的应用。

重点内容包括导数的定义、性质和运算方法，以及微分的基本概念和运算方法。

三、一元函数积分学本部分主要考察一元函数的积分运算，包括不定积分和定积分的计算和应用。

需要掌握积分的计算方法，以及积分的应用，如求面积、体积等。

四、多元函数微分学本部分主要考察多元函数的偏导数和全微分的计算，以及相关概念的应用。

需要掌握多元函数的定义、性质和偏导数的计算方法，以及全微分的基本概念和运算方法。

五、多元函数积分学本部分主要考察多元函数的重积分和曲线积分的计算和应用。

需要掌握重积分的计算方法，以及曲线积分的计算和应用，如求面积、长度等。

六、常微分方程与差分方程本部分主要考察常微分方程和差分方程的基本概念和求解方法。

需要掌握常微分方程的通解和特解，以及差分方程的求解方法。

七、无穷级数本部分主要考察无穷级数的基本概念和性质，以及级数的求和和展开方法。

需要掌握无穷级数的定义、性质和求和的方法，以及级数的展开和应用。

八、线性代数本部分主要考察线性代数的基本概念和运算方法，包括矩阵的运算、行列式的计算和应用，线性方程组的求解方法等。

需要掌握矩阵的运算规则、行列式的计算和应用，以及线性方程组的求解方法。

九、概率论与数理统计本部分主要考察概率论与数理统计的基本概念和运算方法，包括随机事件的概率计算、随机变量的分布和数字特征的计算，以及统计数据的描述和分析方法等。

需要掌握随机事件的概率计算方法、随机变量的分布类型和数字特征的计算方法，以及统计数据的描述和分析方法。

考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )A．—1B．0C．D．1正确答案：A解析：掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n—X。

由方差的定义：D(X)=E(X2)一[E(X)]2，所以D(Y)=D(n—X)=E(n—X)2一[E(n—X)]2=E(n2—2nX+X2)—[n一E(X)]2=n2—2nE(X) +E(X2)一n2+ 2nE(X) —[E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)。

由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y) = Cov(X1，Y) + Cov(X2，Y)，所以Cov(X，Y) = Cov(X，n—X) = Cov(X，n) —Cov(X，X)=0—D(X)=—D(X)，由相关系数的定义，得知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)且相关系数ρXY=1，则( ) A．P{Y=—2X—1}=1B．P{Y=2X—1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D解析：用排除法。

设Y=aX+b。

由ρXY=1，知X、Y正相关，得a＞0。

排除A和C。

由X～N(0，1)，Y～N(1，4)，得E(X)=0，E(Y)=1，E(aX+b)=aE(X)+b，即1=a×0+b，故b=1。

从而排除B。

故应选D。

知识模块：概率论与数理统计3．将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ) A．1B．C．D．—1正确答案：D解析：设两段长度分别为X，Y，显然X+Y=1，即y=—X+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为—1。

考研数学概率论重点整理概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的规律性。

考研数学中的概率论是一个重要的考点，在准备考试时需要重点整理和复习。

本文将从概率的基本概念、常见的概率分布以及概率计算方法等方面进行重点整理，帮助考生更好地复习概率论知识。

一、概率的基本概念1.随机试验和样本空间随机试验是指在相同的条件下可以重复进行的实验，其结果不确定。

样本空间是随机试验的所有可能结果构成的集合。

2.随机事件和事件的概率随机事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的某种结果。

事件的概率是指事件发生的可能性大小，用P(A)表示。

3.频率与概率的关系频率是指随机事件在大量重复试验中出现的次数与总试验次数的比值。

当试验次数趋于无穷时，频率趋近于概率。

二、常见的概率分布1.离散型随机变量离散型随机变量是只取有限或可列无限个数值的随机变量，其概率分布可以用概率函数或概率分布列表示。

常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。

2.连续型随机变量连续型随机变量是取值范围为一段连续区间的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数表示。

常见的连续型随机变量包括正态分布、指数分布等。

三、概率计算方法1.加法定理与乘法定理加法定理适用于求两个事件的并、或概率。

乘法定理适用于求两个事件的交概率。

2.条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

贝叶斯定理是由条件概率推导出来的计算公式，用于计算两个事件之间的概率关系。

3.独立性和互斥性独立事件是指两个事件之间相互不影响的事件，其概率计算有简化的特点。

互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件。

四、重点题型解析1.题型一：概率计算题概率计算题是考试中的常见题型，主要涉及到加法定理、乘法定理、条件概率等知识点的应用。

解答此类题目时，需要准确理解题目要求，运用相应的概率计算方法进行计算。

2.题型二：随机变量的分布函数与密度函数求解此类题目主要考察对于离散型随机变量和连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的求解能力。

考研数学概率重难点及常考题型一、概率的基本概念1.1 概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小。

一般来说，事件发生的可能性大小用0到1之间的实数表示，而0表示不可能事件，1表示必然事件。

1.2 随机事件随机事件是指某个事件的结果不确定，且可能有多种可能性。

例如，掷骰子的结果就是随机事件。

1.3 样本空间与事件样本空间是指一个随机事件所能够产生的所有可能结果的集合。

而事件是样本空间的子集，表示某个事件可能发生的所有结果。

1.4 事件的概率事件的概率等于事件中每个结果的概率之和。

二、概率的计算公式2.1 加法公式加法公式适用于两个事件不会同时发生的情况。

其公式如下：P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)其中，A和B是两个事件，P(A)表示事件A发生的概率，而P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2.2 乘法公式乘法公式适用于两个事件同时发生的情况。

其公式如下：P(A且B) = P(A) * P(B|A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2.3 条件概率条件概率表示在已知某些条件下，某个事件发生的概率。

其公式如下：P(A|B) = P(A且B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

2.4 独立事件如果事件A和事件B互相独立，则满足以下条件：P(A且B) = P(A) * P(B)其中，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

三、概率的常见分布3.1 泊松分布泊松分布是一种用来描述稀疏事件的概率分布。

其概率密度函数为：P(x) = (e ^ -μ * μ ^ x) / x!其中，μ表示事件在给定时间或空间单位内发生的平均次数，x表示事件发生的次数。

3.2 二项分布二项分布是一种描述在n次独立实验中成功次数的概率分布。

考研数学一大纲重难点解析概率论与数理统计部分典型题型剖析概率论与数理统计是考研数学一大纲中的重要部分，也是考生们在备考过程中常常遇到的难点之一。

本文将重点解析概率论与数理统计的典型题型，帮助考生更好地掌握这一部分知识。

一、概率论1. 概率与事件概率论的基础是概率与事件的概念。

在此部分，考生需要掌握事件的基本概念、事件的运算、概率的定义、概率的性质等内容。

典型题型包括事件的互斥与独立性、事件的运算法则等。

考生在解答此类题目时应注意运用概率的基本性质，并进行合理的计算。

2. 随机变量及其分布律随机变量是概率论与数理统计的重要概念之一。

考生需要掌握随机变量的定义、离散随机变量与连续随机变量的概念、分布律的性质等知识点。

典型题型包括计算随机变量的期望、方差等。

考生在解答此类题目时应注意根据定义和性质进行计算，并合理运用公式。

3. 数理期望与方差数理期望与方差是随机变量的重要特征之一。

考生需要掌握数理期望与方差的概念、性质、计算方法等知识点。

典型题型包括利用数理期望与方差计算随机变量的相关性和条件概率等。

考生在解答此类题目时应注意计算过程的合理性，并运用数理期望与方差的性质进行推理。

4. 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论的重要理论。

考生需要掌握大数定律与中心极限定理的概念、条件以及应用方法。

典型题型包括利用大数定律和中心极限定理求解随机变量的极限分布等。

考生在解答此类题目时应注意运用大数定律和中心极限定理的条件，并进行合理的推导。

二、数理统计1. 参数估计参数估计是数理统计的重要内容之一。

考生需要掌握点估计和区间估计的概念、性质、计算方法等知识点。

典型题型包括利用最大似然估计和矩估计求解参数的估计量等。

考生在解答此类题目时应注意理解估计的概念和方法，并进行合理的计算与推导。

2. 假设检验假设检验是数理统计中的重要内容之一。

考生需要掌握假设检验的基本原理、步骤、常见假设检验方法等知识点。

考研数学概率与数理统计考试内容总结3篇考研数学概率与数理统计考试内容总结3篇在进行考研的时候，数学的概率与数理统计考试内容一直是考生们十分关注的问题，下面就让小编给大家带来考研数学概率与数理统计考试内容，希望大家喜欢！下面就和小编一起来看看吧。

考研数学概率与数理统计考试内容篇1概率论与数理统计是考研数学一和数学三的必考内容，数学二的考生不考。

这部分的内容相对于高等数学而言算是较简单的部分，与线性代数一样都是考生必须要抓住的地方。

接下来跨考教育数学教研室吴方方老师就为考生归纳总结概率论与数理统计的考点，希望对考生复习有所帮助。

概率统计的考点每年都差不多，没什么大的变化。

从历年的考研真题来看，概率统计这部分的内容考查单一知识点比较少，即使是填空题和选择题都是这样。

大部分的考题都是考查考生的理解能力和综合应用能力，因此要求我们考生要能够灵活地应用所学的知识建立正确的概率模型。

要能够熟练的应用高等数学里的知识来解决我们概率统计上的问题，比如定积分和二重积分是我们同学们要必须掌握的住的知识，其在概率统计中一维和二维随机变量求概率都能用的上。

概率统计第一章的古典概型和几何概型是大部分考生所头疼的，其中古典概型更是让很多同学摸不着头脑，其实古典概型考试大都是以小题形式出现的，它并不是考试的重点，但确实是考试的难点。

而几何概型就是一个事件发生的概率等于这个事件的度量与整个样本空间度量的比，这个度量可以是长度、面积、体积。

相对于古典概型，几何概型是重要的。

接下来，就是随机变量的内容了。

我们主要考的是离散和连续两种随机变量，一维随机变量和二维随机变量主要考点包括：分布函数，概率密度，分布律，联合分布函数，联合概率密度，联合分布律，边缘分布函数，边缘概率密度，边缘分布律，条件分布律，条件概率密度，以及一维和二维随机变量的函数的分布。

其中随机变量函数的分布是考试的重点，一般是与第四章数字特征(期望、方差、协方差以及相关系数)结合来考大题。

考研数学概率各章节重点及常考题型第一章随机事件和概率一、本章的重点内容四个关系：包含，相等，互斥，对立五个运算：并，交，差四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式条件概率利用独立性进行概率计算n 重伯努利概型的计算近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识二、常见典型题型1.随机事件的关系运算2.求随机事件的概率3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式第二章随机变量及其分布一、本章的重点内容随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)分布律和概率密度的性质(充要条件)八大常见的分布：0-1 分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用会计算与随机变量相联系的任一事件的概率随机变量简单函数的概率分布近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布二、常见典型题型1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定3.反求或判定分布中的参数4.求一维随机变量在某一区间的概率5.求一维随机变量函的分布第三章二维随机变量及其分布一、本章的重点内容二维随机变量及其分布的概念和性质边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度随机变量的独立性及不相关性一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布几个随机变量的简单函数的分布本章是概率论重点部分之一!应着重对待二、常见典型题型1.求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度2.已知部分边缘分布，求联合分布律3.求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度4.两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明5.与二维随机变量独立性相关的命题6.求两个随机变量的相关系数7.求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率第四章随机变量的数字特征一、本章的重点内容随机变量的数字特征定义(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)常见分布的数字特征利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望.二、常见典型题型1.求一维随机变量函数的数字特征2.求二维随机变量或函数的数字特征3.求两个随机变量的协方差或相关系数4.数字特征在经济中的应用题.第五章大数定律和中心极限定理一、本章的重点内容三个大数定律：切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律两个中心极限定理：棣莫弗-拉普拉斯定理、列维-林德伯格定理本章的内容不是重点，也不经常考，只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以了二、常见典型题型1.估计概率的值2.与中心极限定理相关的命题第六章数理统计的基本概念一、本章的重点内容数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩常见统计量：包括标准正态分布、卡方分布、t 分布和 F 分布，要掌握这些分布对应随机变量的典型模式及它们参数的确定，这些分布的分位数和相应的数值表正态总体的抽样分布，包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布本章是数理统计的基础，也是重点之一。

考研概率统计重点内容及常见题型概率统计是考研数学的一门重要课程，涉及到概率、统计两个方面的知识。

下面将介绍概率统计的重点内容及常见题型。

概率部分的重点内容主要包括：随机事件及其概率、条件概率与独立性、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布。

1.随机事件及其概率：对于随机试验，有一系列可能发生的结果，这些可能的结果称为样本空间，每个结果称为一个样本点。

随机事件是样本空间的子集，概率是研究随机事件发生的可能性大小的数值度量。

2.条件概率与独立性：条件概率指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

独立事件指两个事件之间互不影响的情况。

条件概率与独立性是概率论中非常重要的概念，需要注意掌握。

3.随机变量及其分布：随机变量是将样本空间中的每个样本点都与一个实数对应起来的函数，用来描述随机试验的结果。

常见的随机变量有离散随机变量和连续随机变量，它们分别具有不同的概率分布。

4.多维随机变量及其分布：多维随机变量是描述多个随机试验的结果的随机变量。

在多维随机变量中，需要了解联合分布、边际分布以及条件分布等概念，以及一些重要的多维离散分布和多维连续分布的特点和计算方法。

统计部分的重点内容主要包括：样本与总体、点估计、区间估计、假设检验、回归分析。

1.样本与总体：样本是从总体中抽取的一部分，用来进行统计推断。

需要了解样本的概念、抽样方法以及样本的描述性统计等内容；总体是研究对象的全体，包括总体的参数和总体的分布等。

2.点估计：点估计是利用样本信息对总体参数进行估计。

常见的点估计方法有矩估计、最大似然估计等，需要了解估计量的性质以及估计量的分布。

4.假设检验：假设检验是对总体参数是否满足某个假设进行判断的方法。

常见的假设检验方法有参数检验和非参数检验，需要了解假设检验的步骤以及显著性水平等。

5.回归分析：回归分析是研究两个或多个变量之间相互依赖关系的统计方法。

需要了解简单线性回归模型、多元线性回归模型以及回归模型中的参数估计和检验方法等。

考研数学一每年必考的知识点及题型有哪些根据大纲，我们可以了解到考研数学一会考到的内容。

那么从历年的真题当中发现有哪些知识点和提醒是数学一必考的呢?下面就是店铺给大家整理的考研数学一每年必考的知识点及题型，希望对你有用! 考研数学一每年必考的知识点及题型一元函数微分学：隐函数求导、曲率圆和曲率半径;一元积分学：旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、功、引力、压力、质心、形心等;向量代数与空间解析几何：向量、直线与平面、旋转曲面、球面、柱面、常用的二次曲面方程及其图形、投影曲线方程;多元函数微分学：方向导数和梯度、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面和法线;隐函数存在定理;多元函数积分学：三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、散度、旋度;无穷级数：傅里叶级数;微分方程：伯努利方程、全微分方程、可降阶的高阶微分方程、欧拉方程。

以上内容为数学一单独考查的内容，是数学一特有的内容，所以这些内容每年必考。

其中：多元函数积分学中曲线曲面积分三重积分几乎每年必考，常与空间解析几何一起考查，尤见于大题，今年(2017年)考查了第一型曲面积分及投影曲线，散度旋度常见于小题。

无穷级数中的傅里叶级数考过解答题也考过小题，31年真题中考过4次大题，6次小题。

多元函数微分学中考点常见于小题，切线和法平面，切平面和法线尤其喜欢出填空题，隐函数存在定理考过选择题。

微分方程中可降阶出现频率较高，常在微分方程的应用题中出现，欧拉方程单独直接考查出现过1次。

一元微分学中的曲率常见于小题如选择题填空题，隐函数求导属于常考题型，是一种计算工具，常与其他考点结合考查，如与极值、拐点相结合。

一元积分学中的物理应用：功、压力、质心等考频不高，考过3次。

由于这些考点属于数一单有的，也是考官比较青睐的内容，难度不大，只要我们复习到了就能拿分，所以希望大家引起重视。

考研数学历年必考题型1、运用洛必达法则和等价无穷小量求极限问题，直接求极限或给出一个分段函数讨论基连续性及间断点问题。