相似三角形----平行截割

1.1.1 平行截割定理自主整理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条（与这组平行线相交的）直线上截得的线段也____________.2.平行截割定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段_________.3.平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边____________.4.三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于____________.5.经过梯形一腰中点而平行于底边的直线_________另一腰；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的_________.答案：1.相等2.成比例3.成比例4.夹角两边长度的比5.平分一半高手笔记1.平行线等分线段定理符号语言：已知l1∥l2∥l3,直线m,n分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和A′、B′、C′,如果AB=BC，那么A′B′=B′C′,图形语言（如图1.1-1），注意（2）（3）（4）（5）是定理图形的变形.图1.1-12.平行线等分线段定理的推论平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下：推论1：如图1.1-2（1），在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′交AC′于B′点，求证：B′是AC′的中点.证明：如图1.1-2（2），过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1.1-2推论2：如图1.1-3，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′,AB=BC，BB′∥CC′. 求证：B′是A′C′的中点.证明：∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′,BB′∥CC′,∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.图1.1-33.平行截割定理（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.图1.1-4（2）符号语言表示：如图1.1-4所示，a∥b∥c，则EFDEBC AB =. (3)定理的证明：若BCAB是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程还需到高等数学中实现.（4）定理的条件：与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多.（5）定理比例的变式：对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化（如图1.1-4）：如果已知a∥b∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFECA CB EF DE BC AB ==,等，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===,,等，便于记忆. 4.平行截割定理的推论图1.1-5（1）如图1.1-5，D 、E 分别为△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥BC,则AD:AB=AE:AC=DE:BC. (2)如图1.1-6，AD 是△ABC 的角平分线，则ACBADC BD =.图1.1-6图1.1-7(3)如图1.1-7,四边形ABCD 为梯形，AB∥CD,若E 为AD 的中点且EF∥AB，则F 为BC 的中点；若EF 为梯形ABCD 的中位线，则EF=2DCAB +. (4)若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行.（5）若梯形ABCD 中，底AD=a,BC=b,点E 、F 分别在腰AB ，CD 上，且EF∥AD,若AE:EB=m:n ，则EF=nm namb ++.名师解惑1.平行截割定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行截割定理？ 剖析:我们学习的平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.（如图1.1-8，若l 1∥l 2∥l 3，AB=BC ，则DE=EF ）图1.1-8 图1.1-9平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图1.1-9，若l 1∥l 2∥l 3,则EFDEBC AB =. 比较这两个定理可知：当截得的对应线段成比例，比值为1时，则有截得的线段相等，即当EFDEBC AB ==1时，则有AB=BC ，DE=EF ，因此平行截割定理是平行线等分线段定理的扩充，而平行线等分线段定理是平行截割定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据，而平行截割定理是证明线段成比例的途径.在使用平行截割定理时，要特别注意“对应”的问题，如图1.1-9中的线段AB 、BC 、AC 的对应线段分别是DE 、EF 、DF.由平行截割定理有DFEFAC BC DF DE BC AB DE EF AB BC ===,,.根据比例的性质，还可以得到DFACEF BC DF AC DE AB EF BC DE AB ===,,. 为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把DFDEAC AB =说成是“上比全等于上比全”，把EFBCDE AB说成是“左比右等于左比右”，使用这种形象化语言，不仅能够按要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.2.证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？我们现在学习的平行截割定理及推论能发挥什么作用？剖析:根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有（或添作）平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出.3.三角形中位线是三角形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？图1.1-10剖析:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同（如图1.1-10）.三角形中位线定理的内容是：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 证明：如图1.1-10，DE 是中位线，E 是AC 的中点，过点D 作DE′∥BC,则E′也是AC 的中点，所以E 与E′重合，DE′与DE 重合. 所以DE∥BC.同理，过点D 作DF∥AC,交BC 于F ，则BF=FC.因为DE∥FC,DF∥EC,所以四边形DFCE 是平行四边形. 所以DE=FC. 又因为FC=21BC ，所以DE=21BC. 上述过程中，DE′与DE 重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想.该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图1.1-11所示的几种辅助线代表几种不同的证法.延长中位线DE 延长中位线DE到F ，使EF=DE. 到F ，使EF=DE 得ADCF.作CF∥AB 与DE 的延长线交于点F.图1.1-11三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，其特点是：同一题设，两个结论.一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论1：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.4.梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？ 剖析:梯形中位线的定义是：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线.分析如下：设法把梯形中位线转化为三角形中位线.图1.1-12如图1.1-12，欲使MN 成为某一个三角形的中位线，则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形第三边上，若连结AN 并延长交BC 的延长线于E （梯形的这种辅助线也经常用到），就能得到这样的△ABE.这时只要证明AN=EN ，AD=EC ，问题就解决了.关于梯形中位线与三角形中位线的一致性： 由梯形中位线公式MN=21（BC+AD ）可知，当AD 退缩为一点时，其长度为零，则公式变为MN=21BC.这就是三角形中位线公式，这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致性，反映了其间的辩证关系.平行线等分线段定理的推论中“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，即梯形中位线.或说成“过梯形一腰中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线. 讲练互动【例1】如图1.1-13，已知在△ABC 中，D 是AC 的中点，DE∥BC 交AB 于点E ，EF∥AC 交BC 于点F.求证：BF=CF.图1.1-13分析：利用平行线等分线段定理证明.证明：过A 作AP∥BC，过B 作BQ∥AC.已知AP∥BC∥DE 且AD=DC ，由平行线等分线段定理知AE=EB ，又已知BQ∥EF∥AC 且AE=EB ，由平行线等分线段定理知：BF=FC.故有BF=CF 成立. 绿色通道利用平行线等分线段定理证明线段相等，关键是找出三条平行的直线l 1∥l 2∥l 3,如果已知条件中只有两条平行线（如例1中DE∥BC）应再作辅助线（AP ）构造出三条平行线（AP∥DE∥BC），方可利用平行线等分线段定理. 变式训练图1.1-141.如图1.1-14，在中，E 和F 分别是BC 和AD 边的中点，BF 和DE 分别交AC 于P 、Q两点.求证：AP=PQ=QC.证明:过A 作AK∥BF,过C 作CM∥DE.已知AK∥BF∥DE,且F 为AD 的中点，由平行线等分线段定理得AP=PQ. 又已知：CM∥DE∥FB,且E 为BC 中点，由平行线等分线段定理得：PQ=QC. 故AP=PQ=QC.【例2】如图1.1-15，l 1∥l 2∥l 3，n m BC AB =,求证：nm mDF DE +=. 分析：利用平行截割定理及合比性质证明.图1.1-15证明：∵l 1∥l 2∥l 3，∴n mBC AB EF DE ==. ∴m n DE EF =,由合比性质：m n m DE DE EF +=+, 即m n m DE DF +=.∴nm m DF DE +=. 绿色通道本题巧妙地利用了比例的性质（合比性质）dd c b b a d c b a +=+⇒=进行了线段比例的转化. 变式训练图1.1-16 2.如图1.1-16,DE∥BC,EF∥DC,求证：AD 2=AF·AB.证明:∵DE∥BC,∴ACAEAB AD =（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例）. ∵EF∥DC，∴AC AE AD AF =.∴ABAD AD AF =,即AD 2=AF·AB.图1.1-17【例3】如图1.1-17所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD=DC ，求证：AE·FB=EC·FA. 分析：本题只要证EC AE =FB FA 即可.由于EC AE 与FBFA没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.证明：过A 作AG∥BC，交DF 于G 点.∵AG∥BD,∴FB FA =BD AG . 又∵BD=DC,∴FB FA =DCAG.∵AG∥BD,∴DC AG =ECAE.∴EC AE =FB FA ,即AE·FB=EC·FA.绿色通道本题还可以过A 作AK∥FD,利用FB FA =BD DK =DC DK 及DC DK =ECAE. 可得：FB FA =ECAE 可证得AE·FB=EC·FA. 变式训练图1.1-183.如图1.1-18，四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD 、BC 分别交于E 、F ，与CD 的延长线交于K.求证：KO 2=KE·KF.证明:延长CK 、BA ，设它们交于H ，∵KO∥HB,∴HB KO =DH DK ,HA KE =DHDK. ∴HB KO =HA KE ,即HAHB KE KO =. ∵KF∥HB，同理可得HAHBKO KF =. ∴KOKF KE KO =，即KO 2=KE·KF. 【例4】如图1.1-19,在直角梯形ABCD 中，AB∥DC,∠ABC=90°,AB=a,DC=b,BC=c,OE⊥AB 于E ，OF⊥BC 于F.求：OE 、OF 的长.图1.1-19分析：利用平行截割定理及合分比定理求解. 解：设OE=x,OF=y, ∵AB∥CD, ∴ABCDOA CO =, ∵OE⊥AB, ∴OE∥BC, ∴AOACOE BC =, 由合分比定理：AOOCOE OE BC =-, 故OE OE BC AB CD -=,即ba ac x x x c ab +=-=,, 同理，y=ba ab+.绿色通道本题巧妙地利用了平行截割定理及合分比定理把两个比例式OA CO AB CD =与AOACOE BC =.联合在一起得到OEOEBC AB CD -=，进而可求OE 的长. 变式训练4.如图1.1-20，已知AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9,32=AB AE ,求GF 的长.图1.1-20解:∵AD∥EG∥BC,∴AB AE BC EG =,BA BEAD EF =. ∵32=AB AE ,∴AB BE =31, ∴AD EF =31,32=BC EG , ∵AD=6,BC=9, ∴EF=2,EG=6, ∴GF=EG -EF=4.【例5】已知△ABC 中，D 、E 是BC 、AC 上的点，AD 与BE 交于G ，BD=3DC ，如图1.1-21， 若AG=GD ，求GEBG的值.图1.1-21分析：由于AG 、GD 、BG 、GE 四条线段位于两条相交直线上，所以应从交点G 开始考虑如何利用平行线构造基本图形，因为欲求BG:GE ，故过G 作AC 或BC 的平行线都可构造基本图形使已知与未知相联系.解：过G 点作GF∥AC 交DC 于F ，∵G 为AD 中点， ∴DF=FC,∵BD=3DC,∴21321=DC BD ， 212132121+=+DC DC BD 即17=FC BF . ∵FC BF GE BG =，∴17=GE BG . 绿色通道通过作平行线将比移至两平行线或移至某一条直线上证明比例线段的方法叫移比法，当已知比和未知比个数较多时，为了找出这些比的关系，常用移比法将这些比移至某一条直线上.变式训练图1.1-225.若把例5中的条件“AG=GD”改为“EC AE =23，再求GEBG的值，如图1.1-22. 解:过E 作EH∥DC 交AD 于H ，∵EC AE =23,∴53=DC EH . ∵BD=3DC, ∴5331=BD EH ,即BD EH =51, ∵EH∥BC,∴BD EH =BG GE =51. 即GE BG =15. 教材链接思考：D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 延长线上或其反向延长线上的点，且DE∥BC,这时是否仍有AD:AB=AE:AC=DE:BC 成立？图1.1-23答:仍然成立. （1）若D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线上如图1.123,过点A 作直线AP∥BC,过点D 作DQ∥AC,由平行截割定理知： AB:AD=AC:AE.由比例的性质知AD:AB=AE:AC 成立，又过B 点作BF∥AC,交DE 于F 点，则四边形BCEF 为平行四边形，故BC=EF ，由平行截割定理知 EF:ED=AB:AD,即有ED:EF=AD:AB 成立. 亦即有：ED:BC=AD:AB 成立.所以有AD:AB=AE:AC=DE:BC 成立.（2）若D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，如图1.1-24.图1.1-24过点A作AP∥BC,过B点作直线BQ∥AC,由平行截割定理，得AD:AB=AE:AC.又过点D作DF∥AC,交BC的延长线于F，则四边形DECF为平行四边形，故CF=DE. 由平行截割定理知CF:CB=AD:AB,即DE:BC=AD:AB.综上所述有AD:AB=AE:AC=DE:BC.。

相似三角形的判定及有关性质【学习目标】1. 了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2. 理解并掌握相似三角形的判定及性质。

【要点梳理】要点一、平行截割定理 1。

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．要点诠释：由上述定理可知：在证明有关比例线段时，辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.要点二、相似三角形 1.定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。

要点诠释：关于相似三角形要注意以下几点：① 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③ 两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．2．相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似。

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

③三边对应成比例的两个三角形相似。

④平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3．相似直角三角形的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相像三角形及平行线截相像三角形教课目的【知识与技术】掌握平行线截相像三角形实用的结论 ; 可以运用三角形相像的条件解决简单的问题 .【过程与方法】经历两个三角形相像的研究过程, 进一步发展学生的研究、沟通能力.【感情、态度与价值观】培育学生敢于实践、勇于发现、勇敢研究、合作创新的精神.要点难点【要点】三角形相像的实用的结论 : 平行于三角形一边的直线与其余凉拌（或两边的延伸线）香蕉，截得的三角形与原三角形相像 .【难点】三角形相像的实用的结论的运用.教课过程一、创建情境 , 引入新课师: 依据相像三角形的定义, 三角分别相等、三边成比率的两个三角形叫做相像三角形 . 那么 , 两个三角形起码要知足哪些条件就相像呢 ?可否类比两个三角形全等的条件找寻判断两个三角形相像的条件呢?今日这节课我们就一同来研究三角形相像的条件 .二、研究新知问题 . 如图 , 在△ ABC中 ,D 为 AB上随意一点 , 过点 D作 BC的平行线交 AC 于点 E, 那么△ ADE与△ ABC相像吗 ?要证△ ADE与△ ABC相像 , 要点是要证明它们的对应边长度的比相等 , 由于它们的对应角是分别相等的 ( 为何 )?过点 D 作 AC的平行线交 BC于点 F.∵DE∥BC,DF∥AC,∴,.∵四边形 DFCE是平行四边形 ,∴DE=FC,即=.∵,又∵∠ A=∠ A, ∠B=∠ ADE,∠ C=∠AED,∴△ ADE∽△ ABC.于是获得以下实用结论 :平行于三角形一边的直线与其余两边 ( 或两边的延伸线 ) 订交 , 截得的三角形与原三角形相像 .三、例题解说【例】如图 ,D、E分别是△ ABC的边 AB、AC上的点 ,DE∥BC,AB=7,AD=5,DE=10,求 BC的长 .解: ∵DE∥BC,∴△ ADE∽△ ABC,∴,∴BC===14.四、稳固练习已知 , 如图 , △ABC中,DE∥BC,DF∥AC,则图中共有对相像三角形.【答案】 4 点拨 : 两条直线平行时 , 相应的角相等 .五、讲堂小结本节课学习了 :平行于三角形一边的直线与其余两边 ( 或两边的延伸线 ) 订交 , 截得的三角形与原三角形相像 .教课反省本节课主假如研究平行线截得相像三角形 , 本课教课力争使研究门路多元化 , 让学生充足感觉研究的全面性 , 丰富研究的内涵 . 此外小组合作学习的展开不单提升了数学实验的效率 , 并且培育了学生的合作能力 .。

第1讲相似三角形的判定及有关性质[最新考纲]了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.诊断自测1. 如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案3 22.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC 等于________．解析∵△ABC∽△AFE，∴BC EF ＝3 2.又EF＝8，∴BC＝12.答案123. (2014·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC ＝________.解析在Rt△ADB中，DB＝AB2－AD2＝7，依题意得，△ADB∽△ACE，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD ＝27. 答案 274.如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3.答案 1∶ 35. (2014·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC ＝________.解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.答案12考点一平行截割定理的应用【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧DE∥BC，EF∥CD，BC＝3，DE＝2⇒AEAC＝AFAD＝DEBC＝23，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，又ADAB＝23，∴AB＝92.答案92规律方法利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．解析如图，延长AD，BC交于一点O，作OH⊥AB于点H.∴xx＋h1＝23，得x＝2h1，x＋h1x＋h1＋h2＝34，得h1＝h2.∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1， ∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 答案 7∶5考点二 相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点， ED 、CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等． 【训练2】 (2013·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析 ∵PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ，又∠C ＝∠A ，则有∠A ＝∠PED ，又∠为公共角，所以△PDE∽△PEA，PD PE＝PEP A，即PE2＝PD·P A＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案 6考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD 交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.证明∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF，∴AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝45，则CD＝______，BC＝______.解析在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝ADAC＝45，得AC＝5，CD＝AC2－AD2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB ，△DAB 中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD ∽△ABD ，再结合第(1)问结论得证． 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝AB BD ， 即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 综合(1)的结论知，AC ＝AE .[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD ∽△ABD ，从而无法解答．(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立． 2．防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用． 【自主体验】(2013·江苏卷)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD证明 连接OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以AD AC ＝OD BC . 又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD .一、填空题1．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形为________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE . 答案 △FCD 、△FBE 、△ABD 2.(2014·西安模拟)如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________． 解析 ∵M ，N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.答案 1∶4 3.(2014·渭南模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.解析 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC . 又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.答案 24.(2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝a2，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝12DB＝1 2a.答案a 25．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案96．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED ＝________.解析 在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212.答案2127.(2014·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________. 解析 ∵AB ∥CD ∥EF ，∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ，∴4EF ＝BC BC －BF，BC BF ＝12EF ， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ，∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF ＝3.答案 38.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.解析∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，OA∶OC＝AD∶BC＝12∶20，△OAE∽△CAB，OE∶BC＝OA∶CA＝12∶32，∴EF＝2×1232×20＝15.答案159．(2012·广东卷)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝________.解析连接AO，AC，因为∠ABC＝30°，所以∠CAP＝30°，∠AOC＝60°，△AOC 为等边三角形，则∠ACP＝120°，∴∠APC＝30°，∴△ACP为等腰三角形，且AC＝CP＝1，∴P A＝2×1×sin 60°＝ 3.答案 3二、解答题10.如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠ABC＝∠BCD.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.11．(2013·辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.12.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB.∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC. ∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD.。