下载文档原格式
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。
行列式及其计算行列式的定义：方法一：n 阶行列式111212122212.....................n n n n n nna a a a a a D a a a =121212(...)12...(1)...n n np p p p p np p p p a a a τ=-∑（1）n 阶行列式是!n 项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212...n p p np a a a （12....n p p p 是1,2,,n 的一个排列）；（3）当12....n p p p 是偶排列时, 1212...n p p np a a a 带正号, 当12....n p p p 是奇排列时, 1212...n p p np a a a 带负号.方法二：定义二阶行列式11122112212212122a a D a a a a a a ==-，假设我们已经定义了1n -阶行列式，称由n 行n 列2n 个数构成的111212122212.....................n n n n nna a a a a a D a a a =为n 阶行列式.定义D 的值为：121122(1)(1)(1)nn n n n n n n nn nn D a M a M a M +++=-+-++-1122n n n n nn nn a A a A a A =+++ . 其中ij M 是ijnD a =中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2)1(-n 个元素按原来的排列顺序构成一个1-n 级行列式，称其为(),i j 位置元素ij a 的余子式，(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式. 行列式的性质与展开行列式的性质1.行列式D 与其转置行列式T D 相等(即TD D =).2.交换行列式的两行(或列),行列式改变符号（即i j i jr r c c D D D D ↔↔=-=-或）. 3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子.（即1(0)1i r k kD kD ⨯≠=（或1(0)1i c k kDkD ⨯≠=）4.n 阶行列式D 可以按第i 行(或列)拆成两个行列式1D 与2D 的和，即12D D D =+.其中D 的第i 行(或列)为1D 与2D 的第i 行(或列)的和；D ，1D ，2D 的其余各行(或列)对应元素则同的完全一样.5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式的值不变.（即1i jr kr D D +=或1i jc kc D D +=） 行列式的展开1. n 阶行列式D 的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D .2.行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0.即1122()0()i k i k in kn D i k a A a A a A i k =⎧+++=⎨≠⎩1122()0()j t j t nj nt D j t a A a A a A j t =⎧+++==⎨≠⎩行列式计算的常用方法及注意事项：1.（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）. （2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）. （3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）. 行列式化简时注意1.尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号(1)i j+-.概念题例1.求xxx x x xD 22132121332154-=的展开式中的常数项 及x 4、3x 的系数解：45123312()123122x x x D f x xxx-==，展开式中的常数项为01230012(0)12030120f =123003*********312120120====-x 4的系数为30-，含3x 的项为()(2134)(4231)(1)12(1)33t t x x xx x x -创?-?创，系数为7例2.求行列式22357022220403--，则第4行各元素余子式之和解：4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+304022222807001111==----注意：ij a 的代数余子式与ij a 所在位置(),i j 有关，而与ij a 的取值无关。
