云南省临沧市中考数学专题高分攻略6讲专题四动态探究型问题

2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短.求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题.二、动点构成特殊图形问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决.小结在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.考向1 动点与最值1．(2019·聊城)如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(4，4)，点C在边AB上，且ACCB=13，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．(52，52) C．(83，83) D．(3，3)2.（2019·威海）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上运动，且始终保持线段AB =M 为线段AB 的中点，连接OM.则线段OM 的长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）.3．(2019·巴中)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以点O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M.（1）求证:DC 是e O 的切线;（2）若AC=4MC 且AC=8，求图中阴影部分的面积;（3）在②的条件下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值.4．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.(1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD 的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.5．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB=6cm ，动点P 从点A 出发以cm/s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′，当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．考向2 动点与图形存在性问题1.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y=ax 2+2x+c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点. （1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y=174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2019·凉山州）如图，抛物线y= ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △PAM =S △PAC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 考向3 动点与函数图像问题1．(2019·广元)如图，点P 是菱形ABCD 边上的动点，它从点A 出发沿A→B→C→D 路径匀速运动到点D ，设△PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为( )2．（2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）．3.（2019·菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）4．（2019·长沙）如图，函数kyx=(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM 分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA=30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k=2；④若MF=25MB，则MD=2MA．其中正确的结论的序号是．2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。

2022初中数学中考指导二轮复习锦囊：专题四探究型问题最大最全最精的教育资源网 xsjjyw专题四探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．21*cnjy*com 二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于根底知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择适宜的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值〔特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等〕进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法〔反证法〕，即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，那么需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．【出处：21教育名师】4．类比猜测法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜测出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：条件探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 〔2022·湖北省随州市，第24题10分〕问题：如图〔1〕，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图〔1〕证明上述结论．【类比引申】如图〔2〕，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，那么当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．【探究应用】如图〔3〕，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40〔﹣1〕米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长〔结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73〕考点：四边形综合题．分析：【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，那么GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，那么BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，那么GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．解答：【发现证明】证明：如图〔1〕，∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw，∴△AFG≌△AFE〔SAS〕．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴BE+DF=EF．【类比引申】∠BAD=2∠EAF．理由如下：如图〔2〕，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF〔SAS〕，∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE〔SAS〕，∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．故答案是：∠BAD=2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw∴∠BAE=60°．又∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=80米．根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，又∵∠ADF=120°，∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAG=∠BAD=150°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，，∴△AFG≌△AFE〔SAS〕．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴EF=BE+DF=80+40〔﹣1〕≈109.2〔米〕，即这条道路EF的长约为109.2米．xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw点评：此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．对应训练1.〔2022?襄阳〕如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．〔1〕连结BE，CD，求证：BE=CD；〔2〕如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．思路分析：〔1〕根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边〞证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；〔2〕①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角〞证明△BDD′与△CPD′全等．全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw解答：〔1〕证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，?AB?AD???BAE??DAC， ?AE?AC?∴△BAE≌△DAC〔SAS〕，∴BE=CD；〔2〕解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAE=180°-60°×2=60°，∵边AD′落在AE上，∴旋转角=∠DAE=60°；②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．理由如下：由旋转可知，AB′与AD 重合，∴AB=BD=DD′=AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′=∠DBD′= 11∠ABD=×60°=30°，DP∥BC， 22∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE，∠ACE=60°，∵AC=2AB，∴AE=2AD′，∴∠PCD′=∠ACD′=又∵DP∥BC，∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，在△BDD′与△CPD′中，11∠ACE=×60°=30°， 22全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw??DBD???PCD??， ?BD??CD???BD?D??PD?C?∴△BDD′≌△CPD′〔ASA〕．故答案为：60．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是姐提到过．考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论．例2 〔2022?辽宁省朝阳,第24题12分〕问题：如图〔1〕，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系． [探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边〞，可证△CEH≌△CDE ，得EH=ED．在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH+EB=EH，由BH=AD，可得AD、DE、EB 之间的等量关系是 AD+EB=DE ． [实践运用]〔1〕如图〔2〕，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；〔2〕在〔1〕条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，假设BE=2，DF=3，BM=2小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．，运用222222全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw考点：几何变换综合题．分析：〔1〕根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF=∠BAD=45°；2·1·c·n·j·y〔2〕由〔1〕知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，那么CE=x﹣2，CF=x﹣3．因为CE+CF=EF，所以〔x﹣2〕+〔x﹣3〕=5．解这个方程，求出x的值即可得到AG=6，在〔2〕中，MN=MB+ND，MN=a，MN=．222222222，所以a=．即解答：解：根据“边角边〞，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED．在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH+EB=EH，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD+EB=DE；故答案为：△CDE；勾股；AD+EB=DE；www-2-1-cnjy-com 〔1〕在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE〔HL〕，∴∠BAE=∠GAE，同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴∠GAF=∠DAF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAF=∠BAD=45°；〔2〕由〔1〕知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴BE=EG=2，DF=FG=3，那么EF=5，设AG=x，那么CE=x﹣2，CF=x﹣3，∵CE+CF=EF，∴〔x﹣2〕+〔x﹣3〕=5，解这个方程，得x1=6，x2=﹣1〔舍去〕，∴AG=6，∴BD=∴AB=6，，222222222222222全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw∵MN=MB+ND 设MN=a，那么所以a=即MN=，．，222点评：此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和一元二次方程的运用，题目的综合性很强，难度不小．对应训练2．〔2022?辽宁铁岭〕〔第25题〕：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点〔不与点B重合〕，连接AD．〔1〕如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．〔2〕如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；〔3〕假设BD=CD，直接写出∠BAD的度数．考点：几何变换综合题．.分析：〔1〕根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边〞证明△BAD和△CEF全等，从而得证；【来源：21·世纪·教育·网】〔2〕将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与〔1〕同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD=BD+CD；〔3〕分两种情况分别讨论即可求得．解答：〔1〕证明：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw222最大最全最精的教育资源网 xsjjyw∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE〔SAS〕，∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BD⊥CE；〔2〕2AD=BD+CD，理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与〔1〕同理可证CE=BD，CE⊥BD，∵∠EAD=90°AE=AD，∴ED=AD，222222在RT△ECD中，ED=CE+CD，∴2AD=BD+CD．〔3〕如图3，①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，与〔1〕同理可证△ABE≌△ACD1，∴BE=CD1，BE⊥BC，∵BD=∴BD1=CD， BE，=，222∴tan∠BD1E=∴∠BD1E=30°，∵∠EAD1=EBD1=90°，∴四边形A、D1、B、E四点共圆，∴∠EAB=∠BD1E=30°，∴∠BAD1=90°﹣30°=60°；全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw②将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．同理可证：∠CFD2=30°，∵∠FAD2=FCD2=90°，∴四边形A、F、D2、C四点共圆，∴∠CAD2=∠CFD2=30°，∴∠BAD2=90°+30°=120°，综上，∠BAD的度数为60°或120°．点评：此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，四点共圆的判定，圆周角定理等，通过旋转得出全等三角形是此题的关键．全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜测、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比拟，从中发现其变化的规律，并猜测出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.【版权所有：21教育】例3 〔2022?青岛,第23题10分〕【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】〔1〕用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．〔2〕用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．〔3〕用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？假设分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，那么不能搭成三角形．假设分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，那么能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．〔4〕用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？假设分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，那么不能搭成三角形．假设分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，那么能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表① n m 【探究二】〔1〕用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？〔仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中〕全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw3 14 05 16 1最大最全最精的教育资源网 xsjjyw〔2〕用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔只需把结果填在表②中〕表② n m7 28 19 210 2你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中〕表③ n m4k﹣14k4k+14k+2【问题应用】：用2022根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔写出解答过程〕，其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．〔只填结果〕2-1-c-n-j-y考点：作图—应用与设计作图；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质．专题：分类讨论．分析：探究二：仿照探究一的方法进行分析即可；问题解决：根据探究一、二的结果总结规律填表即可；问题应用：根据规律进行计算求出m的值．解答：〔1〕用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，那么能搭成一种等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，那么能搭成一种等腰三角形当n=7时，m=2．〔2〕用8根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，那么不能搭成一种等腰三角形，分成3根木棒、3根木棒和2根木棒，那么能搭成一种等腰三角形，所以，当n=8时，m=1．用9根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，那么能搭成一种等腰三角形全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，那么能搭成一种等腰三角形所以，当n=9时，m=2．用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，那么能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，那么能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2022÷4=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大， 2022÷3=672，∴用2022根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．点评：此题考查的是作图应用与设计作图、三角形三边关系，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和根本作图的方法作图，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质进行解答．对应训练3．〔2022?湖北荆门,第11题3分〕如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，那么第n个三角形中以An为顶点的内角度数是〔〕第1题图A．〔〕n?75°B．〔〕n1?65°﹣C．〔〕n1?75°﹣D．〔〕n?85°全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw考点：等腰三角形的性质．专题：规律型．分析：先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．解答：解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C==75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；同理可得，∠EA3A2=〔〕2×75°，∠FA4A3=〔〕3×75°，∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是〔〕n1×75°．﹣应选：C．点评：此题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例4 〔2022?黄石第24题，9分〕在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．〔1〕如图1，假设∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；〔2〕如图2，假设△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜测∠AEB=θ是否成立？请说明理由．全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：〔1〕①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；〔2〕由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式得出，，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．解答：〔1〕证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′〔SAS〕，∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；〔2〕解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，，全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 | xsjjyw最大最全最精的教育资源网 xsjjyw考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：〔1〕①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；〔2〕由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式得出，，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．解答：〔1〕证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′〔SAS〕，∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；〔2〕解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，，。

人教版2020年中考数学专题高分攻略6讲专题四动态探究型问题B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）如果某函数的图象如图所示，那么y随x的增大而（）A . 增大B . 减小C . 不变D . 有时增大有时减小2. （2分）已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A . x＜0B . ﹣1＜x＜1或x＞2C . x＞﹣1D . x＜﹣1或1＜x＜23. （2分）如图，△ABC中，DE∥BC且，若△ABC的面积等于，则四边形DBCE的面积为（）A .B .C .D . 44. （2分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为（）A .B . 4﹣2C .D . ﹣25. （2分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点E、F分别在BC、AC上，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠BEO的度数是（）A . 20°B . 35°C . 40°D . 55°6. （2分）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)7. （1分）如图所示，在平面直角坐标系中，有A（1，1）、B（3，2）两点，点P是x 轴上一动点，则PA+PB最小值为________．8. （1分）将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向________平移________个单位后，得到的图象经过原点．9. （2分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD 和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为________.10. （1分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在边BC 和CD上则下列结论：①CE=CF：②∠AEB=75°；③S△EFC=1；④ ，其中正确的有________（用序号填写）11. （1分）如图坐标系中，O(0，0) ，A(6，6 )，B(12，0).将△OAB沿直线CD 折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则CE : DE的值是________.三、综合题 (共3题；共37分)12. （11分）综合题。

云南省保山市中考数学专题高分攻略6讲专题四动态探究型问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分） (2017九上·鄞州月考) 如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A .B .C .D .2. （2分）下列各点：①（0，0）；②（1， 1）；③（ 1， 1）；④（ 1，1），其中在函数的图像上的点（）B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分） (2018九下·福田模拟) 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的边长为3,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在第一象限内直线y=kx+1分别与x轴、y轴、线段BC交于点F、D、G,AE⊥FG,下列结论:①△GCD和△FOD的面积比为3:1:②AE的最大长度为:③tan∠FEO= ④当DA平分∠EAO时,CG= ，其中正确的结论有（）A . ①②③B . ②③C . ②③④D . ③④4. （2分）设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·秀洲模拟) 如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO= ，则∠C的度数为（）A . 40°B . 41°C . 42°6. （2分） (2016八下·夏津期中) 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)7. （1分） (2019八上·武汉月考) 如图，A（4,3），B(2,1),在x轴上取两点P、Q，使PA+PB值最小，|QA-QB|值最大，则PQ=________.8. （1分）(2017·昆山模拟) 将函数y=2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y=|2x+b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为________．9. （2分）如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=________ ．10. （1分）(2017·娄底模拟) 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1 ，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2 ，作第2个正方形A2B2C2C1 ，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是________11. （1分） (2015九上·宝安期末) 如图，在边长为2 的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE 沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF=________．三、综合题 (共3题；共37分)12. （11分）(2017·温州) 小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD 区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．13. （11分）(2017·博山模拟) 设抛物线的解析式为y=ax2 ，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（）n﹣1 ， 0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An ，连接AnBn+1 ，得Rt△AnBnBn+1 ．（1）求a的值；（2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）；（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题：①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．14. （15分）如图，点P是∠AOB内的一点，过点P作PC∥OB，PD∥OA，分别交OA、OB于点C、D，且PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E、F．（1）求证：OC•CE=OD•DF；（2）当点P位于∠AOB的什么位置时，四边形CODP是菱形并证明你的结论．参考答案一、单选题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共5题；共6分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、三、综合题 (共3题；共37分)12-1、12-2、13-1、13-2、13-3、14-1、14-2、。

2024年中考数学答题技巧与模板构建—几何动态与函数图象问题学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力.函数的学习需要学生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型.本专题主要对函数与几何图形结合的相关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型.几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象.题目难度中等，属于中考热点题型．模型01动点问题动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题.在几何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题.模型02线动问题线动问题的函数图象题，该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.模型03函数图象判断函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．模型01动点问题考｜向｜预｜测动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是解本题的关键.这类问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想.本题型主要是以选择、填空为主，具有一定的难度，是学生主要的失分题型之一.答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥于点()D AD BD >．动点M 从A 点出发，沿折线AB BC →方向运动，运动到点C 停止．设点M 的运动路程为x ，AMD 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2，则AC 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．13【答案】A 【详解】解：由图2知，213AB BC +=AB BC = ，13AB ∴AB BC = ，BD AC ⊥，2AC AD =∴，90ADB ∠=︒，在Rt △ABD 中，22213AD BD AB +==①，设点M 到AC 的距离为h ，Δ12ADM S AD h ∴=⋅， 动点M 从A 点出发，沿折线AB BC →方向运动，∴当点M 运动到点B 时，AMD 的面积最大，即h BD =，由图2知，AMD 的面积最大为3，∴132AD BD ⋅=，6AD BD ∴⋅=②，①2+⨯②得，222132625AD BD AD BD ++⋅=+⨯=，2()25AD BD ∴+=，5AD BD ∴+=（负值舍去），5BD AD ∴=-③，将③代入②得，(5)6AD AD -=，3AD ∴=或2AD =，AD BD > ，3AD ∴=，26AC AD ∴==，故选：A ．例2．（2023•北京）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，设圆的半径为R ，∴两个机器人最初的距离是2AM CN R ++，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A ，C ，∴两个机器人之间的距离y 越来越小，故排除A ，C ；当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，保持不变，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C ，故选：D ．模型02线动问题考｜向｜预｜测线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识.答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点P 从点A 出发运动到点B 时停止，过点P 作PQ AB ⊥，交直角边AC （或BC ）于点Q ，设点P 运动的路程为x ，APQ △的面积为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当5x =时，APQ △的面积为（）AB ．CD ．【答案】C【详解】解：根据图2知，8AB =，当5x =时，5AP =，3BP =，∵30B ∠=︒，∴tan 30PQ BP =⨯︒=12APQ S AP PQ =⨯=△故选：C ．例2．（2023•海南）如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，BC =D 在折线ACB 上运动，过点D 作AB 的垂线，垂足为E ．设AE x =，ADE S y = ，则y 关于x 的函数图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解：如图所示，过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，BC =∴AC ==，∴1tan 2CB A AC ==，∵DE AE⊥∴1tan 2DE CF A AE AF ===∵2AC BC CF AB ⨯===，∴4AF =，当点D 在AC 上时，即04x <<时，∵AE x =，ADE S y = ，∴12DE x =，21124y AE DE x =⨯=当点D 在CB 上时，即45x ≤<时，如图所示，连接AD ，∵5EB AB AE x =-=-，tan 2AC DE B CB EB===∴()225DE EB x ==-∴()225210y x x x x =-=-+,综上所述，当04x <<时，抛物线开口向上，当45x ≤<时，抛物线开口向下，故选：A ．模型03函数图象判断考｜向｜预｜测函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．答｜题｜技｜巧第一步：一变一不变，图象是直线；第二步：两个都变图象是曲线；第三步：同增同减口向上；第四步：一增一减口向下；例1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形ABCD 中，6cm AD =，3cm AB =，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，4cm AE =，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是0.5cm/s ，现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），BPQ V 的面积为2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：在矩形ABCD 中，3cm AB =，6cm AD =，AD BC ∥，点E 在AD 上，且4cm AE =，则在直角ABE 中，根据勾股定理得到5cm BE ===，①当010t ≤<，即点P 在线段BE 上，点Q 在线段BC 上时，过点P 作PF BC ⊥于F ，∵AD BC ∥，∴AEB PBF ∠=∠，∴3sin sin 5AB PBF AEB BE Ð=Ð==，则3sin 10PF BP PBF t =仔=，∴2111332221040y BQ PF t t t =�创=，此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；②当1012t ≤≤，即点P 在线段DE 上，点Q 在线段BC 上时，此时111332224y BQ CD t t =�创=，此时该函数图象是直线的一部分；③当1214t <≤，即点P 在线段DE 上，点Q 在点C 时，BPQ V 的面积21639cm 2=创=，此时该三角形面积保持不变；综上所述，C 正确．故选：C ．例2．（2023•吉林）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B ，C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ，设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】由已知可知∠EPD=90°，∴∠BPE+∠DPC=90°，∵∠DPC+∠PDC=90°，∴∠CDP=∠BPE ，∵∠B=∠C=90°，∴△BPE ∽△CDP ，∴BP ：CD ＝BE ：CP ，即ｘ：3＝ｙ：（5-ｘ），∴ｙ＝253x x -+（0＜ｘ＜5）；故选C ．1．（2023•湖北）如图，在Rt ABC ∆中，点D 为AC 边中点，动点P 从点D 出发，沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点，在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示，则BC 的长为()．AB ．CD 【答案】C【详解】解：∵动点P 从点D 出发，线段CP 的长度为y ，运动时间为x 的，根据图象可知，当x =0时，y =2∴CD =2，∵点D 为AC 边中点，∴AD =CD =2，CA =2CD =4，由图象可知，当运动时间x =(2s +时，y 最小，即CP 最小，根据垂线段最短，∴此时CP ⊥AB ，如下图所示，此时点P 运动的路程DA ＋AP =((122⨯=+，所以此时AP =(21111AD +-=∵∠A =∠A ，∠APC =∠ACB =90°，∴△APC ∽△ACB ，∴AP AC AC AB =，即1144AB=，解得：AB 161111在Rt △ABC 中，BC 2245511AB AC -=．故选C ．2．（2023•山东）如图（1），Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是中线，点P 从点D 出发，沿D C B →→的方向以1cm/s 的速度运动到点B ．图（2）是点P 运动时，ADP △的面积()2cm y 随时间()s x 变化的图象，则a 的值为（）A ．2B ．52C ．332D 5【答案】D 【详解】解：由点P 的运动可知，cm CD a =，22cm BC a a =+-=，且当点P 运动到点C 时，ADC △的面积为22cm ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∴122AC DE ⋅=，即4AC DE ⋅=，∵CD 是中线，90ACB ∠=︒，∴AD CD =，∴D 为AC 中点，∴DE 是ABC 的中位线，∴11cm 2DE BC ==，∴4cm AC =，在Rt ABC △中，由勾股定理可知，224225cmAB =+=∴15cm 2a CD AB ===，故选：D ．3．（2023•广西）如图1，点F 从四条边都相等的ABCD Y 的顶点A 出发，沿A D B →→以1cm /s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，FBC 的面积()2cm y 随时间()s x 变化的关系图象，则a 的值为（）A 5B ．2C ．52D ．25【答案】C【详解】解：过点D 作DE BC ⊥于点E∵ABCD Y 的四条边都相等，∴AB BC CD AD ===．由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为s a ，FBC 的面积为2cm a ．AD BC a ∴==，12DE BC a ∴⋅=，2DE ∴=，当点F 从点D 到点B 5s5BD ∴=Rt DEB △中，2222(5)21BE BD DE --=，ABCD Y 的四条边都相等，1EC a ∴=-，DC a=Rt DEC △中，2222(1)a a =+-，解得：52a =故选：C ．4．（2023•江苏）如图①，在正方形ABCD 中，点M 是AB 的中点，设DN x =，AN MN y +=．已知y 与x 之间的函数图象如图②所示，点(25,E a 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（）A ．2B ．22C ．4D ．25【答案】C 【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接NC ，连接MC 交BD 于点N '．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于BD 对称，∴NA NC =，∴AN MN NC MN +=+，∵当M 、N 、C 共线时，y 的值最小，∴y 的值最小就是MC 的长，∴5MC =设正方形的边长为m ，则12BM m =，在Rt BCM △中，由勾股定理得：222MC BC MB =+，∴221202m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴4m =（负值已舍），∴正方形的边长为4．故选：C ．5．（2023•贵州）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC FGH 、如图1放置（点C 与点H 重合），若将FGH 绕点C 在平面内旋转，HG HF 、分别交边AB 于点E D 、（点D E 、均不与点A B 、重合）．设,AE x BD y ==，在旋转过程中，y 与x 的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（）A ．a =B ．245y x x =--C ．2222AD BE DE +=D ．8xy =【答案】D【详解】由题意可知，若点D 与点A 重合，则CG AB ⊥，2AE =，∴24a AB AE ===，故选项A 中的结论不正确，由4AB =可得AC BC ==，∴45CEA B BCE BCE DCE BCE BCD ∠=∠+∠=+∠=∠+∠=∠ ，B A ∠=∠，∴AEC BCD ∽，∴AEACBC BD =，=∴8xy =，故选项B 中的结论不正确，选项D 中的结论正确，∵AE x =，BD y =，4AB =，∴4AD y =-，4BE x =-，4DE x y =+-，∵()2222224(4)8832AD BE y x x y x y +=-+-=+--+，()2222224882168832DE x y x y x y xy x y x y =+-=+--++=+--+，∴222AD BE DE +=，故选项C 中的结论不正确，故选：D ．6．（2023•北京）如图，ABC 中，90C ∠=︒，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（）A ．54B ．52C ．50D ．48【答案】B 【详解】解：当10x =时，由题意可知，10,5AD CD ==，在Rt CDB △中，由勾股定理得22222520425BD CD BC =+=+=，设,25AE z BE z ==-，222(25)50625BE z z z ∴=-=-+，在Rt ADE △中，由勾股定理得2222100DE AD AE z =-=-，在Rt DEB △中，由勾股定理得222BD DE BE =+，即2242510050625z z z =-+-+，解得6z =，6,19DE BE ∴==，1198762BDE a S ∴==⨯⨯= ，当25x =时，由题意可知，10CD BD ==，设,25BE q AE q ==-，222(25)62550AE q q q =-=-+，在Rt CDA △中，由勾股定理得222221510325AD AC CD =+=+=，在Rt BDE △中由勾股定理得2222100DB BD BE q =-=-，Rt DEA V 中，由勾股定理得222AD DE AE =+，即2232510062550q q q =-+-+，解得8q =，6DE ∴=，168242BDE b S ∴==⨯⨯= ，762452a b ∴-=-=．故选：B ．7．（2023•上海）如图，ABC 中，ACB 90∠= ，A 30∠= ，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC(或边CB)于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：∵∠ACB =90°，∠A =30°，AB =16，∴∠B =60°，BC =12AB =8，∴∠BCD =30°，∴BD =12BC =4，∴AD =AB ﹣BD =12．如图1，当0≤AD ≤12时，AP =x ，PQ =AP ，∴y =12x =6x 2；如图2：当12＜x ≤16时，BP =AB ﹣AP =16﹣x ，∴PQ =BP16﹣x ），∴y =12x 16﹣x ）=2+，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，故选D ．8．（2023•广西）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B ，C 重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落下点C 1处；作∠BPC 1的平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ，那么y关于x的函数图象大致应为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，∵PE平分∠BPC1，∴∠BPE=∠C1PE，∴∠BPE+∠CPD=90°，∵∠C=90°，∴∠CPD+∠PDC=90°，∴∠BPE=∠PDC，又∵∠B=∠C=90°，∴△PCD∽△EBP，∴BE PB PC CD=，即y x 5x3=-，∴y =13x （5﹣x ）=﹣13（x ﹣52）2+2512，∴函数图象为C 选项图象．故选C ．9．（2023•内蒙古）如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ，设点P 运动的路程为x ，PB y PC =，如图2所示为点P 运动时y 随x 变化的函数关系图象，则等边三角形ABC 的边长是（）A ．B ．4C ．6D ．【答案】A 【详解】如图，点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ，结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，1PB PC=，∴2PB PC AO ==，，又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC AB AC ∠=︒=，，∴SSS APB APC ≌（），∴30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为4，∴2OB =，即2AO OB ==，∴30BAO ABO ∠=∠=︒，过点O 作OD AB ⊥，垂足为D ，∴AD BD =，则cos30AD AO =⋅︒=，∴AB AD BD =+=，即等边三角形ABC 的边长为故选：A ．10．（2023•杭州）如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PB y PC=，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（）A ．6B ．3C ．D ．【答案】A 【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，1PB PC=，∴PB PC =，23AO =又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，∴BAO CAO ∠=∠，∴30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为43∴23OB =3AO OB ==，∴30BAO ABO ∠=∠=︒，过点O 作OD AB ⊥，∴AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=，∴6AB AD BD =+=，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．1．（2024·河南·一模）如图1，在ABC 中，CA CB =，直线l 经过点A 且垂直于AB ．现将直线l 以1cm/s 的速度向右匀速平移，直至到达点B 时停止运动，直线l 与边AB 交于点M ，与边AC （或CB ）交于点N ．设直线l 移动的时间是(s)x ，AMN 的面积为．()cm²y ，，若y 关于x 的函数图象如图2所示，则ABC 的周长为（）A ．16cmB ．17cmC ．18cmD ．20cm【答案】C 【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，如图，由函数图像知，当直线l 与CD 重合时，y 的值最大为6，此时4AM AD ==，162AD CD ⋅=，∴3CD =，∵AC BC =，CD AB ⊥，∴28AB AD ==，由勾股定理得：5AC ==，∴ABC 的周长为218(cm)AC BC AB AC AB ++=+=，故选：C ．2．（2024·河南安阳·一模）如图1，Rt ABC △中，点P 从点C 出发，沿折线C B A --匀速运动，连接AP ，设点P 的运动距离为x ，AP 的长为y ，y 关于x 的函数图象如图2所示，则当点P 为BC 的中点时，AP 的长为（）AB ．CD ．5【答案】B 【详解】解：因为P 点是从C 点出发的，C 为初始点，观察图象0x =时4y =，则4AC =，P 从C 向B 移动的过程中，AP 是不断增加的，而P 从B 向A 移动的过程中，AP 是不断减少的，因此转折点为B 点，P 运动到B 点时，即x a =时，BC PC a ==，此时2y a =+，即2AP AB a ==+，4AC =，BC a =，2AB a =+，90C ∠=︒ ，由勾股定理得：222(2)4a a +=+，解得：3a =，5AB ∴=，3BC =，当点P 为BC 中点时，32CP =，AP ∴===故选：B ．3．（2024·四川广元·二模）如图，在梯形ABCD 中，90B ∠=︒，4AB =，3CD =，AD =，点P ，E 分别为对角线AC 和边BC 上的动点，连接.PE 点P 在CA 上以每秒1个单位长度的速度从点C 运动到点A ，在这个过程中始终保持.PE BC ⊥设 CPE 的面积为y ，则y 与点P 的运动时间x 的函数关系图象大致可以表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：如图所示，过点A 作AF CD ⊥，交CD 的延长线于点F ，则四边形ABCD 是矩形，∵3,4CD AB ==∴4CF AB ==，1FD =，∵AD =，∴3CB AF ===在Rt ABC △中，5AC ，∴1134622ABC S AB BC =⨯=⨯⨯= ∵点P 在CA 上以每秒1个单位长度的速度从点C 运动到点A ，∴05t ≤≤∵PE BC⊥∴PE AB∥∴CPE CAB∽∴222525PCE ACB S CP t t S CA ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2625y t =()05t ≤≤当1t =时，60.2425y ==观察函数图象，只有D 选项符合题意，故选：D ．4．（2024·河南信阳·一模）如图1，已知ABCD Y 的边长AB为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（）AB．CD．【答案】C【详解】解：∵AB为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．∴AE =，∴6BE ==，由运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象得：当运动到6时，重叠部分的面积一直不变，∴6CE =，∴12BC =，由函数图象得：当运动时间6t >时，为二次函数，且在6t =时达到最大值，对称轴为直线6t =，∴二次函数与坐标轴的另一个交点为()0,0，设二次函数的解析式为()12(6)S at t t =->，将点(代入得：a =，∴()12(6)6S t t t =->，当t 为9时，2S =．故选：C ．5．（2023·广西）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，AB =，CD AB ⊥，垂足为点D ，动点M 从点A 出发沿AB 的速度匀速运动到点B ，同时动点N 从点C 出发沿射线DC 方向以1cm/s 的速度匀速运动．当点M 停止运动时，点N 也随之停止，连接MN ，设运动时间为s t ，MND 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】解：∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，AB =∴60B ∠=︒，12BC AB ==，6AC ==，∵CD AB ⊥，∴132CD AC ==，AD ==12BD BC ==∴当M 在AD 上时，03t ≤≤，MD AM AD =-=，3DN DC CN t ==+＋，∴()()211322S MD DN t ==+=-+ 当M 在BD 上时，34t ≤＜，MD AD AM =-=-∴()21123222S MD DN t t -==+=- ，故选：B ．6．（2023·辽宁）如图，矩形ABCD 中，8cm AB =，12cm AD =，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B C D →→方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm /s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与OPQ △的面积随时间t 变化的图象最接近的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】解： 矩形ABCD 中，8cm AB =，12cm AD =，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离142AB ==，到CD 的距离162AD ==， 点M 是BC 的中点，162CM BC ∴==，∴点Q 到达点C 的时间为616s ÷=，点P 到达点C 的时间为12112s ÷=，点Q 到达点D 的时间为(68)114s +÷=，①06t ≤≤时，点P 、Q 都在BC 上，6PQ =，OPQ △的面积164122=⨯⨯=；②612t <≤时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，12CP t =-，6CQ t =-，OPQ COP COQ PCQ S S S S ∆∆∆∆=+-，111(12)4(6)6(12)(6)222t t t t =⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯-，218422t t =-+，21(8)102t =-+，③1214t <≤时，6PQ =，OPQ △的面积166182=⨯⨯=；纵观各选项，只有B 选项图形符合．故选：B ．7．（2024·山东淄博·一模）如图1，点P 从ABC 的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M 为最低点，则ABC 的面积是（）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C 【详解】解：由图得，当点P 运动到点C 和店A 处时，BP 长都是5，即5BC BA ==，当BP 最短时，即BP 垂直AC 时长为4，如图，在Rt BCP △中，5BC = ，4BP =，223PC BC BP ∴=-=，BC BA = ，BP AC ⊥，3CP AP ∴==，6AC ∴=，11641222ABC S AC BP ∴=⋅=⨯⨯= ．故选：C ．8．（2023·山东）如图，在Rt ABC △中，10AB =cm ，3sin 5A =，90ACB ∠=︒，过点C 向AB 作垂线，垂足为D ．直线,m n 垂直于AB ，直线m 分别与,AB AC 相交于点,M N ，直线n 分别与,AB BC 相交于点P 、Q ．直线m 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动；同时，直线n 从点B 出发，沿BA 方向以相同的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动．若运动过程中直线m 、n 及ABC 围成的多边形MNCQP 的面积是()2cm y ，直线m 的运动时间是x （s ），则y 与x 之间函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】解：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，过点C 向AB 作垂线，∴90CDB ∠=︒，∴90,90A ACD BCD ACD ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，同理B ACD∠=∠∵10AB =cm ，3sin 5A =，∴sin 6BC AB A =⋅=，在Rt ABC △中，运用勾股定理得8AC =，∵1122AB CD AC BC ⋅=⋅，∴245CD =，由3sin 5A =得：44cos ,tan 53A A ==，当1805x <<时，AM BP x ==，由43tanA =，3tan 4B =得：34,43MN x QP x ==，3218,55AD BD ==，∴3218,55MD x DP x =-=-，∴()()1122MNCQP y S MN CD MD QP CD DP =+⋅++⋅五边形212433212441825242545253524x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当183255x ≤<时，()113243222455MND y S MN CD MD x x ⎛⎫⎛⎫==+⋅=+- ⎪⎝⎭⎝⎭四边形23384825x =-+．∴2225182402453384183282555x x y x x ⎧⎛⎫-+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，根据函数解析式判断A 选项符合题意，故选：A ．10．（2024·山东聊城·一模）如图，在ABC 中，10AB =，6BC =，8AC =，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，连结MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为．【答案】3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】解：连接CP，如图，∵10AB =，6BC =，8AC =，∴223664100BC AC +=+=，2100AB =，∵222BC AC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∵PM AC ⊥，PN BC ⊥，∴90PMC PNC MCN ∠=∠=∠=︒，∴四边形MPNC 为矩形，∴MN CP =，∵点P 为线段AB 上的动点，由于垂线段最短，∴当CP AB ⊥时，CP 取得最小值，即y MN =取最小值，过点C 作CP AB ⊥于点P ，∵90ACB ∠=︒，CP AB ⊥，∴90APC ACB ∠=∠=︒，又∵A A ∠=∠，∴ACP ABC △∽△，∴AC CP AP AB BC AC ==，∴81068CP AP ==，∴245CP =，325AP =，∴当325t =时，y 取最小值为245，∴函数图象最低点E 的坐标为3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．11．如图①，在菱形ABCD 中，120D ∠=︒，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC 的长度为x ，PE 与P B 的长度之和为y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为．【答案】43,233【详解】图像上最低点表示的意义为y PB PE =+最小，∵菱形ABCD ，∴BD 、关于AC 对称，∴连接DE 交AC 于P ，此时y PB PE =+最小，最小值为DE 长度，∵0x =即点P 与点C 重合时，6y =，∴6BC CE +=，∵点E 是BC 的中点，∴4,2BC CE ==．连接BD ．∵菱形ABCD ，120ADC ∠=︒，∴4AD AB CD BC ====，60BCD ∠=︒，30ACB ACD ∠=∠=︒，∴ADB 是等边三角形，∵点E 是AB 的中点，∴DE AB ⊥，30∠=︒CDE ，122BE CE BC ===，∴DE ==y =∵cos CE ACB CP ∠=，∴2CP ==x =∴图像上最低点Q 的坐标为⎝，故答案为：⎝．12．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在ABC 中，点P 从点A 出发向点C 运动，在运动过程中，设x 表示线段AP 的长，y 表示线段BP 的长，y 与x 之间的关系如图2所示，则m n -=．【详解】解：由图2知：当0x =，P 和A 重合，则2AB =，当1x =，y 最小，最小值为n ，此时BP AB ⊥，1AP =，∴n ==当4x =时，P 和B 重合，则BC m =，∴m =，∴m n -==，13．如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2BC AB =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P Q 、运动时，BPQ V 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是．【答案】【详解】解：由题图2得，6t =时，点P 停止运动，∴点P 以每秒1个单位速度从点A 运动到点B 用了6秒，166AB ∴=⨯=，22612BC AB ∴==⨯=，由点P 和点Q 的运动可知，6AP t BP t ==-,，当点Q 在BC 上时，即03t ≤<时，4BQ t =，过点P 作PM BC ⊥交BC 于M ，60B ∠=︒ ，)sin 606PM BP t ∴=⋅︒=-，)2114622BPQ S BQ PM t t ∴=⋅=⋅-=+ ，当点Q 在CD 上时，即36t ≤≤时，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，)1112622BPQ BPC S S BC PM t ∴==⋅=⨯-=-+ 由上可知，当点Q 到达点C 时，S a =，即当3t =时，3a =-+=故答案为：14．（2024·福建福州一模）如图（1），点D 为等边三角形ABC 的边AB 的延长线上一点，且BD a =，点E 在线段BC 上运动，点F 在AC 的延长线上运动，连接DE EF DEF ∠，，恒为120︒，设BE 的长为x ，CF 的长为y ，且y 与x 之间的函数关系的图象如图（2）所示（当点E 与点C 重合时，不妨设0y =），已知点Q 为该图象的最高点，则a 的值为．【答案】2【详解】解：根据函数图象可知：设函数解析式为()222y k x =-+，将(0,0)代入，得12k =-，所以函数解析式为2211(2)2222y x x x =--+=-+． 点Q 为该图象的最高点(2,2)∴抛物线与x 轴的另一个交点为(4,0)，4BC ∴=，BE 的长为x ，4CE x ∴=-，2122CF y x x ==-+， 三角形ABC 为等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，120DBE ECF ∴∠=∠=︒，60D DEB ∴∠+∠=︒，120DEF ∠=︒ ，60DEB FEC ∴∠+∠=︒，D FEC ∴∠=∠，∴DBE ECF ∽，∴DB BE EC CF=，即4a x x y =-22(4)421(4)2x x x x a y x x --∴===-．故答案为2．15．（2023·江苏连云港·二模）如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以1v 的速度沿折线A B C ——向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发以2v 的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ,P Q ，记EPQ △的面积为S ，其函数图象为折线MN NF —和曲线FG （图②），已知4ON =，1NH =，点G 的坐标为()8,0．(1)点P 与点Q 的速度之比12V V 的值为；AB AD 的值为；(2)如果15OM =．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得154S ≥？若存在，请说明理由．【答案】(1)8553；(2)①()1515454S x x =-≤≤；②()251540584S m m m =-+-≤≤；③03t ≤≤或57t ≤≤【详解】（1）∵4ON =，1NH =，∴()40N ，，由图象可知：4t =时，Q 与E 重合，5t =时，P 与B 重合，8t =时，P 与C 重合，∴Q 的速度24DE v =，P 的速度15AB v =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AD BC =，∵E 为CD 的中点，∴1122DE CD AB ==，∴1248515542AB v AB DE v AB ==⋅=，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴15AB v =，13BC v =，∴53AB BC =，∴AB AD 的值为53，故答案为：85，53；（2）①当点P 在AB 上时，111121442AD v FH OM AD v ⋅==⋅，∵15OM =，∴154FH =，∴155,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线NF 的解析式为()0S kt b k =+≠，∵()4,0N ，∴155440k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得，15415k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴()1515454S t t =-≤≤；②∵FG 所在曲线过x 轴上两点()4,0N 和()8,0G ，∴设曲线的函数表达式为，()()48S a t t =--，把155,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得，1534a =-，解得，54a =-，∴()()()2554815405844S t t t t t =---=-+-≤≤；③存在，理由：设直线MN 的表达式为，S mt n =+，把()0,15M ，()4,0N 代入，得，4015m n n +=⎧⎨=⎩，解得，15415m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴()1515044S t t =-+≤≤，∵154S ≥，∴当04t ≤≤时，15151544t -+≥，解得，3t ≤，∴03t ≤≤；当45t <≤时，15151544t -≥，解得，5t ≥，∴5t =；当58t <≤时，2515154044t t -+-≥，令2515154044t t -+-=，解得，5t =，或7t =，∴57t <≤，综上，03t ≤≤或57t ≤≤．。