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第二节 n 阶行列式内容要点一、排列与逆序定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。
例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 定义2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中，若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为).(21n i i i N根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:设在一个n 级排列n i i i 21中,比),,2,1(n t i t =大的且排在t i 前面的数由共有i t 个, 则i t 的逆序的个数为i t , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即.)(12121∑==+++=ni i n n t t t t i i i N定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.二、n 阶行列式的定义定义4 由2n个元素),,2,1,(n j i a ij =组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积nnj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n n n a a a a a a a a a a a a21212121)(212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里数ija 称为元素，称 n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- 为行列式的一般项.注: (1) n 阶行列式是!n 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(2) nnj j j a a a 2121的符号为)(21)1(n j j jN-(不算元素本身所带的符号);(3) 一阶行列式 ,||a a =不要与绝对值记号相混淆.定理3 n 阶行列式也定义为∑-=n n j i j i j i sa a a D 2211)1(其中S 为行标与列标排列的逆序数之和. 即S=)()(2121n n j j j N i i i N ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅。
02 第二节 n阶行列式的定义第二节 n阶行列式的定义定义1：对于一个由n行n列组成的矩阵A，其对应的行列式记为|A|或det(A)，称为n阶行列式。
行列式是由n个元素排成n行n列的式子，它可以用一个数，一个向量或一个矩阵来表示。
在数学中，行列式是一个非常重要的概念，在许多数学分支和实际应用中都有广泛的应用。
对于一个n阶矩阵A，可以将其展开成一个n项的代数和，每一项都是A中取自不同行不同列的n个元素的乘积。
这个展开式称为A的行列式，记为|A|或det(A)。
例如，对于一个3x3矩阵A：可以将其展开为：|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32其中，a11、a22、a33等表示A中的元素。
定义2：对于一个n阶矩阵A，如果有一个非零常数c，使得|cA|=c^n|A|成立，则称矩阵A可乘当，或者称为可乘方的。
根据定义2，可以发现行列式的性质：1）如果矩阵A可乘当，则|cA|=c^n|A|成立，其中c是非零常数。
例如，如果矩阵A=【3 4；2 5】，则cA=【3c 4c；2c 5c】，c^n表示c的n 次方。
2）如果矩阵A是可乘方的，则它的转置矩阵也是可乘方的，且它们的行列式互为转置行列式。
即，如果|A|=a_11a_22.a_nn，则|A‘|=a_11a_12*.*a_nn。
例如，设A=【1 2 3；4 5 6；7 8 9】，则|A|=54，它的转置矩阵为【1 4 7；2 5 8；3 6 9】，则它的行列式为|A‘|=54。
定义3：设n阶矩阵A和B是相似的矩阵，即存在一个可逆矩阵P，使得AP=PB成立。
如果矩阵A和B是相似的，则它们的行列式也相等，即|A|=|B|。
例如，设A=【1 0；0 2】，B=【2 0；0 4】，它们是相似的矩阵，它们的行列式分别为|A|=2和|B|=4，所以它们的行列式是相等的。
