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直线与平面平面与平面的相对位置分解

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第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置

第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置

4.2 相交问题
【例4-5】 (1)求交点，如图4-9(c)所示。
①在铅垂线的水平投影上标出交点的水平投影k。
②在平面内过K点的水平投影k作辅助线ad，并求出它的正面 a′d′。
③a′d′与m′n′的交点即交点的正面投影k′。
4.2 相交问题
【例4-5】
(2)直线的可见性可利用重影点法来判断。因为直线是铅垂线， 水平投影积聚为一点，故不需要判别其可见性，只需判别直线 正面投影的可见性即可。直线以交点K为分界点，在平面前面 的部分可见，在平面后面的部分不可见。如图4-9(c)所示，选 取m′n′与b′c′的重影点1′和2′来判别。1点在MN上，2点在BC上， 从水平投影看，1点在前可见，2点在后不可见。即k′1′在平面 的前面可见，画成粗实线；其余部分不可见，画成虚线。
4.2 相交问题
3.一般位置平面与特殊位置平面相交
【例4-7】
求一般位置平面ABC与铅垂面P的交线MN及判别平面正面投 影的可见性，如图4-11(a)所示。 【解】分析：如前面所述，把求两个平面交线的问题看成是求 两个共有点的问题。所以欲求图4-11(b)中两个平面的交线，从 对图4-11(a)的分析来看，只要求出交线上的任意两点(如M和N) 即可。因为铅垂面的水平投影有积聚性，所以交线的水平投影 必然位于铅垂面的积聚投影上；交线的正面投影可利用线上定 点的方法求出。 作图步骤如下：
4.1.2 平面与平面平行 条件
若一个平面内的两条相交直线对应 平行于另一个平面内的两条相交直
线，则这两个平面平行。
4.1平行问题
1.两个一般位置平面平行
【例4-3】 过点E作一个平面与平面ABC平行，如图4-6(a)所示。
E ABC 作图步骤如图4-6(b)所示。 (1)过点E作ED∥AB(ed∥ab、e′d′∥a′b′)。 (2)过点E作EF∥AC(ef∥ac、e′f′∥a′c′)，则平面DEF 所求。

工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
●
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行

直线与平面、两平面的相对位置

直线与平面、两平面的相对位置
如果两个平面内的两条相交直线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。

直线与平面、平面与平面之间的位置关系

直线与平面、平面与平面之间的位置关系
【答案】 C

2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件

答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
且方向相同。
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直

05 第二章(1) 直线与平面、平面与平面相对位置(平行、相交)

05 第二章(1) 直线与平面、平面与平面相对位置(平行、相交)

关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上
4、属于平面的投影面平行线 V PV
平面上投影面平行线： 既在平面上又平行于投 影面的直线。
P
H
PH
在一个平面上对 V 、H 、 W 投影面分别有三组投影面平行线。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与 所属平面保持从属关系。
11
五、平面的最大斜度线
对于特殊位置平面来说，总有一个投影为积聚 投影，其交线就在这个积聚投影上。
37
投影面垂直面和一般位置平面相交 m
V M B K F m N C f b n H k a l L P
b
k
c
f n m
l
a
k b f
a l
c
n
38
c PH
可见性的判别 V
M B
c K F m C c N f n k a L
a.判别已知点、线是否属于已知平面；
b.完成已知平面上的点和直线的投影； c.完成多边形的投影。
9
2、属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线
e k a
b f c 1 g
2 m n 3
b a k
e
f
EF属于ABC
c 1
2
3 n
g
m
K属于ABC
G不属于ⅠⅡⅢ
MN不属于ⅠⅡⅢ
10
31
平面与平面相交
M
B
K F
N
A
L
C 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。 交线特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。
32
2、直线与平面、平面与平面相交的特殊情况 ① 直线与平面相交的特殊情况： 指线或面之一为特殊位置，其交点的投影可利

工程制图-第三章-直线、平面的相对位置

工程制图-第三章-直线、平面的相对位置

直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。

2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。

§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。

以，直线EF平行于ABC平面。

[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。

步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。

d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。

作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。

1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。

［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。

解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。

作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。

2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。

⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。

空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。

直线与平面、平面与平面间的位置关系

直线与平面、平面与平面间的位置关系

错解:因为 ∥ 所以l与 所成的角α,就是 就是l与 错解 因为BD∥B1D1,所以 与B1D1所成的角 就是 与BD 因为 所以 所成的角.在平面 内以P为顶点 底边在B 为顶点,底边在 所成的角 在平面A1C1内以 为顶点 底边在 1D1上作一个等 在平面 腰三角形,使底角为 则两腰所在直线就与 腰三角形 使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角 所 使底角为 则两腰所在直线就与B 成等角,所 以这样的直线有两条.应选 以这样的直线有两条 应选B. 应选 错因分析:错解中受定势思维的影响 只考虑了 错因分析 错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况 而忽略了特殊情况.当 时的一般情况 而忽略了特殊情况 当 α = 0或 时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条 正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相 － 如果在两个平面内分别有一条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 平行，那么这两个平面的位置关系是 平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行 ． C．平行或相交 ．平行或相交 B．相交 ． D．垂直相交 ．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析： 可能在平面α内 在平面α外有 解析：①错，l 可能在平面 内；②错，直线 a 在平面 外有 两种情况： ∥ 和 相交； 可能在平面α内 两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面 内； 相交 在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面 内或 a∥α，在平面 内都有无数条直线 正确， 与 a 平行． 平行．
2:如图 在长方体 如图,在长方体 的面A 上有一点P(P 如图 在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线 使l与直线 成α角, 点在平面A 上作一直线l,使 与直线 与直线BD成 角 过 点在平面 这样的直线l有 这样的直线 有( A.1条 条 B.2条 条 ) C.1条或 条 条或2条 条或 D.无数条 无数条

工程制图第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置

工程制图第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置

m
b k f n
c
l
a O
m
m
k b
f
a l
n
二、辅助平面法
A E
K 1
2
D
C
B 过AB作平面P垂直于H投影面
a
d
2
k 作题步骤： 1、 过AB作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线 e ⅠⅡ。 O 3、求交线 ⅠⅡ与AB的交 e 点K。
c
1
X
PH
b
a
1
第一节
第二节
平行问题
相交问题
4.2 相交问题
第三节
第四节
垂直问题
综合问题分析及解法
第一节 平行问题
一、直线与平面平行
C P A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线 与该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c g d f
e
b
a
X
f d e
O
a
g c
e f d
a
b r
X
c
O
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
第二节
相交问题
D B
交点与交线的性质
P K A
K
A
B
C
L
E
F
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交 有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的 共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与 面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。
X
m k b

机械制图-点线面关系

机械制图-点线面关系
14
例:求一般位置直线AB和迹线平面Q的交点 如图所示，作图过程与前述完全一样。
15
3. 直线与平面垂直
直线垂直（包括交错垂直）于平面上的两条相交 直线，则该直线垂直于平面。 如图，直线AB垂直于平面P上的相交直线L1、L2 （或交错垂直于直线l1、l2）,则AB垂直于P。 反之，若直线垂直于平面，则直线必垂直于该平 面上的所有直线。
38
三. 综合举例
39
常见综合几何问题有距离、角度的度 量和轨迹作图等。 距离的度量有一般位置直线的实长（ 两点之距）、点线、线线、两平行平面 之间的距离等。 角度的度量有直线、平面对投影面的 倾角，两直线（相交或交错）的夹角， 线面、面面夹角等。
40
轨迹作图可使许多几何问题迎刃而解。 部分常见轨迹有：
分析：由于铅垂线EF的水平 投影积聚成一点，利用其积 聚性，它与平面的交点K的水 平投影可直接得到，然后就 可求得其他投影。 可见性判别：求出交点后， 为了使图形清晰，还需在线、 面投影的重叠部分判别其可 见性，并把被平面图形遮住 的部分画成虚线。 66
11
3) 线、面均是一般位置 例 直线AB与三角形DEF均为一般位置， 求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。
44
拟定作图方法
根据以上分析，作图方法可拟定为： （1）过点D作三角形ABC的垂线，垂足M； （2）延长DM到F，并取DM=FM； （3）连接EF，作出EF与三角形ABC的交点即所 求点G。
45
具体作图
如图所示，采用一 次辅投影将三角形ABC 转化为投影面的垂直 面，在一次辅投影中 完成上述作图步骤， 求作出点G的一次辅投 影g1。返回求作g、 g′，应注意利用点G 在EF上且df//X1。如 果不用辅投影，采用 直接作垂线、求垂足， 再求EF与三角形ABC的 交点G，则作图较繁。

机械制图 5 直线、平面间的相对位置

机械制图 5 直线、平面间的相对位置
5/45
a
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
6/45
c
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
1
例 过点K作一平面，平行于由AB、CD两平行直线构成的平面。
2. 两平面相交
B
三面共点的思想可有效 地用于求两平面的交线。
界
前，可见
k
c
作图步骤
V 投影投
射方向
还可由V面重影点确 定线段在V面的可见性。
交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 判别可见性，即平面间的遮挡关系，交线是可见性的分界线
1) 用线上取点法求出交点的正面投影k 2)可直接从水平投影看出：KB段在平面前，即V面投影k’b’为可见。
分为：直线与平面平行，以及平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行 几何条件是：
直线与平面的平行问题
若平面外的一直线与平面内的 某一直线平行，则该直线与该 平面平行。 两直线的平行问题
L
A
反之，如果直 线与平面平行， 那么在该平面内 一定有直线与该 直线平行。
EF∥△ABC
Chapter 5 Positions between Lines and Planes Liu Wei, Beijing Jiaotong University Chapter 5 Positions between Lines and Planes
选择辅助平面的原则? 有利于解题。
Chapter 5 Positions between Lines and Planes

工程制图之直线与平面 平面与平面相对位置

工程制图之直线与平面 平面与平面相对位置
返回
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。

机械制图 五章直线与平面、 平面与平面的相对位置

机械制图 五章直线与平面、 平面与平面的相对位置
第五章
直线与平面、 平面与平面 的相对位置
（编制 李小平）
本章目录
§5-1 平行问题 §5-2 相交问题 §5-3 垂直问题 §5-4 综合问题解题示例
§5-1 平行问题
直线与平面、平面与平面的相对位 置可能是平行、相交或垂直。
一、 直线和平面平行
二、 平面和平面平行
本章介绍它们的投影特性和作图方法。
k
P
例1 求直线DE与平面△ABC的交点。
b’
f’
PV
a’
g’ k’
e’
d’
c’
b X
d
f
k
c
a
g
e
图 5-12
例1 求直线DE与平面△ABC的交点。
b’
利用两交叉直
a’
线的重影点判别
直线的可见性。 X
1’ k’
d’ 2’ b
3’ e’
(4’)
c’
d
1(2)
a
4
k
c
3e
图 5-12
例2 含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。
交线。
x b’
a’
c’
水平面与两三角
形的交线是水平线，
b1
c
并且与相应的底边
s
平行。
2
a
图 5-10
二、一般位置直线与一般位置平面的相交
当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是： 1. 含已知直线作辅助平面; 2. 求辅助平面与已知平面的交线; 3. 交线与已知直线的交点即为所求。
为了作图方便，应选择特 殊位置平面作为辅助平面。
a’ x
2’ 3’
f’
k’
b’
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例1.判断直线MK与平面AB×CD是否垂直？
m'
答案：垂直
m
例2： 已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面， 试判断直线MN 是否垂直于该平面。
垂直
不垂直
答案：不垂直
例3：给定平面△ABC，试过定点S 作平面的垂线。 SF 即为所求
2.平面与平面垂直
甲
定理：若甲平面
经过乙平面的一
乙
垂线，则甲乙两
DE
EF X
FD
再用一般位置 直线与一般位 置平面相交求 交点的方法求 两一般位置平 面的交线
判别可见性
三、垂直问题
包 括
直线与平面垂直 平面与平面垂直
1.直线与平面垂直
定理：若一直线 垂直于平面内的 两条相交直线， 则该直线与该平 面垂直。
依据该定理可解决两类问题：
1.判断直线与平面是否垂直？ 2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
m′
●
c′
f′
① 求交线
② 判别可见性
对两平面重影范围边框线 的虚实做出判断
方法：
直观法
重影点可见性判别法
a
判断结果须符合的规律：
沿重影范围边框线走一圈，
bn ●
h(f) 符合两个虚实相反：
m●
●不同平面上相邻两段，虚实相反；
●同一平面上以交点作为分界的两段，
d(e)
c 虚实相反。
一平面为特殊位置平面
⑵
d′
h′
b′
n′ ●
e′
m′
●
c′
f′
a
bn ● d(e)
h(f) m●
c
⑶
b
f
m ●
d
a
k ●
n
●
e
c
f
b
m●
e
a
k n ● ●
c d
互交
⑶
f
a
b
m
●
d
k
●
e c
f
b
m●
a
●
k
d
e
c
互交
（4）
求两一般位置平面的交线
如何求交线?
用直线与平面 相交求交点的 方法求交线
先筛选
AB X BC X CA X
的两个端点就是一平面的边线
与对方平面的交点。
M
即判别两平面之间的相互遮挡关系。
例：求两平面的交线MN，并判别可见性。
⑴ a
b m(n) ● e
两平面均为特殊位置平面
f
① 求交线
c
② 判别可见性
d X
a
d
e
O
对两平面重影范围边框线 的虚实做出判断
n
●
c
方法：
直观法
例6：已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面。试 过定点K 作一平面平行于已知平面。
两相交直线(GH X EF) 即为所求
二、相交问题
包 括
直线与平面相交
⒈ 直线与平面相交 平面与平面相交 直线与平面相交存在一个交点，该交点是 直线与平面之间的共有点。
要解决的问题：
●
●
① 求交点
② 判别可见性
1
方法： 直观法
重影点可见性判别法
直线为特殊位置
(3)
一般位置直线 一般位置平面 如何求交线？
求一般位置直线与一般位置平面之间交线的方法
——辅助平面法
P K
该法求作交点的步骤：
1.含已知直线DE 作辅助平面P；
2.求辅助平面P与已知平面
ABC 的交线MN ; 3.求交线MN与已知直线DE
的交点K .
n
●
c
a
d
m●
n
b
唯一解
2.平面与平面平行
定理：若甲平面内的两条相交直线 对应平行于乙平面内的两条相交直 线，则甲乙两平面平行。
依据该定理可解决两类问题：
1.判断两平面是否平行？
2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
例4：试判断两已知平面ABC 和DEF 是否平行
答案：平行
例5：判别两平面是否平行。 答案：平行
即判别投影时直线被平面的遮挡情况。
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴
b
k ●
a m
n
① 求交点
点属于 直线法
②判别可见性
c
方法：
m bk
a
●
c
直观法
重影点可见性判别法
n
平面为特殊位置
⑵
b m
k●
平面上取点法
c ① 求交点
a
●1(2)
n
② 判别可见性
b
m( k(n●)2)
c
●
a
●m
b
f
判断结果须符合的规律：
重影点可见性判别法
沿重影范围边框线走一圈，符合两个虚实相反： 不同平面上相邻两段，虚实相反； 同一平面上以交点作为分界的相邻两段，虚实相反。
例：求两平面的交线MN，并判别可见性。
⑴ a
d X
a d
b
m(n) ● e
f
c
O
e
n
●
c
●m
b
f
⑵
d′
h′
a′
b′ n′ ● e′
1.判断直线与平面是否平行？ 2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
例1: 试判断已知直线AB 是否平行于平面CDE。
答案：不平行
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
b
d
n
a 有多少解？
●m c
有无数解
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
b
正平线
d
a
c m
4.4直线与平面 平面与平面相对位置
主要内容：
1.平行问题 2.相交问题 3.垂直问题
直线与平面、平面与平面的相对位置包括： 平行、相交和垂直。
一、平行问题
包 括
直线与平面平行 平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行
定理：若平面外的一直线平行于平 面内的一条直线，则该直线与该平 面平行。
C D
依据该定理可解决两类问题：
为方便作图，应选择辅 助平面为垂直面！！
以铅垂面为辅助平面作图
1.含已知直线DE 作辅助 铅垂面P ;
2.求辅助铅垂面P 与已知平 面ABC 的交线MN ;
3.求交线MN 与已知 直线DE 的交点K .
判别可见性
⒉ 平面与平面相交
两平面相交存在一条交线。交线是两平面的共
有线；若相交两平面为有形有限大的平面，交线段
平面垂直。
依据该定理可解决两类问题：
1.判断直线与平面是否垂直？ 2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
例4： 试判断△KMN 与相交两直线AB 和CD 所给
定的平面是否垂直?
正水平线
答案：不垂直
例5：过定点S 作平面垂直于平面△ABC.
S' S
两相交直线FS×SN 即为所求 是否唯一解？