高中人教a版数学必修4(单元测试卷)：第25课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 含解析

第25课时 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角1.2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直．31．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2212122．若有向线段AB →，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2；若AB →＝(x ，y )，则|AB →|＝x 2＋y 2.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则求两向量的夹角θ的公式为cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.一、选择题1．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ⊥b ，则x 的值是( )A ．±2B ．0C ．－2D ．2答案：B解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，即4x ＋x ＝0，解得x ＝0，故选B.2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( )A. 3 B ．3C ．－ 3D ．－3答案：D解析：向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.选D. 3．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 的值为( )A ．－92B ．0C ．3 D.152答案：C解析：∵2a －3b ＝(2k －3，－6)．又(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.4．若A (1,2)，B (2,3)，C (－3,5)，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不等边三角形答案：C解析：∵A (1,2)，B (2,3)，C (－3,5)，∴AB →＝(1,1)，AC →＝(－4,3)，cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1×(－4)＋1×32×25＝－15 2＜0，∴∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形． 5．若向量a ＝(x ＋1,2) 和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( )A.10B.102C. 2D.22答案：C解析：由题意得，－(x ＋1)－2×1＝0得x ＝－3.故a ＋b ＝(－1,1)．∴|a ＋b |＝(－1)2＋(－1)2＝ 2 6．如图，在等腰直角三角形AOB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任意一点，OP →＝p ，则p ·(b －a )＝( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：A 解析：因为在等腰直角三角形AOB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝OB ＝1，所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0.由题意，可设OP →＝－14(b －a )＋λ·12(b ＋a )，λ∈R ， 所以p ·(b －a )＝－14(b －a )·(b －a )＋λ2(b ＋a )·(b －a ) ＝－14(b －a )2＋λ2(|b |2－|a |2) ＝－14(|a |2＋|b |2－2a ·b ) ＝－14(1＋1－0) ＝－12. 二、填空题7．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝________.答案： 5解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 8．已知点A (4,0)，B (0,3)，OC ⊥AB 于点C ，O 为坐标原点，则OA →·OC →＝________.答案：14425解析：设点C 的坐标为(x ，y )，因为OC ⊥AB 于点C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧OC →·AB →＝0AC →∥AB →， 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )·(－4，3)＝－4x ＋3y ＝03x ＋4y －12＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝3625y ＝4825，∴OA →·OC →＝4x ＝14425.9．若平面向量a ＝(log 2x ，－1)，b ＝(log 2x,2＋log 2x )，则满足a ·b <0的实数x 的取值集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <4 解析：由题意可得(log 2x )2－log 2x －2<0⇒(log 2x ＋1)(log 2x －2)<0，所以－1<log 2x <2，所以12<x <4. 三、解答题10．已知O 为坐标原点，OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA→⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴OM →＝(2,1)或OM →＝⎝⎛⎭⎫225，115.∴存在M (2,1)或M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意．11．已知平面向量a ＝(sin α，1)，b ＝(1，cos α)，－π2<α<π2. (1)若a ⊥b ，求α；(2)求|a ＋b |的最大值．解：(1)由已知，得a ·b ＝0，即sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.∵－π2<α<π2，∴α＝－π4. (2)由已知得|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝sin 2α＋1＋cos 2α＋1＋2(sin α＋cos α)＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. ∵－π2<α<π2， ∴－π4<α＋π4<3π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即1<|a ＋b |2≤3＋22，∴1<|a ＋b |≤1＋2， 即|a ＋b |的最大值为1＋ 2.12．若a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则|a ＋b |的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0，2)C ．[1,2]D ．[2，2]答案：D解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ＝2(1＋cos θ)∵θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴cos θ∈[0,1]． ∴2≤2(1＋cos θ)≤4.∴2≤|a ＋b |≤2. 13．已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．解：由题知，|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b . 由x ⊥y 得，[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －t 2k ＋3k )a ·b ＝0， ∴－k |a |2＋(t 3－3t )b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴k ＝t 3－3t 4. ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74. 即当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.。

第二章 平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐标表示及平面两点间的距离公式．基础梳理一、平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2(坐标形式)．这就是说，(文字语言)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．练习1：a ＝(2，3)，b ＝(－2，4)，则(a ＋b )·(a －b )＝－7．思考应用1．平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？解析：数量积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律．设i ，j 分别是和x 轴、y 轴同向的单位向量，则i·i ＝1，j·j ＝1，i·j ＝j·i ＝0，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i·j ＋x 2y 1i·j ＋y 1y 2j 2＝x 1x 2＋y 1y 2.数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．二、平面向量的模、夹角的坐标表示1．平面内两点间的距离公式．(1)设a ＝(x ，y )，则||a 2＝_x 2＋y 2或||a(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则⎪⎪⎪⎪AB →平面内两点间的距离公式)．2．向量垂直的判定．设a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．3．两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)．cos θ＝a · b ||a ||b ＝ 练习2：已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角是π4． 思考应用2．怎样求向量的投影？试求向量a ＝(1，2)在向量b ＝(2，－2)方向上的投影．分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．解析：设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1×2＋2×（－2）12＋22×22＋（－2）2＝－1010. ∴a 在b 方向上的投影为 | a |cos θ＝5×⎝⎛⎭⎪⎫－1010＝－22. 自测自评1．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－3，4，b ＝⎝⎛⎭⎫5，2，则||a ＝5，||b a ·b ＝－7． 2．已知a ＝⎝⎛⎭⎫2，－3，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，1，c ＝⎝⎛⎭⎫－1，－2，则a ·⎝⎛⎭⎫b ＋c ＝－3．3．在四边形ABCD 中，AC→＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则四边形ABCD 的面积为(C )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：∵AC→·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0， ∴AC→⊥BD →， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 4．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为(A ) A.655 B.65 C.135D.13 解析：a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝2×（－4）＋3×7（－4）2＋72＝655.故选A基础提升1．设m ，n 是两个非零向量，m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下不等式与m ⊥n 等价的个数有(D )①m ·n ＝0；②x 1·x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝(C )A ．－92B ．0C ．3 D.152解析：因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝(2k －3，－6)又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0；所以2(2k －3)＋(－6)＝0，解得：k ＝3.故选C.考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积．3．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，－1)，则(a ·b )·(a ＋b )＝(B )A ．(1，1)B ．(－4，－4)C ．－4D ．(－2，－2)解析：(a ·b )·(a ＋b )＝[－1×2＋2×(－1)](－1＋2，2－1)＝－4(1，1)＝(－4，－4)．故选B.4．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5， 所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝52. 答案：525．已知a ＝()4，2，则与a 垂直的单位向量坐标为________________________________________________________________________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255或⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255 6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________．答案：32巩固提高7．设向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于(A)A.52 B ．2 C ．1 D.72解析：a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，2a －b ＝(2－x ，3)．∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴a ＋2b ＝λ(2a －b )．∴⎩⎨⎧1＋2x ＝λ（2－x ），4＝3λ，∴x ＝12. 故a ·b ＝(1，2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＝1×12＋2×1＝52. 8．已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝()1，0，e 2＝()0，1.(1)求a ·b ；(2)求||a ＋b ；(3)求a 与b 的夹角的余弦值．解析：(1)由e 1＝⎝⎛⎭⎫1，0，e 2＝⎝⎛⎭⎫0，1得a ＝3e 1－2e 2＝⎝⎛⎭⎫3，－2，b ＝4e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫4，1，∴a ·b ＝12－2＝10.(2)a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫7，－1，∴⎪⎪⎪⎪a ＋b ＝5 2.(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b ||a ||b ＝1013×17＝10221221. 9．已知向量a ＝()1，2，b ＝()x ，1，(1)当x 为何值时，使()a ＋2b ∥()2a －b ？(2)当x 为何值时，使()a ＋2b ⊥()2a －b ？解析：由a ＝⎝⎛⎭⎫1，2，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，1，得a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1，4，2a －b ＝⎝⎛⎭⎫2－x ，3.(1)∵⎝⎛⎭⎫a ＋2b ∥⎝⎛⎭⎫2a －b ， ∴3⎝⎛⎭⎫2x ＋1－4⎝⎛⎭⎫2－x ＝0，解得x ＝12.(2)∵⎝⎛⎭⎫a ＋2b ⊥⎝⎛⎭⎫2a －b ，∴⎝⎛⎭⎫2x ＋1(2－x )＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝72. 10．已知三个点A ()2，1，B ()3，2，D ()－1，4.(1)求证：AB→⊥AD →； (2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．(1)证明：由A ()2，1，B ()3，2，D ()－1，4，得AB→＝()1，1，AD →＝()－3，3， 又AB→·AD →＝1×()－3＋1×3＝0，∴AB→⊥AD →. (2)解析：∵四边形ABCD 为矩形，且AB ⊥AD ，∴AD→＝BC →. 设点C ⎝⎛⎭⎫x ，y ，则⎝⎛⎭⎫－3，3＝⎝⎛⎭⎫x －3，y －2，∴⎩⎨⎧－3＝x －3，3＝y －2，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5.∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，5.又AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，4，BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，2， ∴AC →·BD →＝8＋8＝16，而⎪⎪⎪⎪AC →＝25，⎪⎪⎪⎪BD →＝25， 设AC→与BD →的夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →⎪⎪⎪⎪AC →⎪⎪⎪⎪BD →＝1625×25＝45.1．注意向量的坐标运算与向量运算的区别与联系．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________.即两个向量的数量积等于________________．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________.3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________.4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．42．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( )A. 5B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－1 B.1 C ．－1 D.1二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3) 14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)24.a·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0，∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3.∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.]2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.] 4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，①由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)， 故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 或直接根据a·b |b |计算a 在b 方向上的投影． 10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析 由题意cos α＝a·b |a||b |＝－2λ－15·λ2＋1， ∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0， ∴⎩⎨⎧ －2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10，∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45. 13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．] 14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.。

必修4第二章平面向量单元测试班级 座位号 姓名 分数一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案一、选择题(每题5分，共50分)1.若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A.6B.5C.4D.3 2.已知两个力1F 、2F 的夹角为90°，它们的合力F 的大小为10 N ，合力F 与1F 的夹角为60°，则1F 的大小为( )A.35 NB.5 NC.10ND.25 N 3.下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a ； ③若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑤若非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b ； ⑥对于任意向量a ，b ，有|a ＋b|≥|a －b|； 其中正确的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．54.若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( )A )6,3(-B )6,3(-C )3,6(-D )3,6(-5.设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）A (3,1)B (1,1)-C (3,1)或(1,1)- D 无数多个6.已知向量03≠=b a ，且关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3πC. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32π,3π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,6π 7.已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，b a +λ与b 垂直，则λ等于( )A.－1B.1C.－2D.2 8.向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于A 2-B 2 C.21 D 12-9.已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a ，0)、B (0，a )，其中常数a ＞0，点P 在线段AB 上，且有AB t AP = (0≤t ≤1)，则OP OA ⋅的最大值为( )A.aB.2aC.3aD.2a10.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AB=4,AC=3,则=⋅BC AD ( ) A 7- B 2 C 27-D 72二、填空题(每题5分，共20分)11.已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则b 在a 方向上的投影为 . 12.已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =13.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为14.已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________三、解答题(每题15分，共30分) 15.已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时， （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？16.如图2，在平行四边形ABCD ， CD CF CB CE AD AB 32,31,====b a ，. (1)用a ，b 表示EF ;(2)若4,1==b a ，∠DAB =60°，分别求EF 和FE AC ⋅的值.图2参考答案及点拨一、1.C 点拨:()()()30318,33,68=+=⋅=⋅-x x c b a ， ∴x ＝4.故选C. 2.B 点拨:1F ＝⋅F cos60°＝5 N. 3.A4. A 设(,2),0b ka k k k ==-<，而53||=b ，则2535,3,(3,6)k k b ==-=-5.C 设(,)P x y ，由AB =2AP得2AB AP =，或2AB AP =-，(2,2),(2,)AB AP x y ==-，即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ；(2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P -6.B 点拨:设a ，b 的夹角为θ，∵关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，∴∆＝b a a ⋅-2442≥0，即b a a ⋅≥62.∴θcos 62b a a ⋅≥，又∵03≠=b a .∴21cos ≤θ，∵π≤≤θ0，∴ππ≤≤θ3. 7.C 点拨:()23,4--+=+λλλb a ， ∵b a +λ与b 垂直，∴()()()()020********,423,4=+=---+=-⋅--+λλλλλ， ∴2-=λ.8.D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=-，则121128,2m m m -+=+=-9.D 点拨: ∵AB t AP =，∴ ()()OB t OA t OA OB t OA AP OA OP +-=-+=+=1(),,at at a -=∴()t a OP OA -=⋅12，∵10≤≤t ，∴2a OP OA ≤⋅.10.c二、9.13 点拨: b 在a 方向上的投影为a b a ⋅=1313=13. 10. →→-b a 2 设c x a y b →=+，则(,2)(2,3)(2,23)x x y y x y x y +-=-+= 24,231,2,x y x y x y -=+===- 11.0120 221()0,0,cos 2a b a a b a a a b a ba bθ-+=+====-,或画图来做12.45-22222()2585a t b a t b a t a bt b t t +=+=++=++，当45t =-时即可三、13.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反 14.答图2分析：（1）利用向量的三角形法则和向量相等及其运算即可得出; （2）利用数量积运算法则和性质即可得出. 解：（1）如答图2所示，.313231323132b a +-=+-=-=-=AD AB CB CD CE CF EF(2) ∵,60,4,1︒=∠==DAB b a ∴.260cos =︒⋅⋅=⋅b a b a∴3329194943132222=+⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a a b a EF . 易知b a +=+=AD AB AC ，∴()43163232313132313222-=-+=-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⋅b b a a b a b a FE AC .。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角选题明细表基础巩固1.(2018·梧州市期末)若向量a=(1,-1),b=(-2,3),则( C )(A)a⊥b (B)a∥b(C)|a+b|= (D)a-2b=(0,-7)解析:因为a+b=(-1,2),所以|a+b|==.经过验证可知:a⊥b,a∥b,不正确,a-2b=(5,-7),因此D不正确.综上可得:只有C正确.2.已知向量a=(2,1),b=(1,3),则向量2a-b与a的夹角为( C )(A)135° (B)60°(C)45°(D)30°解析:由题意可得2a-b=2(2,1)-(1,3)=(3,-1),则|2a-b|==,|a|==,且(2a-b)·a=(3,-1)·(2,1)=6-1=5,设所求向量的夹角为θ,由题意可得cos θ===,则向量2a-b与a的夹角为45°.3.(2018·豫南九校联考)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于( B )(A)-(B)1 (C)2 (D)解析:因为a⊥b,所以2m-2=0,所以m=1,则2a-b=(0,5),a+b=(3,1),所以a·(a+b)=1×3+2×1=5,|2a-b|=5,所以==1,故选B.4.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为( A )(A) (B)(C) (D)解析:a在b方向上的投影为|a|cos<a,b>====.5.已知=(-2,1),=(0,2),且∥,⊥,则点C的坐标是( D )(A)(2,6) (B)(-2,-6)(C)(2,-6) (D)(-2,6)解析:设C(x,y),则=(x+2,y-1),=(x,y-2),=(2,1).由∥,⊥,得解得所以点C的坐标为(-2,6).6.(2018·芜湖市期末)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .解析:因为向量a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2),因为|a+b|2=|a|2+|b|2,所以16+(m-2)2=1+m2+9+4,解得m=.答案:7.(2018·巢湖市质检)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是 .解析:a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a与b不共线,则解得λ<-或0<λ<或λ>,所以λ的取值范围是(-∞,-)∪(0,)∪(,+∞).答案:(-∞,-)∪(0,)∪(,+∞)8.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当k为何值时,a∥(b+c);(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.解:(1)向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7),所以b+c=(10,k+7),令1×(k+7)-2×10=0,解得k=13,所以当k=13时,a∥(b+c);(2)当k=1时,b=(2,1),由已知c=ma+nb,即(8,7)=(m+2n,2m+n),所以解得m=2,n=3.能力提升9.已知正方形OABC两边AB,BC的中点分别为D和E,则∠DOE的余弦值为( D )(A)(B)(C)(D)解析:以点O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系,设边长为1,则D(1,),E(,1),于是cos ∠DOE==.10.已知向量a=(1,0),b=(cos θ,sin θ),θ∈[-,],则|a+b|的取值范围是( D )(A)[0,2] (B)[0,](C)[1,2] (D)[,2]解析:|a+b|==.因为θ∈[-,],所以cos θ∈[0,1].所以|a+b|∈[,2].11.(2018·朝阳区期末)已知△ABC是边长为2的等边三角形.(1)若点E在边AB上,则·的最小值为;(2)若点E是△ABC区域内一点(包括边界),且||=1,则·的取值范围是.解析:(1)令|EA|=m,|EB|=n,则m≥0,n≥0,m+n=2,因为m+n≥2,所以0≤mn≤1,因为·=||||cos 180°=-mn≥-1,故最小值为-1.(2)以BC所在的直线为x轴,以B为原点建立直角坐标系,如图所示, 则B(0,0)C(2,0),A(1,),设E(x,y),因为E是△ABC区域内一点(包括边界),且||=1,所以-1≤y≤,因为=(x,y),=(x-2,y),所以·=x2-2x+y2=(x-1)2+y2-1,因为AE==1,所以(x-1)2+(y-)2=1,所以·=(x-1)2+y2-1=y2-(y-)2=2y-3,因为3-2≤2y-3≤0,所以·的取值范围是[3-2,0].答案:(1)-1 (2)[3-2,0]12.设平面上向量a=(cos α,sin α)(0°≤α≤90°),b=(-,).(1)求a与b的夹角θ;(2)求证:a+b与a-b垂直.(1)解:由题意知,|a|=1,|b|=1,a·b=-cos α+sin α.则cos θ===-cos α+sin α=cos (120°-α).因为0°≤α≤90°,所以30°≤120°-α≤120°.又0°≤θ≤180°,所以θ=120°-α,即两向量的夹角为120°-α.(2)证明:因为(a+b)·(a-b)=(cos α-,sin α+)·(cos α+,sin α-)=(cos α-)(cos α+)+(sin α+)(sin α-)=cos 2α-+sin2α-=1--=0,所以(a+b)⊥(a-b).探究创新13.(2018·昌平区期末)如图,已知A(-1,1),B(5,3),C(4,0).(1)求cos<,>;(说明<,>表示与的夹角)(2)若=λ+μ(λ,μ∈R),求的值;(3)设点P(m,-m),若P,B,C 三点共线,求m 的值. 解:(1)因为A(-1,1),B(5,3),C(4,0), 所以=(6,2),=(-1,-3).所以cos<,>===-.(2)因为=(-1,1),因为=λ+μ(λ,μ∈R), 所以(-1,1)=λ(6,2)+μ(-1,-3). 所以所以所以=.(3)因为P,B,C 三点共线, 不妨设=k (k ∈R).所以(-1,-3)=k(m-5,-m-3). 所以所以所以m=3.。

最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》同步测控2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知AB =(21,21)，=(-2,y),若AB ⊥AC ，则y 的值为( ) A.21- B.-2 C.21 D.2 解析：∵⊥，∴21·(-2)+21·y=0,解得y=2. 答案：D2.向量｜a ｜=9,｜b ｜=12,则｜a +b ｜的最大值和最小值分别为___________________. 解析：由||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |可得结果.答案：21和33.(2006高考天津卷，理12)设向量a 与b 的夹角为θ，且a =(3,3),2b -a =(-1,1)，则cosθ=____. 解析：设b =(x,y)，则2b -a =(2x,2y)-(3,3)=(-1,1)，∴=--=-132132y x ==.2,1y x ∴b =(1,2).∴cosθ=101035233213||||=??+?=?b a b a . 答案：10103 4.已知向量a 与b 同向，b =(1,2),a ·b =10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c =(2,-1)，求(b ·c )a .解：(1)∵向量a 与b 同向，b =(1,2),∴a =λb =(λ,2λ).又∵a ·b =10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a 与b 同向的条件.∴a =(2,4).(2)∵b ·c =1×2+2×(-1)=0,∴(b ·c )a =0.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知平面上直线l 的方向向量e=(53,54-)，点O(0,0)和A(1,-2)在l 上的射影分别是O 1、A 1，则11A O =λe ，其中λ等于( ) A.511 B.511- C.2 D.-2 解析：方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知λ=||cos 〈e ，〉==5·5)2,1()53,54(-?-=54--56=-2.方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e 过原点,故11A O 与e 方向相反.排除A 、C ，检验B 、D 可知D 正确.答案：D2.(2006高考江苏卷，理6)已知两点M(-2,0)、N(2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足｜MN ｜·｜MP ｜+MN ·NP =0，则动点P(x,y)的轨迹方程为( )A.y 2=8xB.y 2=-8xC.y 2=4xD.y 2=-4x 解析：=(4,0),=(x-2,y)?·=4(x-2). 由已知有22)2(4y x +++4(x+2)=0，整理得y 2=-8x.答案：B3.A 、B 、C 、D 四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形解析：∵=(1,2),=(1,2),∴=.又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB|=|DC|.∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB|=5，|BC|=17，∴|AB|≠|DC|.∴平行四边形ABCD 不是菱形也不是正方形. 又·=4+2=6≠0，∴AB 与BC 不垂直.∴平行四边形ABCD 不是矩形.答案：D4.已知｜a ｜=132,b =(-2,3)且 a ⊥b ，则 a 的坐标为_______________________.解析：设a =(x,y)，则x 2+y 2=52.由a ⊥b 得-2x+3y=0.由以上两个条件得==,4,6y x -=-=.4,6y x 答案：(6，4)或(-6，-4)5.已知A 、B 、C 、D 四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m 、n 满足什么条件时，四边形ABCD 分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)?解：由条件知=(3,3),=(-2,1),AD=(m-1,n),=(2-m,4-n).(1)若四边形ABCD 为平行四边形，则=，∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1. ∴当m=-1,n=1时,四边形ABCD 为平行四边形.(2)当m=-1,n=1时，=(3,3),=(-2,1).则||=23,||=5,||≠||.因此，使四边形ABCD 为菱形的m 、n 不存在.(3)当m=-1,n=1时，AB ·AD =(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB 、CD 不垂直.因此使四边形ABCD为距形的m 、n 不存在.(4)由(2)、(3)知，使四边形ABCD 为正方形的m 、n 不存在.(5)若四边形ABCD 为梯形，则=λ或=λ，其中λ为实数，且λ＞0,λ≠1. 所以?=-=-λλ34,32n m (λ＞0,λ≠1)或=-=-λλn m ,21(λ＞0,λ≠1). 整理得m 、n 的取值条件为n=m+2(m ＜2,m≠-1)或n=221m -(m ＜1,m≠-1). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180°，且｜b ｜=53，则b 等于( )A.(-3，6)B.(3，-6)C.(6，-3)D.(-6，3)解析：方法一：设b =λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=(53)2?b=(-3，6).方法二：由题意可知，向量a ,b 共线且方向相反.故可由方向相反排除B ，C ；由共线可知b =-3a . 答案：A2.已知平面向量a =(3，1)，b =(x ，-3)，且a ⊥b ，则x 等于( )A.3B.1C.-1D.-3解析：由3x+1×(-3)=0,得x=1.答案：B3.已知m =(1，0)，n =(1，1)，且m +k n 恰好与m 垂直，则实数k 的值为( )A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对解析：m +k n =(1，0)+k(1，1)=(1+k ，k)，∵m +k n 与m 垂直，∴(m +k n )·m =0，即(1+k ，k)·(1，0)=0.∴(1+k)×1+k×0=0，得k=-1.答案：B4.设m 、n 是两个非零向量，且m =(x 1，y 1)，n =(x 2，y 2)，则以下等式中与m ⊥n 等价的个数有( )①m ·n =0 ②x 1x 2=-y 1y 2 ③｜m +n ｜=｜m -n ｜④｜m +B ｜=22n m +A.1B.2C.3D.4解析：由两非零向量垂直的条件可知①②正确，由模的计算公式与向量垂直的条件可知③④也正确.答案：D5.(2006高考湖南卷，理5)已知｜a ｜=2｜b ｜≠0,且关于x 的方程x 2+｜a ｜x+a ·b =0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.［0,6π］B.［3π,π］C.［3π,32π］D.［6π,π］解析：方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根可推出|a |2-4a ·b ≥0.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ=2||21||||a b a b a b a ?=?≤21，∴θ∈［3π,π］. 答案：B6.已知向量a 和b 的夹角为120°，且｜a ｜=2，｜b ｜=5，则(2a -b )·a =________________. 解析：(2a -b )·a =2a 2-b ·a =2×22-5×2×cos120°=8+5×2×21=13.答案：137.在△ABC 中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3)，则k 的值是___________________. 解析：∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=-23. 答案：-23 8.设两向量e 1、e 2满足｜e 1｜=2，｜e 2｜=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：∵21e =4，22e =1，e 1·e 2=2×1×cos60°，∴(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)=2t 21e +(2t 2+7)e 1·e 2+7t 22e =2t 2+15t+7.∴2t 2+15t+7＜0.∴-7＜t ＜21-. 设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2)(λ＜0)，则2t=λ，且7=tλ，∴2t 2=7.∴t=214-，λ=14-.∴t=214-时， 2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π，故t 的取值范围是(-7，214-)∪(214-，21-). 9.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，点X 为直线OP 上的一动点.(1)当·取最小值时，求OX 的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AXB 的值.解：(1)设=(x,y)，因为点X 在直线OP 上，所以向量OX 与OP 共线. 又=(2,1)，所以x·1-y·2=0,x=2y.所以=(2y,y). 又-=且=(1,7)，所以=(1-2y,7-y). 同理，OX OB XB -==(5-2y,1-y).于是有XA ·XB =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)2-8.所以当y=2时，·=5(y-2)2-8有最小值-8，此时=(4,2).(2)当=(4,2)，即y=2时，有=(-3,5),=(1,-1),||=34,||=2,·=-3×1+5×(-1)=-8.所以cos ∠||||XB XA =171742348-=?-. 10.如图2-4-3所示，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角三角形ABC ，使∠B=90°，求点B 和向量的坐标.图2-4-3解：设B 点坐标(x ，y)，则=(x ，y)，=(x-5，y-2), ∵⊥,∴x(x-5)+y(y-2)=0,即x 2+y 2-5x-2y=0.又∵||=||，∴x 2+y 2=(x-5)2+(y-2)2，即10x+4y=29.由=+=--+2941002522y x y x y x ?-==23,2711y x 或==.27,2322y x∴B 点坐标为(27，-23)或(23，27)，=(-23，-27)或(-27，23). 11.平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，OA =(-2,m)，OB =(n,1),OC =(5,-1),且OA ⊥OB ，求实数m 、n 的值.解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以=λ.因为OA OC AC -==(7,-1-m)，OA OB AB -==(n+2,1-m),所以(7,-1-m)=λ(n+2,1-m),即-=++=).1(1),2(7m m n λλ 所以mn-5m+n+9=0. ① 由·=0，得m-2n=0. ②由①②得m=6,n=3或m=3,n=23. 快乐时光偶像与起床小明总是睡懒觉，有一天，小明妈妈批评他说：“你看隔壁小华每天天还没亮就起床了，你就不能早起一点？”小明理直气壮地回答：“妈妈！我跟他不一样，人家小华崇拜的偶像是黎明！我崇拜的偶像是作家卧龙生.”。

课后训练1．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ＝(2,4),3a ＋2b ＝(4,8)，则a ·b ＝( )A ．－10B ．10C ．－20D ．203．向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．5B ．10C ．25D ．104．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||||PA PB PC +＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．105．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3),2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．865-C ．1665D ．1665- 6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝__________．7．已知a ＝(1,0)，|b |＝1，c ＝(0，－1)满足3a ＋k b ＋7c ＝0，则实数k 的值为__________．8．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．9．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)．(1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值；(2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值．10．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(其中0＜α＜π)，O 为坐标原点，若|OA ＋OC |＝7，求OB 与OC 的夹角．参考答案1答案：D 解析：∵a ＋b 与a 共线，∴a ＋b ＝λa ，即(1＋2，k ＋2)＝λ(1，k )．由3,2,k k λλ=⎧⎨+=⎩解得3,1.k λ=⎧⎨=⎩故a ＝(1,1)，则a ·b ＝1×2＋1×2＝4． 2答案：A 解析：由已知a 2＝|a |2＝20，∴a ·(3a ＋2b )＝3a 2＋2a ·b ＝60＋2a ·b ＝40，∴a ·b ＝－10．3答案：B 解析：由a ⊥c ，b ∥c 得240,24,x y -=⎧⎨=-⎩解得2,2,x y =⎧⎨=-⎩ ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝10．4答案：D 解析：由已知以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，不妨设点A 坐标为(4,0)，点B 坐标为(0,4)，则点D 的坐标为(2,2)，点P 坐标为(1,1)．∴PA ＝(3，－1)，PB ＝(－1,3)，PC ＝(－1，－1)， ∴222||||1010||2PA PB PC ++=＝10． 5答案：C 解析：由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，从而cos 〈a ，b 〉＝16||||65⋅=a b a b ． 6答案：82 解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82．7答案：58± 解析：k b ＝－3a －7c ＝－3(1,0)－7(0，－1)＝(－3,7)．∴|k b |＝|k |·|b |＝2(3)4958-+=．∵|b |＝1， ∴58k =±． 8答案：(1)31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(2)255- 解析：(1)因为2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为31,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，即31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (2)b －3a ＝(－2,1)，设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝(3)(2,1)(1,0)25|3|||551-⋅-⋅==--⨯b a a b a a ． 9答案：解：(1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1．(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )，a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )，∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，∴12k =-． 10答案：解：由已知得OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)． ∵|OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7．即4＋4cos α＋cos 2α＋sin 2α＝7．∴cos α＝12，又α∈(0，π)，∴sin α＝32． ∴OC ＝13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又OB ＝(0,2)．∴cos ∠BOC ＝||||OB OC OB OC ⋅＝32， ∴∠BOC ＝π6．故OB 与OC 的夹角为π6．。

第 25 课时 平面向量的数目积的坐标表示、模、夹角课时目标1.掌握向量数目积的坐标表示，会进行向量数目积的坐标运算．2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量能否垂直． 3．能运用数目积的坐标求出两个向量夹角的余弦值．识记加强1．若 a ＝ (x 1 ，y 1 )， b ＝ (x 2， y 2)，则 a ·b ＝ x 1 x 2＋ y 1y 2.2．如有向线段 →→ x 2－ x 1 2＋ y 2－ y 1 → AB ，A(x 1，y 1)，B( x 2，y 2 )，则 |AB|＝ 2；若 AB ＝ (x ，y)， → 则|AB|＝ x 2＋ y 2. ， y )，则 a ⊥ b? x x ＋ y y ＝ 0.3．若 a ＝ (x ，y )， b ＝ (x1122121 24．两向量 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，则求两向量的夹角 θ的公式为x x ＋ y y2121 2.cos θ＝ 22 2 ＋ yx ＋ y· x2112课时作业一、选择题1．设向量 a ＝ (x,1)， b ＝ (4， x)，且 a ⊥b ，则 x 的值是 () A ．±2 B ． 0 C ．－ 2 D ． 2 答案： B分析： 由 a ⊥ b ，得 a ·b ＝ 0，即 4x ＋ x ＝ 0，解得 x ＝0，应选 B.2．已知向量 a ＝ (0 ，－ 2 3)， b ＝ (1， 3)，则向量 a 在 b 方向上的投影为 ( )A. 3B ．3C ．－ 3D ．－3 答案： D分析： 向量 a 在 b 方向上的投影为a ·b－ 62 ＝－ 3.选 D.|b| ＝3．已知向量 a ＝ (k,3)，b ＝ (1,4)， c ＝ (2,1)，且 (2a － 3b)⊥ c ，则实数 k 的值为 ()9A ．－ 2B ． 015C ．3D. 2答案： C分析： ∵2a － 3b ＝ (2k －3，－ 6)．又 (2a － 3b)⊥ c ，∴(2a － 3b) ·c ＝ 0，即 (2k － 3)× 2＋( －6)＝ 0，解得 k ＝ 3.4．若 A(1,2) ， B(2,3)， C(－ 3,5)，则△ ABC 为 ()A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不等边三角形答案： C分析： ∵A(1,2)， B(2,3)， C(－ 3,5)， → → ∴AB ＝ (1,1)， AC ＝ (－ 4,3)，→ → 1× －4 ＋1×3cosA ＝ AB ·AC＝ 1 ＜ 0，∴∠A 为钝角，△ ABC 为钝角三角形．＝－→ → 2× 25 5 2|AB||AC|5．若向量 a ＝ (x ＋ 1,2) 和向量 b ＝ (1，－ 1)平行，则 |a ＋ b|＝()10A. 10B. 22C. 2D. 2答案： C分析： 由题意得，－ (x ＋ 1)－ 2× 1＝ 0得 x ＝－ 3.故 a ＋b ＝ (－ 1,1)．∴|a ＋ b|＝ － 1 2＋ － 1 2＝ 2→ →6．如图，在等腰直角三角形 AOB 中，设 OA ＝ a ， OB ＝ b ，OA ＝ OB ＝ 1， C 为 AB 上靠→近点 A 的四平分点，过 C 作 AB 的垂线 l ，设 P 为垂线上随意一点， OP ＝ p ，则 p ·(b － a)＝ ( )1 1 A ．－2 B.23 3C ．－ 2 D.2答案： A分析： 由于在等腰直角三角形→ →AOB 中， OA ＝a ，OB ＝ b ，OA ＝ OB ＝ 1，因此 |a|＝ |b|＝ 1，a ·b ＝0.→ 1 1由题意，可设 OP ＝－(b － a)＋ λ·(b ＋ a)， λ∈ R ，42因此 p ·(b － a)1λ＝－ 4( b － a) ·(b － a)＋2(b ＋ a) ·(b － a)1 2 λ2 2＝－ 4( b － a) ＋2(|b| － |a| )＝－ 1(|a|2＋ |b|2－ 2a ·b)4 1＝－ 4(1 ＋1－0)1＝－ 2.二、填空题7．已知 a ＝ (1,2)， b ＝ (x,4)，且 a ·b ＝ 10，则 |a － b|＝ ________. 答案： 5分析： 由题意，得 a ·b ＝ x ＋ 8＝10，∴x ＝ 2，∴a － b ＝(－ 1，－ 2)，∴|a － b|＝ 5.→ →8．已知点 A(4,0)， B(0,3)， OC ⊥ AB 于点 C ，O 为坐标原点，则 OA ·OC ＝ ________.答案：14425分析： 设点 C 的坐标为 ( x ，y)，由于 OC ⊥AB 于点 C ，→ →＝0OC ·AB∴→ ，→AC ∥ABx ， y ·－4， 3 ＝－ 4x ＋3y ＝ 0即，3x ＋ 4y － 12＝ 036x ＝25→ → 144解得48，∴OA ·OC ＝ 4x ＝ 25 .y ＝259．若平面向量 a ＝ (log 2x ，－ 1)， b ＝(log 2x,2＋ log 2x)，则知足 a ·b<0 的实数 x 的取值会合为 ________．1答案： x 2<x<4分析： 由题意可得 (log 2x)2－ log 2x － 2<0? (log 2x ＋ 1)(log 2x － 2)<0，因此－ 1<log 2x<2，所1以 2<x<4.三、解答题→ → →，则在线段 OC 上能否存在10．已知 O 为坐标原点， OA ＝(2,5)，OB ＝ (3,1) ，OC ＝ (6,3) → →M 的坐标；若不存在，请说明原因．点 M ，使得 MA ⊥ MB ？若存在，求出点 →→解： 假定存在点 M ，且 OM ＝ λOC ＝ (6λ， 3λ)(0 ≤λ≤ 1)，→ → －6λ， 1－ 3λ)． ∴ MA ＝ (2－ 6λ， 5－ 3λ)， MB ＝(3→ →∵MA ⊥MB ，∴ (2－ 6λ)(3－ 6λ)＋ (5－ 3λ)(1－ 3λ)＝ 0，21 或 λ＝ 11即 45λ－48λ＋ 11＝ 0，解得 λ＝15.3→ → 22 ， 11 ∴ OM ＝ (2,1) 或OM ＝ 5 5 .2211∴存在 M(2,1) 或 M，知足题意．π π11．已知平面向量a ＝(sin α， 1)， b ＝ (1， cos α)，－ 2<α<2.(1)若 a ⊥ b ，求 α；(2)求 |a ＋ b|的最大值．解： (1)由已知，得 a ·b ＝0，即 sin α＋ cos α＝ 0，∴ tan α＝－ 1.∵－ π π π<α< ，∴ α＝－ .2 2 4(2) 由已知得 |a ＋ b|2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ 2a ·b ＝ sin 2α＋ 1 ＋ cos 2α＋ 1 ＋ 2(sin α＋ cos α)＝ 3 ＋ 2 2 π sin α＋ 4 .∵－ π π<α< ，2 2∴－ π π 3π2α＋ π ≤ 1，即 1<|a ＋ b|2≤ 3＋ 2 2，∴ 1<|a ＋ b|≤ 1＋ 2， <α＋ < ，∴－<sin即 |a＋ b|的最大值为1＋ 2.能力提高π π12．若 a＝ (1,0)， b＝ (cosθ， sinθ)，θ∈－，，则|a＋b|的取值范围是()2 2A．[0，2] B． [0， 2)C．[1,2]D．[ 2，2]答案： D分析： |a＋ b|2＝ (a＋ b)2＝ a2＋ 2a·b＋ b2＝2＋ 2cosθ＝ 2(1＋ cosθ)π π∵θ∈ －2，2，∴cosθ∈ [0,1] ．∴2≤ 2(1＋ cosθ)≤4.∴2≤ |a＋ b|≤ 2.13．已知 a＝ (3，－ 1)， b＝(1，3)，且存在实数k 和 t，使得 x＝a＋ (t 2－ 3)b， y＝－22k＋ t2ka＋ tb，且 x⊥ y，试求的最小值．t解：由题知， |a|＝2， |b|＝ 1，13a·b＝3×2－ 1×2＝ 0，∴ a⊥ b.由 x⊥y 得， [a＋ (t2－ 3)b] ·(－ ka＋ tb)＝ 0，即－ ka2＋ (t3－ 3t)b2＋ (t－ t2k＋ 3k)a·b＝0，∴－ k|a|2＋ (t3－ 3t)b2＝ 0.t 3－ 3t∵ |a|＝ 2， |b|＝ 1，∴ k＝.4k＋ t 2 12＋4t127.∴＝(t－ 3)＝ (t＋ 2)－t444即当 t＝－ 2k＋ t27时，t有最小值－4.。

双基达标 (限时20分钟)1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a ·b ＝( )．A ．5B ．4C ．－2D ．－1解析 a ·b ＝1×2＋(－1)×3＝－1.答案 D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，x )，a ⊥b ，则x ＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇒－2＋x ＝0⇒x ＝2.答案 D3．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )．A.π6B.π4C.π3D.π2解析 a ·b ＝3＋2＝5，|a |＝10，|b |＝5，设夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝55×10＝22.又θ∈[0，π]，∴θ＝π4. 答案 B4．已知A (－3,2)，B (0，－2)，则|AB →|＝________.解析 ∵AB →＝(3，－4)．∴|AB →|＝32＋(－4)2＝5.答案 55．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k ,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________．解析 BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k ,1)＝(2－k ,2)．∵∠C ＝90°，即AC →⊥BC →，∴2(2－k )＋3×2＝0，k ＝5.答案 56．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角．∴⎩⎨⎧ λ－1<0，1≠－λ，即⎩⎨⎧λ<1，λ≠－1.∴λ<1且λ≠－1，∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 综合提高 (限时25分钟)7．(2012·烟台高一检测)若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )． A.655 B.65 C.135 D.13解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－4×2＋3×74＋9×16＋49＝55， ∴a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655.答案 A8．以下选项中，不一定是单位向量的有( )．①a ＝(cos θ，－sin θ)；②b ＝(lg 2，lg 5)；③c ＝(2x,2－x )；④d ＝(1－x ，x )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析 因为|a |＝1，|b |＝1，|c |＝(2x )2＋(2－x )2 ≥ 2≠1，|d |＝(1－x )2＋x 2＝2x 2－2x ＋1＝2(x －12)2＋12≥22.故选B. 答案 B9．已知向量OA →＝(k ,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k ,10)，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝________.答案 －2310．已知点A (2,3)，若把向量OA →绕原点O 按逆时针旋转90°得到向量OB →，则点B 的坐标为________．解析 设点B 的坐标为(x ，y )，因为OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，所以⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝0，x 2＋y 2＝13， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝3y ＝－2(舍去)． 故B 点的坐标为(－3,2)．答案 (－3,2)11．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量a －λb 与2a ＋b 垂直，求λ的值．解 (1)|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝ 5.a ·b ＝－1×4＋3×2＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝25×5＝2525. (2)a －λb ＝(4,3)－(－λ，2λ)＝(4＋λ，3－2λ)．2a ＋b ＝(8,6)＋(－1,2)＝(7,8)．若(a －λb )⊥(2a ＋b )，则7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝529.12．(创新拓展)已知点A (1,2)和B (4，－1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ACB ＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C 点的坐标．解 假设存在点C (0，y )使∠ACB ＝90°，则AC →⊥BC →.∵AC →＝(－1，y －2)，BC →＝(－4，y ＋1)，AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝4＋(y －2)(y ＋1)＝0，∴y 2－y ＋2＝0.而在方程y 2－y ＋2＝0中，Δ<0，∴方程无实数解，故不存在满足条件的点C.。