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函数一致连续的若干方法一、函数的连续性在数学中，函数的连续性是指函数在其中一区间上的从一个点到另一个点的变化是连续而不中断的。
具体而言，对于给定的函数f(x)，如果对于任意给定的x=a和x=b（a<b），当x在区间(a,b)上变化时，函数f(x)在这个区间上的变化也会连续且不中断。
例如，考虑函数f(x)=2x，在区间(0,2)上，当x增加时，函数值也会相应地增加。
无论x在该区间上的取值是多少，函数的变化都是连续的。
二、函数一致连续性函数的一致连续性是指对于给定的函数f(x)和任意正数ε，存在正数δ，当x在给定的区间上变化时，函数值的变化都不会超过ε。
具体而言，函数f(x)在区间(a,b)上一致连续，意味着对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当x和y在(a,b)区间内满足，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
函数的一致连续性相较于函数的普通连续性更强。
普通连续性要求在给定的区间上，函数在任意一点上的极限存在，而一致连续性要求在给定的区间上，对于任意一个ε>0，存在一个δ，使得整个区间上的函数值的变化都不会超过ε。
三、判定函数一致连续的方法函数的一致连续性常用以下方法加以判断：1.强制法：使用函数定义、极限运算、数列性质等直接证明函数的一致连续性。
2.辅助函数法：构造一个辅助函数，该函数在给定区间上是连续的，且与原函数在区间的差别足够小，从而利用其连续性证明原函数的一致连续性。
3.导数法：对函数进行导数运算，判断导数是否有界，并利用有界导数的性质证明函数的一致连续性。
4.间断点法：对函数在给定区间上所有可能的间断点进行分析，通过排除间断点引起的非一致连续性，判断函数的一致连续性。
5.紧致性定理法：利用数学分析的紧致性定理，即闭区间上连续函数的最大值和最小值存在的性质，证明函数的一致连续性。
以上方法可以根据具体问题的特点选择适用的方法来判断函数的一致连续性。
无穷区间上连续函数一致连续的判定众所周知，函数的连续性是建立在点上的。
即使几是函数在区间切连续性，也是建立在点上的。
因此函数的连续性是一个局部性的概念，而函数的一致连续性才反映了函数在 整个区间上的整休性质。
一般来说，只有闭区间〔a,b 〕上的连续函数才具有一致连续的性 质，(Cantol 定理)而对于其他类型的区间，函数在其上连续一般不能导致函数在其上一 致连续。
譬如函数()sinf x xπ=在区(0,1)内连续，但在(0,1)内却非一致连续，这样的例子可以举出很多。
因此，讨论连续函数的一致连续性也就成了“数学分析”中 一个很重要的问题。
显然在某个区间上连续的函数自然就可尽分为两大类:一类是非一 致连续的，另一类是一致连续的。
在多数“数学分析”教材中对有限区间上连续函数的 一致连续性讨论得较多，对无穷区间上连续函数的一致连续性的判定虽然也进行过一些 讨论，但大多是关于它的充分判别法，而对它的充分必要条件谈及甚少。
本文给出判定连续函数在无穷区间上一致连续的一个新的充分必要条件。
用它可以 判定一系列连续函数在无穷区问上一致连续的问题，有时比使用定义或其他充分条件要 方便得多，定理1:设函数f(x)在区间〔a ，∞)(a 为任意实数)上连续，则函数f(x)在区间〔a ，+ ∞)上一致连续的充分必要条件是在〔a ，+ ∞)上存在一个一致连续的函数g(x)，使得: lim (()())0x f x g x →+∞-=证 必要性:因为函数f(x)于〔a ，+ ∞)上一致连续，所以，就选g(x)=f(x), 即找到了一个于〔a ，+ ∞)上一致连续的函数g(x)，并且满足:lim (()())lim (()())0x x f x g x f x f x →+∞→+∞-=-=，充分性:由于在〔a ，+ ∞),)内存在一个一致连续的函数g(x)使得:lim (()())0x f x g x →+∞-=则对任意给定的正数ε，总存在一个常数M>0，使得对于适合不等式x>M 的一切x ， 总有()()6f xg x ε-<因为函数f(x)在〔a ，+∞)上连续，从而在有限区间〔a ，M 〕上连续，由康托 (Cantor)定理，函数f(x)必在〔a ，M 〕上一致连续，从而对上述ε>0，总存在1()0δε>，使得对于区间〔a ，M 〕内的任意两点: 12,x x 当121()x x δε-<时，总有21()()2f x f x ε-<()0,()0z g x d s εε∞>>∞又因函数在区间（a,+）上一致连续，从而对于给定的总存在一个时，使得对于(a,+)1212212,,(),x x x x x M x M δε-<>>内任意两点当且21()()6g x g x ε-<21222111222111()()()()()()()()()()()()()()6662f x f x f xg x g x g x g x f x f x g x g x g x g x f x εεεε-=-+-+-≤-+-+-<++=从而有21()()2f x f x ε-<即1212121122(,),(,),,,x a M x M x x M x x M δδεδεδδδεδδε∈∈+∞-<-<<-<<如果任意的取=min((),()),只要必有()()从而有212121()()()()()()()()()()22f x f x f x f M f M f x f x f M f M f x εεε-=-+-≤-+-<+=211221min((),()),()()x x f x f x δδεδεε-<=-<即只要就有不等式：综合上述:对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，使得对于区间〔a,+ ∞)上 的任意两点1x ，2x .只要 21x x -<δ就有不等式:21()()f x f x ε-<根据函数一致连续的定义，f(x)在〔a ，+∞)_上一致连续。
函数一致连续性的判别方法作者：钟志波来源：《文理导航》2015年第05期【摘要】函数的一致连续性是函数最重要的分析性质之一，它与函数的连续性既有区别又有联系，本文从教材出发，在已有的研究成果上结合例子，对不同区间上函数一致连续性的判别方法加以总结并作一定的推广。
本文对函数一致连续性的判别提供一个系统、完整的总结，具有一定的参考价值。
【关键词】函数;连续;一致连续;有界;收敛1.引言1.1函数的一致连续的定义及其否定叙述定义1.1设f（x）为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得对任何x′，x″∈I只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。
1.2函数在区间上的连续性和一致连续性的区别与联系连续是逐点考察的性质，一致连续是函数在整个区间上的性质。
也就是说，从极限的角度考察连续，发现整个函数可以用同样的方式来趋近，称为“一致连续”。
下面给出函数连续性的定义：定义1.2设f（x）为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0，存在δ>0，使得对任何x，x0∈I且|x-x0|<δ时，有|f（x）-f（x0）|<ε，则称函数f（x）在区间I上连续.比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知：前者的δ不仅与ε有关，而且还与点x0有关，即对于不同的x0，一般来说δ是不同的，这表明只要函数在区间内每一点连续的话，则函数在区间上连续;后者的δ仅与ε有关，与x无关，即对不同的x，δ是相同的，这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这区间的每一点连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的。
在区间I一致连续的函数在这区间一定连续，事实上，由一致连续性的定义将x1固定，令x2变化，即知函数f（x）在x1连续，又x1是I的任意一点，从而函数f（x）在I连续。
但在区间I连续的函数在这区间上不一定一致连续，如f（x）= 在区间（0，1）连续但不一致连续。
不同类型区间上函数一致连续性的判别法上海财经大学数学系 潘澍原摘要：本文对各种不同类型区间上函数一致连续性的判定方法进行了详尽的证明，并加以系统的总结，指出了函数的收敛性和导数有界性与函数的一致收敛性的紧密联系。
关键词：一致连续、区间、收敛、导数、有界函数的一致连续性一直是数学分析学习中的难点，学生在学习过程中常遇到一些困难，特别是在不同区间上函数一致连续性的判定方面，问题尤多。
笔者以此文加以总结分析，以期效用。
（一）闭区间定理1.（Cantor 定理）函数()f x 在[],a b 上一致连续的充分必要条件是()f x 在[],a b 上连续。
证明：必要性显然。
下证充分性。
证法Ⅰ：用Weirerstrass 定理反证。
可参见《数学分析》（上册）P112（复旦陈纪修等著，高等教育出版社出版） 证法Ⅱ：用有限覆盖定理。
[],∀∈x a b ，任取某一0δ>，做邻域,2δ⎛⎫ ⎪⎝⎭O x显然，开区间集[],|,2δ⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭O x x a b 覆盖了[],a b 由有限覆盖定理，[],|,2δ⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭O x x a b 中的有限个开区间：1212,,,,222n n O x O x O x δδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…覆盖了[],a b ，即[],1,2δ=⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭nii i O x a b []',",∀∈x x a b ,必有()001i N i n +∈≤≤使得00',2i i x O x δ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即000'2i i i x x δδ-<<今取12n =min ,222…δδδδ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ , 若'"δ-<x x则00"''"222iiii i i x x x x x x δδδδδ-≤-+-<+≤+=∵()f x 在点[]0,i x a b ∈上连续∴由Cauchy 收敛准则，0,ε∀>∃上述的()00,',",i i i x x O x δδ>∀∈有(')(")f x f x ε-<成立∴[]()0,0,',",'"x x a b x x εδδ∀>∃>∀∈-< 有(')(")f x f x ε-<成立 ∴()f x 在[],a b 上一致连续证毕注1.有限覆盖定理在分析中用途极广，是重要的工具，应尽量掌握其思想和一般的构造方法。
函数一致连续的判别方法及其应用
一、连续函数的判别方法
1、求导法
连续函数仅当它的导函数在函数的整个定义域上定义时，它才会是连
续的。
因此，当讨论一个函数时，我们可以求导函数，并确保它在整个定
义域上定义时，函数就是连续的。
2、间断点法
另一种判断函数是否连续的方法是检查函数是否有间断点。
如果函数
没有任何间断点，那么它就是连续的。
间断点是指在函数的定义域中，函
数在其中一点出现无限的变化，因此函数在该点处是不连续的。
3、图像法
还有一种判断函数是否连续的方法叫做图像法。
当绘制函数的图像时，当它的图像是不间断的，全连接的，没有任何断点的，那么它就是连续的。
二、连续函数的应用
连续函数有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用：
1、概率论和统计学
在概率论和统计学中，连续函数常常用于描述概率分布，比如正态分布、卡方分布等。
此外，连续函数也被用于描述观测量和误差的统计特性。
2、图像处理
在图像处理中，连续函数经常用于描述图像灰度变换，它可以改变图
像中特定范围像素的灰度值。
此外，连续函数也可以用于描述图像滤波器，滤波器可以抑制或强调图像中低频成分的噪声。
3、几何学。
函数项级数一致收敛的比较判别法与对数判别法摘 要：函数项级数在级数理论中占有重要地位，研究函数项级数的一致收敛性至关重要。
本文将通过已有结论发现判断函数项级数一致收敛性的一些新的判别法。
(1)比较判别法：对已有结论做进一步的推广，得到比较判别法。
再结合确界知识得出比较判别法的极限形式。
另外，将函数项级数特殊化得出M 判别法。
在此基础上，将对比的级数换成具有相同的敛散性的级数，将M 判别法作进一步的推广。
(2)对数判别法：当比较判别法中的两级数均为正项级数时，不等式()()n n u x v x ≤的两边同时取对数可得到对数判别法。
而且，当级数()n v x ∑取特殊的级数1pn ∑时，可将对数判别法特殊化，得到新的判别法。
关键词：函数项级数 ；一致收敛；比较判别法 ；对数判别法The Comparison criterion and logarithm criterion of theuniform convergence of Functions SeriesAbstract: Functional Series plays an important role in the series theory, it ’s very important to study the uniform convergence of Functions Series. This article will found some new criterion about the uniform convergence of Functions Series through the some results that already founded Series.(1) Comparison criterion : Made the results that already know more further promotion in order to get new criterion. Combined with knowledge obtained supremum,get the limit form of Comparison Tests. In addition, made Functional Series special to get M criterion. On this basis, comparison of the series will be replaced with series of the same convergence and divergence , let the M criterion gets further promotion. (2) Logarithm criterion: When the two series in the comparison criterion are both in positive terms, made a logarithm transform on the both sides of the inequality()()n n u x v x ≤ on the same time, then we get logarithm criterion. Moreover, when theseries()n v x ∑ be replaced by a special series logarithm criterion specialization ,and will get a new identification method.Keywords: Functions Series ；Uniform convergence ；Comparison criterion ；Logarithm criterion引言目前关于数项级数敛散性的研究很多，也已经得到了很多有价值的成果。
函数列和函数项级数一致收敛的判别方法1. Cauchy准则：对于函数列{f_n(x)}，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正整数N，当m,n>N时，对于任意的x，有，f_m(x)-f_n(x)，<ε，那么函数列{f_n(x)}一致收敛。
类似地，对于函数项级数∑{f_n(x)}，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正整数N，当m>n>N时，对于任意的x，有，∑{f_n(x)}-∑{f_m(x)}，<ε，那么函数项级数是一致收敛的。
2. Abel定理：对于函数项级数∑{f_n(x)g_n(x)}，如果存在一个正整数N，对于任意的x，当m>n>N时，有，∑{f_n(x)g_n(x)}，<M，且∑{f_n(x)}一致收敛于函数f(x)，那么函数项级数∑{f_n(x)g_n(x)}也是一致收敛的。
3. Weierstrass判别法：对于函数列{f_n(x)}或函数项级数∑{f_n(x)}，如果存在一个正数M_n，使得，f_n(x)，≤M_n对于任意的n和x成立，并且∑{M_n}在给定的区间上收敛，那么函数列{f_n(x)}或函数项级数∑{f_n(x)}一致收敛。
4. Dini定理：对于函数列{f_n(x)}或函数项级数∑{f_n(x)}，如果存在一个连续函数f(x)和{f_n(x)}一致收敛于f(x)，并且{f_n(x)}的极限函数或函数项级数∑{f_n(x)}的和函数f(x)在给定区间上都是单调的，那么函数列{f_n(x)}或函数项级数∑{f_n(x)}是一致收敛的。
5. Dirichlet判别法：对于函数项级数∑{f_n(x)g_n(x)}，如果存在一个正整数N，使得对于任意的x，当m>n>N时，函数列{f_n(x)}递减趋向于0，且对于任意的x和n，∑{g_k(x)}，≤M成立（M为常数），那么函数项级数∑{f_n(x)g_n(x)}是一致收敛的。
函数一致连续性的判别一.函数一致连续性的定义1.函数一致连续性的概念定义：设函数)(x f 在区间I 有定义，若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在I 上一致连续。
例1.证明：函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。
证 ：,0>∀ε由于'''')''()(x x a x f x f -=-，取δ=aε，则对任何),(,'''+∞-∞∈x x ，只要δ<-'''x x ，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。
例2. 证明：函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续；在区间(]1,0上非一致连续。
证 ： （1）,0>∀ε由于'''2'''''''''''111)''()(x x a xx x x x x x f x f -≤-=-=-，取εδ2a =，则对任意[],1,,'''a x x ∈当δ<-'''x x 时，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∃>∀>=∃δδε10,0210n ，取11'+=n x ，(]1,01'',11'∈=+=n x n x ，虽然有 ,1)1(11112'''δ<<+<-+=-nn n n n x x 但211)1()(0'''=>=-+<-εn n x x f ，故函数xx f 1)(=在区间(]1,0上非一致连续。
