小专题训练(七) 与圆的切线有关的计算与证明.ppt

10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/11/92020/11/92020/11/911/9/2020 8:25:57 AM
11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/11/92020/11/92020/11/9Nov-209-Nov-20
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/11/92020/11/92020/11/9Monday, November 09, 2020
the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2020年11月9日星期一2020/11/92020/11/92020/11/9
A
oD
CHale Waihona Puke B第一类解题思路已知直线过圆上一点（切点）
连半径
证垂直
例3
如图，AB是⊙o的直径，BD是⊙o的弦，延长BD到点C，使 DC=BD,连结AC，过点D做DE⊥AC，垂足为E. 求证：（1）AB=AC；（2）DE为⊙o的切线。
A
o
E
C
D
B
例4
如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙o交BC与D，交AC 于E，⊙o的切线BF交OD延长线于F，连结EF，求证：EF与⊙o 相切。
A
E
o
C D
B
F
第二类解题思路
不知道直线与圆是否有公共点
做垂直
证半径
例5
如图，已知△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ⊙o与腰 AB相切与点D，求证： AC与⊙o相切。

介绍圆的切线的定义、性质和求法，以及与圆有关的形态变化和 函数问题的解决方法。
什么是圆的切线？
圆的切线是与圆只有一个公共点的直线，可以通过圆心与切点之间的连线来 画出切线。
圆的切线的性质
1 垂直性质
切线与半径垂直，形成90度的角。
2 切点延长线
切点在半径所在直线的延长线上。
3 夹角性质
两条切线的夹角等于对应切点处圆心角的一半。
如何求圆的切线？
求圆的切线的方法有两种： 1. 直接通过圆心和切点画出切线。 2. 利用勾股定理和切线的性质求出切线方程。
圆与直线的位置关系
弦
圆内一条与圆心的距离小于 半径的直线。
切线
圆内一条与圆心的距离等于 半径的直线。
割线
圆内一条与圆心的距离大于 半径的直线。
结语
圆的切线是圆的基本性质之一，它的定义、性质和求法可以帮助解决与圆有 关的形态变化、函数等问题。 通过深入了解圆的性质，我们可以更好地理解和应用数学知识。

2. （四川资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切 点为D，连结BD． (1)求证：∠A=∠BDC； (2)若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．
三.证切线常用的辅助线： 连半径，证垂直，得切线；作垂直， 证半径，得切线.
3. （福建漳州）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 BE 的中点，
真题反馈
9.如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O 并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：CB平分∠ACE； （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
与圆的切线有 关的计算
一.作圆的切线 1.有直径或半径时，常过直径、半径的端 点作圆的切线； 2.有圆的割线，作切线构造相似三角形.
1. （江苏苏州）如图，已知 AB是⊙O的一条直径，延长AB至点C，使
AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD= 3 ，则线段BC的长为
________．
二.切线常用的辅助线： 遇到切线问题，常连接圆心与切点，构 造垂直，从而为找等角或求有关线段的 长度创造条件.
真题反馈
7.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，
连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边
相切时，BP的长为
．
真题反馈
8. （2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8， 点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F， 过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为 ．
真题反馈
1.如图，AC，CD，BD分别切⊙O于点A，E，B，且AC∥BD，连接OE， 求证：OE2=AC·BD.

圆的切线的性质及判定定理
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
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50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡Fra bibliotek， 晏如也 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！

(二)利用全等证垂直 3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点 B，连接 OC，弦 AD∥OC. 求证：CD 是⊙O 的切线．
解：连接OD.由SAS证OD，∴CD是⊙O的切线
(三)利用勾股定理逆定理证垂直 4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 为 AB 延长线上一点，点 C 为 ⊙O 上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12.求证：PC 是⊙O 的切线．
(2)过D点作DF⊥BC于点F，易证四边形ABFD是矩形， ∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5. 又∵AM，BN，CD分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB ＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13.在Rt△DFC中，DC2＝DF2 ＋FC2，∴DF＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6
专题训练(七) 切线证明的方法
一、有交点，连半径，证垂直 (一)利用角度转换证垂直 1．如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥OB，交 AB 于 E，且 AD＝ED. 求证：AD 是⊙O 的切线．
解：连接OA.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEA＝∠BEO，∠B＋∠BEO＝ 90°，∴∠DAE＋∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是 ⊙O 的切线
解：连接 OC.根据题意，可得 OC＝6， PO＝10，PC＝8，∴OC2＋PC2＝PO2，∴△ POC 为直角三角形且∠PCO＝90°，∴OC ⊥CP，∴PC 是⊙O 的切线
二、无交点，作垂直，证半径 5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，以 D 为圆 心的圆与 AB 相切于点 E.求证：AC 与⊙D 相切．
解：连接DE，过D作DF⊥AC于F，易证 △BDE≌△CDF，∴DF＝DE，∴AC与⊙O 相切

∵∠OAC＝90°， ∴∠AOC＋∠C＝90°. ∴3∠C＝90°，∠C＝30°. ∵∠OAC＝90°， ∴OA＝21OC.
归类训练
设⊙O 的半径为 r，∵CE＝2， ∴r＝12(r＋2)，解得 r＝2. ∴⊙O 半径的长为 2.
归类训练
4．(2018·陕西)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作⊙O，分别与 AC，BC 相交于 点 M，N.
归类训练
∵AC⊥PB，PB 过圆心， ∴AD＝DC. 在 Rt△ODA 中，OD＝21AO＝25， ∴AD＝25 3， ∴AC＝2AD＝5 3.
归类训练
(2)求证 BC∥PA. 证明：∵AC⊥PB，∠P＝30°， ∴∠PAC＝60°. ∵∠AOP＝60°， ∴∠BOA＝120°. ∴∠BCA＝60°. ∴∠PAC＝∠BCA. ∴BC∥PA.
归类训练 (1)过点 N 作⊙O 的切线 NE 与 AB 相交于点 E，求证 NE⊥AB； 证明：如图，连接 ON，则 OC＝ON. ∴∠DCB＝∠ONC. ∵在 Rt△ ABC 中， D 为斜边 AB 的中点， ∴CD＝DB. ∴∠DCB＝∠B.
归类训练
∴∠ONC＝∠B. ∴ON∥AB. ∵NE 是⊙O 的切线， ∴NE⊥ON. ∴NE⊥AB.
归类训练
∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DAB＝90°， 即∠DAO＋∠OAB＝90°. ∴∠BAE＋∠OAB＝90°，即∠OAE＝90°. ∴AE⊥OA. ∴AE 与⊙O 相切于点 A.
归类训练 (2)若 AE∥BC，BC＝2 7，AC＝2 2，求 AD 的长． 解：∵AE∥BC，AE⊥OA， ∴OA⊥BC. ∴A︵B＝A︵C，FB＝21BC. ∴AB＝AC. ∵BC＝2 7，AC＝2 2， ∴BF＝ 7，AB＝2 2.

(1)证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°. ∵OA＝OC，∴∠AOC＝60°.∵AF 是⊙O 的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠AFC＝30°. ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠DBC＝90°，∴∠D＝∠AFC＝30°，∴∠DAE＝∠ACF＝ 120°，∴△ACF∽△EAD． (2)∵∠ACO＝∠AFC＋∠CAF＝30°＋∠CAF＝60°，∴ ∠CAF＝30°，∴∠CAF＝∠AFC，∠BEA＝30°，∴AC＝CF，∴OC＝CF.∵S△AOC ＝ 43，∴S△ACF＝ 43.∵∠ABC＝∠AFC＝30°，∴AB＝AF.∵在 Rt△ABD 中，∠D＝ 30°，∴AB＝12BD，∴AF＝12BD．∵∠AOC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠BAE＝30°＝∠ BEA，∴AB＝BE＝AF，∴DAFE＝13.
• 5．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB
交⊙M于点C．
• (1)若点A(0,6)、N(0,2)，∠ABN＝30°，求 点B的坐标；
• (2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是 ⊙M的切线．
(1)解：∵A(0,6)、N(0,2)，∴AN＝4.∵NB∥x 轴，∴∠ANB＝90°.∵∠ABN＝30°， ∴AB＝2AN＝8，∴NB＝ AB2－AN2＝4 3，∴B(4 3，2)．
• 证明：连接OC，设AP与CD交于点E.∵OC ＝OD，∴∠OCD＝∠ODC. ∵∠ODC＝∠P， ∴∠OCD＝∠P.∵CD⊥AB，∴∠PEC＝ 90°，∴∠P＋∠PCE＝90°，∴∠OCD＋ ∠PCE＝90°，即∠OCP＝90°.∵OC是 ⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
3．【2019·江苏盐城中考】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NE⊥AB， 垂足为点 E.

解：(1)△OPC 的边长 OC 是定值，∴当 OP⊥OC 时，OC 边上 的高为最大值，此时△OPC 的面积最大．∵AB＝4，BC＝2，∴OP 1 1 ＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，∴S△OPC＝ · OC· OP＝ ×4×2＝4， 2 2 即△OPC 的最大面积为 4 (2)当 PC 与⊙O 相切，即 OP⊥PC 时，∠OCP 的度数最大，可 求∠OCP＝30° (3)连接 AP，BP.∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.∵CP＝DB， ∴AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.∵OC＝PD＝ 4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD，∴∠OPC＝∠PBD.∵PD 是⊙O 的直径，∴∠PBD＝90°，∴∠OPC＝90°，∴OP⊥PC.又∵OP 是 ⊙O 的半径，∴CP 是⊙O 的切线
(二)利用全等证垂直 3． 如图， AB 是⊙O 的直径， BC⊥AB 于点 B， 连接 OC， 弦 AD∥OC.证△CBO≌△CDO，得∠CDO ＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切 线
(三)利用勾股定理逆定理证垂直 4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 为 AB 延长线上一点，点 C 为 ⊙O 上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12.求证：PC 是⊙O 的切线．
7．如图，AB 是⊙O 的直径，AM，BN 分别切⊙O 于点 A，B， CD 交 AM，BN 于点 D，C，DO 平分∠ADC. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若 AD＝4，BC＝9，求⊙O 的半径 R.
解：(1)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A， ∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∴CD是⊙O 的切线 (2)过D点作DF⊥BC于点F，易证四边形ABFD是矩形， ∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝ 5.又∵AM，BN，CD分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE， CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13.在Rt△DFC中，DC2＝ DF2＋FC2，∴DF＝12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6