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2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
其解是否也能用类似的行列式来表示？？
二、三阶行列式
定义
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 .列标a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
行标
上式称为三阶行列式.
对角线法则
14.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 12 2x2 9x
x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
解 由于方程组的系数行列式
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
a31 a32 a33
若记
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
排列的逆序数
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数 it is t s则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
在三阶行列式
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
第一章 行列式
中南财经政法大学信息系
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
D1
b1 b2a12 , aFra bibliotek2D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 21 (3) (4)(2) 4
(4) 2 (3) 2(2)(2) 114
4 6 32 24 8 4
a12 x2 a22 x2
b1, b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
D a11 a12 , a21 a22
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义
记
a11
a21
对角线法则
a12 a22
a11a22 a12a21
称为二阶行列式。
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
123，231，312 132，213，321
此三项均为正号
符号与下标 的排列有关
此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排 列及其逆序数的概念及性质。
三 全排列及其逆序数的定义
定义 由 1,2, , n 组成的一个有序数组
i1 , i2 , , in
称为一个n级排列。
n级排列的总数：n!
