高一数学直线的倾斜角和斜率

高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

小编准备了高一数学必修2第三章知识点，具体请看以下内容。

3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定=0.
2、倾斜角的取值范围：0180.当直线l与x轴垂直时,= 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时,=0,k=tan0
⑵当直线l与x轴垂直时,=90,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。

高一数学复习考点知识讲解课件§1.1直线的斜率与倾斜角考点知识1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．导语我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？一、直线的斜率问题1交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝上升高度水平距离＝DBAD.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？提示坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦．问题2若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，当x 1≠x 2时，你能用一个量反应直线l 的倾斜程度吗？提示可以用y 2－y 1x 2－x 1的符号及大小反应直线l 的倾斜程度．问题3运用k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)计算直线AB 的斜率时，需要考虑A ，B 的顺序吗？提示k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A ，B 两点的顺序无关． 知识梳理对于直线l 上的任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， (1)如果x 1≠x 2：①由相似三角形的知识可知，y 2－y 1x 2－x 1是一个定值，我们将其称为直线l 的斜率．k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．②直线的斜率也可以看作k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝纵坐标的增量横坐标的增量＝ΔyΔx .(2)如果x 1＝x 2，那么直线l 的斜率不存在． 注意点：直线与x 轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式．例1如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)．(1)试计算直线l 1，l 2，l 3的斜率；(2)若还存点Q 4(a ,3)，试求直线PQ 4的斜率． 解(1)由已知得，直线l 1，l 2，l 3的斜率都存在． 设它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3.则由斜率公式得k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.(2)当a ＝3时，直线PQ 4与x 轴垂直，此时其斜率不存在．当a ≠3时，其斜率k ＝3－2a －3＝1a －3. 反思感悟(1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”．(2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l 1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l 2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l 3)，直线与x轴平行或重合．跟踪训练1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)；(4)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在．(4)当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝43－a.二、直线的倾斜角知识梳理1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角．(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0.(3)倾斜角α的范围为[0，π)．2．直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°.(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°.(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tanθ＝y2－y1x2－x1.例2(1)(多选)下列命题中，正确的是()A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为－30°C．倾斜角为0°的直线有无数条D．若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)答案AC解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误．(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α－45°答案AB解析根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知，当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．跟踪训练2已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．解∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°.三、倾斜角和斜率的应用问题4当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．知识梳理设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k＝0k>0不存在k<0k的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大注意点：正切函数在[0，π)上不单调．例3已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解如图，由题意可知k PA＝4－0－3－1＝－1，k PB＝2－03－1＝1，(1)要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 跟踪训练3已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)． (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．知识清单：(1)直线斜率的定义和斜率公式．(2)直线的倾斜角及其范围．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．1．(多选)下列说法正确的是()A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案ABC2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于() A．2B．1C．－1D．－2答案A解析由题意知，tan45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则实数m 的值为________．答案92解析设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ·k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m ,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1) 答案0°<α≤90°解析当m ＝1时，倾斜角α＝90°；当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.课时对点练1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是() A ．(4,2)与(－4,1) B ．(0,3)与(3,0)C ．(3，－1)与(2，－1)D ．(－2,2)与(－2,5)答案D解析D 项，因为x 1＝x 2＝－2，所以直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率不存在．2．(多选)已知直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角可以为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案BC解析由题意得直线的斜率为3或－3，故直线的倾斜角为60°或120°.3．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率为2，则m 的值为()A ．－1B ．1C ．2D.43答案D解析由m －(－2)3－m＝2，得m ＝43. 4．若某直线的斜率k ∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 答案C解析∵直线的斜率k ∈(－∞，3]，∴k ≤tan π3，∴该直线的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.5．若A (－2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则实数m 的值为() A ．2B ．－2C.52D ．－12答案C解析因为A (－2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线， 所以k AB ＝k AC ，即3－2－2－3＝3－m －2－12， 所以－15＝3－m －52，解得m ＝52. 6．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是()A ．[0,2]B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 答案A解析如图所示，当直线l 在l 1的位置时，k ＝tan0°＝0；当直线l 在l 2的位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．7．已知点A (1,2)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．答案(3,0)或(0,3)解析由题意知，k P A ＝－1，若点P 在x 轴上，设点P 的坐标为P (m ,0)(m ≠1)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3，即P (3,0)．若点P 在y 轴上，设点P 的坐标为P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，即P (0,3)．综上，点P 的坐标为(3,0)或(0,3)．8．若经过点A (1－t ,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是________．答案(－2,1)解析由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2. 因为直线的倾斜角为钝角，所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t<1.9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？(2)直线l与y轴平行？(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)?(4)直线的倾斜角为45°？(5)直线的倾斜角为锐角？解(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1.(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝1 3，即1－mm＋1＝13，解得m＝12.(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即m－1－1－m＝1，解得m＝0.(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即m－1－1－m>0，解得－1<m<1.10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．解在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以k OD＝k BC＝tan60°＝ 3.因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以k OB＝k CD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，所以k OC＝tan30°＝33，k BD＝tan120°＝－ 3.11．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析设A (a ，b )是直线l 上任意一点，则平移后得到点A ′(a －2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA ′＝b ＋2－b a －2－a＝－1. 12．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ 34<k <2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ k >2或k <34 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ k >34D ．{k |k <2} 答案A解析∵k AP ＝3－12－1＝2，k BP ＝－2－1－3－1＝34，如图，∵直线l 与线段AB 始终没有交点，∴斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，2. 13．已知直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析当倾斜角α＝π2时，l 的斜率不存在； 当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2时，l 的斜率k ＝tan α∈[1，＋∞)； 当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4时，l 的斜率k ＝tan α∈(－∞，－1]． 综上，直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．14．已知O (O 为坐标原点)是等腰直角三角形OAB 的直角顶点，点A 在第一象限，∠AOy ＝15°，则斜边AB 所在直线的斜率为________．答案33或－ 3解析设直线AB 与x 轴的交点为C ，(图略)则∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－75°＝60°.所以k AB ＝tan30°＝33或k AB ＝tan120°＝－ 3.15．已知函数f (x )＝log 3(x ＋2)，若a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为()A.f (c )c <f (b )b <f (a )aB.f (a )a <f (b )b <f (c )cC.f (c )c <f (a )a <f (b )bD.f (a )a <f (c )c <f (b )b答案B解析作出函数f (x )＝log 3(x ＋2)的大致图象，如图所示．由图象可知，y 轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a >b >c >0，所以f (a )a <f (b )b <f (c )c .故选B.16．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，求y －1x －2的取值范围． 解y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率．因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32， 又k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则．【考点】直线的倾斜角．2.已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】直线过点与，直线的斜率，则直线的倾斜角为.【考点】直线的斜率、倾斜角.3.已知若直线：与线段PQ的延长线相交，则的取值范围是 .【答案】【解析】直线的方程为，显然经过定点，过点M作直线，显然的斜率，过M、Q作直线的斜率为,依题意，应夹在直线与之间，即于是，即。

【考点】（1）斜率公式的应用；（2）数形结合思想的应用。

4.直线的倾斜角的大小为。

【答案】【解析】,所以倾斜角为.【考点】1.直线方程；2.倾斜角和斜率.5.经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意可知，性的判断与证得m=1，故选A.【考点】直线斜率公式.6.过点(－3,0)和点(－4，)的直线的倾斜角是()A．30°B．150°C．60D．120°【答案】D【解析】因为，，所以，直线的倾斜角是120°，选D。

【考点】直线的斜率、倾斜角点评：简单题，利用斜率的坐标计算公式求得倾斜角的正切。

7.若直线经过A(-2,9)、B(6,-15)两点,则直线AB的倾斜角是( )A．45°B．60°C．120°D．135°【答案】C【解析】设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k="tan" θ=，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小。

解：设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k=tanθ==又0≤θ＜π，θ=120°，故选 C．【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出斜率tanθ是解题的关键8.如图，若图中直线1,2,3的斜率分别为k1, k2, k3，则A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2【答案】B【解析】由于直线L2、L1的倾斜角都是锐角，且直线L2的倾斜角大于直线L1的倾斜角，可得 K2＞K1＞0．由于直线L3、的倾斜角为钝角，K3＜0，由此可得结论．k3<k1<k2,，故可知选B.【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．9.直线的倾斜角是（）A．300B．600C．1200D．1350【答案】C【解析】由于直线的斜率为，那么根据倾斜角和斜率的关系可知，tanθ=,那么可知角为1200，故选C.【考点】直线的倾斜角和斜率的关系点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出tanθ=，是解题的关键10.已知点，，则直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线垂直于x轴，倾斜角为【考点】直线斜率与倾斜角点评：若则直线的斜率为，倾斜角满足11.(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.【答案】【解析】由解得，则两直线的交点为………2分直线的斜率为，则所求的直线的斜率为……………4分故所求的直线为即………………6分【考点】本题考查了直线的位置关系及直线方程的求法点评：熟练运用直线的位置关系求直线方程是解题的关键12.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ【答案】A【解析】解：因为直线，故倾斜角是150ｏ，选A13.．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为．【答案】1【解析】由斜率公式可知,所以m=1.14.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 .【答案】【解析】设直线l的方程为y=kx+b,由题意知平移后直线方程为y=k(x+3)+b+1,即y=kx+3k+b+1,由于直线平移后还回到原来的位置，所以3k+b+1=b,所以15.直线的倾斜角等于__________．【答案】【解析】直线的斜率为，则倾斜角满足即直线的倾斜角为.16.直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【答案】A【解析】17.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线斜率为所以直线方程为故选D18.直线的倾斜角是（）A B C D【答案】C【解析】略19.已知点. 若直线与线段相交，则的取值范围是_____________.【答案】[-2，2]【解析】略20.以下直线中，倾斜角是的是（）..【答案】C【解析】略21.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】略22.当时，如果直线的倾斜角满足关系式，则此直线方程的斜率为；【答案】【解析】略23.直线的倾斜角为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】略24.长方形OABC各点的坐标如图所示，D为OA的中点，由D点发出的一束光线，入射到边AB上的点E处，经AB、BC、CO依次反射后恰好经过点A，则入射光线DE所在直线斜率为【答案】【解析】如图：作关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，则的延长线过完点，因为，所以根据对称性得，所以【考点】点关于线对称的点25.对于直线x sin+y+1=0，其斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B．【考点】直线的一般方程与斜率26.如图所示，直线的斜率分别为，则的大小关系为（按从大到小的顺序排列）．【答案】【解析】由图形可知，比的倾斜角大，所以【考点】斜率与倾斜角的关系27.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程28.若图，直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】切斜角为钝角，斜率为负，切斜角为锐角，斜率为正，因为倾斜角大于倾斜角，所以【考点】直线倾斜角与斜率的关系29.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】直线倾斜角与斜率的关系30.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程。

数学高一专系列之 倾斜角与直线方程一、直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα二、直线的斜率公式:三、直线方程：1.点斜式：11()y y k x x -=-，当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =2.斜截式: y kx b =+，其中b 称为直线在y 轴上的截距3.两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 注意！①当l 的0α=时,l 的方程为1y y = ②当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =4.截距式：1x ya b+= 其中,a b 分别是直线在x 轴和y 轴上的横截距和纵截距,简称截距. 注意！①当l 的a 不存在,b 存在时,l 的方程为y b = ②当l 的b 不存在, a 存在时,l 的方程为x a =③当l 的a 、b 都存在, 且都为零时,l 的方程为y kx =其中k 为直线的斜率. 5.直线方程的一般式：0Ax By C ++=22(0)A B +≠ （1）任何一条直线的方程都是关于x 、y 的一次方程（2）任何关于x 、y 的一次方程0Ax By C ++=22(0)A B +≠表示直线四、求直线方程：题型一：基础题型1．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－9[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由A ·C <0及B ·C <0，可知A ≠0，B ≠0， 又直线Ax ＋By ＋C ＝0过(－C A ，0)，(0，－C B )，且－C A >0，－CB >0，∴直线不过第三象限．变式练习1.光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝－3x ＋3 C ．y ＝－3x －3 D ．y ＝3x ＋3[答案] B[解析] 点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 [答案] D[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.3．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.题型二：能力提升1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23[答案] B[解析] 设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－(－1)－5－1＝－13.2．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 [答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．3.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 [答案] ①③⑤[解析] 对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确； 对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍．即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z )就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确． 变式练习1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1. 令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1.由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]． 2.已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解析] (1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk (k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0. (3)由l 的方程得，A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2kk|·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法课后练习1．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0 [答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α， 则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.2．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 易知A (－1,0)． ∵|P A |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上． ∴B (5,0)．∵P A ，PB 关于直线x ＝2对称， ∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.3.已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0 [答案] A[解析] 由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0.4.经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] 设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( ) A ．0 B ．33C ． 3D ．－ 3[答案] C[解析] k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.6.点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎣⎡⎦⎤14，1 D ．⎝⎛⎭⎫14，1 [答案] D[解析] 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.7.若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 8.直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案] 135°[解析] ∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)， ∴a ＋m －2a ＝0. ∴m ＝A ．直线方程为ax ＋ay －2a ＝0， 又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0. ∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.[解析] (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.。

高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】可化为，即直线的斜率，所以倾斜角为.【考点】直线的倾斜角.2.已知点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),若点M(a,b)是线段AB上的一点(a≠0),则直线CM的斜率的取值范围是( )[,1] B.[ ,0)∪(0,1] C.[－1, ] D.(－∞, ]∪[1,+∞)【答案】D【解析】画出图象，看M点的变化范围.可知直线CM应该在AC与BC间变化，且,,故有选D.【考点】直线的斜率的计算.3.经过两点A(-3,5)，B(1,1 )的直线倾斜角为________.【答案】.【解析】由题意易得，经过点，的直线方程为，其倾斜角的斜率为，又∵，∴.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.如果实数满足等式，那么的最大值为______．【答案】【解析】,可看作圆上的点与坐标原点间连线的斜率，结合图形知最大值为．【考点】斜率的计算公式，数形结合的数学思想．5.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可知斜率，根据直线方程的点斜式可写出直线方程：即，故选A.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.直线的方程.6.点和点关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可知直线与已知直线垂直且线段的中点在直线上，所以，解得，故选C.【考点】1.过两点的直线的斜率问题；2.直线垂直的判定与性质；3.点与直线的对称问题.7.在直角坐标系中，直线的倾斜角．【答案】【解析】直线化成，可知，而，故.【考点】直线的倾斜角与斜率.8.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于直线的方程可知，该直线的斜率为，因此可知该直线的倾斜角为=60°，选B.【考点】直线的倾斜角点评：主要是考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题。

9.直线经过点A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，结合可知【考点】直线倾斜角斜率点评：由两点确定的直线斜率为，斜率和倾斜角的关系10.已知菱形的两个顶点坐标：，则对角线所在直线方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】线段的中点，所以所在直线为【考点】直线方程点评：本题利用菱形的几何特征可求得对角线的斜率，利用对角线互相平分可求得对角线过的点，从而可写出点斜式方程11.过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线化为，其斜率为。

第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础达标1．下列说法中，正确的是() A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α答案 D解析对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D. 2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是() A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在答案 C解析由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.3．(2014·乌鲁木齐高一检测)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1 B．5C．－1 D．－5答案 D解析由斜率公式可得：y＋34－2＝tan 135°，∴y＋32＝－1，∴y＝－5.∴选D.4．直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°答案 C解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．5．斜率为2的直线经过点A (3,5)、B (a,7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝4，b ＝0 B ．a ＝－4，b ＝－3 C ．a ＝4，b ＝－3 D ．a ＝－4，b ＝3 答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.6．如果过点(－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率等于1，则m ＝________. 答案 1解析 由斜率公式知4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.7．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值． 解 由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∴C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1. ∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 二、能力提升8．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A．－2 3 B．0C. 3 D．2 3答案 B解析由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan 60°＋tan 120°＝3＋(－3)＝0.9．(2014·合肥高一检测)若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．答案(－2,1)解析∵k＝a－1a＋2且直线的倾斜角为钝角，∴a－1a＋2<0，解得－2<a<1.10．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．答案[0,2]解析如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝2－01－0＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．11．过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．解如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值．∵tan α1＝0－(－3)3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l过点B(－4,1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，∵tan α2＝1－(－3)－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)． 三、探究与创新12．已知A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围． 解 (1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0，k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.(2)如图所示． k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.13．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解 法一 设Q (0，y )，则由题意得k QA ＝－k QB .∵k QA＝1－y2，k QB＝3－y4，∴1－y2＝－3－y4.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k入＝k QA＝1－y2＝－13.法二如图，点B(4,3)关于y轴的对称点为B′(－4,3)，k AB′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A、Q、B′三点共线．从而入射光线的斜率为k AQ＝k AB′＝－1 3.设Q(0，y)，则k入＝k QA＝1－y2＝－13.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.。

直线的倾斜角、斜率、斜率公式一、新知学习A ．直线的倾斜角 1．直线的倾斜角定义（ⅰ）直线l 与x 轴有交点时 直线l 向上的方向与x 轴正向所成的最小正角． （ⅱ）直线l 与x 轴平行或重合时，规定：倾斜角为零角． 2．直线倾斜角的范围：[0,)π．3．直线倾斜角与直线的对应关系是“一对多”关系．即[0,)π内的任何一个角，都对应无数条平行直线；反过来，坐标平面内的任意一条直线，都有唯一的倾斜角． B ．直线的斜率1．直线的斜率定义注：对直线斜率定义的理解：（1）当倾斜角时时，直线的斜率不存在，但并不表示该直线不存在，此时，直线垂直于轴（或平行于轴或与轴重合）． （2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．2．斜率公式条件：直线l 经过两点：111(,)P x y 、222(,)P x y ，其中12x x ≠． 斜率公式：21122112y y y y k x x x x --==--． 证明：设直线12PP 的倾斜角为(90)αα≠︒，当直线12PP 的方向（即从1P 指向2P 的方向）向上时， 过点1P 作y 轴的垂线，过点2P 作x 轴的垂线，两线相交于点Q ，于是点的坐标为21(,)Q x y 如图（1）（2）．在图（1）中，… 在图（2）中，…不存在，90α≠︒． tan ,90,k αα≠︒⎧=⎨⎩即都有2121tan y y x x α-=-，即2121y yk x x -=-． 同样，当直线21P P 的方向向上时，如图（3）（4），也同样有2121tan y y x x α-=-，即2121y yk x x -=-． 综上，直线12PP 的斜率公式为2121y y k x x -=-． 3．直线斜率函数图象斜率函数图象可用来解决一下两个范围问题： （1）由直线倾斜角范围求斜率范围．（2）由直线斜率范围求倾斜角范围． 4．直线斜率的求法： （1）定义法； （2）公式法；（3）直线方程法：将在后面介绍．二、知识迁移A ．概念理解题例 下列命题：①任意一条直线都有倾斜角；②任意一条直线都有斜率；（《5.3》P77页例2） ③若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α； ④若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α； ⑤直线的倾斜角越大，它的斜率越大；⑥直线的倾斜角[0,)(,)22ππαπ∈时，直线斜率分别在[0,)2π、(,)2ππ这两个区间上单调增加．正确命题的序号是 ①⑥ ．B ．求直线斜率例 求经过下列两点的直线的斜率（如果存在）和倾斜角，其中a ，b ，c 是两两不等的实数． （1）(,)a c ，(,)b c ；（2）(,)a b (,)a c ，；（3）(,)a a b +，(,)c b c +．（《5.3》P78页例1）经过：（1）斜率0k =，倾斜角为0︒．（2）斜率不存在，倾斜角为90︒．（3）斜率1k =，倾斜角为45︒．C ．求斜率和倾斜角范围例1 （由斜率范围求倾斜角范围）已知直线l 的斜率[k ∈-，则其倾斜角α取值范围是3[0,)[,)34πππ．自主体验（1）若直线l 的斜率k =，则其倾斜角α取值范围是5[0,)[,)66πππ．（2）设直线的斜率为k，且k <α的取值范围是2(0,)(,)63πππ．例 2 （由倾斜角范围求斜率范围）若一条直线的倾斜角2,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则这条直线的斜率k ∈(,(3,)-∞+∞．自主体验 若直线l 的倾斜角2[,]43ππα∈，则这条直线的斜率k ∈(,[1,)-∞+∞．例3 （由直线的位置求斜率或倾斜角范围）过点(1,2)P -的直线l 与线段AB 相交，若(2,3)A --，(4,0)B ，求直线l 的斜率k 的取值范围．（《5.3》P78页例2）D ．有关斜率的计算例 （1）已知点(,3)A m m --，(2,1)B m -，(1,4)C -，直线AC 的斜率等于直线BC 斜率的3倍，求实数m 的值．解：直线AC 的斜率71AC m k m +=-+，直线BC 的斜率53BC m k -=． 因为3AC BC k k =，所以751m m m +-=-+，整理得2320m m -+=，解得1m =或2m =． （2）若直线l 的倾斜角是连结(3,5)A -、(0,9)B -两点的直线倾斜角的2倍，求l 的斜率．解：设直线AB 的倾斜角为α，则l 的倾斜角为2α．由已知：9(5)4tan 033AB k α---===-． 又因为tan2l k α=，所以2422tan 243161tan 719l k αα-===---．所以直线l 的斜率为247-． 自主体验 1．已知直线l 的倾斜角α满足1sin cos 5αα+=和12sin cos 25αα⋅=-，则l 的斜率为 A ．43 B ．34 C ．43- D ．43-或34- 2．已知点(cos77,sin 77)A ︒︒，(cos17,sin17)B ︒︒，则直线AB 的斜率为 A ．tan 47︒ B ．1tan 47︒C ．tan 47-︒D ．1tan 47-︒。