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第一章 复数与复变函数

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复数与复变函数

复数与复变函数

非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数

第一章-复数与复变函数

第一章-复数与复变函数

复变函数教案2012—2013学年度第二学期任课教师郭城课程名称复变函数采用教材高教三版（钟玉泉编）周课时数 4数统学院数学教育专业2010 年级1班引言数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。

解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。

我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac<O，就会遇到负数开平方的问题，最简单的一个例子是在解方程x2+1=0时，就会遇到开平方的问题。

1545年，意大利数学物理学家H Cardan（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程=0的根，它求出形式的根为5和5，积为-+115x x(10)4--=．然而这只不过是一种纯形式的表示而已，当时，谁也说不上这25(15)40样表示究竟有什么好处。

为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。

但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。

直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。

另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。

复变函数论产生于十八世纪。

1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。

而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。

因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。

到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。

《复变函数》第1章

《复变函数》第1章

实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z)
纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第2页
共轭复数： x iy x iy
z=0 x=y=0
z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2
连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
2020/7/21
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞
α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞
解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i
的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆.
代数推导: 设 z = x + iy
则 | x + (y + 1)i | = 2
(见书P10 图1.5)
x2 + (y + 1)2 = 4
解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
复变函数
（第四版）
电子教案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念
i — 虚数单位
i 2 =－1

复变函数 第1章 复数与复变函数

复变函数 第1章 复数与复变函数
6
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2

1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .

1.3.2 单连通域与多（复）连通域

1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s

第1章复数与复变函数汇总

第1章复数与复变函数汇总
2 2
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n


w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上

复变函数-第一章-复数与复变函数

复变函数-第一章-复数与复变函数

y
28
1 i
2
q

4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1

z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1

z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。

《复变函数》第一章 复数与复变函数


(1.14)
若 z 为指数形式， z rei ， w f (z) 则又可表为 w p(r,) i(r,) (1.15)
其中 p(r, ) ，Q(r, ) 均为 r 、 的二元实函数． 由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面 z 上的
z 1
均为多值函数．
今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．
设 w f (z) 是定义在点集 E 上的函数，若令 z x iy ，w u iv
则 u 、 v 均随着 x 、 y 而确定，即 u 、v 均为 x 、y 的
二元实函数，因此我们常把 w f (z) 写成
f (z) u(x, y) iv(x, y)
z2

Argz1 Argz1

Argz2 Argz2

(1.11)
公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数 z1 ， z2 的乘积（或商），其模等
于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或
差）．
特别当 z2 1 时可得 z1z2 rei(12 )
cos3 cos3 3cos sin2 4cos3 3cos
sin 3 3cos2 sin sin3 3sin 4sin3
4.曲线的复数方程
例1.2 连接 z1 及 z2 两点的线段的参数方程为 z z1 t(z2 z1) (0 t 1)
区域．
例如，例1.5—1.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连 通区域．
作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9
§3 复变函数
1．复变函数概念

高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数

第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。

复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。

复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。

2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。

作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。

3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。

向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。

复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。

明德 第一章 复数与复变函数

y 虚轴
P x, y
复数z x iy可用xoy平面上 坐标为( x，y )的点p表示.此时，
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 平 面— 复 平 面 或 z平 面
0
z x iy
x 实轴

数z与点z同义
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) oP { x , y } 显然下列各式成立 可 用 向 量 oP表 示z x iy。 x z, y z, 称向量的长度为复数z=x+iy 的模或绝对值； 2 以x轴正方向为始边,OP 为终边的的夹角 θ 称为复数 2 z z z z . z x y, z=x+iy的辐角. y 虚轴 uu r
2 2
法 2. 将 z x iy 代入得： x y 1 i 2
x y 1 i 4 即 x y 1 4
2 2 2
2
z 2i z 2
解: 由几何意义， z 2i z 2 即 z 2i z 2
0
特别的，以z0为圆点？
z z0 Re i 0 2 , 为参数
x
0 2 , 为参数
例5 指出下列方程表示的曲线
1
解:法 1.
zi 2
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
距离为2的点的轨迹, 即圆 x y 1 4
n
k 0,1,,n 1
(1) 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。
n n (2)几何上， z 的n个值是以原点为中心， r 为半 径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。

复变函数第一章


1.1.4.复数四则运算的几何意义 .1.4.复数四则运算的几何意义 , θ θ 设有两个复数 z1 = r1(cos 1 + i sinθ1） z2 = r2 (cos 2 + i sinθ2）
则，z1 z 2 = r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
例1：下列复数化为三角表示式与指数表示式
2i ( 1 ) z = − 12 − 2i, ( 2 ) z = , ( 3 ) z = −3 + 4i −1+ i
例3：求下列方程所表示的曲线
(1) |z + i| = 2, ( 2) |z − 2i| = |z + 2|, ( 3 ) Im(i + z) = 4
________
7 1 z1 ∴ ( )=− + i z2 5 5
__ 1 3i 例2： z = - − 求 Re (z),Im (z)与z z i 1-i
− ( 1 − i) − 3i(i) − 1 + i + 3 2 + i （ 2 + i)( 1 − i) = = 解： z = = i( 1 − i) i +1 1+ i 2
x
(3)幅角主值的求法 (3)幅角主值的求法 y arctan x , ( x > 0 , y > 0 ) arctan y + π （ x < 0 , y > 0 ) , x arg z = arctan y − π , ( x < 0 , y < 0 ) x y arctan , ( x > 0, y < 0) x
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(1- k2)
)
=
0
[x
-
(x1 - k2x2 (1- k2)
)]2
+[y
-
(y1 - k2y2 (1- k2)
)]2
=
[(x(11--kk22x)2 )]2
-
(x12
-
k
2x
2 2
)
(1- k2)
+[(y(11--kk22y)2 )]2
-
(y12
-
k
2y
2 2
)
(1- k2)
R2(1-
k2 )2
=
运
算
x y 1 i 2 4 即 x2 y 12 4
2 z 2i z 2
第
一 解 由几何意义， z 2i z 2 即 z 2i z 2
节
表示到 2i与到 2距离相等的点的轨迹
复 数
即y x
及 其
代 数
高斯【Gauss】
由实轴x及虚轴y构成的平面
运
称为复平面或z平面
算
使复数的运算直观自然.这也是其
在数理中得到广泛应用的原因之一!
第 一
3. 向量法 z x iy op
节

复数的模 z op r x2 y2
复
x z, y z, z x y
数
及 三角不等式 z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
x
2(1-
k
2
)
-
2x(x1
-
k
2x
2
)
+
(x12
-
k
2x
2 2
)
+
y
2(1-
k
2
)
-
2y(y1
-
k
2y
2
)+
(y12
-
k2y
2 2
)
=
0
x
2
-
2x(x1 - k2x (1- k2)
2
)
+
(x12
-
k
2x
2 2
(1- k2)
)
+
y
2
-
2y(y1 - k2y (1- k2)
2
)
+
(y12
-
k2
y
2 2
一
2
x2
节 特别的，z 0时, z 0,辐角不确定!
复 4. 三角法 z p x, y pr,
数
及
又 x r cos , y r sin
其
z r cos i sin z cos i sin
代
数 5. 指数法 由欧拉公式 ei cos i sin
)
=
(z1 - k2z2 (1- k2)
)
z1 - z0
z2 - z0
=
z1
-
(z1 - k2z2 (1- k2)
)
z2
-
(z1 - k2z2 (1- k2)
)
= R2.[z1,z2关于圆对称]
第 一
2 2 z 2 Re z 3
节
解 设 z x iy, 则 2 z 2 Re z 3
数
运
算
例 : 证明.n 2n1 n sin k
证 :
zn 1
n1
n k 1 i 2k
n1
i 2k
(z e n ) (z 1) (z e n )
k 0
k 1
即zn
1
——陈省身——
天依其无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。
造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。
——杨振宁——
第一章 复数与复变函数
第一、二、三节 复数及其代数运算 第四、五、六节 复变函数（概念、极限、连续）
复数是为了解三次方程而引进的! 复变函数论被誉为19世纪最独特的 创造,是抽象数学中最和谐的理论之一.
国学大师:﹏王国维﹏ 拾掇
纸上得来总觉浅,绝知此事要躬行.陆游
数学是科学的大门和钥匙.
---Roger Bacon---
同物
气理
— --- [ ]
连
枝数
同学
胞
共 哺
陈
物理几何是一家，共同携手到天涯。 黑洞单极穷奥秘，纤维连络织锦霞。 进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。
筹算竟有天人用，拈花一笑欲无言。
运 算
整理得：
x

5 2
2

y2


3 2
2
解：由
z - z1 z - z2
=k ,得
z - z1 = k z - z2
; x - x1 2 +(y - y1)2 = k2
x - x2
2 + k2(y - y 2)2
x - x1 2 - k2 x - x2 2 +(y - y1)2 - k2(y - y2)2 = 0


0
数 为曲线复数形式的方程.
运
算
第 例1 指出下列方程表示的曲线
一
节
1 z i 2
复 解 法 1.
数 及
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
其 距离为2的点的轨迹, 即圆 x2 y 12 4
代
数
法 2. 将z x iy代入得：x y 1 i 2
其 代
将：z2换为- z2即得新的不等式
数
运 z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
算
y
z2
z1
几何上 z2 z1 —表示z1与z2两点间的距离 0
x
复数的辐角：
第 一

z 0时，主辐角 arg z 0 , 0
节 辐角 Argz arg z 2k k Z
0

z2

z

z1
x
数 称为复数的参数方程
及
其 而 z z1 t z2 z1 , 0 t 1表示z1到z2 的直线段
代 数
显然
z1与 z2的中点 z

z1
2
z2
运 算
由此可知：三点 z1 ,
z2 ,
z3 ,共线
z3 z1 z2 z1
t
实数
第 例3 求以z0为中心，R为半径的圆周方程.
z1z2

z1
z2
；


z1 z2


z1 z2
2z z
复
数 3 zz Re z2 Im z2 z 2 z2
及
其 4 z z 2 Re z Re z z z
代
2
数
z z 2i Im z Im z z z
§1--§3 复数及其代数运算
第
一 一、复数的概念
节 z x iy , i = -1 为虚单位[欧拉首先使用],
复 x , y R。 1是双值数等于 i ,此处有歧义
数 记 x Rez
及
z的实部, y Imz z的虚部
其 z x iy
代
z的共轭复数
数 注意 ： 复数不能比较大小.
3 arg z
4
y
2 0 2i
x
y
代 数
解 由几何意义，arg z 表示
4
运
辐角为 的射线 y x x 0

4
x
算
4
例2 求通过 z1 , z2两点的直线方程.
第 解：由向量的性质
y
一
节 复
z z1 t z2 z1 t 是实数 z z1 t z2 z1 , t
代
数 运 算
zn


1 zn
棣摩弗(De Moivre)公式
第
一 方根：使 wn z 的w称为z的n次方根，记作 n z
节
即wnz
复 若设 w ei ,z rei
数
及 其
则 n r , 2k k 0,1, ,n 1
n
代
数 运
w

n
i 2k
算
（指集合相等）
特别的zz x2 y2 z 2 z2
第
一 几何意义:
节
z1z2表示将向量z1旋转角度Arg z2
复
并伸长或缩短 z2 倍.
数
及
y
z 1z 2
其
代
数
2
z1
运
算
z 1
2
2
0
x
第 一
3.
z1 z2
z2

0

z1z2 z2 z2
节 复

x1 x2 x22

运
算 实数的平方大于零(a b)2 0，而i2 1 0
第 二、复数的几种表示方法 y虚轴
一
节 1. 代数法 z x iy
复
r
Px, y
z x iy
数 2. 几何法Wessel.
及 韦塞尔
0
x 实轴
其 Argand.阿尔冈 z x iy x, y 平面上点 p
一
y 解 由几何意义，圆的方程为