高考数学复习 小题强化训练四十五

2019-2020年高考数学一轮复习 题组层级快练45（含解析）1．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b .由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b . 2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是( )A ．2B ．4 C. 2 D ．22 答案 D解析 由基本不等式可得x ＋2x≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x即x ＝2时取等号，故最小值是2 2. 3．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2 D.98答案 D4．已知函数g (x )＝2x ，且有g (a )g (b )＝2，若a >0且b >0，则ab 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4答案 B解析 ∵2a 2b ＝2a ＋b ＝2，∴a ＋b ＝1，ab ≤(a ＋b 2)2＝14，故选B.5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝4e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1) 答案 C解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，①x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；②若sin x ＝4sin x 取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立．④没有最小值．故选C.6．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4x (x >0)的最小值为2－43D ．函数y ＝2－3x －4x (x >0)的最大值为2－43答案 D解析 y ＝x ＋1x 的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，有最小值2，当x <0时，有最大值－2，故A 项不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， ∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B 项不正确； ∵x >0时，3x ＋4x≥2·3x ·4x＝43， 当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时取“＝”，∴y ＝2－(3x ＋4x )有最大值2－43，故C 项不正确，D 项正确．7．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 令p ：“a ＝18”，q ：“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”．若p 成立，则a ＝18，则2x ＋a x ＝2x ＋18x≥22x ·18x ＝1，即q 成立，p ⇒q ； 若q 成立，则2x 2－x ＋a ≥0恒成立，解得a ≥18，∴q ⇒/ p .∴p 是q 的充分不必要条件．8．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A. 3 B ．2 C. 5 D.102答案 A解析 方法一：设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈R . ∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos(α－β)．故选A.方法二：m 2＋n 2＝3⇔(m 3)2＋(n3)2＝1， ∴2＝x 2＋y 2＋(m 3)2＋(n 3)2≥23(mx ＋ny )． ∴mx ＋ny ≤ 3.9．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2的最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”号． 10．(xx·安徽池州二中月考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析 依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12×[5＋(b a ＋4a b )]≥12×(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.11．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 A12．(1)当x >1时，x ＋4x －1的最小值为________；(2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________．答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x >1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立) ∴x ＋4x －1的最小值为5.(2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x 在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.13．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则ab ＋1ab 的最小值为________．答案174解析 ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x ∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.14．(xx·四川文)已知函数f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.答案 36解析 f (x )＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a (当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号)，则由题意知a ＝4×32＝36. 15．已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案 18解析 ∵2xy ≤(2x ＋y 2)2＝14，∴xy ≤18.(当且仅当2x ＝y 即x ＝14，y ＝12时取“＝”号．)∴xy 的最大值为18.16．设x >0，y >0，且1x ＋2＋1y ＋2＝13，则xy 的最小值为________．答案 16解析 由12＋x ＋12＋y ＝13，化为3(2＋y )＋3(2＋x )＝(2＋y )(2＋x )，整理为xy ＝x ＋y ＋8.∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝x ＋y ＋8≥2xy ＋8，∴(xy )2－2xy －8≥0，解是xy ≥4，即xy ≥16，当且仅当x ＝y ＝4时取等号，∴xy 的最小值为16. 17．已知a >b >0，求a 2＋16b a －b的最小值． 答案 16思路 由b (a －b )求出最大值，从而去掉b ，再由a 2＋64a 2，求出最小值． 解析 ∵a >b >0，∴a －b >0. ∴b (a －b )≤[b ＋a －b 2]2＝a 24.∴a 2＋16ba －b≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．∴a 2＋16ba －b的最小值为16. 18．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值． 答案 (1)1 (2)2解析 由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0， ∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1.∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0. ∴xy ≥1.∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·(x ＋y 2)2.∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. ∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.∴x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． ∴x ＋y 的最小值为2.1．(xx·重庆理)3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )9 A．9 B.2C ．3 D.322答案 B解析 方法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0.由基本不等式，可知3－a a ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．方法二：3－aa ＋6＝－a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2答案 D解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.3．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图像最低点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)答案 D解析 y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2.当且仅当x ＝0时等号成立．4．设x ＞0，y ＞0，且(x －1)(y －1)≥2，则xy 的取值范围为__________． 答案 [3＋22，＋∞)解析 (x －1)(y －1)＝xy －(x ＋y )＋1 ≤xy －2xy ＋1，又(x －1)(y －1)≥2，即xy －2xy ＋1≥2， ∴xy ≥2＋1，∴xy ≥3＋2 2.5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 答案233解析 ∵xy ≤14(x ＋y )2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43.∴－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y ＝33时，x ＋y 取得最大值233. 6．设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 答案2105解析 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1，∴(2x ＋y )2≤85，∴(2x ＋y )max＝2105. 7.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．解析 (1)连接OC .设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S .则AB ＝2900－x 2，其中0<x <30. 所以S ＝2x 900－x 2＝2x 2900－x 2≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S取最大值900 cm 2.答：取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2. (2)设圆柱底面的半径为r ，高为x ，体积为V . 由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π.所以V ＝πr 2x ＝1π(900x －x 3)，其中0<x <30.由V ′＝1π(900－3x 2)＝0，得x ＝10 3.因此V ＝1π(900x －x 3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x ＝103时，V 取最大值为6 0003πcm 3.答：取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003πcm 3..。

[考查范围：第41讲～第45讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为________．2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为________． 3．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．4．[2011·镇江调研] 直线l 过(1,1)点，且与圆(x －2)2＋(y －2)2＝8相交于A ，B 两点，则弦AB 最短时直线l 的方程为________．5．若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．6．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到l 的距离的最小值为________．7．已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________．8．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE →·PF →的最小值是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．10．已知气象台A 处向西300 km 处，有个台风中心，已知台风以每小时40 km 的速度向东北方向移动，距台风中心250 km 以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 处进入台风圈？气象台A 处在台风圈内的时间大约多长？11．[2011·盐城二调] 如图G14－1，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两个接点M ，N 均在直线x ＝5上，圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A (29,0)．(1)求圆弧C 2的方程；(2)曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．(3)已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E ，F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．12．[2011·常州一中模拟] 已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y ＝－x 的距离等于 2.(1)求圆C 的方程；(2)若直线l ：x m ＋y n＝1(m >2，n >2)与圆C 相切，求证：mn ≥6＋4 2.45分钟滚动基础训练卷(十四)1. 2 [解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心为(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离为|1＋2－1|2＝ 2. 2．相交 [解析] 圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，而0<22<1，故直线与圆相交． 3．(x －3)2＋y 2＝2 [解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－a2＋1－b2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，|a －b －1|2＝r⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝0，r 2＝2.4．x ＋y －2＝0 [解析] 画图分析可以得出当直线l 经过(1,1)，且与圆心(2,2)和定点(1,1)的连线相互垂直时弦AB 最短，∴k l ＝－2－12－1＝－1，又过点(1,1)，可求得l ：x ＋y －2＝0.5．4 [解析] 由题知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5<|m |<35，又O 1A ⊥AO 2，所以有m 2＝(5)2＋(25)2＝25⇒m ＝±5，∴AB ＝2×5×205＝4.6. 2 [解析] 如图可知过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．∵圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2的圆心为C (1,1)，半径为2，点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝||1－1＋42＝22，∴AD ＝CD －AC ＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最小值为 2.7．4 [解析] 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个及以上的交点不能实现．8．6 [解析] PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos ∠EPF ＝|PE →|2cos ∠EPF ＝(PC 2－4)cos ∠EPF ，连接CM ，根据图形可得，当P 为CM 与圆M 的交点时，PC 最小，∠EPF 最大，即cos ∠EPF 最小，此时，PC ＝CM －1＝4，∠EPF ＝60°，所以PE →·PF →＝(PC 2－4)cos ∠EPF ＝(16－4)×12＝6.9．[解答] (1)因为二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为D 2＋E 2－4F ＞0，即4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，解得－17<m <1.(2)二元二次方程表示圆时，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝－7m 2＋6m ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫m －372＋167.由(1)知－17<m <1，故当m ＝37时，r max ＝477，当m ＝1或－17时，r min ＝0，∴0＜r ≤477.(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1，消去m ，得y ＝4(x －3)2－1.∵－17<m <1，∴207＜x ＜4，即轨迹为抛物线的一段，轨迹方程为y ＝4(x －3)2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫207＜x ＜4.10．[解答] 如图建立直角坐标系，B 为台风中心，处在台风圈内的界线为以B 为圆心，半径为250的圈内，若t 小时后，台风中心到达B 1点，则B 1(－300＋40t cos45°，40t sin45°)，则以B 1为圆心，250为半径的圆的方程为()x ＋300－202t 2＋()y －202t 2＝2502，那么台风圈内的点就应满足()x ＋300－202t 2＋()y －202t 2≤2502.若气象台A 处进入台风圈，那么A 点的坐标就应满足上述关系式，把A 点的坐标(0,0)代入上面不等式，得()300－202t 2＋()202t 2≤2502，解得152－574≤t ≤152＋574，即为2.00≤t ≤8.61，所以气象台A 处约在2小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约是6小时37分．11．[解答] 圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M (5,12)，N (5，－12)， 则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)，令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)，又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(2)假设存在这样的点P (x ，y )，则由|PA |＝30|PO |，得x 2＋y 2＋2x －29＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169－13≤x ≤5， 解得x ＝－70(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x －142＋y 2＝2255≤x ≤29解得x ＝0(舍去)， 综上知，这样的点P 不存在．(3)因为EF >2r 2，EF >2r 1，所以E ，F 两点分别在两个圆弧上，设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2，即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝161516，所以点O 到直线l 的距离为16154.12．[解答] (1)设圆C 半径为r ，圆心为(a ，b )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，r ＝|a |，|a ＋b |2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝1，r ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝－1，r ＝1.∴圆C 方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.(2)证明：直线l 方程为nx ＋my －mn ＝0，∵直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1相切， ∴|n ＋m －mn |n 2＋m 2＝1，∴(n ＋m －mn )2＝n 2＋m 2，左边展开，整理得，mn ＝2m ＋2n －2.∴m ＋n ＝mn ＋22.∵m >0，n >0，m ＋n ≥2mn ，∴mn ＋22≥2mn ，∴(mn )2－4mn ＋2≥0，∴mn ≥2＋2或mn ≤2－ 2.∵m >2，n >2，∴mn ≥2＋2，∴mn ≥6＋4 2.。

[考查范围：第1讲～第3讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________．2．[2012·扬州模拟] “α＝π6”是“sin α＝12”的________条件．3．[2011·南通二模] 命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．4．[2011·南京二模] 已知全集U ＝R ，Z 是整数集，集合A ＝{x ︱x 2－x －6≥0，x ∈R }，则Z ∩(∁U A )中元素的个数为________．5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．6．[2011·镇江模拟] 已知p ：|x －a |<4，q ：x 2－5x ＋6<0，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是________．7．[2011·南通三模] 对于定义在R 上的函数f (x )，给出下列三个命题： ①若f (－2)＝f (2)，则f (x )为偶函数； ②若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数； ③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数． 其中正确命题的序号为________．8．若a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的________条件．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．已知p ：x 2－x －6≥0，q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，求x 的值．10．[2012·杭州模拟] 已知集合A ＝⎪⎪ x y ＝6x ＋1－1，集合B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x ＋m )}．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值； (3)若A ∪B ⊆B ，求m 的取值范围．11．已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R )．求： (1)方程有两个正根的充要条件； (2)方程至少有一个正根的充要条件．12．[2011·扬州期末] 已知数列{a n}，a n＝p n＋λq n(p>0，q>0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*)．(1)数列{a n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；(2)设B＝{(n，b n)|b n＝3n＋k n，n∈N*}，其中k∈{1,2,3}，C＝{(n，c n)|c n＝5n，n∈N*}，求B∩C.测评手册45分钟滚动基础训练卷(一)1．4 [解析] ∵A＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，∴a＝4.2．充分不必要 [解析] 由“sin α＝12”得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z ，所以“α＝π6”是“sin α＝12”的充分不必要条件．3．真 [解析] 否命题是“若实数a 满足a >2，则a 2≥4”，这是真命题．4．4 [解析] 因为∁U A ＝{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以Z ∩(∁U A )＝{－1,0,1,2}，所以该集合的元素有4个．5．m －n [解析] 因为∁A ∩B ＝(∁U A )∪(∁U B )，所以A ∩B 中共有(m －n )个元素．6．[－1,6] [解析] 由p ：|x －a |<4⇒－4＋a <x <4＋a ；q ：x 2－5x ＋6<0⇒2<x <3.因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧－4＋a ≤2，4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6.7．② [解析] 根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x ，若f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数．从而命题①错误；命题②正确；对于使f (－2)＝f (2)＝0的函数，f (x )可能为奇函数，说明命题③错误．8．充要 [解析] 若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，所以a ，b 互补；若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，所以a ＋b ≥0，此时有φ(a ，b )＝a ＋b 2－2ab －(a ＋b )＝a ＋b 2－(a ＋b )＝(a ＋b )－(a ＋b )＝0，所以φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．9．[解答] 由“p 且q ”与“非q ”同时为假命题可知，非q 为假命题，则q 为真命题；p 且q 为假命题，则p 为假命题，即綈p ：x 2－x －6<0为真，∴－2<x <3，又x ∈Z ，∴x ＝－1，0,1或2.10．[解答] (1)由6x ＋1－1≥0，解得－1<x ≤5，即A ＝{x |－1<x ≤5}．当m ＝3时，由－x 2＋2x ＋3>0，解得－1<x <3，即B ＝{x |－1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根，∴m ＝42－2×4＝8.又当m ＝8时，B ＝{x |－2<x <4}，此时A ∩B ＝{x |－1<x <4}，符合题意，故m ＝8.(3)由－x 2＋2x ＋m >0，得x 2－2x －m <0.令x 2－2x －m ＝0，解得x 1＝1＋1＋m ，x 2＝1－1＋m ，所以不等式的解集为：{x |－1＋m <x <1＋1＋m }，又A ∪B ⊆B ，所以⊆B ，所以⎩⎨⎧1－1＋m ≤－1，1＋1＋m >5.解得m >15.11．[解答] (1)方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ＋22＋161－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，即a ≥10或a ≤2且a ≠1； 设此时方程两根为x 1，x 2，∴方程有两正根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇒1<a ≤2或a ≥10即为所求．(2)从(1)知1<a ≤2或a ≥10时方程有两个正根；当a ＝1时，方程化为3x －4＝0有一个正根x ＝43；方程有一正、一负根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0，Δ>0，x 1x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a <2或a >10，4a －1<0⇒a <1.综上，方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0至少有一正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.12．[解答] (1)取数列{a n }的连续三项a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ≥1，n ∈N *)， ∵a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(p n ＋1＋λq n ＋1)2－(p n ＋λq n )(p n ＋2＋λq n ＋2)＝－λp n q n (p －q )2，∵p >0，q >0，p ≠q ，λ≠0，∴－λp n q n (p －q )2≠0，即a 2n ＋1≠a n a n ＋2，∴数列{a n }中不存在连续三项构成等比数列．(2)当k ＝1时，3n ＋k n ＝3n ＋1<5n，此时B ∩C ＝∅；当k ＝3时，3n ＋k n ＝3n ＋3n ＝2·3n 为偶数，而5n为奇数，此时B ∩C ＝∅；当k ＝2时，由3n ＋2n ＝5n，发现n ＝1符合要求，下面证明惟一性(即只有n ＝1符合要求)．由3n ＋2n ＝5n得⎝ ⎛⎭⎪⎫35n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25n ＝1，设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25x是R 上的减函数，∴f (x )＝1的解只有一个．从而当且仅当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫35n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25n ＝1，即3n ＋2n ＝5n，此时B ∩C ＝{(1,5)}．综上，当k ＝1或k ＝3时，B ∩C ＝∅； 当k ＝2时，B ∩C ＝{(1,5)}．。

[考查范围：第4讲～第7讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．下列函数中哪个与函数y ＝x (x ≥0)是同一个函数________(填序号)．①y ＝(x )2；②y ＝x 2x ；③y ＝3x 3；④y ＝x 2.2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为________．3．[2012·扬州模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，3x x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．4．[2011·苏锡常镇一调] 已知常数t 是负实数，则函数f (x )＝12t 2－tx －x 2的定义域是________．5．[2011·常州模拟] 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2＋1，则f (7)的值为________．6．[2011·苏锡常镇二调] 若函数f (x )＝(x ＋a )·3x －2＋a 2－(x －a )38－x －3a为偶函数，则所有实数a 的取值构成的集合为________．7．函数f (x )＝|x 2－1|＋x 的单调增区间为________．8．若函数f (x )＝x ＋13－2tx (t ∈N *)的最大值是正整数M ，则M ＝________.二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．求下列函数的定义域：(1)y ＝3x －x2|x －1|－1；(2)y ＝xlog 122－x.10．若奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的增函数，试解关于a 的不等式：f (a －2)＋f (a 2－4)<0.11．已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ≥0，c ∈R )．若f (x )的定义域为[－1,0]时，值域也是[－1,0]，符合上述条件的函数f (x )是否存在？若存在，求出f (x )的解析式；若不存在，请说明理由．12．[2012·杭州模拟] 对任意实数x ，给定区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )，设函数f (x )表示实数x 与x 的给定区间内整数之差的绝对值．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时，求出函数f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )时，写出用绝对值符号表示的f (x )的解析式；(3)判断函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．45分钟滚动基础训练卷(二)1．① [解析] 当两个函数的对应关系和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有①中的函数．2．[0,3] [解析] 由3x －x 2≥0得0≤x ≤3. 3.19 [解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19. 4．[3t ，－4t ] [解析] f (x )＝12t 2－tx －x 2＝－x ＋3t x ＋4t ⇒⎭⎪⎬⎪⎫－x ＋3tx ＋4t ≥0t <0⇒x ∈[3t ，－4t ]．5．－2 [解析] f (7)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－(12＋1)＝－2.6．{2，－5} [解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝(－x ＋a )3－x －2＋a 2＋(x ＋a )38＋x －3a ＝(x ＋a )3x －2＋a 2－(x －a )38－x －3a对任意x 恒成立．即8＋x －3a ＝x －2＋a 2且－x －2＋a 2＝8－x －3a ， 解得a ＝2或a ＝－5，故a 的取值集合为{2，－5}．7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞) [解析] 当x ≥1或x ≤－1时，y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54，当－1<x <1时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.由函数图象可以知道函数的单调减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞)．8．7 [解析]令u ＝13－2tx (t ∈N *，u ≥0)⇒x ＝13－u 22t(u ≥0)，∴f (u )＝13－u 22t ＋u (t ∈N *，u ≥0)＝－12t (u －t )2＋12⎝⎛⎭⎪⎫t ＋13t (t ∈N *，u ≥0)．由题知将原函数的最值转化为求函数f (u )＝－12t (u －t )2＋12⎝⎛⎭⎪⎫t ＋13t (t ∈N *，u ≥0)的最大值M ，∵M 为正整数，∴t ＋13t(t ∈N *)必须能被2整除，所以当t ＝1或t ＝13时f (x )取到最大值M ＝7.9．[解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 2≥0，|x －1|－1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≠0且x ≠2，即0<x <2或2<x ≤3.∴函数的定义域是(0,2)∪(2,3]．(2)由log 12(2－x )>0，得0<2－x <1，即1<x <2，∴函数的定义域为(1,2)．10．[解答] 由已知得f (a －2)<－f (a 2－4)，因f (x )是奇函数，故－f (a 2－4)＝f (4－a 2)，于是f (a －2)<f (4－a 2)．又f (x )是定义在(－1,1)上的增函数，从而⎩⎪⎨⎪⎧a －2<4－a 2，－1<a －2<1，－1<4－a 2<1⇒⎩⎨⎧－3<a <2，1<a <3，－5<a <－3或3<a <5⇒3<a <2，即不等式的解集是(3，2)． 11．[解答] 假设符合条件的f (x )存在． ∵函数图象的对称轴是直线x ＝－b2，又b ≥0，∴－b2≤0.(1)当－12<－b 2≤0时，即0≤b <1，当x ＝b2时，函数有最小值－1，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－1，f －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 24－b 22＋c ＝－1，1－b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3(舍去)．(2)当－1<－b 2≤－12，即1≤b <2时，则⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－1，f 0＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝0(都舍去)．(3)当－b2≤－1，即b ≥2时，函数在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－1，f0＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝0.综上所述，符合条件的函数有2个：f (x )＝x 2－1或f (x )＝x 2＋2x .12．[解答] (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f (x )＝|x |，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )时，k 为给定区间内的整数，故f (x )＝|x －k |，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )． (3)对任意x ∈R ，函数f (x )都存在，且存在k ∈Z ，满足k －12≤x ≤k ＋12，f (x )＝|x －k |.由k －12≤x ≤k ＋12，得－k －12≤－x ≤－k ＋12，此时－k 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k －12，－k ＋12内的整数．因此f (－x )＝|－x －(－k )|＝|－x ＋k |＝|x －k |＝f (x )，即函数f (x )为偶函数．。

[考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1.3a ·6－a 等于________．2．如果log a 2＞log b 2＞0，则a ，b 的大小关系为________．3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是________．4．[2011·常州模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，f x －1，x >0，则f (1＋log 23)＝________.5．已知一容器中有A 、B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg(n A )来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为________．①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10个； ③假设科学家将B 菌的个数控制为5万个，则此时5<P A <5.5.6．[2011·苏北四市三调] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.7．[2012·苏北四市一模] 已知f (x )是定义在[－2,2]上的函数，且对任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．8．[2011·苏北四市一调] 已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋|x －1|＋|x －2|，且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)，则满足条件的所有整数a 的和是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．若0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值与最小值．10．方程2ax 2－x －1＝0(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有且仅有一个实根，求函数y ＝a －3x 2＋x 的单调区间．11．某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH 型高科技产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )(单位：h ，可不为整数)．(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)比较g (x )与h (x )的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？12．[2011·镇江期末] 已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x . (1)如果x ∈[1,4]，求函数h (x )＝(f (x )＋1)g (x )的值域；(2)求函数M (x )＝f x ＋g x －|f x －g x |2的最大值；(3)如果对f (x 2)f (x )>kg (x )中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(三)1．－－a [解析] 3a ·6－a ＝a 13·(－a )16＝－(－a )13＋16＝－(－a )12.2．a ＜b [解析] 由换底公式及1log 2a >1log 2b>0，得0＜log 2a ＜log 2b ，∴a ＜b .3．4 [解析] 函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，当x ＝12时，y max ＝4.4.83[解析] 本题考查周期函数与指数的运算，因为1＋log 23>2，所以f (1＋log 23)＝f (log 23)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 234＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 234－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 238＝83. 5．1 [解析] 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10；若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A ＝lg(n A )＝lg2＋5.又∵lg2≈0.301，所以5<P A <5.5，故③正确．6．0 [解析] 当x <0时，－x >0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以－x 2－x ＝ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.7.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，4 [解析] 由题意知函数f (x )在[－2,2]上单调递增，所以f (2)＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2x ≤2，log 2x <2，解得14≤x <4.8．6 [解析] 由题意知函数f (x )是偶函数且当x ∈[－1,1]时函数y ＝f (x )为常函数，所以有a 2－3a ＋2＝a －1或a 2－3a ＋2＋a －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a 2－3a ＋2≤1，－1≤a －1≤1.又a ∈Z ，解得a ∈{1,2,3}，从而所有整数a 的和为6.9．[解答] 令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12. 当t ＝3时，y 有最小值12；当t ＝1时，y 有最大值52.10．[解答] 令f (x )＝2ax 2－x －1， (1)由f (－1)＝2a ＝0，得a ＝0，舍去； (2)由f (1)＝2a －2＝0，得a ＝1，舍去；(3)f (－1)·f (1)<0⇔a 2－a <0⇔0<a <1， 综上：0<a <1.对于函数y ＝a －3x 2＋x ，令y ＝a t ，t ＝－3x 2＋x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －162＋112，则y ＝a t 在R 上为减函数，t ＝－3x 2＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫16，＋∞上为减函数．∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16时，y ＝a －3x 2＋x 是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，＋∞时，y ＝a －3x 2＋x 是增函数．11．[解答] (1)由题意知，需加工G 型装置4 000个，加工H 型装置3 000个，所用工人分别为x 人，(216－x )人．∴g (x )＝4 0006x ，h (x )＝ 3 000216－x ·3，即g (x )＝2 0003x ，h (x )＝1 000216－x(0＜x ＜216，x ∈N *)．(2)g (x )－h (x )＝2 0003x －1 000216－x ＝1 000432－5x3x 216－x.∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g (x )－h (x )＞0，g (x )＞h (x )； 当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g (x )－h (x )＜0，g (x )＜h (x )． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 0003x ，0<x ≤86，x ∈N *，1 000216－x ，87≤x <216，x ∈N *.(3)求完成总任务所用时间最少即求f (x )的最小值．当0＜x ≤86时，f (x )递减，即f (x )≥f (86)＝2 0003×86＝1 000129，∴f (x )min ＝f (86)，此时216－x ＝130.当87≤x ＜216时，f (x )递增，即f (x )≥f (87)＝1 000216－87＝1 000129，∴f (x )min ＝f (87)，此时216－x ＝129.∴f (x )min ＝f (86)＝f (87)＝1 000129.∴当加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129时，完成总任务所用的时间最少．12．[解答] 令t ＝log 2x ，(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(t －1)2＋2， ∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]， 则h (x )的值域为[0,2]．(2)f (x )－g (x )＝3(1－log 2x )，当x >2时，f (x )<g (x )；当0<x ≤2时，f (x )≥g (x )，∴M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x >2.当0<x ≤2时，M (x )的最大值为1； 当x >2时，M (x )<1.综上：当x ＝2时，M (x )取到最大值为1.(3)由f (x 2)f (x )>kg (x )得：(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， ∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]，∴(3－4t )(3－t )>kt 对一切t ∈[0,2]恒成立． ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－t t 恒成立，即k <4t ＋9t－15，∵4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．∴4t ＋9t－15的最小值为－3，∴k <－3.综上k 的取值范围是k <－3.。

2021年高三数学午间小练45 苏教版
1. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边在直线上，且，则 ＝ ．
2. “a ＝1”是“函数f(x)＝2x －a 2x ＋a
在其定义域上为奇函数”的 条件． 3. 从集合中随机选取一个数记为，则使命题：“存在使关于的不等式有解”为真命题的概率是 ．
4. 已知向量，且．若满足不等式组
则的取值范围是 ．
5. 已知双曲线的一条渐近线方程,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 .
6. 数列的各项都是整数，满足，，前项依次成等差数列，
从第5项起依次成等比数列，则数列前10项的和是 ．
7. 已知直线2121//,023)2(:06:l l a y x a l ay x l 则和=++-=++的充要条件是a= ．
8. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值
范围是 ．
9.己知在锐角ΔABC 中，角所对的边分别为，且
（1）求角大小；
（2）当时，求的取值范围．g23582 5C1E 尞34575 870F 蜏22158 568E 嚎20456 4FE8 俨l33851 843B 萻28047 6D8F 涏32958 80BE 肾?38678 9716 霖QlV22604 584C 塌。

专项加强练 ( 三)选修4－5：不等式选讲(理独) 题型一含绝对值不等式1．解不等式：| x－ 2| ＋x| x＋ 2| ＞2.解：当x≤－2时，不等式化为(2 －x) ＋x( －x－ 2) ＞ 2，即－x2－ 3x>0，解得－ 3＜x≤－2；当－ 2＜x＜ 2 时，不等式化为(2 －x) ＋x( x＋ 2) ＞ 2，2即 x ＋ x>0，解得－2＜ x＜－1或0＜x＜2；当 x≥2时，不等式化为( x－2)＋x( x＋2)＞2，即 x2＋3x－4>0，解得 x≥2.因此原不等式的解集为{ x| － 3＜x＜－ 1 或x＞ 0} ．2．解不等式：| x＋ 2| － | x－ 1| ≤1.解：令 f ( x)＝| x＋2|－| x－1|.当 x≤－2时， f ( x)＝－( x＋2)－(1－ x)＝－3，此时 f ( x)＝| x＋2|－| x－1|≤1恒建立；当－ 2<x<1 时，f ( x) ＝ ( x＋ 2) － (1 －x) ＝ 2x＋1，令 f ( x)≤1，即2x＋1≤1，解得 x≤0，因为－2<x<1，则有－2<x≤0；当x≥1时， f ( x)＝( x＋2)－( x－1)＝3，此时 f ( x)≤1不建立．综上所述，不等式 | x＋ 2| － | x－1| ≤1的解集为 ( －∞， 0] ．1 13．已知x，y∈R，且 | x＋y| ≤6， | x－y| ≤4，求证： | x＋ 5y| ≤1.证明：因为 | x＋5y| ＝ |3( x＋y) －2( x－y)|.由绝对值不等式性质，得1 | x＋ 5y| ＝ |3( x＋y) － 2( x－y)| ≤|3( x＋y)| ＋ |2( x－y)| ＝ 3| x＋y| ＋ 2| x－y| ≤3×6＋2×1＝ 1.4即 | x＋5y| ≤1.[ 临门一脚 ]1．形如 | x＋a| ±|x－b| ≥c( ≤c) 不等式的解法常用零点分段议论法，其步骤为：(1)求零点； (2) 区分区间、去绝对值号；(3) 分别解去掉绝对值的不等式；(4) 取每个结果的并集，特别注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．绝对值不等式也可用| x－a1| ±|x－a2| 的几何意义求解集．3．应用绝对值不等式|| a| －| b|| ≤|a±b| ≤|a| ＋ | b| 求最值，必定要写出等号建立的条件．1．已知 a ， b 是正数，求证： a 2＋ 4b 2＋ab 1≥4. 证明：因为 a ，b 是正数，因此 a 2＋4b 2≥4ab .221 11因此 a ＋4b ＋ ab ≥4ab ＋ ab ≥24ab ·ab ＝ 4，1当且仅当 a ＝ 2b ，且 ab ＝ 2时取等号．221即 a ＋ 4b ＋ ab ≥4.2．已知， ， 均为正数，求证：a 2b 2c 21 1 12≥6 3. ＋ ＋＋ ＋ ＋ab ca b c证明：法一：因为a 2＋ b 2＋ c 2≥3( abc )a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得2 1 1 1 1， ＋ ＋ ≥3( abc ) － ，3 a b c 31 1 12 ≥9( abc ) 2因此 a ＋ b ＋ c －3.22 21 1 122 2故 a ＋ b ＋c ＋ a ＋ b ＋ c ≥3( abc ) 3 ＋ 9( abc ) － 3， 2 2又 3( abc ) 3＋ 9( abc ) － 3≥2 27＝ 6 3，因此原不等式建立．法二：因为 a ，b ，c 均为正数， 由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋ c 2≥2bc ，c 2＋ a 2≥2ca ，2221 1 1 1 1 12 2 21 1 1因此 a ＋ b ＋ c ≥ ab ＋ bc ＋ ca . 同理 a 2＋ b 2＋ c 2≥ ab ＋ bc ＋ ca . 因此 a ＋ b ＋ c ＋ a ＋ b ＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ca ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ≥6 3，当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 43时取等号．因此原不等式建立．ab bc ca[ 临门一脚 ]1．基本不等式应用于证明重点是和积转变，因此进行证明前必定要察看不等式两边式子构造的特色系数、方次．2．要依据条件特色选择使用三元仍是两元的基本不等式，等号建立条件必定要写．3．多次使用基本不等式时要关注多个等号建立条件能否能够同时建立．题型三 柯西不等式的应用1．求函数 y ＝ 3sin x ＋ 2 2＋ 2cos 2 x 的最大值．解： y ＝ 3sin x ＋ 2 2＋ 2cos 2 x ＝ 3sin x ＋4 cos 2 x ，由柯西不等式得22当且仅当 4sin x ＝ 3|cos x | ，即 sinx ＝ 3， |cos x | ＝ 4时等号建立，因此 y max ＝ 5.55因此函数 y ＝ 3sin x ＋ 2 2＋ 2cos 2 x 的最大值为 5.2．已知 a ， b ，c ∈ R, 4a 2＋ b 2 ＋2c 2＝ 4，求 2a ＋ b ＋ c 的最大值．解：由柯西不等式，得2 2 2 2 212≥(2 a ＋ b ＋ c ) 2. [(2 a ) ＋ b ＋ ( 2c ) ] ·1＋1＋2因为 4a 2＋ b 2＋ 2c 2＝ 4，因此 (2 a ＋ b ＋ c ) 2≤10. 因此－ 10≤2 ＋ ＋ ≤ 10，a b c1021010因此 2a ＋ b ＋ c 的最大值为10，当且仅当 a ＝ 5， b ＝ 5 ， c ＝ 5 时等号建立．1 1 13．设 x ， y ， z 均为正实数，且 xyz ＝ 1，求证： x 3y ＋ y 3z ＋ z 3x ≥ xy ＋ yz ＋ zx . 证明：∵ x ， y ，z 均为正实数，且 xyz ＝ 1，111 z x y∴ x 3y ＋y 3z ＋ z 3x ＝x 2＋ y 2＋ z 2，z x y( xy ＋ yz ＋ zx ) ≥xyzxyz xyz 2∴ 由 柯 西 不 等 式 可 得 x 2＋ y 2＋ z2x＋ y＋z＝xyz xyz xyz 22＋＋z＝ ( xy ＋ yz ＋ zx ) .x y111∴ x 3y ＋y 3z ＋ z 3x ≥ xy ＋ yz ＋ zx .4．设 a 1， a 2， a 3 均为正数，且9求证： 1＋11≥1. a 1＋ a 2＋ a 3＝ .＋3＋21＋ 22＋ 31a aa aa a证明：法一：因为1＋ 1 ＋1 [( a 1 ＋ a 2) ＋ ( a2 ＋ a 3) ＋ ( a3 ＋a ＋ a a ＋ a a ＋ a2 112 333111a 1)]≥3a 1＋ a 2·a 2＋ a 3·a 3＋ a 1·33 a 1＋a 2 a 2＋ a 3 a 3＋ a 1 ＝9，当且仅当 a 1＝ a 2＝ a 3 时等号建立．9又 a 1＋ a 2＋a 3＝ .2因此1＋ 1＋19·2× ≥9，a 1＋a 2a 2＋ a 3 a 3＋ a 12因此 1 ＋1＋1≥1.1 ＋2 a2＋a3＋31aa aa法二：由柯西不等式得 111111＋＋a 3 ·9＝＋＋[( a 1＋ a 2)a 1＋ a 2 a 2＋ a 3 ＋ a 1 a 1＋ a 2 a 2＋ a 3 a 3＋ a 1＋ (a 2＋a 3)＋(a3＋ 1)] ＝1 2＋1 2＋ 12·[( a 1＋ a 2) 2 ＋ ( 2＋ 3)2 ＋aa 1＋ a 2a 2＋ a 3a 3＋ a 1 a a( a 3＋ a 1) 2] ≥ 11· a 2＋ a 3＋ 12，· a 1＋ a 2＋· a 3＋ a 1＝9a 1＋ a 2a 2＋ a 3a 3＋a 1当且仅当 (1＋ 2)2＝( a 2＋ a 3) 2＝( 3＋ 1) 2，a aaa3即 a 1＝ a 2＝a 3＝ 时取等号，2因此111a 1 ＋＋≥1.＋a 2a 2＋ a 3 a 3＋ a 1[ 临门一脚 ]1．二元柯西不等式： ( a 2＋ b 2)( c 2＋ d 2) ≥ ( ac ＋ bd ) 2，a ， b ， c ， d ∈ R ，当且仅当 ad ＝ bc时，等号建立．2．三元柯西不等式能够用向量形式记忆：即 | α|| β | ≥|α· β| ，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k ，得 α＝ k β 时，等号建立．3．利用柯西不等式来证明不等式和基本不等式同样也要关注式子构造特色、系数、方次、等号建立条件，假如不可以够直接使用，要对所给条件进行变形后才能使用．4．利用柯西不等式求最值等问题，也要关注式子构造特色、系数、方次，最后必定要写出等号建立条件 .。

[考查范围：第36讲～第39讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的________条件．3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于________．4．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ________(填写“平行”或“垂直”)．5．m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题： ①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)6．如图G11－1，一个由卡片折叠而成的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，且平面ACC 1A 1没有封口，一只蚂蚁从A 点出发沿着表面爬行到C 1点，则最短距离为________．7．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是________．8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．[2012·徐州一调] 如图G11－2，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC 交BD 于点O ，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PB 的中点．求证：(1)EO ∥平面PCD ；(2)平面PBD ⊥平面PAC .10．[2012·惠州调研] 如图G11－3的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.11．如图G11－4，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E为PC的中点．(1)求证：BE∥平面PAD；(2)若AB⊥平面PAD，平面PBA⊥平面PBD，求证：PA⊥PD.12．[2012·扬州调研] 如图G11－5是一个储油罐，它的下部是圆柱，上部是半球，半球的半径等于圆柱底面的半径．(1)若圆柱的底面直径和高都是6 m，求此储油罐的容积和表面积；(2)若容积一定，当圆柱的高与底的半径的比是多少时，制造这种储油罐的成本最低(即此几何体的表面积最小)?图G11－545分钟滚动基础训练卷(十一)1．2π [解析] 底面半径为4－3＝1，则展开图扇形的弧长为2π，半径为2，所以侧面积为2π.2．充分不必要 [解析] 充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：(1)第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；(2)第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在惟一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”．3.433 [解析] 正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径R ＝2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于433.4．垂直 [解析] 对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直．5．①④ [解析] 四个命题：①为真命题；②为假命题；③为假命题；④为真命题，所以真命题的编号是①④.6．3 2 [解析] 本题由于没有说明沿着哪两个表面爬行，故需要分类讨论，分别求出各种情况的最小值后，再进行大小比较．若先沿着平面ABC 爬行到BC ，再沿着平面BCC 1B 1爬行到C 1，故将底面和侧面展开得：此时：AM ＋MC 1≥AC 1＝16＋4＝若先沿着平面ABB 1A 1爬行到A 1B C 1，将侧面和底面展开得：此时：AM ＋MC 1≥AC 1＝26.若先沿A 1ABB 1爬行到BB 1，再爬行到C 1，可得AC 1最小为32， 故比较三个值可得，蚂蚁爬行的最短距离为3 2.7．一条直线 [解析] 设l 与l ′是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直于这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直的所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上．8．36 [解析] 正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．9．[解答] 证明：(1)因为ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， 所以O 是BD 的中点．又E 是PB 的中点，所以EO ∥PD . 因为EO ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以EO ∥平面PCD .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥PA .因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ， 因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC . 又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PAC .10．[解答] 证明：(1)取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB ，∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .11．[解答] 证明：(1)(思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF ，其中F 为PD 的中点)取PD 中点F ，连接AF 、EF ，则EF 为△PCD 的中位线，∴EF ∥CD 且EF ＝12CD .又∵AB ∥CD 且AB ＝12CD ，∴EF ∥AB 且EF ＝AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE ∥AF . ∵BE ⊄面PAD ，AF ⊂面PAD ， ∴BE ∥面PAD .(思路2：转化为线线平行，延长DA 、CB ，交于点F ，连接PF ，易知BE ∥PF ) (思路3：转化为面面平行，取CD 中点F ，易证平面BEF ∥平面PAD ) (2)在平面PBA 内作AH ⊥PB 于H ，∵平面PBA ⊥平面PBD 且平面PBA ∩平面PBD ＝PB ，∴AH ⊥平面PBD . ∴AH ⊥PD .又∵AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥PD . ∵AB ∩AH ＝A ，∴PD ⊥平面PBA ，∴PA ⊥PD . 12．[解答] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，(1)∵V 半球＝23πr 3＝18π，V 圆柱＝πr 2h ＝54π，∴容积V ＝V 半球＋V 圆柱＝72π(m 3)，∵S 半球＝2πr 2＝18π，S 圆柱侧＝2πrh ＝36π， S 圆柱底＝πr 2＝9π，∴表面积S ＝S 半球＋S 圆柱侧＋S 圆柱底＝63π(m 2)；(2)∵V ＝V 半球＋V 圆柱＝23πr 3＋πr 2h ，∴h ＝V －23πr 3πr2， ∴S ＝S 半球＋S 圆柱侧＋S 圆柱底＝2πr 2＋2πrh ＋πr 2＝2πr ×V －23πr 3πr 2＋3πr 2＝2V r ＋5πr 23， ∴S ′＝－2V r 2＋10πr3.令S ′＝0得r 3＝3V 5π时表面积有最小值，此时h r ＝V －23πr 3πr 3＝V πr 3－23＝53－23＝1. 即圆柱的高与底的半径的比为1时，制造这种储油罐的成本最低．。

高考数学一轮总复习 45简单的三角恒等变换课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)设π2<θ<π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为( )A.105B ．－105C ．－155D.155[答案] D[解析] ∵π2<θ<π，∴cos θ<0，∴cos θ＝－15.∵π4<θ2<π2，∴sin θ2>0， 又cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝155.(理)已知x ∈(π2，π)，cos2x ＝a ，则cos x ＝( )A.1－a2 B ．－1－a2 C.1＋a2D ．－1＋a2[答案] D[解析] a ＝cos2x ＝2cos 2x －1， ∵x ∈(π2，π)，∴cos x <0，∴cos x ＝－a ＋12. 2．(2013·山西诊断)已知sin(π2＋θ)＝35，则cos(π－2θ)＝( )A.1225 B ．－1225C ．－725D.725[答案] D[解析] 依题意得sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，cos(π－2θ)＝－cos2θ＝1－2cos 2θ＝1－2×(35)2＝725，选D. 3．(文)在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2的值是( )A ．±3B ．－ 3 C. 3 D.33[答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2·tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3，故选C.(理)(2013·兰州名校检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4 [答案] A[解析] 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.4．(文)若cos(x ＋y )cos(x －y )＝13，则cos 2x －sin 2y 等于( )A ．－13B.13 C ．－23D.23 [答案] B[解析] ∵cos(x ＋y )cos(x －y )＝(cos x cos y －sin x sin y )·(cos x cos y ＋sin x sin y )＝cos 2x cos 2y －sin 2x sin 2y ＝cos 2x (1－sin 2y )－(1－cos 2x )·sin 2y ＝cos 2x －cos 2x sin 2y －sin 2y ＋cos 2x sin 2y ＝cos 2x －sin 2y ，∴选B.(理)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( )A ．1B ．－1 C.13 D.12[答案] A[解析] 两式相加得sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫y ＋π4， ∵x 、y 为锐角，且sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴x ＋π4＝π－⎝⎛⎭⎫y ＋π4，∴x ＋y ＝π2， ∴sin(x ＋y )＝1.5．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan2α等于( ) A ．－247B.247 C ．－724D.724 [答案] A[解析] ∵－π2<α<0，cos α＝45，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选A.6．若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A ．－32 B ．－12C.12 D.32[答案] B[解析] 由α、β∈(0，π2)得，α－β2∈(－π4，π2)，α2－β∈(－π2，π4)．又cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，∵α，β∈(0，π2)，∴α＝β＝π3，∴cos(α＋β)＝－12.二、填空题7．已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简 cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________. [答案] ±2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4[解析] ∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角， 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎨⎧sin α2＋cos α2 ⎝⎛⎭⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2 ⎝⎛⎭⎫α2为第四象限角.∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π4.8．已知sin α＝35，cos β＝35，其中α、β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案] π2[解析] ∵α，β∈(0，π2)，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×35－35×45＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.9．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[答案]17250[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力， ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，又cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝1－cos 2(α＋π6)＝35，∴sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425，cos2(α＋π6)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(45)2－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4＝2425×22－725×22＝17250. [点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝sin x (1＋sin x )＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[－π6，2π3]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)f (x )在[－π6，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，又f (－π6)<f (2π3)，∴x ＝－π6时，f (x )有最小值f (－π6)＝sin(－π6)＋1＝12；x ＝π2时，f (x )有最大值f (π2)＝sin π2＋1＝2. (理)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．[解析] (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α得，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以2α＝π6，即α＝π12.能力拓展提升一、选择题11．(2013·东北三省四市联考)已知复数z 1＝cos23°＋isin23°，复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为( )A.12＋32i B.32＋12iC.12－32iD.32－12i [答案] A[解析] 由已知条件可得z 1z 2＝cos(23°＋37°)＋isin(23°＋37°)＝cos60°＋isin60°＝12＋32i ，故应选A.12．(2013·沈阳、大连联考)已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且B ＝π4，则cos A－cos C 的值为( )A ．±2 B. 2 C.42 D ．±42[答案] D[解析] 由三边成等差数列得2b ＝a ＋c ，据正弦定理将边化角得2sin B ＝2＝sin A ＋sin C ①，令cos A －cos C ＝x ②，将两式两边平方并相加可得2＋2(sin A sin C －cos A cos C )＝2－2cos(A ＋C )＝2＋x 2，由已知A ＋C ＝3π4得2＝x 2，解得x ＝±42，故选D.13．(文)设α为△ABC 的内角，且tan α＝－34，则sin2α的值为( )A.2425 B ．－2425C ．－916D.916[答案] B[解析] ∵tan α＝－34，∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×(－34)(－34)2＋1＝－2425.(理)(2014·樟树中学月考)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415 D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.二、填空题14．(2013·南京调研二)计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.[答案]2[解析] cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos (10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 15．(文)(2013·江苏苏锡常镇调研)已知钝角α满足cos α＝－35，则tan(α2＋π4)的值为________．[答案] －3[解析] ∵cos α＝－35，α为钝角，∴sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43，由二倍角公式得tan α＝2tanα21－tan 2α2＝－43，且tan α2>0，解得tan α2＝2，故tan(α2＋π4)＝tan α2＋11－tanα2＝－3.(理)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)等于________．[答案] －255[解析] 由已知得tan α＋11－tan α＝12，解得tan α＝－13，即sin αcos α＝－13，cos α＝－3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，结合－π2<α<0，可得sin α＝－1010，所以2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝22sin α(sin α＋cos α)sin α＋cos α＝22sin α＝22×(－1010)＝－255. 三、解答题16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.(理)(2013·山东实验中学三诊)设函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)写出函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求f (x )的解析式；(3)将满足(2)的函数f (x )的图象向右平移π12个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数g (x )的图象，求g (x )的图象与x 轴的正半轴、直线x ＝π2所围成图形的面积．[解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴最小正周期T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递减区间是[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1.当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值最小值的和(1＋a ＋12)＋(－12＋a ＋12)＝32，∴a ＝0，∴f (x )＝sin(2x ＋π6)＋12.考纲要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．补充说明1．函数与方程的思想[例1] 已知sin x ＋sin y ＝13，求sin x －cos 2y 的最大、最小值．[分析] 令u ＝sin x －cos 2y ，消去sin x 得u ＝13－sin y －cos 2y 可转化为二次函数求最值，关键是消元后sin x 的范围，同时要转化为sin y 的取值范围．[解析] 由sin x ＝13－sin y 及－1≤sin x ≤1得，－23≤sin y ≤1. 而sin x －cos 2y ＝sin 2y －sin y －23＝(sin y －12)2－1112， 所以当sin y ＝12时，最小值为－1112， 当sin y ＝－23时，最大值为49. [点评] 求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sin x ＝13－sin y 能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出sin y 的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤sin y ≤1.2．角的构造技巧与公式的灵活运用[例2] 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．[解析] 解法1：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝⎛⎭⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34. 解法2：令sin10°＝a ＋b ，cos40°＝a －b ，则a ＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°) ＝sin30°cos20°＝12cos20°， b ＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°) ＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°. 原式＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋(a ＋b )(a －b )＝3a 2＋b 2＝34cos 220°＋34sin 220°＝34. 解法3：设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x ＝32，x ＝34. [点评] 解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．你能解决下列问题吗？(1)求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值；求cos 273°＋cos 247°＋cos47°cos73°的值；(2)求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值；求cos 2α＋sin 2(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)的值；(3)求sin 2α＋cos 2(α＋60°)＋3sin αcos(α＋60°)的值；求cos 2α＋sin 2(α＋60°)－3cos a sin(α＋60°)的值；(4)若x ＋y ＝2k π＋π3(k ∈Z )，则sin 2x ＋sin 2y ＋sin x sin y 为定值34； 若x ＋y ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，则sin 2x ＋sin 2y －sin x sin y 为定值34. 3．三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式是根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择恰当途径对条件等式进行变形，直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变形，创造机会代入条件，最终推导出所证等式．备选习题1．已知函数f (x )＝2cos 2x 2－3sin x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f (α－π3)＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α的值．[解析] (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos(x ＋π3)，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．(2)因为f (α－π3)＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.所以cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)2cos α(cos α－sin α)＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.2．(2013·池州期末)已知α，β∈(0，π)，f (α)＝3－2cos2α4sin α.(1)用sin α表示f (α)；(2)若f (α)＝sin β，求α及β的值．[解析] (1)f (α)＝3－2(1－2sin 2α)4sin α＝1＋4sin 2α4sin α.(2)∵0<α<π，∴sin α>0.∴f (α)＝sin α＋14sin α≥214＝1，又f (α)＝sin β≤1，∴f (α)＝1，此时sin α＝14sin α，即sin α＝12，∴α＝π6或5π6.又∵0<β<π，0<sin β≤1，f (α)≥1，所以f (α)＝sin β＝1，所以β＝π2.综上可知α＝π6或5π6，β＝π2.。