(完整)五大基本初等函数性质及其图像

五个重要的初等函数的图像和性质：一、羊角线：y=|x-a|（1）图像性质：单调性，对称性，（2）应用：①方程|x-2|=2a-1有两个不等实根，求a 的取值范围；②|x-2|=(1/2)x+a 有两个不等实根，求a 的取值范围；③若y=|x-2a+1|是偶函数，求a 的取值范围；二、槽形线：y=|x-a|+|x-b|（1）图像：值域，单调性，对称性（2）应用：①方程|x-2|+|x-3|=2a-1有2个不等实根，求a 的取值范围；②|x-2|+|x-3|> 2a+1恒成立，求a 的取值范围；③若y=|x-2a|+|x-3a+1|是偶函数，求a 的值；④若|x-2|+|x-3|> 3，求a 的取值范围.三、Z 形线：y=|x-a|-|x-b|（1）图像：值域，单调性，对称性（2）应用：①方程|x-2|+|x-3|=2a-1仅有一个实根，求a 的取值范围；②若|x-2|-|x-3|> 2a+1恒成立，求a 的取值范围；③若y=|x-2a|-|x-3a+1|是奇函数，求a 的值；④若|x+2|-|x-3|> 3，求a 的取值范围.引申：无解问题，有解问题 四、最简分式函数：bc)ad 0,(c dcx b ax y ≠≠++= （1）图像：定义域、值域、单调性、对称性、对称中心原式化为：dcx c a d cx b d cx y c ad bc c ad ca ++=++-+=-)(，移项整理则有：)(c d cad bc c ad bc x d cx c a y --=+=---故有： ⅰ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠⎪⎩⎪⎨⎧=-=-≠≠++=;)2(),,()1(),0(的一切实数值域为渐近线为双曲线中心为c a y c a y c d x c a c d bc ad c d cx b ax y ； ⅱ当02>-cad bc 即ad bc >时，函数由反比例函数将对称中心按向量),(c a c d -=ξ平移，再经过横向的伸缩变换（102<-<c ad bc 时横向伸长，21cad bc -<时横向缩短）而得； ⅲ当20cad bc -<即ad bc <时，函数由反比例函数将对称中心按向量),(c a c d -=ξ平移，然后做关于X 轴的对称变换，再经过横向的伸缩变换而得（1||02<-<c ad bc 时横向伸长，||12cad bc -<时横向缩短）而得。

在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。

一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。

它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。

二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。

幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。

3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。

② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。

③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。

2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；3y1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1(1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

初等函数1、基本初等函数及图形基本初等函数为以下五类函数：(1)幂函数y x，是常数；1. 当 u 为正整数时，函数的定义域为区间x ( , )，他们的图形都经过原点，并当u>1 时在原点处与 X 轴相切。

且 u 为奇数时，图形对于原点对称；u 为偶数时图形对于 Y 轴对称；2. 当 u 为负整数时。

函数的定义域为除掉x=0 的全部实数。

3. 当 u 为正有理数 m/n 时， n 为偶数时函数的定义域为（0, + ）， n 为奇数时函数的定义域为（- + ）。

函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）.假如 m>n 图形于 x 轴相切 ,假如 m<n,图形于 y 轴相切 ,且 m 为偶数时 ,还跟 y 轴对称 ;m,n 均为奇数时 ,跟原点对称.4.当 u 为负有理数时 ,n 为偶数时除 x=0 之外的一确实数.,函数的定义域为大于零的一确实数;n 为奇数时,定义域为去(2)指数函数y ax(a是常数且a 0，a 1)，x ( , )；1.当 a>1 时函数为单一增 ,当 a<1 时函数为单一减 .2.无论 x 为什么值 ,y 老是正的 ,图形在 x 轴上方 .3.当 x=0 时,y=1, 因此他的图形经过 (0,1)点 .(3)对数函数y logax(a是常数且a 0，a 1)，x (0, )；1.他的图形为于 y 轴的右方 .并经过点 (1,0)2.当 a>1 时在区间 (0,1),y 的值为负 .图形位于 x 的下方 ,在区间(1, + ),y 值为正 ,图形位于 x 轴上方 .在定义域是单一增函数 .a<1 在适用中极少用到 /(4)三角函数正弦函数y sin x ， x ( , ) ， y[ 1,1] ，余弦函数y cos x ，x( , ) ， y[ 1,1] ，x kZ ，y (, ) ，正切函数y tan x ， 2 ，k余切函数y cot x，x k，k Z，y ( , )；(5)反三角函数y arcsin x ，x [ 1,1] y [ , ]反正弦函数， 2 2 ，反余弦函数y arccosx ，x[ 1,1] ， y [0,] ，y arctan x ，x ( , ) y ( , )反正切函数， 2 2 ，反余切函数y arc cot x ，x(, ) ， y (0,) ．函数名称函数的记号函数的图形指数函数对数函数幂函数a 为随意实数这里只画出部分函数图形的一部分。

⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。

三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。

一、一次函数与二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（1）对数的定义： ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化： log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式： log 10a =，log 1a a =，log ba ab =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 （5）对数函数五、反函数（1）反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（2）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（3）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．六、三角函数的图像和性质（一）正弦与余函数的图像与性质 函数 x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域 []1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时，单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴 对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数 x y tan = x y cot =图像定域义 {|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 {|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域 RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π七、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 []1,1-[]1,1-值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π 单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无 无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数反余切函数arccot y x = 是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 (,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ()0,π。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。

二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。

性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。

图像：见附录图1。

三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。

性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。

当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。

图像：见附录图2。

四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。

性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。

当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。

图像：见附录图3。

五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。

性质：对数函数是指数函数的逆函数。

当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。

图像：见附录图4。

六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。

性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（此中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0C0y yy Cx y 0xO O平行于x 轴的直线y 轴自己定义域R定义域R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；1y y x1.幂函数的图像：2y x2y xy x3y x1O x2.幂函数的性质；性质y x y x231y x1y x y x2函数定义域R R R[0,+ ∞ ){x|x ≠ 0}值域R[0,+ ∞ )R[0,+ ∞ ){y|y ≠ 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单一性增[0,+∞) 增增增(0,+∞ )减(-∞ ,0] 减(-∞ ,0)减公共点（ 1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ( , )，他们的图形都经过原点，并当α>1 时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形对于原点对称；α为偶数时图形对于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除掉x=0 的全部实数；3）当α为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）假如 m>n 图形于 x 轴相切，假如m<n,图形于 y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称； m， n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一确实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 之外的一确实数。

三、指数函数 y a x(x是自变量,a是常数且a0， a1)，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1.指数函数的图象：yy a x y a xy(a 1)(0a1)(0,1)y1(0,1)y1 O x O x2.指数函数的性质；性质y a x(a1)y a x(0 a 1)函数定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时，y 1单一性在（，）是增函数在（，）是减函数1 ）当a 1时函数为单调增 , 当0a 1时函数为单调减；2 ）不论x为何值 ,y 总是正的,图形在 x 轴上方；3 ）当x 0时 , y 1, 所以它的图形通过 (0,1) 点。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（此中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0C0y yy Cx y 0xO O平行于x 轴的直线y 轴自己定义域R定义域R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；1y y x1.幂函数的图像：2y x2y xy x3y x1O x2.幂函数的性质；性质y x y x231y x1y x y x2函数定义域R R R[0,+ ∞ ){x|x ≠ 0}值域R[0,+ ∞ )R[0,+ ∞ ){y|y ≠ 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单一性增[0,+∞) 增增增(0,+∞ )减(-∞ ,0] 减(-∞ ,0)减公共点（ 1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ( , )，他们的图形都经过原点，并当α>1 时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形对于原点对称；α为偶数时图形对于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除掉x=0 的全部实数；3）当α为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）假如 m>n 图形于 x 轴相切，假如m<n,图形于 y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称； m， n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一确实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 之外的一确实数。

三、指数函数 y a x(x是自变量,a是常数且a0， a1)，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1.指数函数的图象：yy a x y a xy(a 1)(0a1)(0,1)y1(0,1)y1 O x O x2.指数函数的性质；性质y a x(a1)y a x(0 a 1)函数定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时，y 1单一性在（，）是增函数在（，）是减函数1 ）当a 1时函数为单调增 , 当0a 1时函数为单调减；2 ）不论x为何值 ,y 总是正的,图形在 x 轴上方；3 ）当x 0时 , y 1, 所以它的图形通过 (0,1) 点。

基本初等函数图像及性质六大基本初等函数图像及其性质一、常数函数（也称常值函数）y=C（其中C为常数）；常数函数（y=C）是平行于x轴的直线，定义域为R，值域为{C}，非奇非偶，单调性为不变，公共点为(0,C)。

二、幂函数y=x^α，x是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：当α为正整数时，函数的图像都经过原点，并且在原点处与x轴相切。

当α为奇数时，图像关于原点对称；当α为偶数时，图像关于y轴对称。

2.幂函数的性质：函数。

定义域。

值域。

奇偶性。

单调性。

公共点y=x^2.R。

[0,+∞)。

偶。

增。

(0,0)y=x。

R。

R。

非奇非偶。

增。

(0,0)y=x^3.R。

R。

奇。

增。

(0,0)y=x^-1.{x|x≠0}。

{y|y≠0}。

奇。

(-∞,0)减。

(-1,0)∪(0,1)三、指数函数y=a^x（a>1且a≠1），定义域为R，为无界函数。

1.指数函数的图像：当a>1时，图像是单调增的曲线，经过点(0,1)；当0<a<1时，图像是单调减的曲线，也经过点(0,1)。

2.指数函数的性质：函数。

定义域。

值域。

奇偶性。

单调性。

公共点y=a^x(a>1)。

R。

(0,+∞)。

非奇非偶。

增。

(0,1)y=a^x(0<a<1)。

R。

(0,1)。

非奇非偶。

减。

(0,1)本文介绍了指数函数和对数函数的基本概念和性质。

首先，介绍了指数函数的图像和比较大小的方法。

当底数互为倒数时，两个指数函数的图像关于y轴对称。

当底数大于1时，指数函数的值随着底数的增大而增大；当底数小于1时，指数函数的值随着底数的增大而减小。

其次，介绍了指数的运算法则，包括整数指数幂的运算性质和分数指数幂的运算性质。

其中，整数指数幂的运算性质包括指数相加、相减和相乘的规律；分数指数幂的运算性质包括分数指数幂的乘方和除法的规律。

接着，介绍了对数函数的概念和性质。

对数函数是指底数为常数且大于1的指数函数的反函数。

常用对数是以10为底的对数，自然对数是以无理数e为底的对数。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

1、一次函数与二次函数（一）一次函数（二）二次函数①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,24b ac b a a--②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．二、幂函数过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．三、指数函数（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1(0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rrrab a b a b r R =>>∈（4）指数函数函数名称指数函数四、对数函数（1）对数的定义： ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化： log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()naan M M n R =∈ ④log a Na N=⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且（5）对数函数五、反函数设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．六、三角函数的图像和性质（一）正弦与余函数的图像与性质函数xy sin =xy cos =图像定域义R R值域[]1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时，单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2]Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2为最小正周期π是周期函数，2为最小正周期π对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数x y tan =xy cot =图像定域义{|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且{|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,)Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，为最小正周期π是周期函数，为最小正周期π对称性对称中心(,0)2k π对称中心(,0)2k π七、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数反余弦函数arccos y x=是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义[]1,1-[]1,1-值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π单调性[1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数arctan y x =是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数反余切函数arccot y x =是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义(,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,π单调性(,,)-∞+∞在上递增(,,)-∞+∞在上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心（0，0）对称中心（0，π/2）11。

五大基本初等函数图像及性质初等函数是数学中研究最早的函数，又称基本初等函数，包括幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数和反幂函数。

下面，我们将详细介绍这五种最基本的初等函数的图像和性质。

一、幂函数幂函数的定义为：函数y=ax^n(a>0, n为实数，n≠0)，这里的a是函数的倍率，n为指数。

幂函数的图像大致可以分为两部分，当n为正数时，函数的图像就是一条向上开的抛物线；当n为负数时，函数的图像就是一条向下开的抛物线，取决于指数的符号，它的图像经过原点和y轴。

幂函数满足可导性，即任何一个幂函数都是可导的。

二、对数函数对数函数的定义为：函数y = logax，这里的a是函数的基数，它代表对数关系中的“基数”概念，这里x只取正数。

对数函数的图像是一条向右弯曲的折线，它经过原点（0,0），且值域为（0,+∞），值域中的每一个值都有其对应的函数值，存在双射性。

另外，它也满足可导性，任何一个对数函数都是可导的。

三、三角函数三角函数是初等函数中比较复杂的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

其定义为：y = sinx、y = cosx、y = tanx。

三角函数的图像是一条有正有负的曲线，其中正弦函数的图像是一条上扬的曲线，余弦函数的图像是一条下降的曲线，而正切函数的图像则是一条“8”字形的曲线，这三条函数的图像都经过原点，其上下极限值的值域皆极其大。

此外，三角函数也满足可导性，任何一个三角函数都是可导的。

四、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，定义为：y = arcsinx、y = arccosx、y = arctanx。

反三角函数的图像与三角函数的曲线图像类似，但它们的曲线经过的是坐标系的四个象限，其值域也有所不同，这三条反三角函数的图像也经过原点，另外，它也满足可导性。

五、反幂函数反幂函数的定义为：函数y = ax^(-n)(a>0, n为实数，n≠0)，这里的a是函数的倍率，n为指数，但n为负数。