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参考答案（理）一、选择题ＣＢＡＢＤＣＡＣＤＡＡＡ二、填空题１３．０．２１４．２（３－槡５）π１５．１１６．槡３６三、解答题１７．（１）∵Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，∴λ∈Ｒ，使→ＡＣ＝λ→ＡＢ，→ＯＣ－→ＯＡ＝λ（→ＯＢ－→ＯＡ），即→ＯＣ＝（１－λ）→ＯＡ＋λ→ＯＢ．由平面向量基本定理，１－λ＝ａ３，λ＝ａ１５｛．消去λ，得ａ３＋ａ１５＝１．……３分又ａ３＋ａ１５＝ａ１＋ａ１７，所以Ｓ１７＝１７（ａ１＋ａ１７）２＝１７２．即存在ｎ＝１７时，Ｓ１７为定值１７２．……５分（２）由于ａｎｂｎ＝ａ１＋ａ２ｎ－１ｂ１＋ｂ２ｎ－１＝Ｓ２ｎ－１Ｔ２ｎ－１＝３１ｎ＋３５ｎ＋１……７分＝３１＋４ｎ＋１．……８分依题意，ｎ＋１的可能取值为２，４，所以ｎ的取值为１或３，即使ａｎｂｎ为整数的正整数ｎ的集合为｛１，３｝．……１０分１８．（１）在△ＣＤＥ中，ＣＤ＝ＣＥ２＋ＥＤ２－２ＣＥ²ＥＤ²ｃｏｓ∠槡ＣＥＤ＝３＋１－２²槡３²１²槡ｃｏｓ３０°＝１．……２分∴△ＥＤＣ为等腰三角形，∠ＡＤＢ＝６０°，ＡＤ＝２，ＡＥ＝１，……４分Ｓ△ＡＣＥ＝１２²ＡＥ²ＣＥ²ｓｉｎ∠ＡＥＣ＝１２²１²槡３²ｓｉｎ１５０°＝槡３４．……６分（２）设ＣＤ＝ａ，在△ＡＣＥ中，ＣＥｓｉｎ∠ＣＡＥ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＣＥ∴ＣＥ＝２ａｓｉｎ１５°ｓｉｎ３０°＝（槡６－槡２）ａ．……８分学试卷参考答案（理）一、选择题ＣＢＡＢＤＣＡＣＤＡＡＡ二、填空题１３．０．２１４．２（３－槡５）π１５．１１６．槡３６三、解答题１７．（１）∵Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，∴λ∈Ｒ，使→ＡＣ＝λ→ＡＢ，→ＯＣ－→ＯＡ＝λ（→ＯＢ－→ＯＡ），即→ＯＣ＝（１－λ）→ＯＡ＋λ→ＯＢ．由平面向量基本定理，１－λ＝ａ３，λ＝ａ１５｛．消去λ，得ａ３＋ａ１５＝１．……３分又ａ３＋ａ１５＝ａ１＋ａ１７，所以Ｓ１７＝１７（ａ１＋ａ１７）２＝１７２．即存在ｎ＝１７时，Ｓ１７为定值１７２．……５分（２）由于ａｎｂｎ＝ａ１＋ａ２ｎ－１ｂ１＋ｂ２ｎ－１＝Ｓ２ｎ－１Ｔ２ｎ－１＝３１ｎ＋３５ｎ＋１……７分＝３１＋４ｎ＋１．……８分依题意，ｎ＋１的可能取值为２，４，所以ｎ的取值为１或３，即使ａｎｂｎ为整数的正整数ｎ的集合为｛１，３｝．……１０分１８．（１）在△ＣＤＥ中，ＣＤ＝ＣＥ２＋ＥＤ２－２ＣＥ²ＥＤ²ｃｏｓ∠槡ＣＥＤ＝３＋１－２²槡３²１²槡ｃｏｓ３０°＝１．……２分∴△ＥＤＣ为等腰三角形，∠ＡＤＢ＝６０°，ＡＤ＝２，ＡＥ＝１，……４分Ｓ△ＡＣＥ＝１２²ＡＥ²ＣＥ²ｓｉｎ∠ＡＥＣ＝１２²１²槡３²ｓｉｎ１５０°＝槡３４．……６分（２）设ＣＤ＝ａ，在△ＡＣＥ中，ＣＥｓｉｎ∠ＣＡＥ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＣＥ∴ＣＥ＝２ａｓｉｎ１５°ｓｉｎ３０°＝（槡６－槡２）ａ．……８分在ｃｏｓ∠ＤＡＢ＝ｃｏｓ（∠ＣＤＥ－９０°）＝ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝槡３－１．……１２分１９．（１）线段ＡＢ的中垂线方程：ｙ＝ｘ，２ｘ－ｙ－４＝０，ｙ＝ｘ｛．ｘ＝４，ｙ＝４｛．即Ｓ（４，４）．……３分圆Ｓ半径｜ＳＡ｜＝５，……４分则圆Ｓ的方程为：（ｘ－４）２＋（ｙ－４）２＝２５．……６分（２）由ｘ＋ｙ－ｍ＝０变形得ｙ＝－ｘ＋ｍ，代入圆Ｓ的方程，消去ｘ并整理得２ｘ２－２ｍｘ＋ｍ２－８ｍ＋７＝０．令△ ＝（２ｍ）２－８（ｍ２－８ｍ＋７）＞０，得８－槡５２＜ｍ＜８＋槡５２，……８分设点Ｃ，Ｄ的横坐标分别为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＝ｍ，ｘ１ｘ２＝ｍ２－８ｍ＋７２．依题意，得→ＯＣ²→ＯＤ＜０，即ｘ１ｘ２＋（－ｘ１＋ｍ）（－ｘ２＋ｍ）＜０．ｍ２－８ｍ＋７＜０，解得１＜ｍ＜７．……１１分故实数ｍ的取值范围｛ｍ｜８－槡５２＜ｍ＜８＋槡５２｝∩｛ｍ｜１＜ｍ＜７｝＝｛ｍ｜１＜ｍ＜７｝．……１２分２０．（１）以Ｂ为原点，ＢＣ，ＢＡ，ＢＢ１分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建立空间直角坐标系，则Ａ（０，１，０），Ｂ（０，０，０），Ｃ（２，０，０），Ｄ１（２，２，２）．若存在这样的点Ｆ，则可设Ｆ（０，ｙ，ｚ），其中０≤ｙ≤１，０≤ｚ≤２．……２分→ＥＦ＝（－２，ｙ－１，ｚ－１），→ＡＣ＝（２，－１，０），ＣＤ→１＝（０，２，２），∵ＥＦ⊥平面ＡＣＤ１，∴→ＥＦ⊥→ＡＣ，→ＥＦ⊥ＡＤ→１．则→ＥＦ²→ＡＣ＝０，→ＥＦ²ＡＤ→１＝０，即－４－（ｙ－１）＝０，２（ｙ－１）＋２（ｚ－１）＝０｛．ｙ＝－３，ｚ＝５｛．……４分与０≤ｙ≤１，０≤ｚ≤２矛盾，所以不存在满足条件的点Ｆ．……６分（２）设｜ＤＤ１｜＝２ｋ（ｋ＞０），则Ｋ（０，０，ｋ），→ＡＫ＝（０，－１，ｋ）．设平面ＡＣＫ的法向量ｍ→＝（ｘ，ｙ，ｚ），则－ｙ＋ｋｚ＝０，２ｘ－ｙ＝０｛．取一个ｍ→＝（ｋ，２ｋ，２），同样的，可求得平面ＡＣＤ１的一个法向量ｎ→＝（－ｋ，－２ｋ，２）．……８分依题意得｜ｍ→²ｎ→｜ｍ→｜｜ｎ→｜｜＝１２，即｜－ｋ２－４ｋ２＋４５ｋ２＋槡４² ５ｋ２＋槡４｜＝１２，……１０分解得：ｋ＝±槡２１５１５或±槡２１５５（负值舍去），即ＤＤ１的长为槡４１５１５或槡４１５５．……１２分２１．（１）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，由ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，ｙ２＝２ｐｘ烅烄烆．消去ｘ得ｙ２－２ｐｍｙ－ｐ２＝０．所以ｙ１＋ｙ２＝２ｐｍ，ｙ１ｙ２＝－ｐ２．∵→ＯＡ²→ＯＢ＝－３，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝－３，ｘ１ｘ２＝ｙ１２２ｐ²ｙ２２２ｐ＝ｐ２４，所以ｐ２４－ｐ２＝－３，ｐ２＝４．∵ｐ＞０，∴ｐ＝２．……４分（２）由抛物线定义，｜ＡＭ｜＝ｘ１＋ｐ２＝ｘ１＋１，｜ＢＭ｜＝ｘ２＋ｐ２＝ｘ２＋１．……６分∴｜ＡＭ｜＋４｜ＢＭ｜＝ｘ１＋４ｘ２＋５≥２４ｘ１ｘ槡２＋５＝９．当且仅当ｘ１＝４ｘ２时取等号．……８分将ｘ１＝４ｘ２代入ｘ１ｘ２＝ｐ２４＝１中，得ｘ２＝±１２（负值舍去）．ｘ２＝１２代入ｙ２＝４ｘ中，得ｙ２＝±槡２，即点Ｂ的坐标为（１２，±槡２）．……１０分将Ｂ的坐标代入ｘ＝ｍｙ＋１，得ｍ＝±槡２４．∴ｌ的方程为：ｘ＝±槡２４ｙ＋１，即４ｘ±槡２ｙ－４＝０．……１２分２２．（１）∵ｆ（ｘ）＝ｍｌｎ（１＋ｘ）－ｘ，∴ｆ′（ｘ）＝ｍ１＋ｘ－１．∵ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为单调函数，∴ｆ′（ｘ）≥０恒成立，或ｆ′（ｘ）≤０恒成立．……２分即ｍ１＋ｘ≥１恒成立，或ｍ１＋ｘ≤１恒成立．∵ｘ∈（０，＋∞），∴ｍ≥１＋ｘ不能恒成立．而１＋ｘ＞１，∴ｍ≤１时ｆ（ｘ）为单调递减函数．综上，ｍ≤１．……４分（２）由（１）知，ｍ＝１时，ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数，∴ｆ（ｘ）＜ｆ（０），即ｌｎ（ｘ＋１）＜ｘ，ｘ∈（０，＋∞）．……６分∵ｓｉｎ１，ｓｉｎ１２２，…ｓｉｎ１ｎ２＞０，∴ｌｎ（１＋ｓｉｎ１）＜ｓｉｎ１，ｌｎ（１＋ｓｉｎ１２２）＜ｓｉｎ１２２，……ｌｎ（１＋ｓｉｎ１ｎ２）＜ｓｉｎ１ｎ２．……８分令ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ｘ，ｘ∈ （０，π２），则ｇ′（ｘ）＝ｃｏｓｘ－１＜０，∴ｇ（ｘ）在（０，π２）上为减函数．∴ｇ（ｘ）＜ｇ（０），即ｓｉｎｘ＜ｘ，ｘ∈（０，π２）．∴ｓｉｎ１＜１，ｓｉｎ１２２＜１２２，…，ｓｉｎ１ｎ２＜１ｎ２．……１０分∴ｌｎ（１＋ｓｉｎ１）＋ｌｎ（１＋ｓｉｎ１２２）＋…＋ｌｎ（１＋ｓｉｎ１ｎ２）＜ｓｉｎ１＋ｓｉｎ１２２＋…＋ｓｉｎ１ｎ２＜１＋１２２＋…＋１ｎ２＜１＋１１³２＋１２³３＋…＋１（ｎ－１）ｎ＝１＋（１－１２）＋（１２－１３）＋…＋（１ｎ－１－１ｎ）＝２－１ｎ＜２．即ｌｎ［（１＋ｓｉｎ１）（１＋ｓｉｎ１２２）…（１＋ｓｉｎ１ｎ２）］＜２．∴（１＋ｓｉｎ１）（１＋ｓｉｎ１２２）…（１＋ｓｉｎ１ｎ２）＜ｅ２．……１２分。
周三检测题2015/1/211．设z ＝10i 3＋i，则z 的共轭复数为 ( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i D ．1－3i2． “－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0 4.由曲线y =2y x y =-及轴所围成的图形的面积为 （ ） A. 103 B.4 C. 163 D.65．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m 2－a 2 B.m － a C.12(m －a ) D ．m －a 6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2] 7．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为____．8．已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-010y x y x 且目标函数by ax z +=2 )0,0(>>b a 的最大值是1，则ab的最大值为9.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为10．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．11 . ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且22sin cos 212A B C ++=． （1）求角C 的大小；（2）若向量(3,)m a b =，向量(,)3b n a =-，且m n ⊥，()()16m n m n +⋅-=，求,,a bc 的值．12.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求二面角P —BD —A 的大小.13．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n .14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆C 的方程； (2)求△PAB 的面积．周三检测题2015/1/211-6 DBD CDC7. 3 8.81 9. 3 10. 22 11．解：（1）∵22sin cos 212A B C ++= ∴2cos 212sin cos()cos 2A B C A B C +=-=+=-， ∴22cos cos 10C C +-=，∴1cos 2C =或cos 1C =- (0,),C π∈∴3C π= （2）∵⊥ ∴22303b a -=，即229b a = 又16)()(=-⋅+，∴1698822=+b a ，即2229b a +=② 由①②可得221,9a b ==，∴1,3a b ==又2222cos 7,c a b ab C =+-=∴c =1,3,a b c ===12.(1)证明 如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0).∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解 设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧ －23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x . 令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12. ∴二面角P —BD —A 的大小为60°.13.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝－8，2a 1＋4d ＝－14，解得a 1＝－1，d ＝－3.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1－3(n －1)＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，得a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1，∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． ∴当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n 2；当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n 1－c ＝n (3n －1)2＋c n －1c －1.综上，数列{b n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n 2＋n 2， c ＝1，n (3n －1)2＋c n－1c －1，c ≠1.14．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m4，y 0＝x 0＋m ＝m4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.。
解答题规范专练(三) 数 列1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1－a n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2(a n －1)a n(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使S n >2 013成立的n 的最小值．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n a n ＋2，且a 1＝2. (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列，若是，请给予证明，若不是，请说明理由； (2)若b n ＝2＋a n a n ·⎝⎛⎭⎫12n ，求数列{b n }的前n 项和T n .3．(2014·皖南八校联考)将数列{a n }中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第1列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1，S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n b n S n －S 2n＝1(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)上表中，若从第3行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．答 案1．解：(1)证明∵a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)(n ≥2，n ∈N *)．∵a 1＝2，a 2＝4，∴a 2－a 1＝2≠0，∴a n －a n －1≠0(n ≥2，n ∈N *)，故数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝2， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋2n －3＋…＋21＋2＝2×(1－2n －1)1－2＋2＝2n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 1＝2也满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝2(a n －1)a n ＝2⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2－12n －1(n ∈N *)， ∴S n ＝2n －⎝⎛⎭⎫1＋121＋122＋…＋12n －1＝2n －1－12n 1－12＝2n －2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2n －2＋12n －1， 由S n >2 013得，2n －2＋12n －1>2 013，即n ＋12n >2 0152， ∵n ∈N *，∴n ＋12n 的值随n 的增大而增大， ∴n 的最小值为1 008.2．解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知，1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2， b n ＝2＋a n a n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫2a n ＋1·⎝⎛⎭⎫12n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1.② ①－②得12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1＋14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝ 32－n ＋32n ＋1，∴T n ＝3－n ＋32n . 3．解：(1)由已知，当n ≥2时，2b n b n S n －S 2n＝1， 又b n ＝S n －S n －1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1， 即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列． 故1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1).因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.(2)设表中从第3行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78， 所以表中第1行至第12行含有数列{a n }中的前78项，故a 81在表中第13行第3列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14， 所以q ＝2(舍去负值)．记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，则S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)·(1－2k )(k ≥3)．。
临沂一中2012级高三上学期第二次阶段性检测题理科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1、设全集为R ，函数()f x =的定义域为M ，则R C M =( )A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞2、下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2430x x -+≠” B ．“1x >”是“0x >”的充分不必要条件 C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，使得210x x ++≥3、若函数()22(1)3f x ax a x a =+--为偶函数，其定义域242,1a a ⎡⎤++⎣⎦，则()f x 的最小是为（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1- 4、设1111232,,a x dx b x dx c x dx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a b c =>D ．a c b >>5、已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠是其导数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<，则（ ）A ．()()223(log )f a f f a <<B ．()()23(log )2f f a f a <<C ．()()2(log )32f a f f a <<D ．()()2(log )23f a f a f << 6、把函数sin()(0,)y wx w ϕϕπ=+><的图象向右平移6π个单位，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象解析式为sin y x =，则（ ） A ．2,6w πϕ==B ．2,3w πϕ==C ．1,26w πϕ== D ．1,212w πϕ== 7、下图，有一个是函数()3221(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()f x '的图象，则()1f -等于（ ）A ．13 B ．13- C ．73 D ．13-或538、若sin ,cos θθ是方程2420x mx m ++=的两根，则m 的值为（ ）A ．1．1 C ．1．1-9、已知集合(){(,)|}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在11(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个结合： ①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|sin 1}M x y y x ==+ ③2{(,)|log }M x y y x == ④{(,)|2}xM x y y e ==- A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④10、已知偶数()f x 以4为周期，且当[]2,0x ∈-时，()1()12xf x =-，若在区间[]6,6-内关于x的方程()2log (2)0(1)f x x a ⋅+=>恰有4个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2二、（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、若两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是 12、函数()ln xf x x=的单调递增区间是 13、()sin()cos()4(,,,f x a x a b x a b ππβαβ=++++均为非零实数)，若()20146f =， 则()2015f =14、设区间1()n y x n N +*=∈，在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则 则1299a a a +++的值为15、给出下列四个命题：①命题“x R ∀∈，都有2314x x -+≥”的否定是“x R ∃∈，都有2314x x -+<” ②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；③将函数cos 2y x =图象向右平移4π个单位，得到cos(2)4y x π=-的图象；④命题“设向量(4sin ,3),(2,3cos )a b αα==，若//a b ，则4πα=”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.其中正确命题的序号为三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16、已知命题:p 方程2220x ax a +-=在[]1,1-上有解；命题:q 只有一个实数0x 满足不等式20220x ax a ++≤，若命题“p q ∨”是假命题，求a 的取值范围。
高三必过关题7 平面向量一、填空题例1 给出下列命题,其中不正确的序号是 ．① 0a = 0；② 对于实数m 和向量,a b （m ∈R ），若m m =a b ，则=a b ； ③ 若≠a 0，⋅=⋅a b a c ，则=a c ；④ ()()⋅=⋅a b c a b c 对任意,,a b c 向量都成立；⑤对任意向量a，有a ．答案：①②③④例2 与a = (3,－4)平行的单位向量是_________；答案： (35 ，－45 )或(－35 ，45)．例3 平面向量a 与b 的夹角为60°，(,),||==201a b ，则|2|+=a b 答案：例4已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量ka -b 垂直，则k=_______ 答案: 1k =.例5 如图，正方形ABCD 内有一个正ABE △，设,AB AD ==i j ，则DE 等于 ．（用i 、j 表示） 答案：12i j ． 例6 定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度||||sin ,*=⨯⨯θa b a b 其中θ为 向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,=-=u u v 则|()|*+u u v = ．答案：．例7 如图，在△ABC 中，AN =31NC ，P 是BN 上的一点，若 AP =m AB +112AC ，则实数m 的值为___________. 解析： 123,.41144AP AC NP mAB AC NP mAB AC =+=+=-BD()3144NB NC CB AC AB AC AB AC =+=+-=-,设,NP NB λ=则14AB AC λλ-=344mAB AC -，3.11m λ==例8. 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.答案:5例9 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ． 解析：设25AM AB =，15AN AC =，则AP AM AN =+，由平行四边形法则，知NP ∥AB ，所以ABP ABC S AN S AC∆∆=＝15，同理可得14ABQ ABC S S ∆∆=， 故45ABP ABQ S S ∆∆=．例10 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD = 则AD BC ⋅=__________．解析：1()()3AD BC AB BD BC AB BC BC ⋅=+⋅=+⋅=121[()]()()333AB AC AB BC AB AC AC AB +-⋅=+⋅-2221183333AB AC AB AC =-++⋅=-．例11 设函数()2x f x x x =⋅+，0A 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标n ()n N *∈的点，向量11,(1,0)nn k k k A A -===∑a i ，设n n θ为与a i 的夹角，则1tan nk k θ==∑ ．解析：0(,2)n n n A A n n n ==⋅+a ，n θ即为向量0n A A 与x 轴的夹角，所以tan 21n n θ=+，所以211tan (222)22nn n k k n n θ+==++⋅⋅⋅++=+-∑．例12 已知20=≠a b ，且关于x 的函数3211()()32f x x x x =++⋅a a b 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为 ．DCABC N MQ P BA解析：()y f x =在R 上有极值⇔方程2()||f x x x '=++⋅a a b ＝0在R 上有两个不同的实数根，则22||||404∆=-⋅>⇒⋅<a a a b a b ，设向量,a b 的夹角为θ，则221||14cos 1||||2||2θ⋅=<=a a b a b a ，所以(,]3πθπ∈．例13已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，向量OA 、OB 、OC 满足：23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+⋅-+-⋅=，记()y f x =，则函数()y f x =的解析式为 ．解析：23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+⋅-+-⋅=，∴23(1)[ln(23)]2OA x OB x y OC =+⋅++-⋅．又A 、B 、C 在同一条直线上，∴1])32[ln()123(2=-+++y x x ， ∴223)32ln(x x y ++=． 即223)32ln()(x x x f ++=． 例14 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，若cos cos sin sin B CAB AC C B+=2mAO ，则m = 。
2015年高考模拟试题(二)理科数学2015.5本试卷分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数211z i z z=-+，则对应的点所在象限为 A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合{}2320A x x x =-+=，则满足{}0,1,2A B ⋃=的集合B 的个数是A.1B.2C.3D.43.某市对汽车限购政策进行了调查，在参加调查的300名有车人中116名持反对意见，200名无车人中有121名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对汽车限购政策”是否有关系时，最有说服力的方法是 A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率4.下列函数中，与函数,0,,0xx e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是A. 1y x=- B. 22y x =+ C. 33y x =- D. ln y x =-5.将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平稳2π个单位长度，所得图象对应的函数A.在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C.在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.“1a =”是“直线y x =与函数()ln y x a =+的图象有且仅有一个交点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，若输入的a,b,k 分别为1，2，3，则输出的M=A.158B.165 C.5D. 2038.函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致是9.在平面角坐标系中，记抛物线2y x x x =-与轴所围成的平面区域为M ，该抛物与直线()0y kx k =>所围成的平面区域为N ，向区域M 内随机掷一点p ，若点p 落在区域N 内的概率为827，则k 的值为A. 13B. 12C. 23D. 3410.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上为减函数，若ln n f m ⎛⎫⎪⎝⎭+()22ln 210m m n f f n mn +⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则的取值范围是A. (),e +∞B. [)2,eC. 1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D. 12,e e ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11.不等式213x -<的解集为__________. 12.若1cos sin 232παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则________. 13.若变量,x y满足约束条件,4,2,y x x y z x y y k ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩且的最小值为3-，则k=________.14.某几何体的三视图如图，其侧视图是一个边长为1的等边三角形，俯视图是由两个等边三角形拼成，则该几何体的体积为_________.15.下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R 的映射过程；区间（0，1）中的实数x 对应数轴上的点M ，如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A,B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为（0，1），如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点N(n ，0)，则x 的象就是n ，记作()f x n =.下列说法中正确的序号是__________.（填上所有正确命题的序号）①()f x 在定义域上单调递增；②()f x 的图象关于y 轴对称；③12是()f x 的零点；④12133f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤()1f x >的解集是3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅=， 且A,B,C 分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角. （I ）求角C 的大小；（II ）若sinA,sinC,sinB 成等差数列，且ABC ∆的面积为93，求c 边的长. 17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥//,,,P ABCD AB CD PA AD CD AD PA AD CD -⊥⊥===中，2,,AB E F 分别为PC,CD 的中点，DE=EC. （I ）求证：平面ABE ⊥平面BEF ； （II ）求锐二面角E BD C --的余弦值.18. （本小题满分12分）在某学校组织的一次利于定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率114q 为，在B 处的命中率为2q .该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为： （I ）求的q 2值；（II ）求随机变量ξ的数学期望. 19. （本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和52514,25,,n S S a a a =，且成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()123,22n n n n n a b T b b b b T n N n n*==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥∈，求证：. 20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，椭圆的短轴端点与抛物线24x y=的焦点重合.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上一点()00,Q x y 与椭圆C 相切的直线方程为00221x x y y a b+=.从圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A,B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M,N 两点时，求MN 的最小值.21. （本小题满分14分）已知函数()xmx nf x e+=（,,m n R e ∈是自然对数的底数）. （I ）若函数()f x 在点()()1,f x 处的切线方程为30x ey +-=，求函数()f x 的单调区间；（II ）当1,n m R =-∈时，若对于任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；（III ）当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x et R -'=++∈，是否存在实数[],0,1a b ∈，使得()()2g a g b <？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.。
2015届高三数学综合检测试题6姓名 得分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R ，集合}{|A x y ==，集合{|0B x =＜x ＜2}，则()U C A B ⋃=（ ） A ．[1,)+∞ B ．()1+∞， C ．[0)∞，+ D ．()0∞，+ 2. 已知向量(1)(12)n n ==--，，，a b ，若a 与b 共线，则n 等于（ ）A ．1 BC ．2D ．43．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。
，153~160号）。
若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．74．在等比数列}{n a 中，32-=a ，64-=a ，则8a 的值为( )A ．–24B ．24C ．±24D ．–125. 已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0>ω的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π对称 B ．关于直线8π=x 对称 C ．关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,8π对称 D ．关于直线4π=x 对称 6. .如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A.π3 B.π37 C.π320 D.π 7. 函数xe xf x 1)(-=的零点所在的区间是（ ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)23,1( D ．)2,23( 8. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则y x z 23+=的最大值是 ( )A ．0B ．1C ．3D ． 99. 已知直线l 与圆C ： 221x y +=相切于第二象限，并且直线l则直线l 与两坐标轴所围城的三角形的面积为 ( ) Ａ．23 Ｂ．12 Ｃ．１或３ Ｄ．1322或 10. 函数()()1,013log ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点Ａ，若Ａ在直线01=++ny mx 上，其中n m ,均为正数，则12m n+的最小值为 ( ) Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)11．定义在R 上的奇函数f (x )满足(1)()f x f x +=-，若(0.5)1,f =则(7.5)f = ；12．在),(41,,,,,,222a c b S c b a C B A ABC -+=∆若其面积所对的边分别为角中A ∠则= ； 13．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(]1-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 .14．右图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是1，则？处的关系式是 ； （本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（12分）已知向量(3sin22,cos )m x x =+，(1,2cos )n x =，设函数()f x m n =⋅．（1）求()f x 的最小正周期与单调递减区间； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4f A =，1b =，ABC ∆，求边a 的值．17．（12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．18. （12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，︒=∠90PBC ，PD E PC PA 是,32,2==的中点。
2015届高三数学综合检测试题5姓名 得分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案）1．设集合{}1,1,2,3A =-，{B x y ==，则A B 为（ ）A ．{}1,1,2,3-B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．[1,)+∞2． 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ）A ．14, 13B ．13, 12C ．14, 12D ．12, 14 3．在△ABC 中，已知a =5 2 , c = 10, A = 30°, 则∠B 为（ ）A ． 105°B ． 60°C ．15°D ． 105°或15° 4. 函数()(xxf x e e e -=-为自然对数的底数)在定义域内是（ ）Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数 Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数 5. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为（ ） A ．212cm π B. 215cm π C. 224c m π D. 236cm π 6．已知点（a ，2b ）在直线x+y=3上移动，则2a +4b 的最小值是（ ） A ．8 B ．6 C ． 23 D ．24 7. 函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）8. 已知O 是坐标原点，点)2,1(A ，若点),(y x M 为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点 ，则⋅的最小值是（ ）A ．０B ． 12- C ．－２ D ． －39．已知函数22,0(),()()11,02x x f x g x f x x x x x ->⎧⎪==-⎨-++≤⎪⎩则函数的零点的个数是（ ） A ．0个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3个10. 已知直线l 的倾斜角为π43，直线l 1经过点l l a B A 与且1),1,(),2,3(-垂直，直线l 2：b a l by x +=++平行，则与直线1012等于（ ）甲乙0129655418355728 1二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)11．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为________； 12．若关于x 的不等式210ax ax +-<解集为R, 则a 的取值范围是______ __；13．已知数列﹛n a ﹜为等比数列，且2113725a a a +=， 则212a a 的值为________；14．阅读右边程序框图，输出的结果S 的值为________；（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．17．（12分）某校在高三年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）（1）求x ，y 的值； （2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率．18. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．（1）求证：PB //平面ACE ； （2）若四面体E ACD -的体积为23，求AB 的长．19．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和223,()n S n n n N *=++∈ （1）求通项n a ； （2）求和=n T 14332211111+++++n n a a a a a a a a .20. （13分）研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲课所用的时间。
2015届高三数学综合检测试题3姓名 得分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案）1. 设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=N M U，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2B ．m ≥2C ．m ≤2D ．m ≤2或m ≤-4 2．某种动物繁殖量y （只）与时间x （年）的关系为3log (1)y a x =+,设这种动物第2年繁殖量有100只,到第8年繁殖量为（ ） A ．200只 B ．300只C ．400只D ．500只3．等差数列}{n a 中，若39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2974．如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是 （ ） A ．24 B ．12 C ．8 D ．4 5．已知函数)cos()sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，则ϕ的一个取值为（ ）A ．0B ．4π-C ．2πD ．π6．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体a 被抽到的概率为（ ）A ．301 B ．61 C ．51 D ．657. 下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x (,0)∈-∞，当1x <2x 时，都有1()f x <2()f x ”的函数是（ ）A ．()1f x x =-+B ．2()1f x x =-C ．()2x f x =D ．()()ln f x x =- 8. 函数()1cos sin 442f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为π的奇函数9．直线1y kx =+与圆0422=-++y kx y x 的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（ ） A ．0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 10. 若0＜a ＜1，且函数|log |)(x x f a =，则下列各式中成立的是（ ）A ．)41()31()2(f f f >> B ．)31()2()41(f f f >>C ．)41()2()31(f f f >>D ．)2()31()41(f f f >>二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)11．如右下图所示的算法流程图中，输出S 的值为 .12．在△ABC 中，2220a b c +-=，则角C 的大小为 13．已知：＝2，＝2，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ__________．14．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______15. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λD F ，若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．三、解答题：（本大题共6道题，16、17、18题各12分，19、20、21题各13分，共75分。
2014—2015年度第一学期高三期末检测数学（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}|11M x x =-<，集合{}2|23N x x x =-<，则R MC N =( )A ．{}|02x x <<B ．{}|12x x -<<C ．{}|123x x x x -<<≤<或 D ．φ 2、若函数()35(2)5x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()2f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3、将函数sin(2)3y x π=-的图象向右平移12π个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到解析式为（ ） A ．5sin()12y x π=-B ．cos y x =C ．cos y x =-D ．sin y x =- 4、如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（ ）A ．等腰三角形B ．对边三角形C ．直角三角形D ．无两边相等的三角形5、已知ABC ∆的重心为G ，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若2330aGA bGB cGC ++=，则sin :sin :sin A B C =（ ）A ．1:1:1B 2C ．2:1D ．3:26、某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学没道题都随机地从中选出一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是（ ）A ．4310-⨯ B ．5310-⨯ C ．6310-⨯ D ．7310-⨯7、在7(1)ax +的展开式中，3x 项的系数是2x 项系数和5x 项系数的等比中项，则实数a 的值为（ ）A ．259 B ．45 C ．253D ．538、已知函数()()2,log x a f x ag x x -==（其中0a >且1a ≠），若()()440f g -<，则()(),f x g x 在同一坐标系内的大致图象是（ ）9、已知双曲线22221x y a b-=的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线22y px =的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线所得的线段长为4，则抛物线方程为（ ） A ．24y x = B．2y = C．2y = D ．28y x = 10、定义在R上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当(]0,2x ∈时，()(](]220,1l o g1,2x x x f x x x ⎧-⎪=⎨-⎪⎩，若(]4,2x ∈--时，()142t f x t ≤-有解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)()2,00,1- B ．[)()2,01,-+∞ C ．[]2,1-- D ．(](],20,1-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
都江堰市青城山高级中学综合复习卷（4）数 学（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知,,m n R i ∈是虚数单位，若2ni +与m i -互为共轭复数，则2m ni +=（） (A)i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 2. 设集合{12},{|14},A x x B x x =-<=≤≤则=B A(A) [1,3) (B) (1,3) (C) [0,2] (D) (1,4) 3. 在8(1)x +的展开式中，含2x 项的系数为(A)28 (B)56 (C)70 (D)8 4. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“{}n a 为递增数列”是“1>q ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5. 将函数3sin 2y x =的图象向左平移2π个单位长度，所得图象对应的函数(A) 在区间[,]44ππ-上单调递减 (B) 在区间[,]44ππ-上单调递增(C) 在区间[,]22ππ-上单调递减 (D) 在区间[,]22ππ-上单调递增6. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 (A)5 (B)3 (C)2 (D)17. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)82π- (B)8π- (C)82π- (D)84π-8.已知222,0()1,0x tx t x f x x t x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若)0(f 是)(x f 的最小值，则t 的取值范围为 (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2]9. 为了研究某药物的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）1810. 当[2,1]x ∈-时，不等式3243mx x x ≥--恒成立，则实数m 的取值范围是(A) 9[6,]8-- (B) [6,2]-- (C) [5,3]-- (D)[4,3]--二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11.某中学为了解高三学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从高三的四个班的学生中抽取一个容量为100的样本进行调查.已知一、二、三、四班的学生人数之比为4：5：5：6，则应从一班学生中抽取____ ___名学生.12.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = .13.在ABC ∆中，60,4,A b a =︒==则ABC ∆的面积等于_______ __.14.要从7个班中选10人参加演讲比赛，每班至少1人，共有 种不同的选法. 15.下图展示了一个由区间)1,0(到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数上的点m ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点B A ,恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)①方程()0f x =的解是x =12；②114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ③()f x 是奇函数；④()f x 在定义域上单调递增； ⑤()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
2015届高三数学综合检测试题4姓名 得分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案）1. 函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ）A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）2．已知αααtan ,,54sin 那么是第二象限角且=的值是（ ） A ．34- B ．43- C ．43 D ．34 3．已知S n 是等比数列685,16,2,}{S a a n a n 则项和的前=-=等于（ ）A ．821B ．－821C ．817D ．－817 4．已知()()1,cos ,sin ,1-==αα，且⊥，则锐角α的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．4π D ．125π 5．在右图的程序框图中，若程序框图输出的结果是28，则序号①应填入的条件是 ( )A ． K>2B ． K>3C ．K>4D ．K>56．已知奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f 。
若()a a g =，则()a f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．415 D ．417 7. 已知函数)1),41((,),(,log )(22f F y x y x F x x f 则+==等于（ ） A ．－1 B ．5 C ．－8 D ．38. 设0,0>>b a ，直线02=-+y b x a 与圆122=+y x 相切，则ba 1lg 1lg+的最小值（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3- 9．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积23=∆ABC S ，则边BC 的长为（ ） A ．3 B ．3 C ．7 D ．710. 定义在R 上的函数()x f 满足()()2+-=-x f x f 。
当1<x 时，()x f 单调递增，若221<+x x ，且()()01121<--x x ，则()()21x f x f +的值为（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．可能为0D ．可正可负二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)11．若平面向量)2,1(-=a 与b 的夹角为180°，且53||=b ，则b 的坐标为 .12．如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为 .13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，若)cos cos ,c A a C -=则cosA=14．若在区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为 ．15．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为____________． 三、解答题：（本大题共6道题，16、17、18题各12分，19、20、21题各13分，共75分。
12015届高三文科数学尖子辅导（八）数列综合问题一： 求通项，求和一、例题选讲【例1】．已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ， 且445566,,a S a S a S +++成等差数列． （1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）对n +∈N ，在n a 与1n a +之间插入3n个数，使这32n+个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【例2】．设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【例3】．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）若11,0,n n n c c b c +-== 求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<都有．【例4】在数列{}n a 中，2,31=a )n n 2,n 2-n 21*-∈≥+=且（n n a a （1）求32,a a 的值；（2）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n a 的前n 项和n S .【例5】设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且424S S =，221n n a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）若数足*31212311()2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .二、课后练习与思考：1.已知N n *∈,数列{}n d 满足2)1(3nn d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+；数列{}n b 为公比大于1的等比数列，且42,b b 为方程064202=+-x x 的两个不相等的实根. （Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）将数列{}n b 中的第．1a 项，第．2a 项，第．3a 项，……，第．n a 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2013项和.2．已知数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和是n S ，且点(),2n n a S 在函数32y x x =+的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设121,2n n n nb T b b b S ==+++，求n T ．3．己知等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S 1，S 3，S 2成等差数列．(I)求公比q ； (II)若12421,...,2n n a T a a a =-=，问数列{T n }是否存在最大项?若存在，求出该项的值；若不存在，请说明理由。
江苏省2015年高考一轮复习备考试题函数一、填空题1、（2014年江苏高考）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．2、（2014年江苏高考）已知)(f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[x 时，|212|)(2+-=x x x f a x f -=)(y 在区间]4,3[-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 3、（2013年江苏高考）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。
4、（2012年江苏高考）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．5、（2012年江苏省高考）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 6、（2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．7、（2015届江苏南京高三9月调研）设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲8、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知函数23 1 ()x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+⎪⎩≤，，，1，若()f x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 ▲9、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知函数()2log 1a x f x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 ▲ 10、（南京市2014届高三第三次模拟）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲11、（南通市2014届高三第三次调研）已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．112、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））函数y =A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A I B = ▲13、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数2()()y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是 ▲ ．14、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲15、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数1()()e x af x a x=-∈R ．若存在实数m ，n ， 使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲16、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ 17、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ 18、（2014江苏百校联考一）函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为 ．19、（南京、盐城市2014高三第一次模拟）若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 20、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ 21、（南通市2014届高三上学期期末考试）设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ． 22、（苏州市2014届高三1月第一次调研）已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲23、（泰州市2014届高三上学期期末考试）设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数； ②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数； ③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 24、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）设12()1f x x=+，11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则2014a = ▲25、、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ . 26、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）已知函数ln (),()xf x kxg x x==，如果关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，那么实数k 的取值范围是 ▲ .27、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）已知函数()()2log ,12,01x x f x f x x ⎧⎪=⎨<<⎪⎩≥，则()3212f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦= ▲28、（无锡市2014届高三上学期期中）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩，则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为＿＿＿＿＿。
泸溪一中2015届高三数学综合训练①试题姓名 得分一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个正确答案）1. 若{}{}21,20A x x B x x x =<=+>，则A B = ( )A.()0,1B.(),2-∞-C.()2,0-D.()(),20,1-∞-2. 若复数z 的实部为1，且z =2，则复数z 的虚部是 ( ) A.3-B.3±C.3i ±D.3i3. 已知,,a b c R ∈，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是 ( ) A. 若22233a b c a b c ++≠++<，则 B. 若22233a b c a b c ++=++<，则 C. 若22233a b c a b c ++≠++≥，则 D. 若22233a b c a b c ++≥++=，则 4. 执行如右图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为 ( )A.3B.126C.127D.128 5.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为,,,a b c1sin cos sin cos 2a B C c B Ab a b +=>∠，且，则B= ( )A.6πB.3πC.23πD.56π 6. 函数()sin ln f x x x =⋅的部分图象为 ( )7. 设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为 ( ) A.2.3 B.8 C.43D.423+8. 下列说法正确．．的是 ( ) A.样本10，6，8，5，6的标准差是3.3. B.“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件； C.已知点()2,1A -在抛物线()220y px p =>的准线上，记其焦点为F ，则直线AF 的斜率等于4-D.设有一个回归直线方程为ˆ2 1.5yx =-，则变量x 每增加一个单位，ˆy 平均减少1.5个单位； 9. 将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点30,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则ϕ的值可以是 ( )A.53πB.56πC.2πD. 6π10. 双曲线221x y m-=的离心率2e =，则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为 ( ) A.3B.93C.273D.363二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)11. 在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≥的概率等于__________.12. 若实数,x y 满足24010,1x y x y x y x +-≤⎧⎪--≤+⎨⎪≥⎩则的取值范围为 .13. 某三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为_________.14. 已知圆O 过椭圆22162x y +=的两焦点且关于直线10x y -+=对称，则圆O 的方程为 .15. 定义在R 上的奇函数()()()[]()402f x f x f x f x +==满足，且在，上 ()1,01294146sin ,12x x x f f x x π⎧-≤≤⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨⎪ ⎪<≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩，则 . 三、解答题：（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数()()4cos sin 04f x x x πωωω⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求ω的值； （2）讨论()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.17.（本小题满分12分）参加市数学调研抽测的某高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（1）求参加数学抽测的人数n ，抽测成绩的中位数及分数分别在[)80,90，[]90,100内的人数； （2）若从分数在[]80,100内的学生中任选两人进行调研谈话，(文科做）求恰好有一人分数在[]90,100内的概率.(理科做）求分数在[)80,90内人数§的分布列和期望.18.（本小题满分12分）如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，36,2,AB BC BF CF DE EF ======4//EF AB ,G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且2CM =. （1）证明：AF //面BDG ；（2）证明：面BGM ⊥面BFC ；（3）求三棱锥F BMC -的体积V .19.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==. 数列{}n b 的前n 项和为*230n n n T T b n N -+=∈且，.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前21n +项和21+n M .20.（本小题满分13分）已知函数()1ln 1.a f x x ax x+=++- （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处切线方程；（2）当102a -≤≤时，讨论()f x 单调性.21.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点2F 到直线1:340l x y +=的距离为35.（1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆右焦点2F 斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于F E ,两点，A 为椭圆的右顶点，直线AF AE ,分别交直线3x =于点N M ,，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '，求证：k k '⋅为定值.泸溪一中2015届高三数学(文）综合训练①参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分） DBACA ADDBC二、填空题（每小题5分，共25分）11．25 12．[1,3] 13．2 14．22(1)5x y +-= 15．516 三、解答题：16．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 2()4cos sin()22sin cos 22cos 4f x x x x x x πωωωωω=⋅+=⋅+2(sin 2cos 2)2x x ωω=++2sin(2)24x πω=++，…………3分因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 从而有22ππω=，故1ω=. ………………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，()2sin(2)24f x x π=++，，时，当]45,4[)42(]2,0[ππππ∈+∈x x ………………………8分 当2442x πππ≤+≤，即08x π≤≤时，()f x 单调递增；当52244x πππ≤+≤，即82x ππ≤≤时，()f x 单调递减. ……………11分 综上可知，上单调递减，上单调递增；在在]28[]8,0[)(πππx f .………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）分数在[)50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[]90,100内同样有2人． ……………………………………………2分， 由2100.008n=⨯， 得25n = ， ……………………………………………3分 茎叶图可知抽测成绩的中位数为73 ． …………………………………4分∴分数在[)80,90之间的人数为()25271024-+++= ……………………5分参加数学竞赛人数25n =，中位数为73，分数在[)80,90、[]90,100内的人数分别为4 人、2 人． ………………………………………6分（Ⅱ）设“在[]80,100内的学生中任选两人，恰好有一人分数在[]90,100内”为事件M ，将[)80,90内的4人编号为a b c d ,,, ；[]90,100内的2人编号为A B ,， 在[]80,100内的任取两人的基本事件为：,,ab ac ad aA aB ,,,bc bd ,,,bA bB ,cd cA cB dA dB AB ,,,,,共15个，…………………………………………9分其中，恰好有一人分数在[]90,100内的基本事件有,aA aB ,,bA bB ,,cA cB dA ,,dB ,共8个，故所求的概率得()8=15P M ， …………………11分答：恰好有一人分数在[]90,100内的概率为815． ………………………12 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ,因为点G 为CF 中点，所以OG 为AFC ∆的中位线,所以//OG AF ，……2分AF ⊄面BDG ， OG ⊂面BDG ，∴//AF 面BDG ……………………………………5分（Ⅱ）连接FM ,2BF CF BC ===，G 为CF 的中点,BG CF ∴⊥,2CM =，4DM ∴=,//EF AB ，ABCD 为矩形, ………………7分//EF DM ∴，又4EF =，EFMD ∴为平行四边形, ………………8分2FM ED ∴==，FCM ∴∆为正三角形 MG CF ∴⊥，MG BG G =CF ∴⊥面BGM ,CF ⊂面BFC ,∴面BGM ⊥面BFC ． …………………………10分（Ⅲ）11233F BMC F BMG C BMG BMG BMG V V V S FC S ---=+=⨯⨯=⨯⨯, 因为3GM BG ==，22BM =,所以122122BMG S =⨯⨯=,所以22233F BMC BMC V S -=⨯=．…………………………12分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． ………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，…………4分112230n n n T b --≥-+=当时，，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． ………7分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ， 211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++ …………9分[44(21)]6(14)(1)214n n n ++-=⋅++-……………11分 2122482n n n +=+++…………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln +1f x x x x =+-，此时'212()+1f x x x=-， …………2分 '12(2)+1124f =-=，又2(2)ln 2+21ln 2+22f =+-=，所以切线方程为：(ln 2+2)2y x -=-，整理得：ln 20x y -+=； …………………………5分CABDE FGM O（Ⅱ）2'222111(1)(1)()a ax x a ax a x f x a x x x x ++--++-=+-==， …6分 当0a =时，'21()x f x x-=，此时，在(0,1)上'()0f x <,()f x 单调递减，在(1,)+∞上'()0f x >,()f x 单调递增； …………………… 8分当102a -≤<时，'21()(1)()a a x x a f x x ++-=， 当11a a +-=,即12a =-时2'2(1)()02x f x x -=-≤在(0,)+∞恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞单调递减； ………………………10分当102a -<<时，11aa +->，此时在1(0,1),(,)a a+-+∞上'()0f x <,()f x 单调递减，()f x 在1(1,)aa+-上'()0f x >单调递增； ……………………12分综上所述：当0a =时，()f x 在(0,1)单调递减，()f x 在(1,)+∞单调递增；当102a -<<时， ()f x 在1(0,1),(,)a a +-+∞单调递减，()f x 在1(1,)a a+-单调递增；当12a =-时()f x 在(0,)+∞单调递减. ……………………………13分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得21==a c e ，2233534c =+，……………………………2分 所以1c =，2=a ，所求椭圆方程为13422=+y x ． …………………… 4分 （Ⅱ）设过点()21,0F 的直线l 方程为：)1(-=x k y ，设点),(11y x E ，点),(22y x F ， …………………………………5分将直线l 方程)1(-=x k y 代入椭圆134:22=+y x C ， 整理得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ………………………………… 6分 因为点2F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，0∆>恒成立，且3482221+=+k k x x 341242221+-=⋅k k x x …………………………8分 直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y 令3=x ，得点11(3,)2y M x -，22(3,)2yN x -，所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--， ………………………………… 9分 直线2PF 的斜率为)22(41130)22(21'22112211-+-=---+-=x y x yx y x y k4)(24)(32414)(2)(241212121212121211212++-++-⋅=++-+-+=x x x x k x x k x kx x x x x y y y x x y ，……… 11分将34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x 代入上式得： 222222224128234134343'412844244343k k k k k k k k k k kk k -⋅-⋅+++=⋅=---+++，所以'k k ⋅为定值43-． ………………………………… 13分。
高三数学期末第一次模拟考试数学试题（总分160分，考试时间120分钟）参考公式样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高． 圆锥的侧面积公式：S rl π=，其中r 为圆锥的底面半径，l 为母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合{20}M x =，，，集合{01}N =，，若N M ⊆，则x = ． 2．若复数iia z +=(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a = ． 3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是 ．4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ．5．若双曲线222x y a -=(0)a >的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ． 6．运行如图所示的程序后，输出的结果是 ．7．若变量x ，y 满足202300x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，则2x y +的最大值为 ．8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体 积为 ．9．若函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)ω>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(0)x ，成中心对称，002x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则0x = ．10．若实数x ，y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ．11．设向量(sin 2cos )θθ=，a ，(cos 1)θ=，b ，则“∥a b ”是“1t a n 2θ=”成立的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． 12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222x y r +=(0)r >交于A ，B两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ．13．已知()f x 是定义在[22]-，上的奇函数，当(02]x ∈，时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+．如果对于1[22]x ∀∈-，，2[22]x ∃∈-，，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 ．14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，1||2n n n a a +-=()n *∈N ，若数列21{}n a -单调递减，数列2{}n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ． 二、填空题：本大题共6小题，共计70分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11()P x y ，，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22()Q x y ，．记12()f y y α=+． （1）求函数()f α的值域；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()f C a =1c =，求b ．16．（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，E 分别为1B D ，AB 的中点． （1）求证：OE ∥平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为． （1）求椭圆C 的方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率．18．（本小题满分16分）某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0)E t ，(025t <≤，单位：米)；曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径．假定拟建体育馆的高50OB =米．（1）若要求30CD =米，AD =t 与a 的值；（2）若要求体育馆侧面DF 的最大宽度不超过75米，求a 的取值范围； （3）若125a =，求AD 的最大值．(参考公式：若()f x ()f x '=)19．（本小题满分16分）设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数k ，m ，l (k m l <<)，求证：“1m k =+且3l k =+”是“5k a ，m a ，l a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++＝13246n n +⋅--，且集合n n b M n n a λ*⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ≥，中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()x f x e =，()g x mx n =+． （1）设()()()h x f x g x =-；①若函数()h x 在0x =处的切线过点(10)，，求m n +的值；②当0n =时，若函数()h x 在(1)-+∞，上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()nxr x f x g x =+，且4n m =(0)m >，求证：当0x ≥时，()1r x ≥．高三期末考试第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内． A ．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知点P 为Rt △ABC 的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt △ABC 的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D ，若18PA =，6PC =，求线段CD 的长．B ．（选修4—2：矩阵与变换）求直线10x y --=在矩阵⎥=⎥⎥⎦M 的变换下所得曲线的方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆2cos ρθ=的圆心到直线2sin 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离．D ．（选修4—5：不等式选讲） 解不等式：|1||2|4x x ++-<．【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，动点P 满足1CP CC λ=(0)λ>，当12λ=时，1AB BP ⊥． （1）求棱1CC 的长；（2）若二面角1B AB P --的大小为3π，求λ的值．23．（本小题满分10分）设集合{123}S n =，，，，(2)n n *∈N ，≥，A ，B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对()A B ，的个数为n P ． （1）求2P ，3P 的值； （2）求n P 的表达式．。
某某市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f （b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则a的取值X围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，某某数k的取值X围．某某市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f （b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得 r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则a的取值X围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，某某数k的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值X围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。
