2015-2016年北京市石景山区高一上学期数学期末试卷和解析

石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高二数学（文科）本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列命题中，真．命题是（ ） A ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 B ．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行 C ．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线 D ．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为A 是一个定理，当然正确。

而B 、C 、D 均与定理有不同的地方，都能找到反例，都不正确。

所以，只有A 正确 故答案为：A 【答案】A2．直线2y x b =-+一定通过（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【知识点】直线的倾斜角与斜率 【试题解析】因为斜率，倾斜角为钝角，所以，直线必过二、四象限 故答案为：B 【答案】B3．某建筑由相同的若干个房间组成， 该楼的三视图如右图所示，最高一层的房间在什么位置（ ）A ．左前B ．右前C ．左后D ．右后【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】因为由三视图可看出最高一层应在左后方所以，C 正确故答案为：C 【答案】C4．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，已知4,3a b ==，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．4C ．53D ．45【知识点】双曲线【试题解析】因为由渐近线方程得得所以，离心率为故答案为：A 【答案】A5． “命题p 为真命题”是“命题p q ∨为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为由为真命题，得p 、q 均为真命题，能推出真命题，但反之不成立，所以，是充分不必要条件 故答案为：A 【答案】A俯视图主视图6．抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点F 距离为 ( )A ．2B ．3C ．4D．【知识点】抛物线【试题解析】因为所以，故答案为：B 【答案】B7．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（ ）A ．23π B ．43π C ．2π D ．4π【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】因为棱长为2的正方体内切球半径为1，所以，s=r2=故答案为：D 【答案】D8．将正方体的纸盒展开如图，直线AB ，CD 在原正方体的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交成60角 D ．异面且成60角 【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为 直线AB 、CD的位置关系在直观图中如图所示，AB ，CD 在原正方体的位置关系是相交成角故答案为：C【答案】C9．已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l ，在平面α内一定存在一条直线m ，使得直线l 与直线m （ )A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为当直线垂直于平面时，直线与平面内任一条直线垂直，直线不垂直于平面时，作在平面内的射影，在平面内一定存在一条直线，使得直线的射影与直线垂直 所以，故答案为：D 【答案】D10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下表给出（“╳”则该厂至少需要几个产品仓库来存放这8种产品？ （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为 1与2，1与3，2与3均不能放在同一仓库， 所以，至少3个仓库，可这样放 故答案为：B 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p :“∀2,10x R x x ∈-+>”,则p ⌝为______________________．【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为为全称命题，所以，为特称命题故答案为： 【答案】12．过点(0，2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为___________________________． 【知识点】圆的标准方程与一般方程【试题解析】因为过点(0，2)且与两坐标轴相切， 所以圆心为或，半径为2．故答案为：【答案】13．已知抛物线和椭圆都经过点M (1，2)，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的焦点坐标为___________． 【知识点】抛物线椭圆【试题解析】因为设抛物线方程为过点M （1，2），，焦点，所以椭圆椭圆的焦点坐标为，故答案为：【答案】14．在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙ O :221x y +=来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙ O 的距离P S 的定义如下：若P 与O 重合，r S P =；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙ O 的交点为A ，=P S AP 的长度（如右图）．①点1(,0)3到⊙ O 的距离为_____________；②直线2210x y ++=在圆内部分的点到⊙ O 的 最长距离为_______________． 【知识点】直线与圆的位置关系 【试题解析】因为点到⊙ O 的距离为，所以，所求即为0B 减去O 到直线的距离，，所以所求为，故答案为：【答案】三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分8分）已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点P ，直线1l 的方程为410x y -+=．（Ⅰ）若直线l 平行于直线1l ，求l 的方程； （Ⅱ）若直线l 垂直于直线1l ，求l 的方程． 【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】解：联立方程组，可得．（Ⅰ）由题意，直线的斜率为4，所以的方程为；（Ⅱ）由题意，直线的斜率为，所以的方程为．【答案】见解析16．（本小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ， 点E F G ，，分别为,,BC PA PD 的中点，且=PA （Ⅰ）证明：EF //平面ACG ； （Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面AEF ．【知识点】立体几何综合 【试题解析】证明： （Ⅰ）连接FG ， 在△中，点分别为的中点，所以，且，D又因为点为的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形． 所以，又平面，平面，所以//平面．（Ⅱ）因为ABCD 为菱形，所以AB=BC 又，所以AB=BC=AC ，又E 为BC 中点，所以 而平面ABCD ，平面ABCD ，所以 又，所以平面 又平面，所以平面⊥平面【答案】见解析 17．（本小题满分8分）如图，有一个正方体的木块，E 为棱1AA 的中点．现因实际需要，需要将其沿平面1D EC 将木块锯开．请你画出前面11ABB A 与截面1D EC 的交线，并说明理由．【知识点】立体几何综合 【试题解析】画法：取棱的中点F ，连接EF 即为交线．理由如下：1A E AC平面//平面，，．在正方体中，且，是平行四边形，在平面中，易证，进而所以，EF 即为所求． 【答案】见解析18．（本小题满分8分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是正方形，221==AB AA ，E 是1DD 上的一点，且满足⊥D B 1平面ACE ．（Ⅰ）求证：AE D A ⊥1； （Ⅱ）求三棱锥CDE A -的体积．【知识点】立体几何综合 【试题解析】解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以，在长方体中，易证平面，平面所以． 因为，所以平面．1A A又平面所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，，所以．【答案】见解析19． （本小题满分8分）课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC 的面积为S ，外接圆的半径为R ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，用解析几何的方法证明：4abcR S=． 小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：(1) 在△ABC 所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC 三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；(2) 用表示△ABC 三个顶点坐标的字母来表示△ABC 的外接圆半径、△ABC 的三边和面积；(3) 根据上面得到的表达式，消去表示△ABC 的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了使得△ABC 的三边和面积表达式及△ABC 的外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式，你选择第___________种建系方式．① ②（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程： （1）设△ABC 的外接圆的一般式方程为22x y Dx +++________________0=； （2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心 的横坐标为_____________，进而可以求出D =___________；（3）外接圆的方程为________________________________．【知识点】圆的标准方程与一般方程【试题解析】（Ⅰ）②;（Ⅱ）（1）； （2），；．或（Ⅰ）①;（Ⅱ）（1）； （2），；．【答案】见解析20．（本小题满分8分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:l y x m =+与椭圆C 交于不同的两点N M ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求直线l 的方程．【知识点】椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知：解得 ， 所以椭圆的方程为：;（II ）证明：由方程组，得，， 整理得， 设， 则． 由已知，且椭圆的右顶点为，，，即，也即，整理得：．解得或均满足．当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去；当时，直线的方程为，符合题意．【答案】见解析。

2015-2016学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4，5}，那么M∩N=（）A．∅B．{1，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．{2，3}2．（4分）sin210°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（4分）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）A．f（x）=B．f（x）=lgx C．f（x）=|x|D．f（x）=e x4．（4分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2cosx B．y=x2sinx C．y=2﹣x D．y=|lnx|5．（4分）若要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以把函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位6．（4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一段图象如图所示，则ω=（）A．B．C．D．7．（4分）函数f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）8．（4分）已知函数f（x）=如果f（x）=3，那么x的值是（）A．1 B．C．D．9．（4分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A ．B ．C．D ．10．（4分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[x+]=[x]C．[2x]=2[x]D．[x]+[x +]=[2x]二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11．（3分）log25，2﹣3，三个数中最小的数是．12．（3分）已知||=||=1，•=，则平面向量与夹角的大小为．13．（3分）在△ABC中，∠A=90°，且，则边AB的长为．14．（3分）股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．三、解答题共6个小题，每小题8分，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）已知向量，向量．（Ⅰ）若向量与向量垂直，求实数k的值；（Ⅱ）当k为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向．16．（8分）A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B 在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．17．（8分）已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）（1）若函数f（x）在[2，3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；（2）将函数f（x）图象上所用的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象不经过第二象限，求a的取值范围．18．（8分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．19．（8分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，将函数f（x）写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．20．（8分）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R 上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．2015-2016学年北京市石景山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4，5}，那么M∩N=（）A．∅B．{1，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．{2，3}【解答】解：集合M={1，2，3}，N={2，3，4，5}，那么M∩N={2，3}．故选：D．2．（4分）sin210°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选：B．3．（4分）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）A．f（x）=B．f（x）=lgx C．f（x）=|x|D．f（x）=e x【解答】解：要使函数y=有意义，则x＞0，所以函数y=的定义域为（0，+∞）．选项中给出的函数的定义域为{x|x≠0}；f（x）=lgx的定义域为（0，+∞）；f（x）=|x|的定义域为R；f（x）=e x的定义域为R．所以与函数y=有相同定义域的是函数f（x）=lgx．故选：B．4．（4分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2cosx B．y=x2sinx C．y=2﹣x D．y=|lnx|【解答】解：A．f（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx=f（x），则函数为偶函数，满足条件．B．f（﹣x）=（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx=﹣f（x），则函数为奇函数，不满足条件．C．函数为单调递减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：A．5．（4分）若要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以把函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x﹣）=3sin2（x﹣），故要得到函数y=sin（2x ﹣）的图象，将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移个单位即可，故选：A．6．（4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的一段图象如图所示，则ω=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：T=4，∴，ω=，故选：D．7．（4分）函数f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．8．（4分）已知函数f（x）=如果f（x）=3，那么x的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：函数可得x≤﹣1时，x+2≤1，﹣1＜x＜2时，x2∈[0，4），此时：x2=3，解得x=．x≥2时，2x≥4．综上x=．故选：B．9．（4分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．10．（4分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[x+]=[x]C．[2x]=2[x]D．[x]+[x+]=[2x]【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=1.8，则[x+]=2，[x]=1，所以B选项为假．对C，x=﹣1.4，则[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．11．（3分）log25，2﹣3，三个数中最小的数是2﹣3．【解答】解：∵log 25＞log24=2，2﹣3=，=＞1，∴log25，2﹣3，三个数中最小的数是2﹣3．故答案为：2﹣3．12．（3分）已知||=||=1，•=，则平面向量与夹角的大小为60°．【解答】解：设两个向量的夹角为θ，则=|cosθ=cosθ=∵θ∈[0，180°]∴θ=60°故答案为60°13．（3分）在△ABC中，∠A=90°，且，则边AB的长为1．【解答】解：∵△ABC中，∠A=90°，∴cosB==又∵，可得=﹣∴，即化简得||2=1，解之得||=1，即边AB的长为1故答案为：114．（3分）股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为 2.2 元，能够成交的股数为 600 ．【解答】解：依题意，当开盘价为 2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，此时能够成交的股数为200； 当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700， 卖家意向股数为200+400=600，此时能够成交的股数为600； 当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，此时能够成交的股数为400； 当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为100； 故答案为：2.2，600．三、解答题共6个小题，每小题8分，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）已知向量，向量．（Ⅰ）若向量与向量垂直，求实数k的值；（Ⅱ）当k为何值时，向量与向量平行？并说明它们是同向还是反向．【解答】解：∵，，∴=（1﹣3k，2+2k），=（10，﹣4），（Ⅰ）若向量与向量垂直，则10（1﹣3k）﹣4（2+2k）=0，解得：k=；（Ⅱ）若向量与向量平行，则﹣4（1﹣3k）﹣10（2+2k）=0，解得：k=﹣3．此时=（10，﹣4），=（10，﹣4），两向量同向．16．（8分）A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B 在第二象限．记∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B点坐标；（2）求的值．【解答】解：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．设B点坐标为（x，y），则y=sinθ=．x=﹣=﹣，即B点坐标为：（2）∵===．17．（8分）已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）（1）若函数f（x）在[2，3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；（2）将函数f（x）图象上所用的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象不经过第二象限，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）在[2，3]上单调，又∵函数f（x）在[2，3]上的最大值与最小值的和为2，∴log a2+log a3=2；即log a6=2；解得，a=；（2）函数f（x）=log a x y=log a（x+2）y=log a（x+2）﹣1；∵y=log a（x+2）﹣1的图象不经过第二象限，∴；解得，a≥2．18．（8分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：函数表达式为f（x）=3sin（2x﹣）．（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）∵x∈，∴2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）=3sin（2x﹣）∈[﹣3，]．∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）在区间上的最小值为﹣3．19．（8分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，将函数f（x）写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|=，故作其图象如右图，函数y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=，①当1＜＜2，即2＜a＜4时，f（x）在[1，]上是增函数，在（，2]上是减函数；而f（1）=a﹣1，f（2）=2a﹣4，故f（1）﹣f（2）=a﹣1﹣2a+4=3﹣a，故当2＜a≤3时，f（1）≥f（2），故f min（x）=f（2）=2a﹣4；当3＜a＜4时，f（1）＜f（2），故f min（x）=f（1）=a﹣1；故f min（x）=f（1）=a﹣1；综上所述，f min（x）=．20．（8分）定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R 上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R）时，方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，所以f（x）为“局部奇函数”．（2）当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，x﹣x令t=2x ，t ∈[，2]，则﹣2m=t + 设g （t ）=t +，则g'（t ）=1﹣=，当t ∈（0，1）时，g'（t ）＜0，故g （t ）在（0，1）上为减函数， 当t ∈（1，+∞）时，g'（t ）＞0，故g （t ）在（1，+∞）上为增函数． 所以t ∈[，2]时，g （t ）∈[2，]． 所以﹣2m ∈[2，]，即m ∈[﹣，﹣1]．。

石景山区2015—2016学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(14题第一空2分，第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解 （Ⅰ）由题设知公差0d ≠， ………………2分 由11391,,,a a a a =成等比数列得1218112d d d++=+， ………………4分解得1,0d d ==（舍去）， ………………5分 故{}n a 的通项1(1)1na n n =+-⨯=. ………………7分(Ⅱ)由（Ⅰ）知22ma n =，由等比数列前n 项和公式得 ………………9分2312(12)22222212n nn n S +-=++++==--. ………………13分16．（本小题共13分）解：()2cos21f x x x =+-12cos2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. ………………2分（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == ………………4分 令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . ………………7分 （Ⅱ）因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ， 于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤. ………………9分当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. ………………11分 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==. ………13分17．（本小题共13分）（Ⅰ）解：4，6，6 ………3分 （Ⅱ）解（i ）：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种. ………8分（Ⅲ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种. ………11分所以51().153P B == ………13分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，又因为CN ⊂平面ABC ，所以1AA CN ⊥. ………1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. ………3分 因为1AA AB A ⋂=， ………4分 所以CN ⊥平面11ABB A . ………5分（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以NG ∥1BB ，112NG BB =. ………6分 又因为CM ∥1BB ，112CM BB =， 所以CM ∥NG ，CM ＝NG .所以四边形CNGM 是平行四边形．所以CN ∥MG . ………8分 因为CN ⊄平面1AMB ，MG ⊂平面1AMB ， ………9分 所以CN ∥平面1AMB . ………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知MG ⊥平面1AB N . 所以11114242323B AMN M AB N V V --==⨯⨯⨯⨯= ………14分 19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由条件可知，1,2c a ==，故2223b a c =-=， ………3分椭圆的标准方程是22143x y +=． ………4分 （Ⅱ）由已知,,A B M 三点共线，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ．若直线AB x ⊥轴，则124x x ==，不合题意． ………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-． …6分由22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 得，2222(34)3264120k x k x k +-+-=．① ………8分 由①的判别式△=42223224(43)(6412)144(14)0k k k k -+-=->， …9分 解得214k <， ………10分 21223243k x x k +=+,2122641243k x x k -=+. ………11分由21221642437x x k k +==+，可得218k =，即有4k =± ………12分即所求直线方程为(4)4y x =±-. ………13分 20．（本小题共14分）解: （Ⅰ）2()(1)f x x m x '=-+ ………1分 由()f x 在1x =处取得极大值,得(1)1(1)0f m '=-+=, ………3分 所以0m =(经检验适合题意) ………4分（Ⅱ）2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间(2,)+∞为增函数,所以2(1)(1)0x m x x x m -+=--≥在区间(2,)+∞恒成立, ………5分所以(1)0x x m --≥恒成立,即1m x ≤-恒成立,由于2x >,得1m ≤.所以m 的取值范围是1m ≤. ………8分（Ⅲ）32111()()()323m h x f x g x x x mx +=-=-+-, 故2()(1)(1)()0h x x m x m x x m '=-++=--=,得x m =或1x =当1m =时, 2()(1)0h x x '=-≥,()h x 在R 上是增函数,显然不合题意. ……9分 当1m <时, (),()f x f x '随x 的变化情况如下表:………10分要使()()f x g x -有三个零点,故需321110623102m m m ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩, ………12分即2(1)(22)01m m m m ⎧---<⎨<⎩, 解得31-<m所以m 的取值范围是31-<m . ………14分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D【答案】D的值可以是（【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。

故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A交点个数为（【试题解析】因为由图像可知共7个交点故答案为：C【答案】C【知识点】三角函数的图像与性质 【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式 【试题解析】因为故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB = a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）ABC【知识点】平面向量基本定理 【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 【知识点】倍角公式 【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以， 故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),)a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为所以，的夹角等于。

北京市石景山区2014—2015学年高三第一学期期末考试数学文高三数学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U,{}2,1=A,{}4,2=B, 则=BACU）（（）A．{}2B．{}4,2,1C．{}4D．{}4,1答案：C解析：{}(){},,344 U UC A C A B==2．下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（）A．2y x=B．3y x=-C．lgy x=-D．2xy=答案：A解析：二次函数图像为满足在)0(∞+，上单调递增，且是偶函数两个条件。

3．已知向量()()2,4,0,2AB AC==，则=BC21（）A．)22(--，B．(22)，C．(1,1)D．(1,1)--答案：D解析：()()()2,4,0,22,2AB AC BC AC AB==⇒=-=--,=BC21(1,1)--4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．63B．31 C．15 D．7答案：A解析：计算步骤如下5．设为实数，命题甲：2ab b>，命题乙：0a b<<，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：命题甲：2ab b>()0或0aba b a bb a b>⎧⎪⇔⇔>><<⎨->⎪⎩故乙可以推出甲，但甲不可以推出乙，故选B6．函数()22f x log x x=+-的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）答案：B解析：函数()22f x log x x=+-的零点等价于求解方程log22x x=-即求函数log2y x=与2y x=-A≤5是否开始A=1，B=1A=A+1B=2B+1输出B结束,a b的交点，作图可知交点横坐标位于区间（1，2）7．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线的距离依次为和，则这样的直线有（ ） A ．条 B ．条 C ．条 D ．条 答案：C解析：点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线的距离依次为和等价于与圆()2211x y -+= 和圆()2244x y -+=都相切的直线，作图可知两圆公切线有三条8．某同学为了研究函数()()()2211101fx x x x =+++-≤≤的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设CP x = ，则()f x PF AP =+．那么可推知方程()6f x =解的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 答案：A解析：根据题目条件可知PF AP + 最短为5AF =，最长为216AB BF +=+<l 12 A PFDB EC l 1212341ABCD BEFC P BC 0124故方程()6f x =解的个数为0第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z -1-3i.答案：解析：21313z ii z i -==--10．若抛物线2y ax =的焦点与双曲线2213x y -= 的右焦点重合，则a 的值为8．答案：解析：抛物线2y ax =的焦点,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线2213x y -= 的右焦点(),20 可得a=811．在中，角所对的边分别为,,a b c ，已知6C π=，1a = ，3b = ，则____________．答案：23π解析：由余弦定理cos 22221c b a ab c c =+-⇒=故B=23π12． 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ． 答案：5ABC ∆C B A ,,=B解析：作出直观图：最长棱5PB =13．已知不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为1，则=a 1；若点S y x P ∈),(，则y x z 3-=的最小值为-4. 答案：解析：作出可行域：易知当a=1时，平面区域S 的面积为1；此时在A 处取得y x z 3-= 的最小值,如图示14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为45，最大值为85.答案：解析：此时第三列各数之和的最小；此时第三列各数之和的最大三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(Ⅱ)已知数列{}n b 是等差数列,n T 为{}n b 的前n 项和,且1123b a a a =++,33b a =,求n T 的最大值.答案：(Ⅰ) 13n n a -= 1(31)2nn S =- (Ⅱ)49 解析：（Ⅰ）由已知，{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分所以13n n a -=， ………………………4分 所以1(31)2nn S =-. ………………………………………6分 (Ⅱ) 13S 13b ==,39b =………………………………………8分31242b b d d -==-=-；, ………………………………………10分2(1)13(2)14.2n n n T n n n -=+⨯-=-+ 当7n =时，n T 有最大值49. ……………………………13分16．（本小题共13分）已知函数()s i n ()(,0,02f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值与最小值.答案：(Ⅰ) ()2sin(2).6f x x π=+ (Ⅱ) )(x f 的最小值为2-)(x f 的最大值为1解析：（Ⅰ）11522(),21212T T ππππω=-=∴==…………………………2分 因为点5(,0)12π在函数图象上，得5sin()06πϕ+=.由02πϕ∈（，）可得554663πππϕ+∈（，），从而 5=6πϕπ+即=6πϕ . ………………………………………………4分因为点(01)，在函数图象上，sin 126A A π==，即.故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+……………………6分（Ⅱ）因为[,0]2x π∈-，所以52[,]666x πππ+∈-. ……………9分 当2+62x ππ=-时，即3x π=-时，)(x f 的最小值为2-；…………………11分当2+66x ππ=时，即0x =时，)(x f 的最大值为1. ………………13分17．（本小题共14分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是棱111D C DD 、的中点．E ABCD B 1A 1 D 1C 1F（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ；（Ⅱ）证明：F B 1//平面BE A 1； （Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体11A B BE -的体积.答案：(Ⅰ)略 (Ⅱ)略 （Ⅲ）16解析：（Ⅰ）证明:因为1111D C B A ABCD -为正方体， 所以11B C ⊥面11ABB A ；因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥．…………2分又因为11A B AB ⊥，1111B C AB B =，所以1A B ⊥面11ADC B因为1A B ⊂面1A BE ,所以平面11ADC B ⊥面1A BE . …………5分（Ⅱ）连接EF ,EF //112C D ，且EF 11=2C D ，设11AB A B O =，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D , 所以EF //1B O 且EF 1=B O ，所以四边形1B OEF 为平行四边形. 所以1B F //OE . …………9分 又因为11B F A BE ⊄面，OE 1A BE ⊂面．所以F B 1//面BE A 1 …………11分 （Ⅲ）111111111136A B BE E A B B A B B V V S B C --∆==⋅= …………………14分18．（本小题共13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.答案：(Ⅰ) M=13，N =2，p=0.30，q=0.04(Ⅱ) 6（Ⅲ）815 P解析：（Ⅰ）M=13，N =2，p=0.30，q=0.04，…………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为.1500046⨯= （人）……6分（Ⅲ）记获一等奖的6人为,,,,,12A A B C D E ，其中,12A A 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：()()()()()()()()()(),,,B ,,C ,,D ,,E ,,B ,,,,D ,,,,,1211112222A A A A A A A A C A A E B C ()()()()(),D ,,,,D ,,,,B B E C C E D E ………10分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:()()()()()()()()(),,,B ,,C ,,D ,,E ,,B ,,,,D ,,,1211112222A A A A A A A A C A A E ………12分所以恰有1名女生接受采访的概率815P = . ………13分19．（本小题共14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为21.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 经过点）（1,0M ，且与椭圆C 交于B A ,两点，若MB AM 2=，求直线l 的方程. 答案：(Ⅰ)22143x y += (Ⅱ)112y x =±+ 解析：（Ⅰ）由题意知, 1,c = …………………1分解得22=4,3a b = …………………3分 故椭圆方程为22143x y +=． …………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y当k 不存在时，直线方程为=0x ，不符合题意． …………………5分当k 存在时，设直线方程为1y kx =+， 联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：22(34)880k x kx ++-=， ……………6分 由题意，点在椭圆内部，必有两个交点，方程必有实根．（或计算0∆>） …7分1221228,34834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩…………………8分 若MB AM 2=，则122x x =-， …………………9分代入上式，可得222228,34834k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩，消去2x ，解得12k =±. …………………13分 所求直线方程为112y x =±+． …………………14分20. （本小题共13分）已知函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈，()f x '为其导函数，且3x =时()f x 有极小值9-． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln7 1.95,ln8 2.08≈≈）答案：(Ⅰ)()13-， (Ⅱ)6 k x k解析：（Ⅰ）由()232f x ax x b '=-+ 因为函数在3x =时有极小值9-，所以()()3930f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩，从而得,133a b ==-， ………………2分 所求的()323f x x x x =--，所以()223f x x x '=--， 由0)(<'x f 解得31<<-x ，所以()f x 的单调递减区间为()13-，. ………………4分 （Ⅱ）因为2()23f x x x '=--，所以()(ln 1)64f x k x x x '>---等价于 ()ln 2411x x k x x ++>-，即ln 140k x k x x +++-> ， ……………6分 记1()4ln k g x x k x x+=++-， 则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x ++--'=--=， 由()0g x '=，得=1x k +，所以()g x 在(),01k +上单调递减，在(),1k ++∞ 上单调递增，所以()(1)6ln(1)g x g k k k k +=+-+≥， ……………8分 ()0>x g 对任意正实数恒成立，等价于，即()ln 610k k k +-+>，即()ln 6110k k +-+>. ……………10分 记6()1ln(1)hx x x=+-+， 则261'()01h x x x =--<+，所以()h x 在(),0+∞上单调递减， 又13(6)2ln 70,(7)ln807h h =->=-<， 所以的最大值为6． ……………13分2AM MB =【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2015-2016学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．（4分）化简+﹣等于（）A．B．C．D．3．（4分）若向量=（，1），=（2，x）共线，则实数x的值是（）A．﹣B．C．0 D．±4．（4分）函数f（x）=cosx的一个单调递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，）C．（﹣π，0）D．（0，π）5．（4分）函数y=sinxcosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．（4分）函数y=sin（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到7．（4分）若直线x=a是函数y=sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A．B．C．﹣D．﹣8．（4分）已知非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．则||等于（）A．2 B．2 C．D．9．（4分）函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为（）A．3 B．4 C．7 D．810．（4分）关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列三个结论：①函数f（x）的最小值是1；②函数f（x）的最大值是；③函数f（x）在区间（0，）上单调递增．其中全部正确结论的序号是（）A．②B．②③C．①③D．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）sin=．12．（4分）如图所示，D为△ABC中BC边的中点，设=，=，则=．（用，表示）13．（4分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=．14．（4分）设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于．15．（4分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣sin，则α=．16．（4分）已知函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，且在区间（0，）上单调递增，则ω的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知α∈（，π），且sinα=．（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）如图所示，B，C两点是函数f（x）=Asin（2x+）（A＞0）图象上相邻的两个最高点，D点为函数f（x）图象与x轴的一个交点．（Ⅰ）若A=2，求f（x）在区间[0，]上的值域；（Ⅱ）若BD⊥CD，求A的值．19．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．（Ⅰ）求•的值；（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且=x+y，其中x，y∈R．求xy的最大值．B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=．21．（4分）log2=，3=．22．（4分）已知函数f（x）=，且f（a）+f（2）=0，则实数a=．23．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，如果f（a）＞f（x+1）在x ∈[1，2]上恒成立，那么实数a的取值范围是．24．（4分）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系y=e kx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求满足不等式f（2x）＞2x的实数x的取值范围．26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的值域；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．27．（10分）设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称x*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值．试验原理为：“对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，此时称x1为近似峰点；若f（x1）＜f（x2），则（x1，1）为含峰区间，此时称x2为近似峰点”．我们把近似峰点与x*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．（Ⅰ）若x1=，x2=．求此试验的预计误差d．（Ⅱ）如何选取x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x1的取值即可）（Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，可以确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1）．在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′．分别求出当x1=和x1=时预计误差d′的最小值．（本问只写结果，不必证明）2015-2016学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．2．（4分）化简+﹣等于（）A．B．C．D．【解答】解：+﹣=﹣=．故选：B．3．（4分）若向量=（，1），=（2，x）共线，则实数x的值是（）A．﹣B．C．0 D．±【解答】解：向量=（，1），=（2，x）共线，可得，解得x=．故选：B．4．（4分）函数f（x）=cosx的一个单调递增区间是（）A．（0，）B．（﹣，）C．（﹣π，0）D．（0，π）【解答】解：函数f（x）=cosx的单调递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z．故选：C．5．（4分）函数y=sinxcosx是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【解答】解：y=sinxcosx=sin2x，周期为T==π，且其图象关于原点对称，故为奇函数，故选：A．6．（4分）函数y=sin（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：B．7．（4分）若直线x=a是函数y=sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：当x=时，函数y=sin（x+）取得最大值，所以a的值可以是．故选：A．8．（4分）已知非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．则||等于（）A．2 B．2 C．D．【解答】解：非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．可得=4，4﹣2||+||2=4则||=2．故选：A．9．（4分）函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【解答】解：∵函数y=2sin（2πx）的振幅为2，∴作函数y=2sin（2πx）与y=x在[﹣2，2]上的图象如下，，结合图象可知，函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为7，故选：C．10．（4分）关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列三个结论：①函数f（x）的最小值是1；②函数f（x）的最大值是；③函数f（x）在区间（0，）上单调递增．其中全部正确结论的序号是（）A．②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：∵函数f（x）=|sinx|+|cosx|=，故当sin2x=0时，函数取最小值1，故①正确；当sin2x=±1时，函数取最大值，故②正确；当x∈（0，）时，2x∈（0，），此时sin2x随x的增大从0增至1，故函数f（x）为增函数，故③正确；故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）sin=．【解答】解：sin=﹣．故答案为：．12．（4分）如图所示，D为△ABC中BC边的中点，设=，=，则=．（用，表示）【解答】解：==，=．故答案为．13．（4分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则ta n2α=．【解答】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===﹣．故答案为：．14．（4分）设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于．【解答】解：=2．||=2，||=2，∴cos＜＞==．∴，的夹角是．故答案为．15．（4分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣sin，则α=．【解答】解：∵α∈（0，π），且cosα=﹣sin，∴cosα=cos（）=cos，∴．故答案为：．16．（4分）已知函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，且在区间（0，）上单调递增，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，∴f（π）=sinπω=﹣1，即πω=2kπ﹣，即ω=2k﹣，∵在区间（0，）上单调递增，∴T=≥，即2ω≤3，则0＜ω≤，则当k=1时，ω=，满足条件．故答案为：．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知α∈（，π），且sinα=．（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵α∈（，π），且sinα=．∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣，∴tan（α﹣）===﹣7．（Ⅱ）===﹣．18．（12分）如图所示，B，C两点是函数f（x）=Asin（2x+）（A＞0）图象上相邻的两个最高点，D点为函数f（x）图象与x轴的一个交点．（Ⅰ）若A=2，求f（x）在区间[0，]上的值域；（Ⅱ）若BD⊥CD，求A的值．【解答】解：（Ⅰ）若A=2，求f（x）=2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴2sin（2x+）∈[﹣，2]．（Ⅱ）分别令2x+=，2x+=，求得B、C的横坐标分别为，，故B（，A）、C（，A），可得D（+，0），即D（，0）．若BD⊥CD，∴=（﹣，A）（，A）=﹣+A2=0，∴A=．19．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．（Ⅰ）求•的值；（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且=x+y，其中x，y∈R．求xy的最大值．【解答】解：（1）以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：则A（0，0），B（1，0），C（﹣，）.=（1，0），=（﹣，）．∴•=﹣．（2）=x+y=（x﹣，）．∵||=1．∴（x﹣）2+（）2=1．∴x2+y2=1+xy≥2xy．∴xy≤1．∴xy的最大值是1．B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B={x|0＜x≤1} ．【解答】解：∵U=R，B={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，又A={x|x＞0}，∴A∩（∁U B）={x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．21．（4分）log2=，3=6．【解答】解：log2=，3=3×2=6．故答案为：；6．22．（4分）已知函数f（x）=，且f（a）+f（2）=0，则实数a=﹣1．【解答】解：∵f（2）=﹣，∴f（a）+f（2）=0可化为f（a）=，∴2a=或﹣=，解得，a=﹣1或a=﹣2（舍去）；故答案为：﹣1．23．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，如果f（a）＞f（x+1）在x ∈[1，2]上恒成立，那么实数a的取值范围是a＜2．【解答】解：f（a）＞f（x+1）在x∈[1，2]上恒成立，∵函数f（x）是定义在R上的减函数，∴a＜x+1在x∈[1，2]上恒成立，∴a＜2．故答案为a＜2．24．（4分）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系y=e kx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为0.4升/小时．【解答】解：根据题意得，x=0时，y=0.1；x=30时，y=0.8；代入函数y=e kx+b中，可得e b=0.1，e30k+b=0.8，∴e30k=8，∴e10k=2；当x=20时，y=e20k+b=e20k•e b=（e10k）2•e b=22×0.1=0.4；即液体在20℃的蒸发速度是0.4升/小时．故答案为：0.4．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求满足不等式f（2x）＞2x的实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）为奇函数，证明如下：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=；∴f（x）为奇函数；（Ⅱ）由f（2x）＞2x得，；∴；整理成22x＜5；∴2x＜log25；∴；即；∴实数x的取值范围为（﹣∞，）．26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的值域；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，∴f（x）在区间[0，2]上的值域为[﹣1，0]；（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）=x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，故t（a）=g（2）=4﹣4a；②当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，而g（a）=a2，g（2）=4﹣4a，g（a）﹣g（2）=a2+4a﹣4=（a﹣2+2）（a+2+2），故当0＜a＜2﹣2时，t（a）=g（2）=4﹣4a，当2﹣2≤a＜1时，t（a）=g（a）=a2，当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，故t（a）=g（a）=a2，当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，t（a）=g（2）=4a﹣4，故t（a）=，故t（a）的最小值为t（2﹣2）=12﹣8．27．（10分）设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称x*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值．试验原理为：“对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，此时称x1为近似峰点；若f（x1）＜f（x2），则（x1，1）为含峰区间，此时称x2为近似峰点”．我们把近似峰点与x*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．（Ⅰ）若x1=，x2=．求此试验的预计误差d．（Ⅱ）如何选取x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x1的取值即可）（Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，可以确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1）．在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可以进一步得到一个新的预计误差d′．分别求出当x1=和x1=时预计误差d′的最小值．（本问只写结果，不必证明）【解答】解：（Ⅰ）由已知，∴d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}=max{max{}，max{}}=max{}=．（Ⅱ）取，此时试验误差为．以下证明，这是使试验误差达到最小的试验设计．证明：分两种情况讨论x1点的位置，①当时，如图所示，如果≤x2，那么d≥1﹣x2＞，如果≤x2≤1，那么d≥x2﹣x1＞；②当．综上，时，d．同理得时，．∴时，试验的误差蕞小．（Ⅲ）当x1=时预计误差d′的最小值为，当x1=时预计误差d′的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF第21页（共21页）。

绝密★启用前2015-2016学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：70分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、关于函数，给出下列三个结论：①函数的最小值是； ②函数的最大值是；③函数在区间上单调递增.其中全部正确结论的序号是（ ）A ．②B ．②③C ．①③D ．①②③2、函数的图象与直线的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．83、已知非零向量a,b 夹角为,且,. 则等于（ ）4、若直线是函数图象的一条对称轴，则的值可以是（）A． B． C． D．5、是（）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数6、函数的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．7、若向量共线，则实数的值是（）A． B． C． D．8、化简等于（）A． B． C． D．9、如果，且，则是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角10、为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）D．向右平移个单位长度第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度(单位：升/小时)与液体所处环境的温度(单位：℃)近似地满足函数关系（为自然对数的底数，为常数). 若该液体在℃的蒸发速度是升/小时，在℃的蒸发速度为升/小时，则该液体在℃的蒸发速度为_____升/小时．12、已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_____．13、已知函数 且，则实数_____．14、_____，_____．15、设，，，则_____．16、已知函数（其中）图象过点，且在区间上单调递增，则的值为_______.17、已知，且，则_____.18、 设向量，则的夹角等于_____.19、 角终边上一点的坐标为，则_____.20、如图所示，为中边的中点，设，，则_____.（用，表示）21、_____.参考答案1、D2、C3、A4、A5、D6、C7、B8、B9、C10、D11、12、； .13、；14、；15、；16、17、18、19、20、21、【解析】1、试题分析：由题，去绝对值得：结合图像易得正确的为：①②③考点：绝对值的性质及三角恒等变形和分类思想.2、试题分析：由题可画出对应的函数图像，由图可得：有7个交点。

绝密★启用前2015届北京市石景山区高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：124分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则( )A ．6B ．8C ．10D ．122、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．3、如果实数满足不等式组目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、某程序框图如图所示，该程序运行输出的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76、点与圆的位置关系是（ ）A． B． C． D．8、已知集合，，则( )A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集．①集合为封闭集；②集合为封闭集；③若集合为封闭集，则为封闭集；④若为封闭集，则一定有.其中正确结论的序号是____________.10、A , B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有种（用数字作答）．11、若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为．12、如图，在边长为2的菱形中，为中点，则．13、为等差数列，，公差，、、成等比数列，则14、若复数, ,则．三、解答题（题型注释）15、（本小题共13分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质． （Ⅰ）判断是否具有性质；（Ⅱ）若，且具有性质，求的值； （Ⅲ）若具有性质，求证：，且当时，．16、（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数的取值范围.17、（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.18、（本小题共14分）如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若点在线段上，且满足,求证：平面；（Ⅲ）若,求二面角的大小.19、（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答. （Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.20、（本小题共13分）如图所示，在四边形中，，，；为边上一点，，，.（Ⅱ）求BE的长．参考答案1、C2、D3、B4、B5、D6、A7、D8、B9、②④10、1011、12、113、402914、15、（Ⅰ）具有（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析16、（Ⅰ）（Ⅱ）17、（Ⅰ）或.（Ⅱ）当时，单调递增区间是，单调递减区间是，当时，单调递增区间是，单调递减区间是.18、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）19、（Ⅰ）（Ⅱ）20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】1、试题分析：，所以，选C.考点：函数零点2、试题分析：多面体为如图三棱锥ABCD:AB=2，BC=2，BD=CD=,AC=,最长棱为AD=3考点：三视图3、试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部,其中，当时，过点取最大值为3，不合题意舍去；当时，过点取最大值为6，过点取最小值为0，符合题意；当时，过点取最大值为9，不合题意舍去；当时，过点取最大值为12，不合题意舍去；所以选B.考点：线性规划求最值4、试题分析：时：，所以“”是“”的必要而不充分条件考点：充要关系5、试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；第六次循环：；第七次循环：；结束循环，输出，选D.考点：循环结构流程图6、试题分析：圆的直角坐标方程为，又，所以点在圆内考点：点与圆位置关系7、试题分析：在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增；在和上单调递减，所以在上单调递减，选D.考点：函数单调性8、试题分析：求考点：集合交集9、试题分析：因为，所以①不是封闭集；因为两个偶数的和、差、积仍为偶数，所以②为封闭集，实数集、向量集为封闭集，但实数集与向量集的并集不为封闭集；若为封闭集，则考点：新定义10、试题分析：从A到B最短的走法必须走五步，两步向上，三边向右，所以路程最短的走法有种考点：排列组合11、试题分析：因为抛物线的焦点为，所以考点：抛物线的焦点12、试题分析：考点：向量数量积13、试题分析：由、、成等比数列得，所以考点：等差数列与等比数列综合14、试题分析：考点：复数运算15、试题分析：（Ⅰ）根据具有性质的定义进行判定：，由于即对任意，存在，使得，所以具有性质. （Ⅱ）由具有性质的定义列等量关系：选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，又从而（Ⅲ）先证明，可取，再根据是X中唯一的负数，可证得命题；利用反证法证明，先设，其中，则.，得出矛盾即可试题解析：（Ⅰ）具有性质. 2分（Ⅱ）选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，从而 5分（Ⅲ）证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为是X中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，故. 8分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则,异号，从而,之中恰有一个为. 10分若，则，显然矛盾；若，则，矛盾.所以. 13分考点：新定义，反证法16、试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定的值从而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即确定的关系，从而求出实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由题意知，解得，椭圆的标准方程为：. 4分（Ⅱ）设联立，消去，得：6分依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，----①，由（*）式，-------②，可得----③，8分由①②③，，10分由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即.. 12分即，整理得.解得：. 14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系17、试题分析：（Ⅰ）由极值点概念得，可解出或.但这是必要条件，需验证其充分性，即列表分析导数值在附近是否变号（Ⅱ）首先求得：，再利用导数的符号判断函数的单调性并求单调区间；在确定导数的符号时需根据导函数零点有无及大小进行分类讨论：当时，为导函数一个零点；当时，为导函数一个零点；再列表分析即得试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为. 1分. 3分因为是函数的极值点，所以. 5分解得或.经检验，或时，是函数的极值点. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.由，令，解得. 9分当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是；11分当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 13分考点：极值点，利用导数求单调区间18、试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从证明线面垂直出发：又，（Ⅱ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从证明线线平行出发，这一般可利用平面几何知识得以证明：取BD中点O则易得四边形为平行四边形，所以，所以PQ//面BDC. （Ⅲ）求二面角，一般利用空间向量求解，先建立空间直角坐标系，设点的坐标，求出平面法向量，再利用向量数量积求夹角.试题解析：（Ⅰ）,2分且4分（Ⅱ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，所以且；取CD的四等分点H，使DH=3CH，且AQ =3QC,所以, 且，所以，四边形为平行四边形，所以，且,所以PQ//面BDC. 9分（Ⅲ）如图建系,则,,, 10分设面的法向量,,即令,则设面的法向量 11分即令, 则 12分所以二面角的大小为 14分考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理，利用空间向量求二面角19、试题分析：（Ⅰ）根据独立事件同时发生概率公式知：8道题全答对的概率为各题答对概率的乘积，即（Ⅱ）该考生至少对4道得20分，最多得8道，得40分；即随机变量可能取值为.分别求出各概率，可得概率分布：试题解析：（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件，依题意有. 3分（Ⅱ）该考生所得分数为，则的所有可能取值为. 4分，6分，8分10分12分分布列为：考点：古典概型概率，概率分布20、试题分析：（Ⅰ）在，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：，解得CD＝2，再根据正弦定理，求角：（Ⅱ）由，利用两角差余弦公式得：，再在中，求出.试题解析：（Ⅰ）设.在中，由余弦定理，得2分得CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．4分在中，由正弦定理，得 6分（Ⅱ）由题设知，所以8分而，所以. 11分在中，. 13分考点：正余弦定理。

石景山区2015—2016学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCACABA二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(第9题第一空2分， 第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解: （Ⅰ）设公比为q ，则2a q =，23a q =， …………1分∵2a 是1a 和31a -的等差中项，题号910 11121314答案 23，22y x =±10 2 c a b << [){}20+∞，6∴2132(1)a a a =+-，221(1)q q =+-， ……………3分解得2q =或0q =（舍）， ……………5分∴12n n a -=． .……………6分（Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+，则12[13(21)](122)21n n n S n n -=++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅=+-． .……………13分16．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）sin 3cos b A a B =，由正弦定理得sin sin 3sin cos B A A B =，.……………2分 在△ABC 中，sin 0A ≠，即tan 3B =，(0,)B π∈ ……………4分3πB ∴=． .……………6分 （Ⅱ）sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =， .……………8分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22942(2)cos3πa a a a =+-⋅⋅， .……………10分解得3a =，∴223c a ==． .……………13分17．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由直方图可知：(0.10.2)1206+⨯⨯=，(0.250.2)1209+⨯⨯=，(0.10.05)1203+⨯⨯=．所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个．.……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知拥堵路段共有69318++=个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：66218⨯=，69318⨯=，63118⨯=，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1． .……………8分（Ⅲ）记（Ⅱ）中选取的2个轻度拥堵路段为12A A ，，选取的3个中度拥堵路段为123B B B ，，，选取的1个严重拥堵路段为C ，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：12()A A ，，11()A B ，，12()A B ， ，13()A B ，，1()A C ，，21()A B ， ，22()A B ，，23()A B ， ，2()A C ，，12()B B ，，13()B B ，，1()B C ，，23()B B ，，2()B C ，，3()B C ，共15种可能，其中至少有1个轻度拥堵的有：12()A A ，，11()A B ，，12()A B ， ，13()A B ，，1()A C ，，21()A B ， ，22()A B ，，23()A B ， ，2()A C ，共9种可能. ∴所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为93155=． .……………13分18．（本小题共14分）解:（Ⅰ）证明：由直四棱柱1111ABCD A B C D -， 得1BB ∥1DD ，11BB DD =，∴11BB D D 是平行四边形，∴11B D ∥BD ..……………2分 ∵BD ⊂平面1A BD ，11B D ⊄平面1A BD ，∴11B D ∥平面1A BD ..……………4分（Ⅱ）证明：∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1BB AC ⊥. 又∵BD AC ⊥，且1BDBB B =，∴AC ⊥平面11BB D D . .……………7分∵MD ⊂平面11BB D D ，∴MD AC ⊥. .……………9分（Ⅲ）当点M 为棱1BB 的中点时，平面1DMC ⊥平面11CC D D . ……………10分证明如下：取DC 的中点N ，11D C 的中点1N ，连接1NN 交1DC 于O ，连接OM ，如图所示． ∵N 是DC 的中点，BD BC =， ∴BN DC ⊥.又∵DC 是平面ABCD 与平面11DCC D 的交线， 平面ABCD ⊥平面11DCC D ，∴BN ⊥平面11DCC D ..……………12分 由题意可得O 是1NN 的中点， ∴BM ∥ON 且BM ON =， 即四边形BMON 是平行四边形． ∴BN ∥OM .∴OM ⊥平面11DCC D .∵OM ⊂平面1DMC ，∴平面1DMC ⊥平面11CC D D .……………14分 19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）()2xf x e '=-，令()0f x '=解得ln 2x =，易知()f x 在(ln 2)-∞，上单调递减，在(ln 2+)∞，上单调递增， 故当ln 2x =时，()f x 有极小值(ln 2)22ln 2f =- ...……………4分（Ⅱ）令2()x g x e x =-，则()2xg x e x '=-， ...……………5分 由（Ⅰ）知()2()22ln 20xg x e x f x '=-=≥->，所以()g x 在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)10g x g >=>，所以2x e x >. ..……………8分（Ⅲ）方程2()22x f x e x kx x =-=-，整理得2x e kx =，当0x >时，2xe k x =. ...……………9分令2()xe h x x=，则2432(2)()x x x e x e x e x h x x x ⋅-⋅-'==， ...……………10分 令()0h x '=，解得2x =，易得()h x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，所以2x =时，()x ϕ有最小值2(2)4e ϕ=， ...……………12分而当x 越来越靠近0时，()x ϕ的值越来越大， 又当0x >，方程2()2f x kx x =-无解，所以24e k <. ...……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以点()30-，，()30，为焦点，长半轴长为2的椭圆，故曲线C 的方程为2214x y +=. ...……………3分（Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值． ...……………4分 因为直线l 过点()1,0E -，所以可设直线l 的方程为1x my =-或0y =(舍)．由条件得22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(4)230m y my +--=，22(2)12(4)0m m ∆=-++>.设1122()()A x y B x y ，，，，其中12y y >. 解得12224m y y m +=+，12234y y m -=+， ...……………7分 则2212434m y y m +-=+，则221222123212433AOBm S OE y y m m m ∆+=-==++++...……………10分设23t m =+，则1()3g t t t t=+≥，， 则()g t 在区间)3⎡+∞⎣，上为增函数，所以43()3g t ≥. 所以32AOB S ∆≤，当且仅当0m =时等号成立，即max 3()2AOB S ∆=.所以AOB S ∆的最大值为32. ....……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。

2015-2016学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞14．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+35．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______．10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=______．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为______．13．已知tanθ=3，则=______．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．2015-2016学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限．【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0，∴α在第二象限．故选：B．3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可．【解答】解：log a＜1=log a a，当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立；当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜．综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜．故选D．4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g （x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，∴x→x﹣3，又∵f（x）=2﹣x+x∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3．故选A．5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．故选C6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，可得函数y=f（x）的图象，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为4，故选B．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P 的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A 错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）=cos45°=，10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1），∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞===，故答案为：11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=﹣2或11．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得k=11或k=﹣2．故答案为：﹣2或11．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（，），即可求得α﹣β的值．【解答】解：由α∈（，π），β∈（﹣，0），sinα=，cosβ=，∴α﹣β∈（，），cosα＜0，sinβ＜0，cosα=﹣=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣=﹣，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，=×﹣（﹣）（﹣），=﹣，∴α﹣β=．13．已知tan θ=3，则= ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tan θ=3，则====．故答案为：．14．使不等式sin 2x +acosx +a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 a ≤﹣2 ． 【考点】其他不等式的解法．【分析】利用公式1=cos 2x +sin 2x ，进行代换，可得cos 2x +（1﹣a ）cosx ﹣a 2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．【解答】解：1﹣cos 2x +acosx +a 2≥1+cosx ⇒cos 2x +（1﹣a ）cosx ﹣a 2≤0， 令t=cosx ， ∵x ∈R ，∴t ∈[﹣1，1]，t 2+（1﹣a ）t ﹣a 2≤0，由题意知a ＜0∴．故答案为a ≤﹣2．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k 为何值时：（1）k +与﹣3垂直；（2）k +与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？ 【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．【分析】（1）由题意可得 k + 和﹣3 的坐标，由 k + 与﹣3 垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k 的值．（2）由 k + 与﹣3 平行的性质，可得（k ﹣3）（﹣4）﹣（2k +2）×10=0，解得k 的值．再根据 k + 和﹣3 的坐标，可得k + 与﹣3 方向相反．【解答】解：（1）由题意可得 k +=（k ﹣3，2k +2），﹣3=（10，﹣4），由 k + 与﹣3 垂直可得 （k ﹣3，2k +2）•（10，﹣4）=10（k ﹣3）+（2k +2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由 k + 与﹣3 平行，可得（k ﹣3）（﹣4）﹣（2k +2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；（2）由x∈[﹣，]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…由T=得，最小正周期T=π；…（2）∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x﹣≤π，…∴﹣1≤sin（2x﹣）≤1，…函数f（x）在[﹣，]的取值范围：[﹣1，1]．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）根据正弦型函数f（x）的图象与性质，结合题意求出周期T，即可得出ω的值，再根据f（x）的最值求出φ的值；（2）根据φ=时函数f（x）在[0，]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；（3）根据φ=0时f（x）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），当x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2，∴T=2（6﹣2）=8=，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+φ）；把（2，2）代入f（x）得2=2sin（+φ），∴cosφ=1；∵|φ|＜，∴φ=0；（2）当φ=时，函数f（x）=2sin（ωx+）在[0，]上单调递增，∴≤ωx+≤ω+，∴ω+≤，解得ω≤1；又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，1]；（3）当φ=0时，f（x）=2sinωx，∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，∴T≤π＜5T，即•≤π＜5•，解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），利用不等式求出a的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ），即f （﹣x ）+f （x ）≠0； 因为f （x ）=sinx +cosx +a ，所以f （﹣x ）=﹣sinx +cosx +a ，故f （x ）+f （﹣x ）=2cosx +2a ；由题意，对任意的x ∈R ，2cosx +2a ≠0，即a ≠﹣cosx ；﹣﹣﹣又cosx ∈[﹣1，1]，所以实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（Ⅲ）（1）对任意的x ≠0，（i ）若x ∈A 且﹣x ∈A ，则﹣x ≠x ，f （﹣x ）=f （x ），这与y=f （x ）在R 上单调递增矛盾，（舍去），（ii ）若x ∈B 且﹣x ∈B ，则f （﹣x ）=﹣x=﹣f （x ），这与y=f （x ）是“X ﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f （x ）的定义域为R ，故对任意的x ≠0，x 与﹣x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；（2）假设存在x 0＜0，使得x 0∈A ，则由x 0＜，故f （x 0）＜f （）；（i ）若∈A ，则f （）=+1＜+1=f （x 0），矛盾，（ii ）若∈B ，则f （）=＜0＜+1=f （x 0），矛盾； 综上，对任意的x ＜0，x ∉A ，故x ∈B ，即（﹣∞，0）⊆B ，则（0，+∞）⊆A ； （3）假设0∈B ，则f （﹣0）=﹣f （0）=0，矛盾，故0∈A ；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣2016年9月28日。

2015北京市石景山区高三（上）期末数 学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ,{}2,1=A ,{}4,2=B , 则=B A C U ）（（ ） A ．{}2 B ．{}4,2,1 C ．{}4 D ．{}4,12．下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．3y x =- C ．lg y x =- D ．2x y = 3．已知向量()()2,4,0,2AB AC ==，则=BC 21（ ） A ．)22(--，B ．(22)，C ．(1,1)D ．(1,1)-- 4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．75．设为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：0a b << ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()22f x log x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线的距离依次为和，则这样的直线有（ ） A ．条 B ．条 C ．条 D ．条A ≤5 是否 开始 A =1，B =1A =A +1B =2B +1输出B结束,a b l 1212348．某同学为了研究函数()()()2211101f x x x x =+++-≤≤ 的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设CP x = ，则()f x PF AP =+．那么可推知方程()6f x =解的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z -1-3i. 10．若抛物线2y ax =的焦点与双曲线2213x y -= 的右焦点重合，则a 的值为8．11．在中，角所对的边分别为,,a b c ，已知6C π=，1a = ，3b = ，则____________．12． 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ．13．已知不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为1，则=a 1；若点S y x P ∈),(，则y x z 3-= 的最小值为-4.14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为45，最大值为85.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,*n N ∈.APFDBEC 1ABCD BEFC P BC 0124ABC ∆C B A ,,=B(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(Ⅱ)已知数列{}n b 是等差数列,n T 为{}n b 的前n 项和,且1123b a a a =++,33b a =,求n T 的最大值. 16．（本小题共13分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值与最小值.17．（本小题共14分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是棱111D C DD 、的中点． （Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ； （Ⅱ）证明：F B 1//平面BE A 1；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体11A B BE -的体积.18．（本小题共13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：E A BC DB 1A 1 D 1C 1F（Ⅰ）写出M 、N 、p 、q （直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率. 19．（本小题共14分） 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为21. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 经过点）（1,0M ，且与椭圆C 交于B A ,两点，若MB AM 2=，求直线l 的方程.20. （本小题共13分） 已知函数32()(,)f x ax x bxa b R =-+∈，()f x '为其导函数，且3x =时()f x 有极小值9-．（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln7 1.95,ln8 2.08≈≈）k x k数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 答案：C解析：{}(){},,344U U C A C A B ==2． 答案：A解析：二次函数图像为满足在)0(∞+，上单调递增，且是偶函数两个条件。

绝密★启用前2015-2016学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：128分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数，若存在实数a ，使得，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．2、若角与角的终边关于y 轴对称，则（）A ．B ．C ．D ．3、2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A ．B ．C ．D ．4、函数的大致图象是（）5、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） A ． B ．C ．D ．6、正弦函数图象的一条对称轴是（）A ．B ．C ．D ．7、若角的终边经过点，则的值为（）A ．B ．C ．D ．8、已知集合，则集合＝（）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：（1）；（2）对任意，当时，恒有。

那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①；②；③；④。

其中，“保序同构”的集合对的序号是_______（写出所有“保序同构”的集合对的序号）。

10、已知函数的定义域和值域都是，则＝__________。

11、若，则＝____________。

12、已知函数，则的最大值为_________。

13、sin80°cos20°－cos80°sin20°的值为___________。

14、函数的定义域是____________。

三、解答题（题型注释）15、若实数满足，则称x 比y 远离m 。

北京市石景山区2014—2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）2015．1第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合{}4,3,2,1=U ,{}2,1=A ,{}4,2=B , 则=B A C U ）（（ ） A ．{}2 B ．{}4,2,1 C ．{}4 D ．{}4,12. 下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．3y x =- C ．lg y x =- D ．2x y = 3. 已知向量()()2,4,0,2AB AC ==，则1=2BC （ ） A ．)22(--，B ．(22)，C ．(1,1)D ．(1,1)-- 4. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．75. 设a b 、为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：0a b ＜＜，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 函数()22f x log x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,47. 若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 8. 某同学为了研究函数()()()2211101f x x x x =+++-≤≤的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()f x PF AP =+．那么可推知方程()6f x =解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z _________． 10. 若抛物线2y ax =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则a 的值为________．11. 在ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知=6C π，1a =，3b =，则B =______12. 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为_________．13. 已知不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为1，则=a ________；若点S y x P ∈),(，则y x z 3-=的最小值为__________．14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为_______，最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本题满分13分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知数列{}n b 是等差数列，n T 为{}n b 的前n 项和且1123b a a a =++，33b a =，求n T 的最大值．16. （本题满分13分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值与最小值．17. （本题满分14分）如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是棱111D C DD 、的中点．（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ； （Ⅱ）证明：F B 1//平面BE A 1；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体11A B BE -的体积．18.（本题满分13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：、、、（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅰ）写出M N p q（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率．19. （本题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为21． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点）（1,0M ，且与椭圆C 交于B A ,两点，若2AM MB ，求直线的方程．l l20. （本题满分13分）已知函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈，()f x '为其导函数，且3x =时()f x 有极小值9-．（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（为正整数）对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln 7 1.95,ln8 2.08≈≈）北京市石景山区2014—2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015．1一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CADABBCA二、填空题 题号 91011121314答案13i -- 823π 51,4- 45,85三、解答题15. 解：（Ⅰ）由已知，{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， ………………………2分所以13n n a -=， ………………………4分所以1(31)2nn S =-． ………………………………………6分 （Ⅱ）13S 13b ==,39b = ………………………………………8分31242b b d d -==-=-；, ………………………………………10分2(1)13(2)14.2n n n T n n n -=+⨯-=-+ 当7n =时，n T 有最大值49． ……………………………13分16. 解：（Ⅰ）11522(),21212T T ππππω=-=∴== …………………………2分 因为点5(,0)12π在函数图象上，得5sin()06πϕ+=． 由02πϕ∈（，）可得554663πππϕ+∈（，）， 从而 5=6πϕπ+即=6πϕ ． ………………………………………………4分 因为点(01)，在函数图象上，sin 126A A π==，即．故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+ ……………………6分（Ⅱ）因为[,0]2x π∈-，所以52[,]666x πππ+∈-． ……………9分 当2+62x ππ=-时，即3x π=-时，)(x f 的最小值为2-；…………………11分当2+66x ππ=时，即0x =时，)(x f 的最大值为1． ………………13分 17. （Ⅰ）：因为1111D C B A ABCD -为正方体，所以11B C ⊥面11ABB A ；因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥． …………2分又因为11AB AB ⊥，1111BC AB B =，所以1A B ⊥面11ADC B 因为1A B ⊂面1A BE ,所以平面11ADC B ⊥面1A BE ． …………5分 （Ⅱ）连接EF ，如图：EF //112C D ，且EF 11=2C D ，设11AB A B O =，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D ,所以EF //1B O 且EF 1=BO ，所以四边形1BOEF 为平行四边形． 所以1B F //OE ． …………9分 又因为11B F A BE ⊄面，OE 1ABE ⊂面． 所以F B 1//面BE A 1 …………11分（Ⅲ）111111111136A B BE E A B B A B B V V S B C --∆==⋅= …………………14分 18. 解：（Ⅰ）13M =，2N =，0.30p =，0.04q =． …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0．04，获一等奖的人数估计为1500.04=6⨯（人）……6分（Ⅲ）记获一等奖的6人为,,,,,12A A B C D E ，其中,12AA 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：()()()()()()()()()(),,,B ,,C ,,D ,,E ,,B ,,,,D ,,,,,1211112222A A A A A A A A C A A E B C ()()()()(),D ,,,,D ,,,,B B E C C E D E ………10分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下：()()()()()()()()(),,,B ,,C ,,D ,,E ,,B ,,,,D ,,,1211112222A A A A A A A A C A A E ………12分所以恰有1名女生接受采访的概率815P =． ………13分 19. 解：（Ⅰ）由题意知，1c =， …………………1分解得22=4,3a b = …………………3分故椭圆方程为22143x y +=． …………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y当k 不存在时，直线方程为=0x ，不符合题意． …………………5分 当k 存在时，设直线方程为1y kx =+， 联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去，得：22(34)880k x kx ++-=， ……………6分 由题意，点在椭圆内部，必有两个交点，方程必有实根．（或计算0∆>）…7分1221228,34834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩…………………8分 若MB AM 2=，则122x x =-， …………………9分 代入上式，可得222228,34834k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩，消去2x ，解得12k =±． …………………13分 所求直线方程为112y x =±+． …………………14分 20. 解：（Ⅰ）由()232f x ax x b '=-+，因为函数在3x =时有极小值9-，所以()()3930f f ⎧=-⎪⎨'=⎪⎩，从而得1,33a b ==-， ………………2分 所求的()323f x x x x =--，所以()223f x x x '=--，由0)(<'x f 解得31<<-x ，所以()f x 的单调递减区间为()13-，． ………………4分 （Ⅱ）因为2()23f x x x '=--，所以()(ln 1)64f x k x x x '>---等价于 ()ln 2411x x k x x ++>-，即ln 140k x k x x +++->， ……………6分 记1()4ln k g x x k x x+=++-， 则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x ++--'=--=， 由()0g x '=，得=1x k +，所以()g x 在()0,1k +上单调递减，在(),1k ++∞上单调递增，所以()(1)6ln(1)g x g k k k k +=+-+≥， ……………8分 ()0>x g 对任意正实数x 恒成立，等价于()6ln 10k k k +-+＞，即，即()61+ln 10k k-+＞． ……………10分 记6()1ln(1)h x x x=+-+， y则261'()01h x x x =--<+，所以()h x 在()0+∞，上单调递减， 又13(6)2ln70,(7)ln807h h =->=-<， 所以k 的最大值为6． ……………13分选填压轴解析8．【解析】：根据题目条件可知PF AP +最短为5AF =，最长为216AB BF +=+＜ 故方程()6f x =解的个数为0．14． 【解析】：此时第三列各数之和的最小；此时第三列各数之和的最大．。

2015北京石景山区高一（上）期末数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1．（4分）对于任意的α∈R，sin2α=（）A．2sinαB．2sinαcosαC．2cosαD．cos2α﹣sin2α2．（4分）下列算式正确的是（）A．log2（3π）=log23+log2πB．==﹣2C．=2 D．=53﹣2=53．（4分）设集合A，B为全集U的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（）A．A∩B B．B∩∁U A C．A∩∁U B D．（∁U A）∪（∁U B）4．（4分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||等于（）A．1 B．C．D．25．（4分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.56．（4分）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D7．（4分）设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2且x1＜x2，a＜0，那么ax2+bx+c＞0的解集是（）A．{x|x＜x1}B．{x|x＞x2}C．{x|x＜x1或x＞x2}D．{x|x1＜x＜x2}8．（4分）下列函数中，既是偶函数，又在[0，1]上单调递增的是（）A．y=cosx B．y=﹣x2C．y=sinxcos2x D．y=|sinx|9．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x10．（4分）设函数f（x）=log a（x﹣a+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2） C．（0，1）∪（1，2）D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．11．（3分）若cosα=，且α的终边过点P（x，2），则x=．12．（3分）sinα=3cosα，则tanα=．13．（3分）若函数f（x）的图象与y=2x的图象关于对称，则函数f（x）=．（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）14．（3分）三个变量y1，y2，y3随x的变化情况如下表：x 1.00 3.00 5.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y3 5.00 6.10 6.61 6.957.207.40三个变量y1，y2，y3中，变量随x呈对数函数型变化，变量随x呈指数函数型变化，变量随x呈幂函数变化．三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（8分）已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|0＜x＜a}．（Ⅰ）若a=5，求A∪B和A∩B；（Ⅱ）若A∩B≠∅，求a的取值范围．16．（9分）已知向量=（4，﹣2），=（x，1）．（Ⅰ）若，共线，求x的值；（Ⅱ）若⊥，求x的值；（Ⅲ）当x=2时，求与的夹角θ的余弦值．17．（9分）已知0＜α＜，sinα=．（Ⅰ）求cosα的值；（Ⅱ）求tan（α+）的值；（Ⅲ）求的值．18．（8分）函数f（x）=2sin（2x﹣）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．19．（7分）（Ⅰ）证明：函数f（x）=x+在（0，2]上是减函数；（Ⅱ）已知函数f（x）=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．设常数a∈（1，9），求函数f（x）=x+在x∈[1，3]上的最大值和最小值．20．（7分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，h（x）=sin（x+）；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）设f1（x）=log2x，f2（x）=x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1．【解答】由二倍角的正弦公式可得：sin2α=2sinαcosα．故选：B．2．【解答】A．利用对数的运算法则可得log2（3π）=log23+log2π，正确；B.==2，因此不正确；C．∵2lg3=lg9≠lg6，∴，不正确；D．∵==5≠5，因此不正确．故选：A．3．【解答】∵集合A，B为全集U的子集，图中阴影部分不在集合B中，可以推出在集合C U B中，但阴影部分又在集合A中，故阴影部分是这两个集合的交集，∴阴影部分为：A∩∁U B故选：C4．【解答】∵、均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=||=1，•=∴===1∴=1故选A．5．【解答】由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C6．【解答】由向量的加法原理知==2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选A．7．【解答】由题意，不等式可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，由于x1＜x2，a＜0，∴ax2+bx+c＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，故选D．8．【解答】y=cosx是偶函数，在[0，1]上单调递减，不满足条件．y=﹣x2是偶函数，在[0，1]上单调递减，不满足条件．y=sinxcos2x是奇函数，不满足条件．y=|sinx|是偶函数，在[0，1]上单调递增，满足条件，故选：D9．【解答】令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：B．10．【解答】由题意可得a＞1，且1﹣a+2≥1，求得1＜a≤2，故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．11．【解答】∵cosα=，且α的终边过点P（x，2），∴=，∴x=．故答案为：．12．【解答】∵sinα=3cosα，∴=3，则tanα=3，故答案为：313．【解答】由于y=2﹣x=，故与其图象关于y轴对称的图象对应的函数的解析式为y=2x故答案为：y轴，2﹣x14．【解答】观察题中表格，可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈幂函数变化；变量y3的增长速度最慢，呈对数函数型变化．故答案为：y3、y2、y1．三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）把a=5代入得：B={x|0＜x＜5}，∵A={x|3≤x≤7}，∴A∪B={x|0＜x≤7}，A∩B={x|3≤x＜5}；（Ⅱ）∵A={x|3≤x≤7}，B={x|0＜x＜a}，A∩B≠∅，∴a≥3．16．【解答】（Ⅰ）∵=（4，﹣2），=（x，1），又∵，共线，∴4×1=﹣2x，解得x=﹣2；（Ⅱ）∵=（4，﹣2），=（x，1），又∵⊥，∴4x﹣2×1=0，解得x=；（Ⅲ）当x=2时，=（4，﹣2），=（2，1），∴cosθ===∴与的夹角θ的余弦值为17．【解答】（I）∵0＜α＜，sinα=，∴cosα==；（II）∵sinα=，cosα=，∴tanα==，则原式===﹣7；（III）∵cosα=，∴原式==﹣sinαcotα=﹣cosα=﹣．18．【解答】（Ⅰ）f（x）的最小正周期为=π，，y0=2；（Ⅱ）∵，∴．于是，当，即时，f（x）取得最大值0；当，即时，f（x）取得最小值﹣2．19．【解答】（Ⅰ）证明：设x1，x2是（0，2]内的任意两个不相等的实数，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，∵0＜x1＜x2≤2，∴0＜x1x2＜4，∴x1x2﹣4＜0，∴△y＜0．因此，函数在（0，2]是减函数．（Ⅱ）∵a∈（1，9），∴所以，函数在上是减函数，在上是增函数．∴时，函数f（x）有最小值；又，最大值进行如下分类讨论：（ⅰ）当f（1）≥f（3）时，即3≤a＜9时，当x=1时，函数f（x）有最大值1+a；（ⅱ）当f（1）＜f（3）时，即1＜a＜3时，当x=3时，函数f（x）有最大值．20．【解答】（Ⅰ）①设，即，取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．②设a（x2﹣x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，即（a+b）x2﹣（a﹣b）x+b=x2﹣x+1，则，该方程组无解．所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．（Ⅱ），若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，即当x∈[2，4]时有设s=log2x，则由x∈[2，4]知s∈[1，2]，令=，则y max=﹣5，故t＜﹣5．word下载地址。

2015-2016学年北京市西城区普通中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．2．（4分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=sin2x C． D．3．（4分）已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于（）A．B． C． D．4．（4分）已知平面向量=（﹣1，2），=（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，6） D．（2，﹣6）5．（4分）在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A．B．C．D．6．（4分）若tanα=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=（）A．﹣3 B．3 C．D．7．（4分）函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标是（）A．（0，0） B．C．D．8．（4分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．sin215°﹣cos215°C．1﹣2sin215°D．sin215°+cos215°9．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（）A．0 B．C．2 D．10．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知，那么=．12．（4分）已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα的值为．13．（4分）cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于．14．（4分）函数y=sinxcosx的最小值是．15．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（3，4），则||2﹣•=．16．（4分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．①1秒钟后，点P的横坐标为；②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量、满足||=||=1，且与的夹角为60°．（1）求；（2）若与+λ垂直，求实数λ的值．18．（12分）已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．（14分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．（1）若，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求的最大值；（3）设点E（a，0），a∈R，将表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．2015-2016学年北京市西城区普通中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）sin（﹣60°）的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．2．（4分）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=sin2x C． D．【解答】解：A、y=cos4x的周期T==，本选项错误；B、y=sin2x的周期T==π，本选项正确；C、y=sin的周期为T==4π，本选项错误；D、y=cos的周期为T==8π，本选项错误，则最小正周期为π的函数为y=sin2x．故选：B．3．（4分）已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于（）A．B． C． D．【解答】解：∵已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线y=﹣x （x ≤0）上，故α=，故选：C．4．（4分）已知平面向量=（﹣1，2），=（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，6） D．（2，﹣6）【解答】解：=3（﹣1，2）+（1，0）=（3×（﹣1）+1，3×2+0）=（﹣2，6）故选：A．5．（4分）在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得=，故选：C．6．（4分）若tanα=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=（）A．﹣3 B．3 C．D．【解答】解：tan（α﹣β）===，故选：D．7．（4分）函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标是（）A．（0，0） B．C．D．【解答】解：因为函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标（kπ，0）k∈Z，当k=1时对称中心坐标为（0，0）．故选：A．8．（4分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．sin215°﹣cos215°C．1﹣2sin215°D．sin215°+cos215°【解答】解：因为2sin15°cos15°=sin30°=，sin215°﹣cos215°=﹣cos30°=﹣，1﹣2sin215°=cos30°=；sin215°+cos215°=1；所以1﹣2sin215°的值为：；故选：C．9．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（）A．0 B．C．2 D．【解答】解析：如图，，有||=|2 |，又||=1∴有||=2，故选：C．10．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）【解答】解：由图象知A=1，∵=，∴T=π，∴ω=2，∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）∵函数的图象过（）∴0=sin（2×+φ）∴φ=kπ﹣，∴φ=﹣∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）已知，那么=．【解答】解：因为，所以||=．故答案为．12．（4分）已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα的值为．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，3），∴cosα==，故答案为：13．（4分）cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于．【解答】解：cos40°cos20°﹣sin40°sin20°=cos（20°+40°）=cos60°=故答案为．14．（4分）函数y=sinxcosx的最小值是．【解答】解：∵y=sinxcosx∴y=sin2x又∵x∈R∴∴∴故答案为：15．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（3，4），则||2﹣•=0．【解答】解：||2﹣•═（﹣1，2）•（﹣1，2）﹣（﹣1，2）•（3，4）=（﹣1）2+22﹣[（﹣1）×3+2×4]=5﹣5=0故答案为：016．（4分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．①1秒钟后，点P的横坐标为﹣；②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为，t≥0．【解答】解：①1秒钟后，点P从P0处开始绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为；②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，则此时点P的横坐标为，所以点P到直线l的距离为，t≥0．故答案为；，t≥0．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量、满足||=||=1，且与的夹角为60°．（1）求；（2）若与+λ垂直，求实数λ的值．【解答】解：（1）=||2﹣||||cos60°=（2）∵∴即解得λ=﹣218．（12分）已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）因为，，所以，…（3分）故．…（5分）（2）…（10分）=．…（12分）19．（14分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．（1）若，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求的最大值；（3）设点E（a，0），a∈R，将表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．【解答】解：（1）由已知，得，，…（2分）因为，所以，．…（3分）（2）由已知，，，…（5分）又，…（6分）所以，当θ=0时，取得最大值，最大值为4．…（8分）（3）由已知，，所以，，设t=cosθ，…（10分）当，即时，f（a）=2a﹣4，当，即时，f（a）=﹣1，所以，…（12分）因为当时，，当时，f （a ）=﹣1，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)．<f(x ．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在yxo[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．所以f（a）的最大值为﹣1．…（14分）。

北京市海淀区2015-2016学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合12{|}A x x =-≤＜，{}|1B x x =≥，则A B ⋂=（ ）． A ．()1,2 B ．[]1,2- C ．[]1,1- D ．[)1,22．9πsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．23．若α是第二象限的角，6P x （，）为其终边上的一点，且3sin 5α=，则x =（ ）． A ．4- B ．4± C ．8- D ．8±4．化简21sin 160-︒=（ ）．A ．cos20︒B ．cos20-︒C ．cos20±︒D ．cos20±︒5．已知(1,2)A ，(3,7)B ，(),1a x =-，AB a ∥，则（ ）． A ．25x =，且AB 与a 方向相同 B ．25x =-，且AB 与a 方向相同C ．25x =，且AB 与a 方向相反 D ．25x =-，且AB 与a 方向相反6．已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增的是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①③④7．先把函数cos y x =的图象上所有点向右平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（ ）．A ．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．若m 是函数()22x f x x =-+的一个零点，且()10,x m ∈，()2,x m ∈+∞，则()1f x ，()2f x ，()f m 的大小关系为（ ）． A ．()()()12f x f m f x << B ．()()()21f m f x f x << C ．()()()12f m f x f x <<D ．()()()21f x f m f x <<二．填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上. 9．若2log 1y x =＞，则x 的取值范围是__________．10．若函数234f x x x =+-（）在[]1,3x ∈-上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M N +=__________．11．若向量(2,1)a =，()1,2b =-，且()5,5ma nb +=-（m ，n ∈R ），则m n -的值为__________．12．如图，在平面四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE BA BD λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+=__________．13．若函数()()sin f x x ωφ=+（其中0ω＞）在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且ππ063f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()01f =-，则ω=__________．14．已知函数y f x =（），若对于任意x ∈R ，()()22f x f x =恒成立，则称函数y f x =（）具有性质P ， （1）若函数f x （）具有性质P ，且48f =（），则1f =（）__________． （2）若函数f x （）具有性质P ，且在(]1,2上的解析式为cos y x =，那么y f x =（）在(]1,8上有且仅有__________个零点．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知二次函数23f x x mx =+-（）的两个零点为1-和n ， （Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）若()()323f f a =-，求a 的值．16．已知函数f x （）是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，函数()21xf x =﹣， （Ⅰ）求当0x <时，()f x 的解析式； （Ⅱ）若()3f a ≤，求a 的取值范围．17．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间与对称轴方程； （Ⅱ）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值．18．如果()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有()()f x f x -≠-，则称该函数是“X ﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①2x y =；②1y x =+； ③223y x x =+-是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数sin cos f x x x a =++（）是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）已知()21,,x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨∈⎪⎩是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．北京市海淀区2015-2016学年高一（上）期末数学试卷参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 D BCADBBD二、填空题 9．()2,+∞ 10．8 11．2- 12．3413．2 14．2，3三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（Ⅰ）因为二次函数二次函数()23f x x mx =+-的两个零点为1-和n ，所以，1-和n 是方程230x mx +-=的两个根． 则1n m -+=-，13n -⨯=-， 所以2m =-，3n =．（Ⅱ）因为函数223f x x x =--（）的对称轴为1x =． 若()()323f f a =-， 则32312a +-=或233a -=， 得1a =或3a =． 综上，1a =或3a =．16．解：（Ⅰ）当0x <时，0x ->，则()21x f x --=-． 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-．所以当0x <时，()()21xf x f x -=--=-+．（Ⅱ）因为()3f a ≤，()2=3f ， 所以()()2f x f ≤．又因为()f x 在R 上是单调递增函数， 所以2a ≤．17．（Ⅰ）∵ ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k --+≤≤可得ππππ63k x k -+≤≤，∴ 函数()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，由ππ22π62x k -=+可得ππ3x k =+，k ∈Z∴ ()f x 的对称轴方程为ππ3x k =+，k ∈Z ； （Ⅱ）∵ π02x ≤≤，∴ ππ5π2666x -≤≤，∴1πsin 2126x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤≤， ∴ 当ππ266x -=-即0x =时，()f x 的最小值为1-， 当ππ262x -=即π3x =时，()f x 的最大值为2．18．（Ⅰ）①、②是“X ﹣函数”，③不是“X ﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，()()f x f x -≠-，即0f x f x +≠（-）（）； 因为sin cos f x x x a =++（）， 所以sin cos f x x x a =-++（-）， 故2cos 2f x f x x a +=+（）（-）； 由题意，对任意的x ∈R ，2cos 20x a +≠，即cos a x ≠-； 又[],os 1c 1x ∈-，所以实数a 的取值范围为()(),11-∞-⋃-∞，； （Ⅲ）（1）对任意的0x ≠，（i ）若x A ∈且x A -∈，则x x -≠，f x f x =（-）（），这与()y f x =在R 上单调递增矛盾，（舍去）， （ii ）若x B ∈且x B -∈，则f x x f x =-=-（-）（）， 这与()y f x =是“X ﹣函数”矛盾，（舍去）； 此时，由()y f x =的定义域为R ，故对任意的0x ≠，x 与x -恰有一个属于A ，另一个属于B ； （2）假设存在00x <，使得0x A ∈，则由002x x <，故()002x f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭； （i ）若02x A ∈，则()2200001124x x f x f x ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，矛盾， （ii ）若02xB ∈，则()2200000122x x f x f x ⎛⎫=<<+= ⎪⎝⎭，矛盾； 综上，对任意的0x <，x A ∉，故x B ∈，即0B -∞⊆（，），则0A +∞⊆（，）； （3）假设0B ∈，则()()000f f -=-=，矛盾，故0A ∈； 故[0A =+∞，），0]B =-∞（，； 经检验[0A =+∞，），0]B =-∞（，，符合题意．北京市海淀区2015-2016学年高一上学期期末数学试卷1．【答案】D【解析】利用交集定义求解． 2．【答案】B 【解析】原式9ππsinsin 122=-=-=-． 3．【答案】C【解析】∵α是第二象限的角， (),6P x 为其终边上的一点，且3sin 5α=， ∴22356x =+，0x <， 解得8x =-． 4．【答案】A【解析】∵cos200︒>，∴原式21sin 20cos20cos20=-︒=︒=︒． 5．【答案】D【解析】()1,2A ，()3,7B ， 可得(),1AB x =-，(),1a x =-，AB a ∥，可得52x =-，解得25x =-．2,15a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，与AB 方向相反． 6．【答案】B【解析】①函数tan y x =中1ω=，故周期πT =；因为利用正切函数图像可得在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以A 正确；②sin y x =为偶函数，根据图像判断它不是周期函数．③由于函数sin y x =周期为π，利用正弦函数的图像可得在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故正确；④cos y x =是周期为π的三角函数，利用余弦函数的图像可得在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故不正确．7．【答案】B【解析】将函数cos y x =的图像向右平移π3个单位长度，可得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再将所得图像的所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）， 可得到的函数π2cos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像．8．【答案】D【解析】∵m 是()22x f x x =-+得到一个解， ∴m 是方程220x x -+=的一个解，∴m 是函数()g x x =与()22x h x =-图像的一个交点的横坐标， 若()10,x m ∈，()2,x m ∈+∞， 则()()()()2220f x g x h x f m =-<=， ()()()()1110f x g x h x f m =->=，∴()()()21f x f m f x <<． 9．【答案】()2,+∞【解析】22log 1log 2x >=，可得2x >． 10．【答案】8【解析】()f x 的对称轴为32x =-，题目给的区间在对称轴右边， 即()f x 在该区间递增， 可得最小值6m =-, 最大值14M =， 可得8m M +=． 11．【答案】2-【解析】由题意得()()()()2,,22,25,5m m n n m n m n +-=+-=-， 解得1m =，3n =， ∴2m n -=-． 12．【答案】34【解析】由题意得2BD BO =，BE BA BD λμ=+，∴2BE BA BO λμ=+， ∵E 为线段AO 的中点， ∴()12BE BA BO =+， ∴12λ=，14μ=， ∴34λμ+=． 13．【答案】2【解析】由题意可得：π2φ-≥，ππ32ωφ⋅+≤，由()01f =-，解得π2φ=-，3ω≤，由ππ063f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得ππcos πcos 63ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴πππ63ωω-=或πππ2π63ωω-=-，∴2ω=或6（舍去）． 14．【答案】2，3【解析】（1）()()()()()42222221418f f f f f =⨯==⨯==， ∴()1=2f ．（2）令(]()cos 01,2y x x ==∈， ∴π2x =， 由()()22f x f x =得()22x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若24x <≤，则122x <≤，则()=2=2cos 22x x f x f ⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在(]2,4上的解析式为2cos 2xy =，由2cos02x=可得πx =， 同理可得(]4,8上的解析式为4cos 4xy =，由4cos04x=可得2πx =， ∴()y f x =在(]1,8上仅有3个零点．。