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1.5 可测集与可测函数1.5.1 可测集与可测函数定义1.5.1 设X 是基本空间，R 是X 上的σ-代数，且E X E ∈=R， 则称(,)X R 是可测空间(measurable space)，R 中的元素E 是(,)X R 上的可测集(measurable set)。
特别地，当1X =R ，=R L 时，称1(,)R L 是Lebsgue 可测空间；Lebsgue 可测空间上的可测集称为Lebsgue 可测集；当1X =R ，()==0R S R B 时，称1(,)R B 是Borel 可测空间；Borel 可测空间上的可测集（即：Borel 集）称为Borel 可测集.注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在σ-代数R 上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。
定义1.5.2 设(,)X R 是可测空间，E X ⊂，f 是定义在E 上的有限实函数。
若对一切实数c ，集(){(),}E c f x c f x x E ≤=≤∈都是(,)X R 上的可测集（即：()E c f ≤∈R ），则称f 是E 上关于R 的可测的函数，简称E 上的可测函数(measurable function)。
特别地，当1(,)(,)X =R R L 时，称f 是E 上关于L 的Lebsgue 可测函数； 当1(,)(,)X =R R B 时，称f 是E 上关于B 的Borel 可测函数。
定理1.5.1 设(,)X R 是可测空间，f 是定义在E X ⊂上的有限实函数。
则f 是E 上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数,c d ，集()E c f d ≤<是可测集。
证 设f 是可测函数，由于()()()E c f d E c f E d f ≤<=≤-≤，而()E c f ≤和()E d f ≤都是可测集，所以()E c f d ≤<是可测集。
borel 可测函数引言在数学中，可测函数是一个重要的概念。
而在可测函数的理论中，Borel 可测函数则是一个特殊的概念，起到了重要的作用。
本文将对 Borel 可测函数进行全面、详细、完整且深入地探讨。
一、可测函数的定义可测函数最早起源于测度论的研究。
假设给定一个测度空间（X, Σ, μ），其中X 是一个非空集合，Σ 是 X 的一个σ-代数，μ 是定义在Σ 上的一个测度。
那么一个函数f : X → ℝ（或者是f : X → ℂ）被称为可测函数，如果对于任意的实数 a，有集合{x ∈ X : f(x) > a} 在σ-代数Σ 中。
换句话说，可测函数是一个这样的函数，其反像集在给定的σ-代数中。
二、Borel 可测函数的概念Borel 可测函数是可测函数的一种特殊情况，其定义如下：如果一个函数 f : X → ℝ（或者是 f : X → ℂ）的每一个实数 a 的反像集{x ∈ X : f(x) > a} 都属于所给测度空间的Borel σ-代数，那么这个函数被称为 Borel 可测函数。
三、Borel 可测函数的性质Borel 可测函数有许多重要的性质，下面将介绍其中的一些性质。
1. Borel 可测函数的基本性质Borel 可测函数的一个重要性质是：任意两个 Borel 可测函数的和、差、积、商（当分母不为零时）仍然是 Borel 可测函数。
这个性质可以从 Borel 可测函数的定义中直接推导出来，并且在实际应用中非常有用。
2. 可测函数的逼近性质对于一个 Borel 可测函数，可以用简单函数逼近它。
简单函数是指一个形式为有限个指示函数之和的函数形式。
具体而言，对于一个 Borel 可测函数 f : X → ℝ，可以找到一个递增的简单函数序列{φ_n}，使得它们逐点收敛到 f。
3. Borel 可测函数的连续性性质Borel 可测函数在某些情况下具有连续性。
例如，如果 f 是一个定义在闭区间 [a, b] 上的 Borel 可测函数，且对于该区间上的任意一个点 x，存在一个开邻域 U_x，使得 f 在 U_x 上连续，那么 f 在区间 [a, b] 上是连续的。
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE ix E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩ 注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。
补充:特征函数定义1 设X 是非空全集 ， , 称为集合A 的特征函数.显然的充分必要条件是A=B .例如：取，，则特征函数如图图1-13-1 特征函数 定理1（1）；（2）；X A ⊂A x A x x A ∉∈⎩⎨⎧=01)(χ）X x x x B A ∈=()()(χχ[]0,1X =1,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0)(1)(≡=≡=x A x X A A A χφχ充分必要条件是；充分必要条件是)(,)()(X x x x B A B A ∈∀≤⊂χχ充分必要条件是（3）.特别 时；（4）；（5）；（6）；（7） 设是任一集列，则；（8）存在，且当极限存在时，.证明 仅证（3），（7）. ；（3） 任意，.当时，；当 时，；同理；)()()()(x x x x B A B A B A χχχχ-+=φ=B A )()()(x x x B A B A χχχ+= )()()(x x x B A B A χχχ= )](1)[()(\x x x B A B A χχχ-=)(min )(,)(max )(x x x x A A A A ααααααχχχχααΛ∈Λ∈==Λ∈Λ∈{}k A )(lim )()(lim )(lim lim x x x x kkkkkkA kA A kA χχχχ==)()(lim lim X x x A k A k k k ∈∞→∞→任意，存在的充分必要条件是χ)()(lim )(lim X x x x kkkA k A ∈=∞→χχX x ∈B A B A x ⊂∈)(1111)()()(x x x x x x B A B A B A χχ==-+=-+B A x \∈)(1001)()()(x x x x B A B A B A χχχχ==-+=-+)()()()(\x x x x AB x B A B A B A χχχχ=-+∈有当 时，有.（7） 设是任一集列，则；（7） 先证任意，存在使，故，从而.又由特征函数定义知，所以；当，存在自然数N ，，故 ,，而，所以也有，故.再证任意时，存在自然数N ，，故,从而，而，所以；cB A x )( ∈)(0000)()()(x x x x B A B A B A χχχχ==-+=-+{}k A )(lim )()(lim )(lim lim x x x x kkkkkkA kA A kA χχχχ==lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=kkA x X x lim ,∈∈当i k A )2,1( =i ik A x ∈1)(=x ik A χlim ()1k A kx χ=lim ()1kkA x χ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=kkA x lim ∉时取N k >kA x ∉0)(=x k A χ)(N k >lim ()0k A kx χ=从而lim ()0kkA x χ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=x X ∀∈lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=,x X ∈当lim kkx A ∈时取N k >kx A ∈()1kA x χ=)(N k >lim ()1k A k x χ=lim ()1k k A x χ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=当时，.由下限集的定义知,存在无穷多个,使于是,从而,所以,因此.第三章 可测函数为了建立新的积分即Lebesgue 积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数——可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系.首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在中某点集上的实值函数，且允许它取值±∞.另外，我们规定：(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，对于任意实数a ，总有a +(+∞)=(+∞)+a =+∞，a +(-∞)=-∞， 对于b >0，c <0，b ·(±∞)=±∞，c ·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0，对，，对，，但（+∞）-（+∞），（±∞）+（∞），（-∞）-（-∞）均无意义.§1 可测函数的定义及简单性质lim kkx A ∉lim ()0kkA x χ=ik A ,i k x A ∉()0k i A x χ=lim ()0k A kx χ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=lim ()lim ()kkkA A kx x χχ=x X ∀∈nR ∞≠b o b =∞o c ≠∞=o c可测函数的定义方法很多，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义.一、可测函数的定义及等价定义1．简单函数定义1 设为一个可测集，为定义在上的实函数，如果（1）=，其中为两两不交的可测集，（2）在每个上=，即= ，亦即，其中表示的特征函数，则称为上的简单函数.图3-1-1 简单函数E nR ⊂)(x f E E mi iE1=iE i E )(x f i c )(x f ⎩⎨⎧1C C m 1E x E x m ∈∈ ∑==mi E i x c x f i 1)()(χ)(x iE χiE )(x fE显然= 及 =均为其定义域上的简单函数.图3-1-2 符号函数可以证明，可测集上的两个简单函数的和、差及乘积仍为上的简单函数；当时，也是上的简单函数.另外，若是G 上的函数，是可测集上的简单函数，且 ，则仍为上的简单函数.例1 证明可测集上的两个简单函数的和仍为上的简单函数证明 设是上的简单函数，下证也是上的简单函数.事实上，)(x D ⎩⎨⎧01上的无理点为上的有理点为]1,0[]1,0[x x )sgn(x ⎪⎩⎪⎨⎧-101000<=>x xx E )(),(x g x f E 0)(≠x g )()(x g x f E )(u f 1R ⊂)(x g u =nR E ⊂)(E g G ⊂)]([x g f E E )(),(x g x f E ()(),f x g x E ()()f x g x +E设，那么，其中则是个互不相交的可测集，且所以是上的简单函数.定义2 设为上的非负实函数, 集合{}称为在上的下方图形, 记为 ,当时,简记为.()()()()11,i j n mi A j B i j f x a x g x b x χχ====∑∑()()11,,n m i j ik j l i j E A B A A i k B B j k =====∅≠=∅≠()1111n m n mi j i j i j i j E A B A B ====⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1,2,,;1,2,i n j m ==ijA B mn ()()()()()()()()11111111i j i j i j i j nmnmmni A j B i A B j A B i j i j j i n mi j A B i j f x g x a x b x a x b x a b x χχχχχ========+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑()()f xg x +E )(x f n R E ⊂)(0,),(x f y E x y x <≤∈1+⊂n R )(x f E ),(f E G n E R =()Gf图3-1-3 下方图形 例2 如果是中可测子集的示性函数：则，这都是中的可测集.例3 设为可测集上的非负简单函数,即,其中,为两两不交的可测集, 则为可测集, 且.证明 不难证明,其中也互不相交.而为中的可测集, 且,所以.()E x ϕnR E ()1,,0,,E x E x x E ϕ∈⎧=⎨∉⎩当当)(0,),(x f y E x y x <≤∈()[)()[),0,1,0,1n E E G E E G R ϕϕ=⨯=⨯1n R +)(x f nR E ⊂∑==mi E i x c x f i 1)()(χ1m ii E E ==iE ),(f E G imi i E m c f E mG ∑==1),(1(,)(,)m i i G E f G E f ==),(f E G i ),0[})(0,),{(),(i i i i i c E c x f y E x y x f E G ⨯==<≤∈=1+n R ii i i i i i mE c c m mE c E m f E mG =⋅=⨯=),0[)),0[(),(∑∑====mi ii m i i mE c f E mG f E mG 11),(),(。
