圆的切线证明课件PPT

E O CD
P
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA
外切圆的半径：交点到三
内切圆的半径：交点到三
角形任意一个定点的距离。 h 角形任意一边的垂直距离。15
分析题目已知：如
图, △ABC的内切圆
⊙O与BC 、CA、
AB 分别相交于点
A
D 、 E 、 F ，且
E
AB＝9厘米，BC
FO
＝14厘米,CA ＝13
厘米,求AF、BD、 B D CE的长。
h
C
16
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
h
6
我们学过的切线，常有 六五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r

切线与过切点的半径所在的直 线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切 线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是 否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的 性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判 断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直 线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需 要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画 出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接 已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质 ，证明割线与圆只有一 个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理， 如果一条割线满足上述 性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的 运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用 切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定 定理来判断流体是否沿着流线流动。

y
D P
C
A
O
B
x
题，注意分类讨论要讨论完全．
例 3．如图所示，菱形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴 上， 点 A 在点 B 的左侧， 点 D 在 y 轴的正半轴上， ∠BAD=60°，点 A 的坐标为(－2，0)． （1）求 C 点的坐标； （2）求直线 AC 的函数关系式； （3）动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的 速度， 按照 A→D→C→B→A 的顺序在菱形的边上 匀速运动一周， 设运动时间为 t 秒． 求 t 为何值时， 以点 P 为圆心、以 1 为半径的圆与对 角线 AC 相切？
试题解析： （1）∵菱形 ABCD 中，点 A 的坐标为 ( 2, 0) ，
BAD 60 ， AOD 90 ，
∴△ABD 为正三角形， ∴ OD 2 3 ， AB 4 ，∴ C y 2 3 ， ∵ AB CD ，∴ C x 4 ，∴ C (4, 2 3) ， （2）由（1）得 C (4, 2 3) 设直线 AC 的函数表达
（3）由图可猜想，有四个满足要求的圆，∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ DCB BAD 60 ，
1 2 3 4 30 ，

y
D
P1
1
P2 P3
C
AD DC CB BA 4 ，
如图所示， ① 点 P 在 AD 上与 AC 相切时，
AP1 2r 2 ，∴ t1 2
【答案】 （1） C (4, 2 3) ； （ 2） y
3 2 3 ； x 3 3
（3） t 2 或 t 6 或 t 10 或 t 14 ． 【解析】试题分析： （1）根据菱形的性质和等边三角形的性质求得即可； （2）求直线解析式的基本方法是待定系数法，在（1）中 已求得 C 坐标的基础上， 将 A、 C 坐标代入设好的直线解 析式，求出系数即可； （3）本小题可先结合图作一大胆猜想，再根据切线定义 和含 30 的直角三角形的性质，将时间问题转换为距离问

切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
A
思考：已知⊙O切线PA、PB， E A、B为切点，把圆沿着直线OP 对折,你能发现什么?
O
M B
D
P
连结OA、OB ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 试用文字语言叙述 你所发现的结论 ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 连结切点A、B，又有什么新结论？ PA = PB PA、PB与⊙O分 ∠OPA=∠OPB 别相切于点A、B OP⊥AB且AM=BM AD=BD
切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等、 垂直关系等提供了理论依据。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.
切线长问题辅助线添加方法 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
本节内容
2.5.3
制作者：铜仁市万山区大坪中学 田 令
1、什么是圆的切线？ ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 问题1: 经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会 有怎样的情形？
C P O · O · D
O ·
P
P
问题2: 经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线？可 以作几条？
B
Hale Waihona Puke 例2. 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点， CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证： CO∥BD.
分析 连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD = 90° ，即BD⊥AB.因此要证CO∥BD，只要证 CO⊥AB即可. 证明 连接AB. ∵ CA，CB是⊙O的切线，点A，B为切点， ∴ CA = CB， ∠ACO =∠BCO. ∴ CO⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD= 90°， 即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD.

证明：过O作 OC⊥AB，垂足为C.
因为OA＝OB＝5cm ，AB＝8cm，
所以AC＝BC＝4cm.
在Rt∆AOC 中 OC= √OA2-AC2=3 cm
又因为O的直径为6cm
故 OC的 长 等 于 ☉ O的 半 径 3 cm.
∴ AB 与☉O相切
10
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，
并且OA=OB，CA=CB。
求证： AB是⊙O的切线.
A
F
E
B
O
C
14
3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.
求证:DC是⊙O的切线.
C A OBD
15
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A O
∴ l ⊥OA
直线是圆的切线.
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的 距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同
．解题时，灵活选用其中之一．
21
切线的性质定理： 圆的 切线垂直于过切点的半径。
O
l
A
22
证明：连结0C ∵0A＝0B ，CA＝CB ， ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上
的中线．
． ∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端 C 并且垂直于半径0C ， 所以 AB是⊙O的切线．
分析：因为已知条件没给出AB和⊙O 有公共点，所以可过圆心O作
OC⊥AB，垂足为C.只需证明OC等 于⊙O的半径3厘米即可.
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.