2014-2015年江西省赣州市高一上学期期末数学试卷带答案

2014-2015学年江西省赣州市龙南县实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题只有一项是符合题目要求的（每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知集合A={x|1≤2x＜4}，B={y|y=cosx，x∈R}，则A∩B=（）A．[0，1） B．[0，1]C．{0，1}D．[﹣1，2）2．（5.00分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a3．（5.00分）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．24．（5.00分）下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．5．（5.00分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2014的值是（）A．20142B．2013×2012 C．2014×2015 D．2013×20146．（5.00分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A．B．C．3 D．7．（5.00分）将y=sin2x（x∈R）图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位所得图象都与图象重合，则|m﹣n|最小值为（）A．B． C．D．8．（5.00分）已知数列{a n}满足a1=，对于任意的n∈N*，a n+1=，则a2015﹣a2014=（）A．B．C．D．9．（5.00分）对于函数f（x）=4x﹣m•2x+1，若存在实数x0，使得f（﹣x0）=﹣f （x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m B．m C．m≤1 D．m≥110．（5.00分）如图，已知直角三角形△ABC的三边CB，BA，AC的长度成等差数列，点E为直角边AB的中点，点D在斜边AC上，且，若CE⊥BD，则λ=（）A．B．C．D．11．（5.00分）函数f（x）=min，其中min，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1、x2、x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1） C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）12．（5.00分）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：（1）该方程没有小于0的实数解；（2）该方程有无数个实数解；（3）该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；（4）若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（每小题5分，共20分）13．（5.00分）若，则=．14．（5.00分）+lg4﹣lg=．15．（5.00分）设等差数列{a n}的前n项的和为S n，已知a13＞0，a14＜0，a13＞|a14|，若S k S k+1＜0，则k=．16．（5.00分）以下四个判断中，正确的是（多选、少选、选错均不得分）．①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；②已知向量、的夹角为120°，且||=||=4，那么⊥（2+）；③在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形；④设无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{S n}是等差数列，则{a n}一定是常数列．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）17．（10.00分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．18．（12.00分）已知函数的定义域为集合A，函数（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，求实数a的取值范围．19．（12.00分）已知等差数列{a n}，公差d＞0，前n项和为S n，且满足a2a3=45，a1+a4=14．（I）求数列{a n}的通项公式及前，n项和S n；（II）设，若数列{b n}也是等差数列，试确定非零常数c；并求数列的前n项和T n．20．（12.00分）已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x﹣2）+3．（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域；（2）设h（x）=[g（x）]2+g（x2），试求函数y=h（x）的最值．21．（12.00分）已知向量，，设函数．（1）若，，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足，求f（B）的取值范围．22．（12.00分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a n2+2a n （n∈N*）（1）求a1的值及数列{an}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜（n∈N*）2014-2015学年江西省赣州市龙南县实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题只有一项是符合题目要求的（每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知集合A={x|1≤2x＜4}，B={y|y=cosx，x∈R}，则A∩B=（）A．[0，1） B．[0，1]C．{0，1}D．[﹣1，2）【解答】解：A={x|1≤2x＜4}={x|0≤x＜2}=[0，2），B={y|y=cosx，x∈R}=[﹣1，1]，则A∩B=[0，1]，故选：B．2．（5.00分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选：A．3．（5.00分）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．4．（5.00分）下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：由于A、B中的函数的最小正周期都是=4π，故不满足条件，排除A、B．把代入C中的函数，函数值取得最大值1，故此函数的图象关于直线对称，故满足条件．把代入D中的函数，函数值为﹣，没有取得最值，故不满足条件，排除D，故选：C．5．（5.00分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2014的值是（）A．20142B．2013×2012 C．2014×2015 D．2013×2014【解答】解：∵数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，∴a2=a1+2，a3=a2+2×2，a4=a3+2×3，…a n=a n﹣1+2（n﹣1），∴a2+a3+a4+…+a n=a1+a2+a3+…+a n﹣1+2[1+2+3+…+（n﹣1）]，∴a n=a1+2×=n（n﹣1），∴a2014=2014×2013．故选：D．6．（5.00分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A．B．C．3 D．【解答】解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选：C．7．（5.00分）将y=sin2x（x∈R）图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位所得图象都与图象重合，则|m﹣n|最小值为（）A．B． C．D．【解答】解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+m）=sin2（x+m）=sin（2x+），∴2m=2kπ+（k∈Z），∴m=kπ+（k∈Z），又f（x﹣n）=sin2（x﹣n）=sin（2x+），∴﹣2n=2tπ+（t∈Z），∴﹣n=tπ+；∴|m﹣n|=|（k+t）π+|，∴|m﹣n|最小值为．故选：C．8．（5.00分）已知数列{a n}满足a1=，对于任意的n∈N*，a n+1=，则a2015﹣a2014=（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=，对于任意的n∈N*，a n+1=，∴a2==，a3==，a4==，…∴当n为大于1的奇数时，a n=；当n为正偶数时，a n=．∴a2015﹣a2014=﹣=．故选：D．9．（5.00分）对于函数f（x）=4x﹣m•2x+1，若存在实数x0，使得f（﹣x0）=﹣f （x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m B．m C．m≤1 D．m≥1【解答】解：∵f（x）=4x﹣m•2x+1，f（﹣x0）=﹣f（x0），∴﹣m•=﹣+m•，∴m（+）=+，∴2m===+﹣，令t=+，则t≥2，∴2m=t﹣（t≥2），∵函数y=t与函数y=﹣在[2，+∞）上均为单调递增函数，∴2m=t﹣（t≥2）在[2，+∞）上单调递增，∴当t=2时，2m=t﹣（t≥2）取得最小值1，即2m≥1，解得：m≥．故选：B．10．（5.00分）如图，已知直角三角形△ABC的三边CB，BA，AC的长度成等差数列，点E为直角边AB的中点，点D在斜边AC上，且，若CE⊥BD，则λ=（）A．B．C．D．【解答】解：由于三边CB，BA，AC的长度成等差数列，设为a﹣d、a、a+d，且a＞0，d＞0，a﹣d＞0，则（a+d）2=a2+（a﹣d）2，解得a=4d，不妨令d=1，因此三边长分别为CB=3，BA=4，AC=5．∵CE=﹣BC，∴==+λ =（1﹣λ）+λ．由CE⊥BD 得：=0，即（1﹣λ）AB2﹣λ BC2=0，8（1﹣λ）﹣9λ=0，所以λ=，故选：B．11．（5.00分）函数f（x）=min，其中min，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1、x2、x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1） C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【解答】解：作出函数f（x）的图象如下图所示：由，解得A（4﹣2，2﹣2），由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2．不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x 1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，且2﹣m＞0，m+2＞0，∴x1+x2+x3=+（2﹣m）+（2+m）=+4，当m=0时，+4有最小值为4，当m=2﹣2时，+4有最大8﹣2，∴x1+x2+x3的取值范围是（4，8﹣2，）故选：C．12．（5.00分）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：（1）该方程没有小于0的实数解；（2）该方程有无数个实数解；（3）该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；（4）若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意可知方程（）x+sinx﹣1=0的解，等价于函数y=1﹣（）x与y=sinx的图象交点的横坐标，作出它们的图象：由图象可知：（1）该方程没有小于0的实数解，错误；（2）该方程有无数个实数解，正确；（3）该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，正确；（4）若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1，正确．故选：C．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（每小题5分，共20分）13．（5.00分）若，则=﹣2．【解答】解：，可得：，cosθ﹣sinθ=，==2=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5.00分）+lg4﹣lg=2．【解答】解：+lg4﹣lg=[（34）﹣0.25+]+lg2+lg5=（+）+1=2；故答案为：2．15．（5.00分）设等差数列{a n}的前n项的和为S n，已知a13＞0，a14＜0，a13＞|a14|，若S k S k+1＜0，则k=26．【解答】解：∵等差数列{a n}中a13＞0，a14＜0，a13＞|a14|，∴等差数列递减且a13+a14＞0，∴S25=25a13＞0，S26=26＞0，S27=27a14＜0，∴满足S k S k+1＜0的k值为26故答案为：2616．（5.00分）以下四个判断中，正确的是①②③（多选、少选、选错均不得分）．①集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为15；②已知向量、的夹角为120°，且||=||=4，那么⊥（2+）；③在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形；④设无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{S n}是等差数列，则{a n}一定是常数列．【解答】解：对于①，集合{a1，a2，a3，a4}的真子集的个数为24﹣1=15，所以①正确；对于②，由题意知•（2+）=2•+2=2×4×4cos120°+42=0．∴；②正确；对于③，在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得a2+b2＜c2，再由余弦定理可得cosC=＜0，故C为钝角，故△ABC是钝角三角形，所以③正确；对于④，∵{S n}是等差数列，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=d，当n=1时，a1=S1，∵d、S1不一定相等，∴{a n}不一定是常数列．故④不正确．故答案为：①②③．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）17．（10.00分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（×﹣）=2sin=；（2）由f（3α+）=，f（3β+2π）=，代入得：2sin[（3α+）﹣]=2sinα=，2sin[（3β+2π）﹣]=2sin（β+）=2cosβ= sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，所以cosα=，sinβ=，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．18．（12.00分）已知函数的定义域为集合A，函数（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）要使函数f（x）=有意义，则log 2（x﹣1）≥0，解得x≥2，∴其定义域为集合A=[2，+∞）；对于函数g（x）=（）x，∵﹣1≤x≤0，∴≤，化为1≤g（x）≤2，其值域为集合B=[1，2]．∴A∩B={2}．（2）∵C∩B=C，∴C⊆B．当2a﹣1＜a时，即a＜1时，C=∅，满足条件；当2a﹣1≥a时，即a≥1时，要使C⊆B，则，解得．综上可得：a∈．19．（12.00分）已知等差数列{a n}，公差d＞0，前n项和为S n，且满足a2a3=45，a1+a4=14．（I）求数列{a n}的通项公式及前，n项和S n；（II）设，若数列{b n}也是等差数列，试确定非零常数c；并求数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由等差数列{a n}的性质可得a2+a3=a1+a4=14，又a2a3=45．∴，解得或，∵d＞0，∴应舍去，因此．∴d=a3﹣a2=4，a1=a2﹣d=5﹣4=1，∴a n=1+（n﹣1）×4=4n﹣3，S n==2n2﹣n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∵数列{b n}是等差数列，则2b2=b1+b3，即．解得c=﹣．∴b n=2n．==．∴T n===．20．（12.00分）已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x﹣2）+3．（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域；（2）设h（x）=[g（x）]2+g（x2），试求函数y=h（x）的最值．【解答】解：（1）设t=3x﹣2，∵0≤x≤2，∴﹣1≤3x﹣2≤7，∴t∈[﹣1，7]，则x=log3（t+2），于是有f（t）=log3（t+2）﹣1，t∈[﹣1，7]∴f（x）=log3（x+2）﹣1（x∈[﹣1，7]），根据题意得g（x）=f（x﹣2）+3=log3x+2又由﹣1≤x﹣2≤7得1≤x≤9∴g（x）=log3x+2（x∈[1，9]）…（7分）（2）∵g（x）=log3x+2，x∈[1，9]∴要使函数h（x）=[g（x）]2+g（x2）有意义，必须∴1≤x≤3，∴（1≤x ≤3）设t=log3x，则h（x）=t2+6t+6=（t+3）2﹣3（0≤t≤1）是[0，1]上增函数，∴t=0时h（x）min=6，t=1时h（x）max=13∴函数y=h（x）的最大值为13，最小值为6．21．（12.00分）已知向量，，设函数．（1）若，，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足，求f（B）的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=+1=sin cos﹣cos2+1=﹣+1=sin（x﹣）+．∵f（x）=，∴sin（x﹣）=．又∵x∈[0，]，∴x﹣=arcsin即x=+arcsin．（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c﹣a，可得2sinBcosA≤2sinC﹣sinA，∴2sinBcosA≤2sin（A+B）﹣sinA，∴2sinBcosA≤2（sinAcosB+cosAsinB）﹣sinA，2sinAcosB≥sinA，∴cosB≥，∴B∈（0，]．∴sin（B﹣）∈（﹣，0]，即f（B）=sin（B﹣）+，∴f（B）∈（0，]．22．（12.00分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a n2+2a n （n∈N*）（1）求a1的值及数列{an}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜（n∈N*）【解答】（1）解：当n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，（0舍去），∵4S n=a n2+2a n，当n＞1时，4S n﹣1=a n﹣12+2a n﹣1，∴两式相减可得4a n=a n2﹣a n﹣12+2a n﹣2a n﹣1，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}各项均正，∴a n﹣a n﹣1=2，∴{a n}是以2为公差，2为首项的等差数列，∴a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）证明：由于==•＜=（）（n ＞1）．则T n=+++…+＜+（1﹣+++…+）=+（1﹣）＜+=，即有T n＜．。

2014-2015学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5.00分）已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]2．（5.00分）已知角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则=（）A．﹣2 B．0 C．D．23．（5.00分）下列函数中，值域是R+的是（）A．B．C．D．4．（5.00分）已知向量和的夹角为120°，，且，则=________（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5.00分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x 的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5.00分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．（5.00分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．8．（5.00分）（文）设三角形ABC的三个内角为A，B，C，向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．9．（5.00分）已知f（x）=，则f（2014）=（）A．﹣1 B．2 C．0 D．110．（5.00分）若函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（）A．B．或a＜﹣1 C．D．a＜﹣111．（5.00分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则的值为（）A．B．C．D．412．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上. 13．（5.00分）已知幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，则实数a的取值范围为．14．（5.00分）函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，则=．15．（5.00分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，2），则在另一组基底下的坐标为．16．（5.00分）若函数f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1），满足f（）＞f（），则f（1﹣）＞1的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1，或x≥4}，U=R （1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若A∩B=Φ，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数．（1）求实数m，n的值；（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最小值．19．（12.00分）已知向量=（3，1），=（﹣1，a），a∈R（1）若D为BC中点，=（m，2），求a、m的值；（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．20．（12.00分）（1）化简；（2）已知，，求的值．21．（12.00分）已知f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．（1）若x∈[2π，3π]，求f（x）的单调递减区间；（2）若x∈（，）且f（x）=﹣1，求tan2x的值．22．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．2014-2015学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5.00分）已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]【解答】解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A=（﹣∞，1]，由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），则A∩B=[0，1]，故选：D．2．（5.00分）已知角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则=（）A．﹣2 B．0 C．D．2【解答】解：角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则===2．故选：D．3．（5.00分）下列函数中，值域是R+的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，≥0，值域是[0，+∞），故错；对于B，值域是{x|x＞1}，故错；对于C，，由于x∈N，值域中数是一系列孤立的数，不是（0，+∞），故错；对于D，，值域是R+，故对；故选：D．4．（5.00分）已知向量和的夹角为120°，，且，则=________（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由，可得，∴∵，∴，∴，∴故选：C．5．（5.00分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x 的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选：B．6．（5.00分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．7．（5.00分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选：A．8．（5.00分）（文）设三角形ABC的三个内角为A，B，C，向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．【解答】解：∵==1+cos（A+B）；∵A+B=π﹣C，∴；∴；∵0＜C＜π，∴，∴；∴．故选：D．9．（5.00分）已知f（x）=，则f（2014）=（）A．﹣1 B．2 C．0 D．1【解答】解：由f（x）=，则f（2014）=f（2014﹣5×402）=f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=log21=0．10．（5.00分）若函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（）A．B．或a＜﹣1 C．D．a＜﹣1【解答】解：∵函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，∴f（﹣1）f（1）＜0，即（﹣3a+1﹣2a）（3a+1﹣2a）＜0，化为（5a﹣1）（a+1）＞0．解得a或a＜﹣1．∴a的取值范围是：a或a＜﹣1．故选：B．11．（5.00分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则的值为（）A．B．C．D．4【解答】解：奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期为4，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则==f（﹣）=﹣f（）=﹣．故选：A．12．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．1【解答】解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB的长为．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5.00分）已知幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，则实数a的取值范围为（0，1）．【解答】解：∵幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，∴a2﹣a＜0，解得：0＜a＜1，故答案为：（0，1）．14．（5.00分）函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，则= 4029．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，可得a（）3﹣sinb+2015=1，可得a（）3﹣sinb=﹣2014．=﹣[a（）3﹣sinb]+2015=2014+2015=4029．故答案为：4029．15．（5.00分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，2），则在另一组基底下的坐标为（0，2）．【解答】解：由条件可得=﹣2+2=（﹣2，2）+（4，2）=（2，4）．设=λ+μ═λ（﹣1，1）+μ（1，2）=（﹣λ+μ，λ+2μ），则由﹣λ+μ=2，λ+2μ=4，解得λ=0、μ=2．∴则在另一组基底下的坐标为（0，2），故答案为（0，2）．16．（5.00分）若函数f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1），满足f（）＞f（），则f（1﹣）＞1的解集是（1，）．【解答】解：∵满足f（）＞f（），∴log a＞log a，∴log a2＞log a3，∴0＜a＜1，∵f（1﹣）＞1，∴log a（1﹣）＞log a a，∴0＜1﹣＜a，解得x∈（1，）．故答案为：（1，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1，或x≥4}，U=R （1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若A∩B=Φ，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）将a=3代入A中的不等式得：﹣1≤x≤5，即A={x|﹣1≤x≤5}，∵B={x|x≤1或x≥4}，U=R，∴A∩B={﹣1≤x≤1或4≤x≤5}，∁U B={x|1＜x＜4}，则A∪（∁U B）={x|﹣1≤x≤5}；（2）∵A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}，且A∩B=∅，∴，解得：a＜1．18．（12.00分）已知函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数．（1）求实数m，n的值；（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最小值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数所以m=0…（3分）且﹣3+n=5，得n=8…（5分）（2）由（1）知f（x）=﹣2x2﹣3则函数f（x）在[0，+∞）上单调递减…（7分）在（﹣∞，0]上单调递增…（9分）故函数f（x）在[1，5]上单调递减…（10分）所以函数f（x）在区间[1，5]上的最小值为f（x）min=f（5）=﹣53…（12分）19．（12.00分）已知向量=（3，1），=（﹣1，a），a∈R（1）若D为BC中点，=（m，2），求a、m的值；（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．【解答】解：（1）由题意知，D为BC中点，∴=（+）=（1，）（2分）∵=（m，2），∴，解得．（7分）（2）由题意分三种情况求解：①当A=90°时，即•=0，则3×（﹣1）+1•a=0，解得a=3（9分）②当B=90°时，∵=﹣=（﹣4，a﹣1）（10分）∴3×（﹣4）+1•（a﹣1）=0，解得a=13（12分）③当C=90°时，即•=0，则﹣1×（﹣4）+a•（a﹣1）=0，解得a无解，综上，a=3或13（14分）20．（12.00分）（1）化简；（2）已知，，求的值．【解答】解：（1）…（1分）=…（2分）=…（3分）=…（4分）=…（5分）=4…（6分）（2）由，两边平方得：…（7分）所以…（8分）因为，所以sinx＜0，cosx＞0故…（9分）所以…（11分）=…（12分）21．（12.00分）已知f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．（1）若x∈[2π，3π]，求f（x）的单调递减区间；（2）若x∈（，）且f（x）=﹣1，求tan2x的值．【解答】解：f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．=cos2x﹣3cosx+sin2x﹣3sinx=﹣3（sinx+cosx）+1=﹣3sin（x+）+1∴f（x）=﹣3sin（x+）+1，（1）令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∵x∈[2π，3π]，∴f（x）的单调递减区间[2π，]，（2）∵x∈（，）且f（x）=﹣1，∴﹣3（sinx+cosx）+1=﹣1，∴sinx+cosx=，∴1+sin2x=，∴sin2x=﹣，cos2x=，∴tan2x=．22．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【解答】解：（1）因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）f（t﹣1）+f（t）＜0可化为f（t﹣1）＜﹣f（t）．又f（x）为奇函数，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），f（x）为（﹣1，1）上的增函数，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t ＜1③；联立①②③解得，0＜t＜．所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集为．。

江西省赣州市2014～2015学年度第一学期期末联考高二数学（理科）试题一、选择题1～5.ACBAD ； 6～10.BCDBC 11～12.AC二、填空题13.10； 14.83； 16.3(1)n n +. 三、解答题17.解：由题意:232p x -≤-≤因为15x ≤≤，所以非:1p x <或5x >……………………………………………………3分 :11q m x m -≤≤+所以非:1q x m <-或1x m >+………………………………………………………………6分又因为非p 是非q 的充分不必要条件，所以1115m m -≥⎧⎨+≤⎩……………………………………8分所以24x ≤≤…………………………………………………………………………………10分18.解：（1）设(,)x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)L L (6,5)，(6,6)，共36个基本事件……………………………2分用A 表示事件“3x y +≤”，则A 包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件…………3分 所以31()3612P A ==，即事件“3x y +≤”的概率为112…………………………………6分 （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 包含(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)，共8个基本事件……………………………………………………………9分 所以82()369P B ==，即事件“2x y -=”的概率为29………………………………12分 19.解:（1）1(0.020.0160.0060.004)100.54-+++⨯=……………………………2分 所以27500.54n ==人………………………………………………………………………4分 （2）成绩在区间[)40,50的学生人数是：500.042⨯=人……………………………5分成绩在区间[)50,60的学生人数是：500.063⨯=人……………………………………6分设成绩在区间[)40,50的学生分别是12,A A ，成绩在区间[)50,60的学生分别是123,,B B B ，从成绩在[)40,60的学生中随机选取2人的所有结果有：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B 共10种情况…………………………………………………………………………8分至少有1人成绩在[)40,50内的结果有：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B 共7种情况………………………………………………………………10分所以至少有1人成绩在[)40,50内的概率710P =…………………………………………12分 20.解：过点(1,0)A -且斜率为(0)k k ≠的直线方程为(1)y k x =+……………………1分将(1)y k x =+代入24y x =，化简得2222(24)0k x k x k +-+=………………………4分设1122(,),(,)M x y N x y ，则有212242k x x k-+=，121x x =……………………………6分 又2114y x =，2224y x =，所以221216y y =……………………………………………………7分 因为120y y >，所以124y y =………………………………………………………………8分 从而有21212284(1)(1)k FM FN x x y y k-⋅=--+=uuu r uuu r ………………………………………9分12(1)(1)FM FN x x ⋅==++uuu r uu u r 24k=…………………10分 因为cos ,FM FN FM FN FM FN⋅<>=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以22284142k k k -=-⨯…………………………11分 解得12k =±…………………………………………………………………………………12分 21．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，所以ABC △为正三角形……………………………………………………………………1分因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥……………………………………………………2分又BC AD ∥，所以AE AD ⊥……………………………………………………………3分因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥………………………………………………………………………………4分而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ……………………………………………5分所以AE PD ⊥……………………………………………………………………………6分（2）解法一∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ………………………………………………………………7分过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角……………8分在Rt AOE △中，3sin 30EO AE =⋅=3cos302AO AE =⋅=， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 45SO AO=⋅= (10)分又SE ===11分 在Rt ESO △中，cos SO ESO SE∠===12分 解法二：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BCPC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎭，，，，，，，……………………7分所以31(300)12AE AF ⎛⎫== ⎪⎪⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()m x y z =，，，则00m AE m AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11110102x y z =++=……………………………………………8分 取11z =-，则(021)m =-，，………………………………………………………………9分D BE CF A O S P∵BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =，∴BD ⊥平面AFC …………………………………………………………………………10分故BD 为平面AFC 的一法向量又(0)BD =，，所以cos 5m BDm BD m BD ⋅<>===⋅，11分 因为二面角E AF C --为锐角，12分 22.解：（1）依题意，c =1b =………………………………………………………2分 所以a =………………………………………………………………………3分故椭圆C 的方程为2213x y +=………………………………………………………………5分 （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y==…………………6分 不妨设A，(1,B ， 所以122233222k k ++=+=…………………………………………………………8分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=， 整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=………………………………………9分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+……………………10分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-……………………………………………………11分所以12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++ 121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++222(126)2126k k +==+……………………12分 所以122k k +=。

江西省赣州市2015～2016学年度高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，4，5} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}2．已知，则cosθ=（）A．B． C．D．3．（log227）•（log34）=（）A．B．2 C．3 D．64．函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，3）∪（3，+∞）5．已知a=20.3，，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．函数f（x）=x2﹣（）|x|的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）A．9 B．5 C．3 D．18．若α，β为锐角，，则=（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=x+tanx+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．310．已知，则sin2θ=（）A． B．C． D．11．设且，则（）A．B．C． D．12．已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．设实数，如果函数y=xα是定义域为R的奇函数，则α的值的集合为．14．若，则= ．15．已知，则f（x）的值域为．16．下列叙述正确的有（将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）．①集合{0，1，2}的非空真子集有6个；②集合A={1，2，3，4，5，6}，集合B={y|y≤5，y∈N*}，若f：x→y=|x﹣1|，则对应关系f是从集合A到集合B的映射；③函数y=tanx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）；④函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣恒成立，则函数f（x）是周期为4的周期函数．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0}，B={x|5﹣2m≤x≤m+1}．（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的一个最高点坐标是，相邻的两对称中心的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．21．为振兴苏区发展，赣州市计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数f（x）（万人）与日期x（日）的函数关系近似满足：，人均消费g（x）（元）与日期x（日）的函数关系近似满足：g（x）=60﹣|x﹣20|．（1）求该市旅游日收入p（x）（万元）与日期x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；（2）当x取何值时，该市旅游日收入p（x）最大．22．已知函数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．是否存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f ﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．江西省赣州市2015～2016学年度高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，4，5} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由全集U以及集合A，求出A的补集，确定出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={2，4，5}．故选B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知，则cosθ=（）A．B． C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】已知等式左边利用诱导公式化简，即可确定出所求式子的值．【解答】解：∵sin（﹣π+θ）=sin（﹣2π+π+θ）=sin（π+θ）=，且sin（π+θ）=cosθ，∴cosθ=，故选：A．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．（log227）•（log34）=（）A．B．2 C．3 D．6【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：（log227）•（log34）===6．故答案为：6．【点评】本题考查对数化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．4．函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，3）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得x＞1且x≠2，故函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．5．已知a=20.3，，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵1=20＜a=20.3＜=20.4，c=2log52=log54＜log55=1，∴c＜a＜b．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．6．函数f（x）=x2﹣（）|x|的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】可判断函数f（x）是偶函数且在[0，+∞）上是增函数，从而解得．【解答】解：∵f（﹣x）=x2﹣（）|x|=f（x），∴函数f（x）=x2﹣（）|x|是偶函数，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，而f（0）=﹣1，f（1）=＞0，故f（x）在（0，1）上有一个零点，故f（x）共有2个零点，故选C．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用．7．已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）A．9 B．5 C．3 D．1【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题；探究型；集合思想；数学模型法；集合．【分析】根据集合B中元素与A中元素之间的关系进行求解．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴x=1，2，3，y=1，2，3．当x=1时，x﹣y=0，﹣1，﹣2；当x=2时，x﹣y=1，0，﹣1；当x=3时，x﹣y=2，1，0．即x﹣y=﹣2，﹣1，0，1，2．即B={﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用条件求出x﹣y的值是解决本题的关键，是基础题．8．若α，β为锐角，，则=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得sin（+α）和sin（+），整体代入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解：α，β为锐角，，∴sin（+α）==，sin（+）==，∴=cos[（+α）﹣（+）]=cos（+α）cos（+）+sin（+α）sin（+）=+=．故选：D．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．9．已知函数f（x）=x+tanx+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出a+tana=1，由此能求出f（﹣a）的值．【解答】解：∵函数f（x）=x+tanx+1，f（a）=2，∴f（a）=a+tana+1=2，∴a+tana=1，∴f（﹣a）=﹣a﹣tana+1=﹣1+1=0．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．已知，则sin2θ=（）A． B．C． D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由两角和的余弦展开已知式子，平方结合二倍角的正弦可得．【解答】解：∵，∴cosθ﹣sinθ=，∴cosθ﹣sinθ=，平方可得1﹣2sinθcosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣，故选：A．【点评】本题考查三角函数化简求值，属基础题．11．设且，则（）A．B．C． D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵，∴﹣=，∴=+=，∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，故选：D．【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．12．已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞1【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；不等式．【分析】令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，由已知可得，即，解得答案．【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，∵方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，∴，即，解得：1＜a＜2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，难度中档．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．设实数，如果函数y=xα是定义域为R的奇函数，则α的值的集合为{1，3} ．【考点】幂函数的性质．【专题】计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】讨论α的取值，得出函数y=xα是定义域R上的奇函数时α的取值范围．【解答】解：∵实数α∈{﹣2，﹣1，，1，3}，∴当α=﹣1时，函数y=x﹣1是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，不满足题意；当α=1时，函数y=x是定义域R上的奇函数，满足题意；当α=3时，函数y=x3是定义域R上的奇函数，满足题意；∴α的取值集合为{1，3}．【点评】本题考查了幂函数的定义与单调性质的应用问题，是基础题目．14．若，则= 2 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：若，则===2，故答案为：2．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．已知，则f（x）的值域为[，] ．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】化简函数f（x），利用二次函数与三角函数的图象和性质，求出函数f（x）的值域即可．【解答】解：∵f（x）=sin2x+cosx=1﹣cos2x+cosx=﹣+，且x∈[﹣，]，∴cosx∈[﹣，]，∴﹣1≤cosx﹣≤0，∴﹣1≤﹣≤0，∴≤﹣≤，即函数f（x）的值域为[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目．16．下列叙述正确的有④（将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）．①集合{0，1，2}的非空真子集有6个；②集合A={1，2，3，4，5，6}，集合B={y|y≤5，y∈N*}，若f：x→y=|x﹣1|，则对应关系f是从集合A到集合B的映射；③函数y=tanx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）；④函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣恒成立，则函数f（x）是周期为4的周期函数．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；集合思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①集合{0，1，2}的非空真子集有7个；②举反例x=1时不合题意；③反例（，0）也是函数y=tanx的对称中心；④可证f（x+4）=﹣=f（x），由周期函数的定义可得．【解答】解：①集合{0，1，2}的非空真子集有：{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}共7个，故错误；②当x取集合A={1，2，3，4，5，6}中的1时，可得y=|x﹣1|=0，而0不在集合B中，故错误；③（，0）也是函数y=tanx的对称中心，而（，0）不在（kπ，0）（k∈Z）的范围，故错误；④∵函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣恒成立，则f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=f（x），故函数f（x）是周期为4的周期函数，故正确．故答案为：④【点评】本题考查命题真假的判定，涉及函数的周期性和对称性以及集合和映射的知识，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0}，B={x|5﹣2m≤x≤m+1}．（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】（1）将m=3代入求出B，求出A，从而求出A∩B，A∪B即可；（2）根据B⊆A，通过讨论B=∅和B≠∅时得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）当m=3时，B={x|5﹣6≤x≤3+1}=[﹣1，4]因为A={x|2≤x≤6}所以A∩B=[2，4]A∪B=[﹣1，6]（2）因为B⊆A，所以当B=∅时，5﹣2m＞m+所以当B≠∅时，则解得综上所述：实数m的取值范围为【点评】本题考查了集合的包含关系，考查集合的交集．并集的运算，是一道基础题．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）使用二倍角公式化简f（x），利用正弦函数的性质列出方程解出对称轴；（2）利用正弦函数的单调性列出不等式解出．【解答】解：（1）∴f（x）的最小值正周期T=π，令，解得x=+．∴f（x）的对称轴方程为：．（2）令，解得，∴f（x）的增区间为．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题．19．已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件，奇函数f（x）在原点有定义，从而f（0）=b=0，从而，而根据便可求出a=1，这样便得出a，b的值；（2）写出，根据单调性的定义，设任意的x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，然后作差，通分，提取公因式，便得到，可以说明f（x1）＜f（x2），从而得出f（x）在（﹣1，1）上为增函数．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数；∴f（0）=b=0；得；而；∴a=1；∴a=1，b=0；（2），设x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，则：；∵x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2；∴x1﹣x2＜0，x1x2＜1，1﹣x1x2＞0；∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f （x2），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1﹣x2．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的一个最高点坐标是，相邻的两对称中心的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由相邻的两对称中心的距离为，可求周期，利用周期公式可求ω，由，结合范围|φ|＜π，可求，从而可求函数解析式．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．解法一：按照纵坐标不变先φ（左、右平移），纵坐标不变，横坐标向左平移个单位，再ω，就是横坐标变为原来的倍；解法二：将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位长度，是先ω，再φ的变换过程．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为f（x）相邻的两对称中心的距离为，所以，即T=π所以所以f（x）=sin（2x+φ）因为，所以因为|φ|＜π，所以所以（2）解法一：将函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左平移个单位得到的图象然后将的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的得到的图象解法二：将函数y=sinx的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的得到y=sin2x的图象然后将y=sin2x的图象纵坐标不变横坐标向左平移个单位得到的图象【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．21．为振兴苏区发展，赣州市计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数f（x）（万人）与日期x（日）的函数关系近似满足：，人均消费g（x）（元）与日期x（日）的函数关系近似满足：g（x）=60﹣|x﹣20|．（1）求该市旅游日收入p（x）（万元）与日期x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；（2）当x取何值时，该市旅游日收入p（x）最大．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件建立函数关系即可得到结论．（2）根据分段函数的表达式，判断函数的单调性即可求出函数的最值．【解答】解：（1）p（x）=f（x）•g（x），（2）由（1）可知，p（x）在[1，10]上为增函数，在[10，20）上为减函数当x∈[1，20）时，p（x）max=p（10）=125因为p（x）在[20，30]上为减函数，所以当x∈[20，30]时，p（x）max=p=120综上所述，当x=10时p（x）max=125【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式判断函数的单调性的性质是解决本题的关键．22．已知函数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．是否存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f ﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）容易判断f（x）的定义域为R，且可得出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）在R上为奇函数；（2）可以求出，从而得到，可假设存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离，即有在闭区间[1，2]上恒成立．可令，设a x=t，t∈[a，a2]，讨论a：a＞1时，t=a x为增函数，并且为增函数，从而得出h（x）在[1，2]上为增函数，从而得到h（x）的最小值h（1）=，解该不等式即可得出a的一个范围；而同理可得出0＜a＜1时的a的一个范围，这两个范围求并集即为实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵；∴f（x）的定义域为R；∵=；即f（﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）为R上的奇函数；（2）∵x∈R，∴y∈R；由得；∴两边平方整理后得：；∴；∴；假设存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离；所以|f﹣1（x）﹣g（x）|＞2，即在闭区间[1，2]上恒成立；令，t=a x，x∈[1，2]当a＞1时，t=a x在[1，2]上为增函数，t∈[a，a2]，在[a，a2]上为增函数；∴h（x）在[1，2]上为增函数；∴；由解得或，∴；当0＜a＜1时同理可得在[1，2]上为增函数；∴；由解得或；∴；综上所述：存在a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离，且a的取值范围为．【点评】考查奇函数，偶函数的定义及判断方法和过程，对数的运算性质，反函数的概念，以及求一个函数的反函数的方法和过程，指数式和对数式的互化，复合函数单调的判断，指数函数的单调性，清楚的单调性，一元二次不等式的解法．。

江西省赣州市六校2014届高三上学期期末联考试题高三数学试题（文科） 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足i Z i 213+=，则Z 等于( )A ．i --2B ．i +-2C ．i +2D ．i -23.甲、乙两名同学在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的标准差，则有( ) A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =>【答案】B 【解析】4.已知函数2()f x x bx c =++，其中04b ≤≤，04c ≤≤，记函数()f x 满足条件：12)2(≤f 为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ）A.14 B.21 C. 38 D. 435.在ABC ∆中， AD=3，点P 在AD 上且满足,3AP AD =则=+⋅)(PC PB DA （ ） A ．6B ．6-C ．-12D ． 126.某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积是（ ） A. π524+ B.π-24 C.()π1524-+D.()π1520-+7.已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα125sin 的是（ ）A ． C ．1027 D ．15278.阅读右侧程序框图，输出的结果s 的值为（ ） A.0B.23C.3D.23-9.已知双曲线C 的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，它的左、右焦点分别21,F F ，左右顶点为21,A A ，过焦点2F 先作其渐近线的垂线，垂足为P ，再作与x 轴垂直的直线与曲线C 交于点R Q ,，若1212,,QF A A PF 依次成等差数列，则离心率e=（ ）A 、2B 、5C 、2或5D 、215+P x y的轨迹方程是10.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴正方向滚动.设顶点(),()x fy=，设()x=从=在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域为S,则直线ty f xt到所匀速移动扫过区域S的面积D与的函数图象大致为（）．=t0=4A B C D第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知过原点的直线与圆22(2)1x y ++=相切，若切点在第二象限，则该直线的方程为 ．13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--,0,0,02,063y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为,12则ba 32+的最小值为______________ .考点：简单线性规划的应用；基本不等式． 14.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x b x g x f =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若{}n a 是正项等比数列，且()()4421248675g f a a a a a a =++，则86a a +等于 .15.函数()x f 的定义域为D ，若存在闭区间[]D n m ⊆,，使得函数()x f 满足以下两个条件：(1)()x f 在[m ，n]上是单调函数；(2) ()x f 在[m ，n]上的值域为[2m ，y=的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”2n]，则称区间[m，n]为()x f的有（填上所有正确的序号）①()x f=x2（x≥0）；②()x f=e x（x∈R）；③()x f=；④()x f=．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分为12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且向量()B A m sin ,sin = ,()A B n cos ,cos =，满足C n m 2sin =⋅（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18AC AC AB ⋅-=，求边c 的长17.（本题满分为12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ,11=a ,点1(,)n n S a +在直线12+=x y 上,n ∈N *．（1）求证：数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设31log n n b a +=,n T 是数列11n n b b +⋅｛｝的前n 项和,求2014T 的值．18.（本题满分为12分）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取个，抽到B 组药品有效的概率是35.0．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？（2）已知425≥b ，68≥c ，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．Rt 中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点19.（本题满分为12分）在ABF（如下左图）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右图），已知D是AB的中点．（1）求证：CD∥平面AEF;（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；（3）求三棱锥C-AEF的体积，20.（本题满分为13分）已知动圆M 与直线21:-=x l 相切且与圆F ：()41122=+-y x 外切。

一、选择题1．(0分)[ID ：12116]已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．(0分)[ID ：12085]已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>3．(0分)[ID ：12104]若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．14．(0分)[ID ：12103]已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．(0分)[ID ：12081]设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．(0分)[ID ：12078]把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．(0分)[ID ：12076]若x 0＝cosx 0，则（ ）A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 8．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -9．(0分)[ID ：12056]某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．(0分)[ID ：12070]定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26x f x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7- C ．()()2,02,-+∞D ．[)(]7,22,7--11．(0分)[ID ：12063]将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nty ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．512．(0分)[ID ：12041]若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．413．(0分)[ID ：12037]函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－1215．(0分)[ID ：12074]对数函数y =log a x(a >0且a ≠1)与二次函数y =(a −1)x 2−x 在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题16．(0分)[ID ：12216]已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________17．(0分)[ID ：12205]已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．18．(0分)[ID ：12166]0.11.1a =，122log b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________.19．(0分)[ID ：12164]已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．20．(0分)[ID ：12163]对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[a ，b ]，使得()y f x =在[a ，b ]上的值域也为[a ，b ]，则称函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数4()1xf x x=-+在R 上封闭，则b a -=____． 21．(0分)[ID ：12146]已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a 的取值集合为______.22．(0分)[ID ：12142]若函数()242x xf x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.23．(0分)[ID ：12130]已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．24．(0分)[ID ：12212]设A,B 是两个非空集合，定义运算A ×B ={x|x ∈A ∪B,且x ∉A ∩B}．已知A ={x|y =√2x −x 2}，B ={y|y =2x ,x >0}，则A ×B =________. 25．(0分)[ID ：12162]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12304]已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围. 27．(0分)[ID ：12296]已知()1log 1axf x x-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 28．(0分)[ID ：12278]已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()20201f =，且当1x >时，()0f x >.（1）求()1f ；（2）求证：()f x 在定义域内单调递增;（3）求解不等式12f<. 29．(0分)[ID ：12267]已知函数()212xxk f x -=+（x ∈R ） （1）若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立，求实数a的取值范围.30．(0分)[ID ：12233]已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．A3．B4．D5．B6．C7．C8．D9．C10．B11．D12．C13．A14．B15．A二、填空题16．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函17．【解析】【分析】【详解】故答案为18．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc从小到大的关系是故答案为：【点睛19．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性20．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R上为减函数并且由题意可知：由于函数在R上封闭故有解得：所以21．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想22．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解23．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点24．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB然后求解A×B即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A∪B=x|x≥0A∩B=25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】 解：0.1x 1.11.11=>=， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．B解析：B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =，因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=， 所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．B解析：B 【解析】 【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．11．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

2014-2015学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台2．（5分）若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为（）A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面3．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．4．（5分）用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内一定有无数多条直线与m（）A．平行B．相交C．垂直D．异面5．（5分）一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（）A．9，5B．8，6C．10，4D．7，76．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）A．3B．2C．1D．07．（5分）如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（）A．是真命题B．是假命题C．不一定是真命题D．无法判断8．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）在矩形ABCD中，AB=4，BC=2（如图所示），随机向矩形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知回归直线的回归系数b的估计值是1.23，=5，=4，则回归直线的方程是（）A．y=1.23x+0.08B．y=0.945x+1.23C．y=1.23x+4D．y=0.08x+1.2311．（5分）（文科做）垂直于直线2x﹣6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（）A．3x+y+2=0B．3x﹣y+2=0C．3x+y﹣2=0D．3x﹣y﹣2=012．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6C．D．12二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y=2x+sinx的单调递增区间是．14．（5分）某校举行2015年元旦汇演，气味评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为，方差为．15．（5分）若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．16．（5分）将双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴、虚轴互易，所得双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），我们称这两双曲线互为共轭的双曲线，若两共轭双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）某超市在2015年元旦期间举行抽奖活动，规则是：从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率．19．（12分）某汽车制造厂为了检测A，B两种轮胎的性能，分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面记录的是每个轮胎行驶的最远路程数（单位：100km）；轮胎A：96，112，97，108，100，103，86，98；轮胎B：108，101，94，105，96，93，97，106．（1）分别计算A，B两种轮胎行驶最远路程的平均数、极差；（2）比较A，B两种轮胎的性能，估计哪一种较为稳定．20．（12分）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：平面DBE⊥平面ABE．21．（12分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f （x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．2014-2015学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台【解答】解：圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，但俯视图是中间有一个点的圆形，所以A不对；正四棱锥的主视图和左视图都是等腰三角形，但俯视图是对角线交叉的正方形，所以B不对；正三棱锥的三视图都是等腰三角形，所以C正确；正三棱台的主视图和左视图都是等腰梯形，但俯视图不是三角形，所以D不对．故选：C．2．（5分）若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为（）A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面【解答】解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．故选：A．3．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；4．（5分）用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内一定有无数多条直线与m（）A．平行B．相交C．垂直D．异面【解答】解：用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内一定有无数多条直线与m，如果m与平面α相交，则平面α内没有直线与m平行，所以A不正确；如果m与平面α平行，则平面内没有直线与m相交，所以B不正确；不论直线m与平面α的位置关系怎样，平面内存在无数多条直线与m垂直，所以C正确；如果证明m在平面内，则平面内没有直线与m是异面直线，所以D不正确；故选：C．5．（5分）一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（）A．9，5B．8，6C．10，4D．7，7【解答】解：根据分层抽样的定义可知，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲厂抽取的热水器的台数是，乙厂抽取的热水器的台数是14﹣8=6，故选：B．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：模拟执行程序，可得满足条件n≤3，x=2a+1，n=2满足条件n≤3，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3满足条件n≤3，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为8a+7=31故可解得：a=3故选：A．7．（5分）如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（）A．是真命题B．是假命题C．不一定是真命题D．无法判断【解答】解：∵一个命题的逆命题是真命题，∴这个命题的逆命题与其否命题构成逆否关系，∵一个命题与其逆否命题的真假性是一样的；∴这个命题的否命题为真命题；故选：A．8．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b是实数，∴“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，∴“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．故选：C．9．（5分）在矩形ABCD中，AB=4，BC=2（如图所示），随机向矩形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知易得：S ABCD=8圆的面积为：S=π圆故豆子落入圆内的概率P=故选：D．10．（5分）已知回归直线的回归系数b的估计值是1.23，=5，=4，则回归直线的方程是（）A．y=1.23x+0.08B．y=0.945x+1.23C．y=1.23x+4D．y=0.08x+1.23【解答】解：设回归直线方程为=1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a∴a=0.08∴回归直线方程为y=1.23x+0.08．故选：A．11．（5分）（文科做）垂直于直线2x﹣6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（）A．3x+y+2=0B．3x﹣y+2=0C．3x+y﹣2=0D．3x﹣y﹣2=0【解答】解：因为所求直线垂直于直线2x﹣6y+1=0，所以其斜率为k=﹣3，又由曲线y=x3+3x2﹣1求导数得y'=3x2+6x，由3x2+6x=﹣3，解得x=﹣1，则切点为（﹣1，1），所以切线方程为y﹣1=﹣3（x+1），即3x+y+2=0，故选：A．12．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6C．D．12【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y=2x+sinx的单调递增区间是（﹣∞，+∞）．【解答】解：y=2x+sinx的定义域为R，∵y′=2+cosx，且cosx∈[﹣1，1]∴y′＞0∴函数y=2x+sinx的单调递增区间是（﹣∞，+∞）故答案为（﹣∞，+∞）14．（5分）某校举行2015年元旦汇演，气味评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，方差为 1.6．【解答】解：由茎叶图可知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据为84，84，86，84，87．平均数为80+=85；方差为=1.6．故答案为：85；1.6．15．（5分）若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是{a|a＜0} ．【解答】解：由题意该函数的定义域x＞0，由．因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数存在零点．再将之转化为g（x）=﹣2ax与存在交点．当a=0不符合题意，当a＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a＜0．故答案为：{a|a＜0}16．（5分）将双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴、虚轴互易，所得双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），我们称这两双曲线互为共轭的双曲线，若两共轭双曲线的离心率分别为e1、e2，则=1．【解答】解：根据题意，可得互为共轭的两个双曲线方程分别为﹣=1和﹣=1，（a、b都是正数），则它们的离心率满足e12=，e22=，则=+==1，故答案为：1．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，解得x＞10，或x＜﹣2，记A={x|x＞10，或x＜﹣2}．q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而非p是q的充分不必要条件，而¬p⇒q，∴A⊊B，∴，∴0＜a≤3．18．（12分）某超市在2015年元旦期间举行抽奖活动，规则是：从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率．【解答】解：（1）从四个小球中任选两个，基本事件总数n==6，中三等奖，即两个小球队的号码之和等于3，两个小球的号码之和等于3的取法有2种：（0，3）和（1，2），∴中三等奖的概率P1==．（2）两个小球号码之和等于是的取法有一种（0，1），两个小球的号码之和等于的取法有一种（0，2），故中奖的概率为；P2=1﹣=．19．（12分）某汽车制造厂为了检测A，B两种轮胎的性能，分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面记录的是每个轮胎行驶的最远路程数（单位：100km）；轮胎A：96，112，97，108，100，103，86，98；轮胎B：108，101，94，105，96，93，97，106．（1）分别计算A，B两种轮胎行驶最远路程的平均数、极差；（2）比较A，B两种轮胎的性能，估计哪一种较为稳定．【解答】解：（1）轮胎A的平均最远路程为x A=（96+112+…+98）=100，轮胎B的平均最远路程为x B=（108+101+…+106）=100，轮胎A的平均最远路程的极差为112﹣86=26，轮胎B的平均最远路程的极差为108﹣93=15；（2）轮胎A的平均最远路程的方差为：=（42+122+…+22）=55.25，轮胎B的平均最远路程的方差为：=（82+12+…+62）=29.5，由于＜，∴B种轮胎的性能较为稳定．20．（12分）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：平面DBE⊥平面ABE．【解答】（1）证明：取AB中点G，连线FG、CG，F为BE中点，∴GF∥AE，GF=AE，又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，且CD=AE，∴GF∥CD，GF=CD，∴四边形CDFG为平行四边形∴DF∥CG，又DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC∴DF∥平面ABC．（2）证明：取AB中点G，由（1）可知四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．又△ABC为正三角形，G为AB中点∴CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE又CG∥DF，∴DF⊥平面ABE，又DF⊂平面DBE，∴平面DBE⊥平面ABE．21．（12分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f （x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=e x+2x2﹣3x，得f'（x）=e x+4x﹣3，则f′（1）=e+1，又f （1）=e﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为：y﹣e+1=（e+1）（x﹣1），即：（e+1）x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e x+2x2﹣3x，∵x≥1，∴令，则，∵x≥1，∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，∴g（x）min=g（1）=e﹣1，∴a的取值范围是a≤e﹣1．22．（12分）如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．【解答】解：（1）设P点到抛物线的准线x=﹣的距离为d，由抛物线的定义知d=|PF|，∴（|PA|+|PF|）min=（|PA|+d）min=+4，∴+4=8⇒p=8，∴抛物线的方程为y2=16x．…（6分）（2）由（1）得F（4，0），设直线l的方程为y=k（x﹣4），显然k≠0．设M（x1，y1），N（x2，y2），把直线方程代入抛物线，得k2x2﹣（8k2+16）x+16k2=0，x 1+x2=，x1•x2=16，∴|MN|=×=×=×=×16=≥32，∴k2≤1，即﹣1≤k≤1，∴直线l斜率的取值范围为[﹣1，0）∪（0，1]，∴直线l倾斜角的取值范围为：（0，]∪[，π）…（13分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

江西省赣州一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试题一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．1、下列能构成集合的是（ ）A 、中央电视台著名节目主持人B 、我市跑得快的汽车C 、赣州市所有的中学生D 、赣州的高楼2 若{}|110C x N x =∈≤<，则（ ）A ．5C ∉B ．5C ⊆ C ．5C ⊂≠D ．5C ∈3．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）A 0，2，3B {}30|≤≤y yC }3,2,0{D ]3,0[4．下列函数是幂函数的是 （ ）A ．22y x =B ．3y x x =+C ．3x y =D ．12y x =5、方程062=+-px x 的解集为M ，方程062=-+q x x 的解集为N ，且=N M {}2， 那么=+q p ( )A ． 21 B. 8 C. 6 D. 76.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B = ( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -7、已知函数23)13(2++=+x x x f ，则=)4(f ( )A.30B.6C.210D.98．已知53()4f x ax bx cx =++-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于 () A ．2- B ．4- C ．6- D ．10-9．已知函数()x f y =是R 上的偶函数，且()x f 在),0[+∞上是减函数，若()()2-≥f a f ，则a 的取值范围是 （ ）A ．2-≤aB ．2≥aC ．22≥-≤a a 或D ．22≤≤-a10．设A ，B 是两个集合，①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；②{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=③}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，23:-=→x y x f ．则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数为（ ）A ．3B ．2C ．D ．0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11． 幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是 __．12.若函数232++=x x y 的值域是13．函数2()42f x x ax =++在区间(,6)-∞上递减，则实数a 的取值范围是14.已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则a b += ；15．已知函数221,(0)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++≤=⎨->⎩有3个零点，求实数a 的取值范围是三、解答题（75分）16. （本小题满分12分）设集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ，（1）若}2{=B A ，求实数a 的值.（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围；17、（本小题满分12分）已知函数2()243,(03)f x x ax x =--≤≤（1）当1a =时，作出函数的图象并求函数的最值（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]0,3上是单调函数.18（本小题满分12分）设集合}5312|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{≤≤=x x B ，求能使A AB ⊆成立的a 值的集合．19 （本小题满分12分）设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，(1)在下列直角坐标系中画出()f x 的图象；(2)若()3f t =，求值；(3)用单调性定义证明在[)2,+∞时单调递增.20．(本小题满分13分) 已知函数2()21f x x ax a =-++- ，（1）若=2a ，求()f x 在区间[]0,3上的最小值；（2）若()f x 在区间[]0,1上有最大值3，求实数a 的值.21.（本小题满分14分）已知()()()y f x f xy f +=(1) 若R y x ∈，， 求()1f ，()1-f 的值；（2）若R y x ∈，，判断()y f x =的奇偶性；(3) 若函数()x f 在其定义域()+∞,0上是增函数,()12=f ，()()32≤-+x f x f ，求x 的取值范围.赣一中2014---2015第一学期高一第一次月考数学试题命题人 肖淑如一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．1、下列能构成集合的是（ ）A 、中央电视台著名节目主持人B 、我市跑得快的汽车C 、赣州市所有的中学生D 、赣州的高楼答案：C 考点 集合的性质2 若{}|110C x N x =∈≤<，则（ ）A ．5C ∉B ．5C ⊆ C ．5C ⊂≠D ．5C ∈ 答案：D 考点 元素与集合的关系3．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）A 0，2，3B {}30|≤≤y yC }3,2,0{D ]3,0[答案：C 考点 函数的值域4．下列函数是幂函数的是（ D ） A ．22y x = B ．3y x x =+ C ．3x y = D ．12y x =答案：D 考点 幂函数的概念5、方程062=+-px x 的解集为M ，方程062=-+q x x 的解集为N ，且=N M {}2，那么=+q p ( )A ． 21 B. 8 C. 6 D. 7答案：A 考点 一元二次方程与集合的运算交集25P6.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B = ( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 答案：C 考点 集合的运算交集与补集及一元二次不等式7、已知函数23)13(2++=+x x x f ，则=)4(f ( )A.30B.6C.210D.9答案：B 考点 复合函数的求值8．已知53()4f x ax bx cx =++-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于 ()A ．2-B ．4-C ．6-D ．10-答案：D 考点 奇函数性质的应用9．已知函数()x f y =是R 上的偶函数，且()x f 在),0[+∞上是减函数，若()()2-≥f a f ，则a 的取值范围是 （ ）A ．2-≤aB ．2≥aC ．22≥-≤a a 或D ．22≤≤-a 答案：D 考点 偶函数性质的应用10．设A ，B 是两个集合，①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；②{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=③}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，23:-=→x y x f ．则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数为（ ）A ．3B ．2C ．D ．0答案：C 考点 映射的概念二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11． 幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是 __．答案：()f x = 考点 幂函数的概念12.若函数232++=x x y 的值域是答案：()(),22,-∞+∞ 考点分式函数的值域13．函数2()42f x x ax =++在区间(,6)-∞上递减，则实数a 的取值范围是 答案：3a ≤- 考点二次函数的单调性61P14.已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩为奇函数，则a b += ； 答案：0 考点分段函数的奇偶性15．已知函数221,(0)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++≤=⎨->⎩有3个零点，求实数a 的取值范围是答案：01a << 考点分段函数的图像与x 轴交点的个数。

2014-2015学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5.00分）已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]2．（5.00分）已知角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则=（）A．﹣2 B．0 C．D．23．（5.00分）下列函数中，值域是R+的是（）A．B．C．D．4．（5.00分）已知向量和的夹角为120°，，且，则=________（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5.00分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x 的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5.00分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．（5.00分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．8．（5.00分）（文）设三角形ABC的三个内角为A，B，C，向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．9．（5.00分）已知f（x）=，则f（2014）=（）A．﹣1 B．2 C．0 D．110．（5.00分）若函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（）A．B．或a＜﹣1 C．D．a＜﹣111．（5.00分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则的值为（）A．B．C．D．412．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上. 13．（5.00分）已知幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，则实数a的取值范围为．14．（5.00分）函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，则=．15．（5.00分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，2），则在另一组基底下的坐标为．16．（5.00分）若函数f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1），满足f（）＞f（），则f（1﹣）＞1的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1，或x≥4}，U=R （1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若A∩B=Φ，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数．（1）求实数m，n的值；（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最小值．19．（12.00分）已知向量=（3，1），=（﹣1，a），a∈R（1）若D为BC中点，=（m，2），求a、m的值；（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．20．（12.00分）（1）化简；（2）已知，，求的值．21．（12.00分）已知f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．（1）若x∈[2π，3π]，求f（x）的单调递减区间；（2）若x∈（，）且f（x）=﹣1，求tan2x的值．22．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．2014-2015学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5.00分）已知集合A={x|y=}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]【解答】解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A=（﹣∞，1]，由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），则A∩B=[0，1]，故选：D．2．（5.00分）已知角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则=（）A．﹣2 B．0 C．D．2【解答】解：角θ满足sinθ﹣2cosθ=0，则===2．故选：D．3．（5.00分）下列函数中，值域是R+的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，≥0，值域是[0，+∞），故错；对于B，值域是{x|x＞1}，故错；对于C，，由于x∈N，值域中数是一系列孤立的数，不是（0，+∞），故错；对于D，，值域是R+，故对；故选：D．4．（5.00分）已知向量和的夹角为120°，，且，则=________（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由，可得，∴∵，∴，∴，∴故选：C．5．（5.00分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x 的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选：B．6．（5.00分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．7．（5.00分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选：A．8．（5.00分）（文）设三角形ABC的三个内角为A，B，C，向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=1+cos（A+B），则C=（）A．B．C． D．【解答】解：∵==1+cos（A+B）；∵A+B=π﹣C，∴；∴；∵0＜C＜π，∴，∴；∴．故选：D．9．（5.00分）已知f（x）=，则f（2014）=（）A．﹣1 B．2 C．0 D．1【解答】解：由f（x）=，则f（2014）=f（2014﹣5×402）=f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=log21=0．10．（5.00分）若函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则a的取值范围是（）A．B．或a＜﹣1 C．D．a＜﹣1【解答】解：∵函数f（x）=3ax+1﹣2a在区间（﹣1，1）上存在一个零点，∴f（﹣1）f（1）＜0，即（﹣3a+1﹣2a）（3a+1﹣2a）＜0，化为（5a﹣1）（a+1）＞0．解得a或a＜﹣1．∴a的取值范围是：a或a＜﹣1．故选：B．11．（5.00分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则的值为（）A．B．C．D．4【解答】解：奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=f（x），函数的周期为4，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则==f（﹣）=﹣f（）=﹣．故选：A．12．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=1，则AB的长为（）A．B．C．D．1【解答】解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB的长为．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上. 13．（5.00分）已知幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，则实数a的取值范围为（0，1）．【解答】解：∵幂函数在区间（0，+∞）上是减少的，∴a2﹣a＜0，解得：0＜a＜1，故答案为：（0，1）．14．（5.00分）函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，则= 4029．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣sinbx+2015（x∈R），若，可得a（）3﹣sinb+2015=1，可得a（）3﹣sinb=﹣2014．=﹣[a（）3﹣sinb]+2015=2014+2015=4029．故答案为：4029．15．（5.00分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，2），则在另一组基底下的坐标为（0，2）．【解答】解：由条件可得=﹣2+2=（﹣2，2）+（4，2）=（2，4）．设=λ+μ═λ（﹣1，1）+μ（1，2）=（﹣λ+μ，λ+2μ），则由﹣λ+μ=2，λ+2μ=4，解得λ=0、μ=2．∴则在另一组基底下的坐标为（0，2），故答案为（0，2）．16．（5.00分）若函数f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1），满足f（）＞f（），则f（1﹣）＞1的解集是（1，）．【解答】解：∵满足f（）＞f（），∴log a＞log a，∴log a2＞log a3，∴0＜a＜1，∵f（1﹣）＞1，∴log a（1﹣）＞log a a，∴0＜1﹣＜a，解得x∈（1，）．故答案为：（1，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1，或x≥4}，U=R （1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若A∩B=Φ，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）将a=3代入A中的不等式得：﹣1≤x≤5，即A={x|﹣1≤x≤5}，∵B={x|x≤1或x≥4}，U=R，∴A∩B={﹣1≤x≤1或4≤x≤5}，∁U B={x|1＜x＜4}，则A∪（∁U B）={x|﹣1≤x≤5}；（2）∵A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}，且A∩B=∅，∴，解得：a＜1．18．（12.00分）已知函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数．（1）求实数m，n的值；（2）求函数f（x）在区间[1，5]上的最小值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=﹣2x2+mx﹣3为区间（﹣5，﹣3+n）内的偶函数所以m=0…（3分）且﹣3+n=5，得n=8…（5分）（2）由（1）知f（x）=﹣2x2﹣3则函数f（x）在[0，+∞）上单调递减…（7分）在（﹣∞，0]上单调递增…（9分）故函数f（x）在[1，5]上单调递减…（10分）所以函数f（x）在区间[1，5]上的最小值为f（x）min=f（5）=﹣53…（12分）19．（12.00分）已知向量=（3，1），=（﹣1，a），a∈R（1）若D为BC中点，=（m，2），求a、m的值；（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．【解答】解：（1）由题意知，D为BC中点，∴=（+）=（1，）（2分）∵=（m，2），∴，解得．（7分）（2）由题意分三种情况求解：①当A=90°时，即•=0，则3×（﹣1）+1•a=0，解得a=3（9分）②当B=90°时，∵=﹣=（﹣4，a﹣1）（10分）∴3×（﹣4）+1•（a﹣1）=0，解得a=13（12分）③当C=90°时，即•=0，则﹣1×（﹣4）+a•（a﹣1）=0，解得a无解，综上，a=3或13（14分）20．（12.00分）（1）化简；（2）已知，，求的值．【解答】解：（1）…（1分）=…（2分）=…（3分）=…（4分）=…（5分）=4…（6分）（2）由，两边平方得：…（7分）所以…（8分）因为，所以sinx＜0，cosx＞0故…（9分）所以…（11分）=…（12分）21．（12.00分）已知f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．（1）若x∈[2π，3π]，求f（x）的单调递减区间；（2）若x∈（，）且f（x）=﹣1，求tan2x的值．【解答】解：f（x）=cosx（cosx﹣3）+sinx（sinx﹣3）．=cos2x﹣3cosx+sin2x﹣3sinx=﹣3（sinx+cosx）+1=﹣3sin（x+）+1∴f（x）=﹣3sin（x+）+1，（1）令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∵x∈[2π，3π]，∴f（x）的单调递减区间[2π，]，（2）∵x∈（，）且f（x）=﹣1，∴﹣3（sinx+cosx）+1=﹣1，∴sinx+cosx=，∴1+sin2x=，∴sin2x=﹣，cos2x=，∴tan2x=．22．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【解答】解：（1）因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0可化为f （t ﹣1）＜﹣f （t ）． 又f （x ）为奇函数，所以f （t ﹣1）＜f （﹣t ），f （x ）为（﹣1，1）上的增函数，所以t ﹣1＜﹣t ①，且﹣1＜t ﹣1＜1②，﹣1＜t ＜1③；联立①②③解得，0＜t ＜．所以不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0的解集为．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

江西省赣州市2015～2016学年度高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，4，5} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由全集U以及集合A，求出A的补集，确定出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={2，4，5}．故选B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知，则cosθ=（）A． B．C． D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】已知等式左边利用诱导公式化简，即可确定出所求式子的值．【解答】解：∵sin（﹣π+θ）=sin（﹣2π+π+θ）=sin（π+θ）=，且sin（π+θ）=cosθ，∴cosθ=，故选：A．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．（log227）•（log34）=（）A． B．2 C．3 D．6【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：（log227）•（log34）===6．故答案为：6．【点评】本题考查对数化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．4．函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，3）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得x＞1且x≠2，故函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．5．已知a=20.3，，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵1=20＜a=20.3＜=20.4，c=2log52=log54＜log55=1，∴c＜a＜b．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．6．函数f（x）=x2﹣（）|x|的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】可判断函数f（x）是偶函数且在[0，+∞）上是增函数，从而解得．【解答】解：∵f（﹣x）=x2﹣（）|x|=f（x），∴函数f（x）=x2﹣（）|x|是偶函数，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，而f（0）=﹣1，f（1）=＞0，故f（x）在（0，1）上有一个零点，故f（x）共有2个零点，故选C．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用．7．已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）A．9 B．5 C．3 D．1【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题；探究型；集合思想；数学模型法；集合．【分析】根据集合B中元素与A中元素之间的关系进行求解．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴x=1，2，3，y=1，2，3．当x=1时，x﹣y=0，﹣1，﹣2；当x=2时，x﹣y=1，0，﹣1；当x=3时，x﹣y=2，1，0．即x﹣y=﹣2，﹣1，0，1，2．即B={﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用条件求出x﹣y的值是解决本题的关键，是基础题．8．若α，β为锐角，，则=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得sin（+α）和sin（+），整体代入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解：α，β为锐角，，∴sin（+α）==，sin（+）==，∴=cos[（+α）﹣（+）]=cos（+α）cos（+）+sin（+α）sin（+）=+=．故选：D．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．9．已知函数f（x）=x+tanx+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出a+tana=1，由此能求出f（﹣a）的值．【解答】解：∵函数f（x）=x+tanx+1，f（a）=2，∴f（a）=a+tana+1=2，∴a+tana=1，∴f（﹣a）=﹣a﹣tana+1=﹣1+1=0．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．已知，则sin2θ=（）A．B． C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由两角和的余弦展开已知式子，平方结合二倍角的正弦可得．【解答】解：∵，∴cosθ﹣sinθ=，∴cosθ﹣sinθ=，平方可得1﹣2sinθcosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣，故选：A．【点评】本题考查三角函数化简求值，属基础题．11．设且，则（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵，∴﹣=，∴=+=，∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，故选：D．【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．12．已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞1【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；不等式．【分析】令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，由已知可得，即，解得答案．【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，∵方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，∴，即，解得：1＜a＜2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，难度中档．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．设实数，如果函数y=xα是定义域为R的奇函数，则α的值的集合为{1，3}．【考点】幂函数的性质．【专题】计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】讨论α的取值，得出函数y=xα是定义域R上的奇函数时α的取值范围．【解答】解：∵实数α∈{﹣2，﹣1，，1，3}，∴当α=﹣1时，函数y=x﹣1是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，不满足题意；当α=1时，函数y=x是定义域R上的奇函数，满足题意；当α=3时，函数y=x3是定义域R上的奇函数，满足题意；∴α的取值集合为{1，3}．【点评】本题考查了幂函数的定义与单调性质的应用问题，是基础题目．14．若，则=2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：若，则===2，故答案为：2．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．已知，则f（x）的值域为[，]．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】化简函数f（x），利用二次函数与三角函数的图象和性质，求出函数f（x）的值域即可．【解答】解：∵f（x）=sin2x+cosx=1﹣cos2x+cosx=﹣+，且x∈[﹣，]，∴cosx∈[﹣，]，∴﹣1≤cosx﹣≤0，∴﹣1≤﹣≤0，∴≤﹣≤，即函数f（x）的值域为[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目．16．下列叙述正确的有④（将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）．①集合{0，1，2}的非空真子集有6个；②集合A={1，2，3，4，5，6}，集合B={y|y≤5，y∈N*}，若f：x→y=|x﹣1|，则对应关系f 是从集合A到集合B的映射；③函数y=tanx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z）；④函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣恒成立，则函数f（x）是周期为4的周期函数．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；集合思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①集合{0，1，2}的非空真子集有7个；②举反例x=1时不合题意；③反例（，0）也是函数y=tanx的对称中心；④可证f（x+4）=﹣=f（x），由周期函数的定义可得．【解答】解：①集合{0，1，2}的非空真子集有：{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}共7个，故错误；②当x取集合A={1，2，3，4，5，6}中的1时，可得y=|x﹣1|=0，而0不在集合B中，故错误；③（，0）也是函数y=tanx的对称中心，而（，0）不在（kπ，0）（k∈Z）的范围，故错误；④∵函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣恒成立，则f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=f（x），故函数f（x）是周期为4的周期函数，故正确．故答案为：④【点评】本题考查命题真假的判定，涉及函数的周期性和对称性以及集合和映射的知识，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0}，B={x|5﹣2m≤x≤m+1}．（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】（1）将m=3代入求出B，求出A，从而求出A∩B，A∪B即可；（2）根据B⊆A，通过讨论B=∅和B≠∅时得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）当m=3时，B={x|5﹣6≤x≤3+1}=[﹣1，4]因为A={x|2≤x≤6}所以A∩B=[2，4]A∪B=[﹣1，6]（2）因为B⊆A，所以当B=∅时，5﹣2m＞m+所以当B≠∅时，则解得综上所述：实数m的取值范围为【点评】本题考查了集合的包含关系，考查集合的交集．并集的运算，是一道基础题．18．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期与对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）使用二倍角公式化简f（x），利用正弦函数的性质列出方程解出对称轴；（2）利用正弦函数的单调性列出不等式解出．【解答】解：（1）∴f（x）的最小值正周期T=π，令，解得x=+．∴f（x）的对称轴方程为：．（2）令，解得，∴f（x）的增区间为．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题．19．已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件，奇函数f（x）在原点有定义，从而f（0）=b=0，从而，而根据便可求出a=1，这样便得出a，b的值；（2）写出，根据单调性的定义，设任意的x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，然后作差，通分，提取公因式，便得到，可以说明f（x1）＜f（x2），从而得出f（x）在（﹣1，1）上为增函数．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数；∴f（0）=b=0；得；而；∴a=1；∴a=1，b=0；（2），设x1，x2∈（﹣1，1）且x1＜x2，则：；∵x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2；∴x1﹣x2＜0，x1x2＜1，1﹣x1x2＞0；∴；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f （x2），作差后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1﹣x2．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的一个最高点坐标是，相邻的两对称中心的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由相邻的两对称中心的距离为，可求周期，利用周期公式可求ω，由，结合范围|φ|＜π，可求，从而可求函数解析式．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．解法一：按照纵坐标不变先φ（左、右平移），纵坐标不变，横坐标向左平移个单位，再ω，就是横坐标变为原来的倍；解法二：将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位长度，是先ω，再φ的变换过程．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为f（x）相邻的两对称中心的距离为，所以，即T=π所以所以f（x）=sin（2x+φ）因为，所以因为|φ|＜π，所以所以（2）解法一：将函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左平移个单位得到的图象然后将的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的得到的图象解法二：将函数y=sinx的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的得到y=sin2x的图象然后将y=sin2x的图象纵坐标不变横坐标向左平移个单位得到的图象【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．21．为振兴苏区发展，赣州市计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数f（x）（万人）与日期x（日）的函数关系近似满足：，人均消费g（x）（元）与日期x（日）的函数关系近似满足：g（x）=60﹣|x﹣20|．（1）求该市旅游日收入p（x）（万元）与日期x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；（2）当x取何值时，该市旅游日收入p（x）最大．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件建立函数关系即可得到结论．（2）根据分段函数的表达式，判断函数的单调性即可求出函数的最值．【解答】解：（1）p（x）=f（x）•g（x），（2）由（1）可知，p（x）在[1，10]上为增函数，在[10，20）上为减函数当x∈[1，20）时，p（x）max=p（10）=125因为p（x）在[20，30]上为减函数，所以当x∈[20，30]时，p（x）max=p=120综上所述，当x=10时p（x）max=125【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式判断函数的单调性的性质是解决本题的关键．22．已知函数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．是否存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f ﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）容易判断f（x）的定义域为R，且可得出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）在R上为奇函数；（2）可以求出，从而得到，可假设存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离，即有在闭区间[1，2]上恒成立．可令，设a x=t，t∈[a，a2]，讨论a：a＞1时，t=a x为增函数，并且为增函数，从而得出h（x）在[1，2]上为增函数，从而得到h（x）的最小值h（1）=，解该不等式即可得出a的一个范围；而同理可得出0＜a＜1时的a的一个范围，这两个范围求并集即为实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵；∴f（x）的定义域为R；∵=；即f（﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）为R上的奇函数；（2）∵x∈R，∴y∈R；由得；∴两边平方整理后得：；∴；∴；假设存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离；所以|f﹣1（x）﹣g（x）|＞2，即在闭区间[1，2]上恒成立；令，t=a x，x∈[1，2]当a＞1时，t=a x在[1，2]上为增函数，t∈[a，a2]，在[a，a2]上为增函数；∴h（x）在[1，2]上为增函数；∴；由解得或，∴；当0＜a＜1时同理可得在[1，2]上为增函数；∴；由解得或；∴；综上所述：存在a使得y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）与g（x）=a x在闭区间[1，2]上分离，且a的取值范围为．【点评】考查奇函数，偶函数的定义及判断方法和过程，对数的运算性质，反函数的概念，以及求一个函数的反函数的方法和过程，指数式和对数式的互化，复合函数单调的判断，指数函数的单调性，清楚的单调性，一元二次不等式的解法．。

赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2013~2014学年度第一学期期末联考试卷高一数学试题一、选择题(每小题5分，共50分。

) 1、设U ＝R ，M ＝{x|y ＝lg(x 2－2x)}，则C U M ＝ A ．[0, 2]B ．(0, 2)C ．(－∞, 0)∪(2, ＋∞)D ．(－∞, 0]∪[2, ＋∞)2、在定义域内既为奇函数又为增函数的是A ．y ＝(21)xB ．y ＝sinxC ．y ＝x 3D ．y ＝log 21x3、2log 510＋log 50.25＝A ．0B ．1C ．2D ．44、设偶函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x)＝－)3(1-x f 且当x ∈[―3, ―2]时f(x)＝4x ，则f(119.5)＝A ．10B ．－10C ．101D ．－101 5、若点P 坐标为(cos2013°, sin2013°)，则点P 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、函数y ＝A sin(w x ＋ϕ)(A ＞0, w ＞0, |ϕ|＜π)在一个周期内的图像如图，此函数的解析式为A ．y ＝2sin(2x ＋32π) B ．y ＝2sin(2x ＋3π)C ．y ＝2sin(2x －3π)D ．y ＝2sin(2x －3π)7、函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-1,341,442x x x x x 的图象与函数g(x)＝log 2x 图象交点个数是A ．1B ．2C ．3D ．48、将函数f(x)＝2sin(w x ＋ϕ)的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则w的值不．可能为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．129、函数xxx x ee e e y ---+=的图象大致为10、已知f(x)＝2ax 2―2(4―a)x ＋1, g(x)＝ax ，若对任意x ∈R, f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是A ．(0, 2)B ．(0, 8)C ．(2, 8)D ．(－∞, 0)二、填空题（每小题5分，共25分） 11、若函数f(x)＝a(x －1)＋2(其中a ＞0且a ≠1)的图象经过定点P(m, n),则m ＋n ＝ 。

赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题二、填空题13.{}1,3； 14.2； 15.15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 16.①④. 三、解答题17.解：（1）当3m =时，[]1,4B =-………………………………………………………1分 因为{}26A x x =≤≤………………………………………………………………………3分 所以[]2,4A B =……………………………………………………………………………4分 []1,6A B =-………………………………………………………………………………5分（2）因为B A ⊆，所以当B =∅时，521m m ->+……………………………………6分 所以43m <……………………………………………………………………………………7分 当B ≠∅时，则52152216m m m m -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩……………………………………………………………8分解得4332m ≤≤………………………………………………………………………………9分 综上所述：实数m 的取值范围为32m ≤……………………………………………………10分 18.解：（1）因为1cos 21()2sin(2)262x f x x x -π==-+……………………2分 所以()f x 的最小值正周期T =π……………………………………………………………4分 由2,62x k k ππ-=+π∈Z解得()f x 的对称轴方程为：,32k x k ππ=+∈Z …………………………………………7分 （2）当222262k x k πππ-+π≤-≤+π……………………………………………………9分 即,63k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z 时，()f x 为增函数…………………………………11分 所以()f x 的增区间为,,63k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………………………12分 19.（1）因为()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数所以(0)0f b ==…………………………………………………………………………2分得()f x =3分而12()25f ==，1a =……………………………………………………………5分 10a b =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………6分 （2）()f x 在(1,1)-上为增函数证明如下：由（1）可知2()1x f x x=+…………………………………………………7分 任取12,(1,1)x x ∈-且12x x <……………………………………………………………8分 则1212122212()(1)()()(1)(1)x x x x f x f x x x ---=++…………………………………………………9分 因为12x x <，所以120x x -<…………………………………………………………10分 因为12(1,1)x x ∈-，所以1210x x ->…………………………………………………11分 所以12()()0f x f x -<即()f x 在(1,1)-上为增函数……………………………………………………………12分20.（1）因为()f x 相邻的两对称中心的距离为2π， 所以22T π=，即T =π…………………………………………………………………1分 所以22Tωπ==…………………………………………………………………………2分所以()sin(2)f x x ϕ=+ 因为()sin()1126f ϕππ=+=，所以2,3k k ϕπ=+π∈Z ……………………………3分 因为ϕ<π，所以3ϕπ=………………………………………………………………4分 所以()sin(2)3f x x π=+………………………………………………………………6分 （2）解法一：将函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左平移3π个单位…………………8分 得到sin()3y x π=+的图像……………………………………………………………9分 然后将sin()3y x π=+的图像纵坐标不变横坐标缩短为原来的12…………………11分 得到sin(2)3y x π=+的图像…………………………………………………………12分 解法二：将函数sin y x =的图像纵坐标不变横坐标缩短为原来的12……………8分 得到sin 2y x =的图像………………………………………………………………9分 然后将sin 2y x =的图像纵坐标不变横坐标向左平移6π个单位…………………11分 得到sin(2)3y x π=+的图像…………………………………………………………12分 21.解：（1）40(120,)()80(2030,)x x x g x x x x + ≤<∈⎧=⎨- ≤≤∈⎩N N …………………………………3分 ()()()p x f x g x =⋅221120(120,20()17240(2030,20x x x x p x x x x x ⎧-++ ≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+ ≤≤∈⎪⎩N)N)……………………………………6分 （2）由（1）可知，()p x 在[1,10]上为增函数，在[10,20)上为减函数…………8分 当[1,20)x ∈时，max ()(10)125p x p ==……………………………………………9分 因为()p x 在[]20,30上为减函数，所以当[20,30]x ∈时，max ()(20)120p x p ==……………………………………10分综上所述，当10x =时max ()125p x =………………………………………………12分22.解：（10x x >≥所以()f x 的定义域为R ………………………………………………………………1分()log )a f x x -=log log )()a a x f x ==-=-…………………………………2分 所以对任意x ∈R 有()()f x f x -=-…………………………………………………3分 所以()f x 为R 上的奇函数……………………………………………………………4分（2）因为x ∈R ，所以y ∈R ………………………………………………………5分由log )a y x =得y a x ………………………………………6分y a x =- 两边平方整理后得：11()2y y x a a =- 所以111()(),2x x f x a x a-=-∈R 所以111()()()2x x f x g x a a--=+……………………………………………………7分 假设存在实数a 使得()y f x =的反函数1()y fx -=与()x g x a = 在闭区间[1,2]上分离. 所以1()()2f x g x -->即14x x a a+>在闭区间[1,2]上恒成立……………………8分 令1()x x h x a a=+,x t a =,[1,2]x ∈ 当1a >时，x t a =在[]1,2上为增函数， 2,t a a ⎡⎤∈⎣⎦，所以1()h t t t =+在2,a a ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以min 1()(1)h x h a a==+由14a a+>解得2a >2a <2a >9分 当01a <<时同理可得1()x x h x a a=+在[]1,2上为增函数 所以min 1()(1)h x h a a==+…………………………………………………………10分由14a a+>解得2a >2a <02a <<11分综上所述：存在02a <<2a >()y f x =的反函数1()y f x -=与()x g x a =在闭区间[1,2]上分离………………………………………12分。

{1x <{x x {a a {a a {a a {a a 32，12）（32，－12）3 C.C.33，3333332353524那么)1<f11．已知函数9()4(1)1f x x x x =-+>-+，当x=a 时，()f x 取得最小值，则在直角坐标系中，函数11()()x g x a+=的大致图象为的大致图象为12．关于x 的方程0|1|)1(222=+---k x x ，给出下列四个命题；，给出下列四个命题；①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根个不同的实根 ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根个不同的实根 ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根个不同的实根 ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根个不同的实根 其中假命题的个数是（其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题（5×4＝20分）13．求值5lg 2lg )2log 18(log 823332++-+= ． 14．函数y=xx 2231-÷øöçèæ的值域是的值域是15．设124()lg3x xaf x ++=，且当x ∈（－∞，1］时f （x ）有意义，则实数a 的取值范围是的取值范围是 . 16．给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③ 已知函数(1)y f x =+的定义域为[1,2]，则函数(2)y f x =的定义域为[2,3]；④定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等实数a 、b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则()f x 在R 上是增函数；⑤1()f x x=的单调减区间是(,0)(0,)-¥+¥； 正确的有正确的有 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ， g （x ）=lg [（x －a －1）（2a －x ）]（a <1） 的定义域为B. （1）求A ；（2）若B ÍA ， 求实数a 的取值范围. 18．已知：()()()x x x f --+=1ln 1ln . （1）求)0(f ；（2）判断此函数的奇偶性；）判断此函数的奇偶性； （3）若()2ln =a f ，求a 的值. 19．已知函数f （x ）＝3x ，且f （a ）＝2，g （x ）＝3ax －4x. （1）求g （x ）的解析式；）的解析式；（2）当x ∈[－2，1]时，求g （x ）的值域．）的值域．20．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车? （2）当每辆车的月租金定为多少元时，）当每辆车的月租金定为多少元时， 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少? 21．已知函数0),0(23)(2=++>++=c b a a c bx ax x f ，且0)1()0(>f f . （1）求证：方程0232=++c bx ax 有两个不等实根；有两个不等实根；（2）求证：12-<<-ab求证：； （3）设方程的两根为21,x x ，求证3323321<-£x x . 22．对于在[],a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意的[,,]x a b Î，均有|()()|1f x g x -£，则称()f x 与()g x 在[],a b 上是接近的，否则称()f x 与()g x 在[],a b 上是非接近的．现在有两个函数()log (3)t f x x t =-与1()log ()(01)t g x t t x t=>¹-且，现给定区间[2,3]t t ++． （1）若12t =，判断()f x 与()g x 是否在给定区间上接近；是否在给定区间上接近； （2）若()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上都有意义，求t 的取值范围； （3）讨论()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上是否是接近的．上是否是接近的．2014～2015学年度第一学期高一数学期中答案一、AABDB ， DBBCD BA 二、13． 9 14．（0，3] 15． （－43，+∞） 16． ①④①④ 三、17．解：（1）2－13++x x ≥0， 得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1 即A=（－∞，－1）∪[1，+ ∞） （2） 由（x －a －1）（2a －x ）>0， 得（x －a －1）（x －2a ）<0.∵a <1，∴a +1>2a ， ∴B=（2a ，a +1）. ∵B ÍA ， ∴2a ≥1或a +1≤－1， 即a ≥21或a ≤－2， 而a <1，∴21≤a <1或a ≤－2， 故当B ÍA 时，时， 实数a 的取值范围是:（－∞，－2]∪[21，1） 18． （1）因为()()()x x x f --+=1ln 1ln 所以)0(f =000)01ln()01ln(=-=--+ （2）由01>+x ，且01>-x 知11<<-x 所以此函数的定义域为：（-1，1） 又))1ln()1(ln()1ln()1ln()(x x x x x f --+-=+--=-)(x f -=由上可知此函数为奇函数. （3）由()2ln =a f 知()()a a --+1ln 1ln 2ln 11ln =-+=a a得11<<-a 且211=-+a a 解得31=a 所以a 的值为：3119．解．解 （1）由f （a ）＝2得3a ＝2，a ＝log 32，∴g （x ）＝（3a ）x －4x ＝（3log 32）x －4x＝2x －4x ＝－（2x ）2＋2x . ∴g （x ）＝－（2x ）2＋2x . （2）设2x ＝t ，∵x ∈[－2，1]，∴14≤t ≤2. g （t ）＝－t 2＋t ＝－èæøöt －122＋14，由g （t ）在t ∈ëéûù14，2上的图象可得，当t ＝12，即x ＝－1时，g （x ）有最大值14； 当t ＝2，即x ＝1时，g （x ）有最小值－2. 故g （x ）的值域是ëéûù－2，14. 20．解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，元时， 未租出的车为125030003600=-辆，辆，所以租出了88辆车；辆车；（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为元，则租赁公司的月收益为()()50503000150503000100´---÷øöçèæ--=x x x x f ，整理得，整理得所以当}21|{k x x x ><<或时，()x f 最大，其最大值为()3070504050=f答：当每辆车的月租金定为4050元时，元时， 租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．21．∵,0=++c b a ∴b a c --=，∴b a bx ax x f --+=23)(2（1）043)23(4)33(4)(12422222>úûùêëé++=++=++=D a a b a ab b b a a b ∴方程有两个不等实根；∴方程有两个不等实根；（2）∴0)2)(()1()0(,2)1(,)0(>+--=\+=--=b a b a f f b a f b a f . 12,0)2)(1(,0-<<-\<++\>\a ba b a b a . （3）由题意知，2122122121214)(,3,32x x x x x x ab a x x a b x x -+=-\+-=-=+3)293392a a a a Î\Î339321221x x x x 212)(2212[(]4121log [(]4-57[,]2212[log 6,\<<。

2014-2015学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台2．（5分）若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为（）A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面3．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．4．（5分）用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内一定有无数多条直线与m（）A．平行B．相交C．垂直D．异面5．（5分）一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（）A．9，5B．8，6C．10，4D．7，76．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）A．3B．2C．1D．07．（5分）如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（）A．是真命题B．是假命题C．不一定是真命题D．无法判断8．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）在矩形ABCD中，AB=4，BC=2（如图所示），随机向矩形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知回归直线的回归系数b的估计值是1.23，=5，=4，则回归直线的方程是（）A．y=1.23x+0.08B．y=0.945x+1.23C．y=1.23x+4D．y=0.08x+1.2311．（5分）（文科做）垂直于直线2x﹣6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（）A．3x+y+2=0B．3x﹣y+2=0C．3x+y﹣2=0D．3x﹣y﹣2=012．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6C．D．12二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y=2x+sinx的单调递增区间是．14．（5分）某校举行2015年元旦汇演，气味评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为，方差为．15．（5分）若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．16．（5分）将双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴、虚轴互易，所得双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），我们称这两双曲线互为共轭的双曲线，若两共轭双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）某超市在2015年元旦期间举行抽奖活动，规则是：从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率．19．（12分）某汽车制造厂为了检测A，B两种轮胎的性能，分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面记录的是每个轮胎行驶的最远路程数（单位：100km）；轮胎A：96，112，97，108，100，103，86，98；轮胎B：108，101，94，105，96，93，97，106．（1）分别计算A，B两种轮胎行驶最远路程的平均数、极差；（2）比较A，B两种轮胎的性能，估计哪一种较为稳定．20．（12分）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：平面DBE⊥平面ABE．21．（12分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f （x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．2014-2015学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台【解答】解：圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，但俯视图是中间有一个点的圆形，所以A不对；正四棱锥的主视图和左视图都是等腰三角形，但俯视图是对角线交叉的正方形，所以B不对；正三棱锥的三视图都是等腰三角形，所以C正确；正三棱台的主视图和左视图都是等腰梯形，但俯视图不是三角形，所以D不对．故选：C．2．（5分）若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为（）A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面【解答】解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．故选：A．3．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选：C．4．（5分）用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内一定有无数多条直线与m（）A．平行B．相交C．垂直D．异面【解答】解：用α表示一个平面，m表示一条直线，则α内一定有无数多条直线与m，如果m与平面α相交，则平面α内没有直线与m平行，所以A不正确；如果m与平面α平行，则平面内没有直线与m相交，所以B不正确；不论直线m与平面α的位置关系怎样，平面内存在无数多条直线与m垂直，所以C正确；如果证明m在平面内，则平面内没有直线与m是异面直线，所以D不正确；故选：C．5．（5分）一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（）A．9，5B．8，6C．10，4D．7，7【解答】解：根据分层抽样的定义可知，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲厂抽取的热水器的台数是，乙厂抽取的热水器的台数是14﹣8=6，故选：B．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，x=a满足条件n≤3，x=2a+1，n=2满足条件n≤3，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3满足条件n≤3，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为8a+7=31故可解得：a=3故选：A．7．（5分）如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（）A．是真命题B．是假命题C．不一定是真命题D．无法判断【解答】解：∵一个命题的逆命题是真命题，∴这个命题的逆命题与其否命题构成逆否关系，∵一个命题与其逆否命题的真假性是一样的；∴这个命题的否命题为真命题；故选：A．8．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b是实数，∴“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，∴“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．故选：C．9．（5分）在矩形ABCD中，AB=4，BC=2（如图所示），随机向矩形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（）【解答】解：由已知易得：S ABCD=8=π圆的面积为：S圆故豆子落入圆内的概率P=故选：D．10．（5分）已知回归直线的回归系数b的估计值是1.23，=5，=4，则回归直线的方程是（）A．y=1.23x+0.08B．y=0.945x+1.23C．y=1.23x+4D．y=0.08x+1.23【解答】解：设回归直线方程为=1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5=1.23×4+a∴a=0.08∴回归直线方程为y=1.23x+0.08．故选：A．11．（5分）（文科做）垂直于直线2x﹣6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（）A．3x+y+2=0B．3x﹣y+2=0C．3x+y﹣2=0D．3x﹣y﹣2=0【解答】解：因为所求直线垂直于直线2x﹣6y+1=0，所以其斜率为k=﹣3，又由曲线y=x3+3x2﹣1求导数得y'=3x2+6x，由3x2+6x=﹣3，解得x=﹣1，则切点为（﹣1，1），所以切线方程为y﹣1=﹣3（x+1），即3x+y+2=0，故选：A．12．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6C．D．12【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y=2x+sinx的单调递增区间是（﹣∞，+∞）．【解答】解：y=2x+sinx的定义域为R，∵y′=2+cosx，且cosx∈[﹣1，1]∴y′＞0∴函数y=2x+sinx的单调递增区间是（﹣∞，+∞）故答案为（﹣∞，+∞）14．（5分）某校举行2015年元旦汇演，气味评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，方差为 1.6．【解答】解：由茎叶图可知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据为84，84，86，84，87．平均数为80+=85；方差为=1.6．故答案为：85；1.6．15．（5分）若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是{a|a＜0} ．【解答】解：由题意该函数的定义域x＞0，由．因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数存在零点．再将之转化为g（x）=﹣2ax与存在交点．当a=0不符合题意，当a＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a＜0．故答案为：{a|a＜0}16．（5分）将双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴、虚轴互易，所得双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），我们称这两双曲线互为共轭的双曲线，若两共轭双曲线的离心率分别为e1、e2，则=1．【解答】解：根据题意，可得互为共轭的两个双曲线方程分别为﹣=1和﹣=1，（a、b都是正数），则它们的离心率满足e12=，e22=，则=+==1，故答案为：1．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知命题p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q 的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：¬p：|4﹣x|＞6，解得x＞10，或x＜﹣2，记A={x|x＞10，或x＜﹣2}．q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而非p是q的充分不必要条件，而¬p⇒q，∴A⊊B，∴，∴0＜a≤3．18．（12分）某超市在2015年元旦期间举行抽奖活动，规则是：从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率．【解答】解：（1）从四个小球中任选两个，基本事件总数n==6，中三等奖，即两个小球队的号码之和等于3，两个小球的号码之和等于3的取法有2种：（0，3）和（1，2），∴中三等奖的概率P1==．（2）两个小球号码之和等于是的取法有一种（0，1），两个小球的号码之和等于的取法有一种（0，2），故中奖的概率为；P2=1﹣=．19．（12分）某汽车制造厂为了检测A，B两种轮胎的性能，分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面记录的是每个轮胎行驶的最远路程数（单位：100km）；轮胎A：96，112，97，108，100，103，86，98；轮胎B：108，101，94，105，96，93，97，106．（1）分别计算A，B两种轮胎行驶最远路程的平均数、极差；（2）比较A，B两种轮胎的性能，估计哪一种较为稳定．【解答】解：（1）轮胎A的平均最远路程为x A=（96+112+…+98）=100，轮胎B的平均最远路程为x B=（108+101+…+106）=100，轮胎A的平均最远路程的极差为112﹣86=26，轮胎B的平均最远路程的极差为108﹣93=15；（2）轮胎A的平均最远路程的方差为：=（42+122+…+22）=55.25，轮胎B的平均最远路程的方差为：=（82+12+…+62）=29.5，由于＜，∴B种轮胎的性能较为稳定．20．（12分）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：平面DBE⊥平面ABE．【解答】（1）证明：取AB中点G，连线FG、CG，F为BE中点，∴GF∥AE，GF=AE，又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，且CD=AE，∴GF∥CD，GF=CD，∴四边形CDFG为平行四边形∴DF∥CG，又DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC∴DF∥平面ABC．（2）证明：取AB中点G，由（1）可知四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．又△ABC为正三角形，G为AB中点∴CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE又CG∥DF，∴DF⊥平面ABE，又DF⊂平面DBE，∴平面DBE⊥平面ABE．21．（12分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f （x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=e x+2x2﹣3x，得f'（x）=e x+4x﹣3，则f′（1）=e+1，又f （1）=e﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为：y﹣e+1=（e+1）（x﹣1），即：（e+1）x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e x+2x2﹣3x，∵x≥1，∴令，则，∵x≥1，∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，∴g（x）min=g（1）=e﹣1，∴a的取值范围是a≤e﹣1．22．（12分）如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．【解答】解：（1）设P点到抛物线的准线x=﹣的距离为d，由抛物线的定义知d=|PF|，∴（|PA|+|PF|）min=（|PA|+d）min=+4，∴+4=8⇒p=8，∴抛物线的方程为y2=16x．…（6分）（2）由（1）得F（4，0），设直线l的方程为y=k（x﹣4），显然k≠0．设M（x1，y1），N（x2，y2），把直线方程代入抛物线，得k2x2﹣（8k2+16）x+16k2=0，x1+x2=，x1•x2=16，∴|MN|=×=×=×=×16=≥32，∴k2≤1，即﹣1≤k≤1，∴直线l斜率的取值范围为[﹣1，0）∪（0，1]，∴直线l倾斜角的取值范围为：（0，]∪[，π）…（13分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题二、填空题13.； 14.； 15.； 16.①④.三、解答题17.解：（1）当时，………………………………………………………1分 因为………………………………………………………………………3分所以……………………………………………………………………………4分 ………………………………………………………………………………5分（2）因为，所以当时，……………………………………6分所以……………………………………………………………………………………7分当B ≠∅时，则52152216m m m m -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩……………………………………………………………8分 解得………………………………………………………………………………9分 综上所述：实数的取值范围为……………………………………………………10分18.解：（1）因为1cos 21()2sin(2)262x f x x x -π=+=-+……………………2分 所以的最小值正周期……………………………………………………………4分 由2,62x k k ππ-=+π∈Z 解得的对称轴方程为：…………………………………………7分（2）当222262k x k πππ-+π≤-≤+π……………………………………………………9分 即,63k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z 时，为增函数…………………………………11分 所以()f x 的增区间为,,63k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………………………12分 19.（1）因为是定义在上的奇函数所以…………………………………………………………………………2分 得…………………………………………………………………………3分而，……………………………………………………………5分………………………………………………………………………………………6分（2）在上为增函数证明如下：由（1）可知…………………………………………………7分 任取且……………………………………………………………8分则1212122212()(1)()()(1)(1)x x x x f x f x x x ---=++…………………………………………………9分 因为，所以…………………………………………………………10分 因为，所以…………………………………………………11分所以即在上为增函数……………………………………………………………12分20.（1）因为相邻的两对称中心的距离为，所以，即…………………………………………………………………1分 所以…………………………………………………………………………2分 所以 因为()sin()1126f ϕππ=+=，所以……………………………3分 因为，所以………………………………………………………………4分 所以………………………………………………………………6分（2）解法一：将函数的图像纵坐标不变，横坐标向左平移个单位…………………8分 得到的图像……………………………………………………………9分 然后将的图像纵坐标不变横坐标缩短为原来的…………………11分 得到的图像…………………………………………………………12分 解法二：将函数的图像纵坐标不变横坐标缩短为原来的……………8分 得到的图像………………………………………………………………9分 然后将的图像纵坐标不变横坐标向左平移个单位…………………11分得到的图像…………………………………………………………12分21.解：（1）40(120,)()80(2030,)x x x g x x x x + ≤<∈⎧=⎨- ≤≤∈⎩N N …………………………………3分 221120(120,20()17240(2030,20x x x x p x x x x x ⎧-++ ≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+ ≤≤∈⎪⎩N)N)……………………………………6分 （2）由（1）可知，在上为增函数，在上为减函数…………8分当时，max ()(10)125p x p ==……………………………………………9分 因为在上为减函数，所以当时，max ()(20)120p x p ==……………………………………10分 综上所述，当时………………………………………………12分22.解：（10x x >≥所以的定义域为………………………………………………………………1分()log )a f x x -=log log )()a a x f x ==-=-…………………………………2分 所以对任意有…………………………………………………3分所以为上的奇函数……………………………………………………………4分（2）因为，所以………………………………………………………5分 由得………………………………………6分所以两边平方整理后得： 所以111()(),2x x f x a x a-=-∈R 所以111()()()2x x f x g x a a --=+……………………………………………………7分 假设存在实数使得的反函数与在闭区间上分离.所以即在闭区间上恒成立……………………8分令, ,当时，在上为增函数，，所以在上为增函数，所以由解得或，所以……………………9分当时同理可得在上为增函数所以…………………………………………………………10分由解得或，所以………………11分综上所述：存在或使得的反函数与在闭区间上分离………………………………………12分。

2013-2014学年度第一学期期末联考高一数学试题第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．每小题只有一个正确答案） 1．若{}{}0,1,2,12,A B x x==?则A B?（ ）A ．{}1B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,22．sin15cos15oo值为（ ）A ．12B ．14C ．2D ．43． 函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)4．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为（ ） A ．5B ．5-C ．4D ．4-5．已知8.028.01.1,8.0log ,7.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<6．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为： ()()123sin 100,3cos 100y t y t =π=π，则这两个声波合成后即21y y y +=的振幅为（ ）A ． 3B ．6C ．23D ． 8．下列函数中，不具有奇偶性的函数是 ( )A ．e e xxy -=-B ．1lg1xy x+=-C ．cos 2y x =D ．sin cos y x x =+9．若sin()(0,0,||)2y A x A ωϕωϕπ=+>><的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图像过点（0，1），则其解析式是（ ）A ．2sin()6y x π=+B ．2sin()3y x π=+ C ．2sin()26x y π=+ D ． 2sin()23x y π=+10．如右图，点P 在半径为1的半圆上运动，AB 是直径， 当P 沿半圆弧从A 到B 运动时，点P 经过的路程x 与APB ∆的面积y 的函数()y f x =的图像是下图中的（ ）C112yxππ2OD1yxππ2O第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题后横线上）xOP11． 23(log 9)(log 4)⋅= ． 12．把函数y ＝3sin2x 的图象向左平移6π个单位得到图像的函数解析是 ． 13．已知tan 2α=，则cos2α= ．14． 若函数()x f 满足(1)()f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()f x x =， 则()()()234f f f ++= ．15．函数()|cos |cos f x x x =-具备的性质有 ． （将所有符合题意的序号都填上） （1）()f x 是偶函数；（2）()f x 是周期函数，且最小正周期为π； （3）()f x 在[,]2ππ上是增加的； （4）()f x 的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．已知集合{}12M x x =<<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=423x x N ． （1）求A B È；（2）设集合{}2P x a x a =<<+，若()P A B 腿，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知1tan 2,tan 3αβ=-=，其中0,0αβ<<π<<π． （1）求tan()αβ-的值；（2）求角αβ+的值．18．（本小题满分12分）已知函数()sin()sin()32f x x x ππ=++． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()()4g x f x =-，求()g x 在区间[0,]2π上的值域．19．（本题满分12分）辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下:(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由:①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③log b y a x =．(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．20． (本小题满分13分) 已知函数21,0()21,1x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤，满足9()28c f =．(1)求常数c 的值； (2)解关于x的不等式()18f x >+．21． (本小题满分14分)已知函数()||1mf x x x=+-(0)x ≠． （1）当2m =时，判断()f x 在(,0)-∞的单调性，并用定义证明． （2）若对任意x ∈R ，不等式 (2)0xf >恒成立，求m 的取值范围； （3）讨论()f x 零点的个数．2013-2014学年度第一学期期末联考高一数学参考答案参考答案： 一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A 二、填空题 11．4 12．6π 13．35- 14．1 15．（1）（3）（4） 三、解答题 16．解：（1）{}14A B x x ?<< ……………………6分（2）由（1）{}14A Bx x ?<<， ……………………9分124a a ì³ïï\íï+?ïî 12a \＃ ……………………12分17．解：（1）12tan tan 3tan()711tan tan 1(2)3αβαβαβ----===-++-⋅ ……………………5分（2）12tan tan 3tan()111tan tan 1(2)3αβαβαβ-+++===----⨯ ……………………10分因为1tan 20,tan 03αβ=-<=>， 所以2απ<<π，02βπ<< 所以22αβπ3π<+<，故4αβ3π+= ……………………12分18．解：1()(sin )cos 22f x x x x =+……………………2分21sin cos cos 22x x x =+1sin 2(1cos 2)44x x =++ ……………………4分1sin(2)23x π=++ ……………………6分 （1）所以22T π==π． ……………………8分（2）1()sin(2)23g x x π=+，因为02x π≤≤，所以2333x ππ4π+≤≤，所以sin(2123x π-+≤)≤，11sin(24232x π-+≤)≤， 所以()g x 在区间[0,]2π上的值域为1[]42-． ……………………12分 19．解:(1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ax b =+和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴2y ax bx c =++． ……………………4分(2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入2y ax bx c =++中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++90361296511010090416c b a c b a c b a …………………… 6分 解得41=a ，10-=b ，126=c ……………………8分∴221110126(20)2644y x x x =-+=-+，........................10分 ∴当20x =时，y 有最小值min 26y =． (11)分答：辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．…………12分20．解： (1)∵9()28c f =，即9128c c ⋅+=， 解得12c =． ……………………5分(2)由(1)得4111,022()121,12x x x f x x -⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤，由()18f x >+，得当102x <<时，解得142x <<； ……………………9分当112x <≤时，解得1528x <≤． ……………………12分∴不等式()1f x >+的解集为5{|}8x x <<． ……………………13分21．解析：（1）当2m =，且0x <时，2()1f x x x=-+-是单调递减的．………………… 1分证明：设120x x <<，则12121222()()1(1)f x f x x x x x -=-+---+- 211222()()x x x x =-+-2121122()()x x x x x x -=-+21122()(1)x x x x =-+ ………………3分又120x x <<，所以210x x ->，120x x >，所以21122()(1)0x x x x -+> 所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故当2m =时，2()1f x x x =-+-在(,0)-∞上单调递减的． ……………………4分（2）由(2)0x f >得|2|102xx m +->，变形为2(2)20x x m -+>，即22(2)x x m >-而22112(2)(2)24x x x-=--+，当122x =即1x =-时2max 1(2(2))4x x -=，所以14m >． ……………………9分（3）由()0f x =可得||0(0)x x x m x -+=≠，变为||(0)m x x x x =-+≠令22,0()||,0x x x g x x x x x x x ⎧-+>⎪=-=⎨+<⎪⎩作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得：当14m >或14m <-时，()f x 有1个零点．当14m =或0m =或14m =-时，()f x 有2个零点；当104m <<或104m -<<时，()f x 有3个零点． ……………………14分。