第五届全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类

第五届数学竞赛决赛试题及答案第五届数学竞赛决赛试题及答案一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。

那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。

3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。

这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。

原来至少有__人已经就座。

4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。

a=__，r=__。

5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。

他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。

其中年龄最大的老人今年____岁。

6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。

那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。

7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。

那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。

（每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。

那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。

三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。

列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。

现由甲工程队先修3天。

余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。

问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。

第五届全国大学生数学竞赛决赛考试内容具体考试内容为：
一、非数学专业：高等数学；线性代数（约占15%—20%）。

二、数学专业：
1、大二学生：在预赛所考内容的基础上增加常微分方程（数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程所占比重分别为40%、30%、15%和15%左右）。

2、大三及以上年级学生：在大二学生考试内容（考分占总分80%）的基础上，增加实变函数、复变函数、抽象代数、数值分析、微分几何、概率论等内容。

新增课程每门出一个考题，由学生任选其中两题（考分约占总分20%）。

注：1、以上考题所涉及的各科内容，均不超出数学专业本科或理工科本科相应课程教学大纲规定的教学内容。

2、红色字体部分为新增考试内容。

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sin n ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。

……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。

专业：考生座位号：线所在院校：封密准考证号：姓名：第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类，2013） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 一、（本题共4小题，每小题各6分，共24分）解答下列各题. (1) 求极限 (lim 1sin n n →∞+. (2) 证明广义积分sin 0x dx x +∞⎰不是绝对收敛的. (3) 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定, 求()y x 的极值. (4) 过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线, 使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：二、（本题12分）计算定积分2sin arctan d 1cos x x x e I x x ππ-⋅=+⎰.三、（本题12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数，且0()lim 0.x f x x →= 证明：级数11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.四、（本题10分）设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明 2sin ()d b a f x x m ≤⎰.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：五、（本题14分）设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型曲面积分 ()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰. 试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值.六、（本题14分）设22()()a a C ydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：七、（本题14分）判断级数∑∞=+ ++++1)2)(1(1211nnnn的敛散性, 若收敛，求其和.。

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知xx e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

1+ 4n2( )⎰ ∑ n⎰ 第五届全国大学Th 数学竞赛预赛试卷 评分细则一、(共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 解答下列各题 .1. 求极限 lim 1+ sinπ n →∞1+ 4n 2)n解sin (π 1+ 4n2)= sin (π- 2n π = sinπ2n π + π(2 分)⎛ π⎫n原式= lim 1+ ⎪n →∞ ⎝⎡ 2n π + π ⎛1+ 4n 2 ⎭π ⎫⎤ = exp ⎢lim n ln 1+ sin ⎪⎥(2 分)⎢⎣n →∞⎝ 2n π + π 1+ 4n 2 ⎭⎥⎦ = ⎛ π⎫ exp lim n sin ⎪⎝ n →∞2n π + π 1+ 4n 2⎭⎛ π n⎫ 1 = exp lim ⎪ = e 4(2 分)⎝ n 2n π + π 1+ 4n 2 ⎭+∞sin x2 证明广义积分 ⎰ 0 dx 不是绝对收敛的. x(n +1)π| sin x |∞证. 记a n =⎰nπ dx , 只要证明∑ a n 发散. (2 分)n =01(n +1)π1π2因为 a n ≥(n +1)π∞2| sin x | dx = sin xdx = n π(n +1)π 0(n +1)π ∞.(3 分)而∑ n =0 发散, 故 a 发散. (1 分)+ 1)π n =03. 设函数 y = y (x ) 由 x 3 + 3x 2 y - 2y 3 = 2 所确定. 求 y (x ) 的极值.解 方程两边对 x 求导，得3x 2 + 6xy + 3x 2 y '- 6y 2 y ' = 0故 y ' =x (x + 2 y )，令 y ' = 0 ，得 x (x + 2y ) = 0 ⇒ x = 0 或 x = -2y . 2 y 2 - x 2将 x = 0 和 x = -2y 代入所给方程，得(1 分)1+ 4n 2. (n x(2 y 2 - x 2 )(2x + 2xy '+ 2 y ) + (x 2 + 2xy )(4 yy '- 2x )(2 y 2 - x 2 )23 t 33 t 2⎨ y =1π(arctan e x + arctan e )⎰ 2 2 0⎧x = 0 ⎨ y = -1 和⎧x = -2.(2 分)y = 1 ⎩⎩又y ''== -1 < 0 ， x =0 y =-1y '=0y '' x =-2 = 1 > 0 . y '=0故 y (0) = -1为极大值， y (-2) = 1为极小值.(3 分)4．过曲线 y = 3 x (x ≥ 0) 上的点 A 作切线,使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的面积为3 , 求点 A 的坐标. 4解 设切点 A 的坐标为(t ,3 t ),曲线过 A 点的切线方程为y - =1(x - t ) (2分)令 y = 0, 由上式可得切线与x 轴交点的横坐标x 0 = -2t∴平面图形的面积S = ∆Ax 0t 的面积-曲边梯形otA 的面积S = 1 3 t ⋅ 3t - ⎰t 3 x d x = 3 t 3 t = 3⇒ t = 1 ，∴ A 的坐标为(1,1).(4分)2 0 4 4二、 (12 分) 计算定积分 I = ⎰-πx s in x ⋅ arctan e x1 + cos 2xd x . 0 x s in x ⋅ arctane x π x s in x ⋅ arctan e x解 I = ⎰-π 1 + c os 2 x d x +⎰0 1 + cos 2x d x = π x s in x ⋅ arctan e - x π x sin x ⋅ arctan e x⎰0 1 + cos 2 x d x +⎰0 1 + cos 2 x d x(4 分)= π - x 0x sin x d x 1 + cos 2 x = π π x sin x d x(2 分)2 ⎰0 1 + cos 2 x⎛ π ⎫2π sin x = ⎪ ⎰0 2 dx ⎝ ⎭ 1 + cos x(4 分)⎛ π ⎫2= - ⎪ ⎝ ⎭3 arctan(cos x ) π = 8(2 分)三、(12 分)设 f (x ) 在 x = 0 处存在二阶导数 f ''(0) ，且limf (x ) = 0.证明：级数x →0xπn ⎪b ≤ ⎰=∑ n =1f⎛ 1 ⎫收敛. ⎝ ⎭证 由于 f (x ) 在 x = 0 处连续，且limf (x )= 0 ，x →0xf (x )则f (0) = lim f (x ) = lim ⋅ x = 0 ，(２分) x →0 x →0 xf '(0) = lim f (x ) - f (0)= 0 .(２分)x →0 x - 0应用罗比达法则，lim f (x ) = lim f '(x ) = lim f '(x ) - f '(0) = 1 f ''(0).(３分)x →0 x 2 x →0 2x x →0 2(x - 0) 2所以lim = 1f ''(0) . (２分)n →0∞ 11 2n 2 ∞⎛ 1 ⎫ 由于级数∑ n 2 收敛，从而∑ f n ⎪ 收敛.(3 分)n =1n =1 ⎝ ⎭四、(10 分) 设| f (x ) |≤ π , f '(x ) ≥ m > 0 (a ≤ x ≤ b ) ，证明⎰ sin f (x ) d x ≤2.am证 因为 f '(x ) ≥ m > 0 (a ≤ x ≤ b ) ，所以 f (x ) 在 [a ,b ] 上严格单增，从而有反函数. (2 分)设 A = f (a ) ， B = f (b ) ，ϕ 是 f 的反函数，则0 < ϕ'( y ) =又| f (x ) |≤ π ，则-π ≤ A < B ≤ π ，所以1 f '(x ) ≤ 1 ，(3 分)mbx =ϕ ( y ) B sin f (x ) d x ϕ'( y )sin y d y(3 分)⎰a=== ⎰Aπ 1 20 m sin y d y m(2 分)五、(１４分)设∑ 是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型的曲面积分I = ⎰⎰(x 3 - x )dydz + (2 y 3 - y )dzdx + (3z 3 - z )dxdy .∑试确定曲面∑ , 使得积分 I 的值最小, 并求该最小值.解. 记∑ 围成的立体为V , 由高斯公式,I = ⎰⎰⎰(3x 2 + 6 y 2 + 9z 2 - 3)dv = 3⎰⎰⎰(x 2 + 2 y 2 + 3z 2 -1)dxdydz .(３分)VV∞6 6 6 3 3 3 ⎩22 2⎰aa ⎰ (u 2 + v 2 )a ⎩⎰ a2 为了使得 I 达到最小, 就要求V 是使得 x 2 + 2y 2 + 3z 2-1 ≤ 0 的最大空间区域, 即V = {(x , y , z ) | x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≤ 1}.(３分)所以V 是一个椭球, ∑ 是椭球V 的表面时, 积分 I 最小.⎧ x = u ⎪∂(x , y , z ) 1 为求该最小值, 作变换 ⎨ y = v / ⎪z = w / . 则= , 有 ∂(u , v , w )I = 3⎰⎰⎰ u 2+v 2+w 2≤1(u 2 + v 2 + w 2 -1)dudvdw .(4 分)使用球坐标变换, 我们有3 2ππ 1I = ⎰ d ϕ ⎰ d θ ⎰(r 2-1)r 2sin θ dr = - 0 0 0π . (４分)六、(14 分) 设 I a (r ) = ydx - xdy , 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆 x + xy + y = r , 取正(x 2+ y 2 )a向. 求极限 lim I (r ) . r →+∞⎧⎪ x = (u - v ) / 解. 作变换⎨⎪⎩ y = (u + v ) / 曲线C 变为uov 平面上的,Γ : 3 u 2 + 1v2= r 2, 也是取正向(2 分)2 2且 有 x 2 + y 2 = u 2 + v 2,ydx - xdy = vdu - udv ,I (r ) = vdu - u dv.(2 分)Γ⎧ 2⎪u = 作变换⎨ r cos θ3, 则有vdu - u dv = - 2 r 2d θ ⎪ v = I a (r ) = -2π2r sin θ 2 r 2 (-1a 2π)0 (2 cos d θd θ 2 θ / 3+ 2sin 2θ )a = - r-2a ( J 1,其中 J a =⎰ (2 cos2θ / 3 + 2sin 2 θ )a, 0 < J a < +∞ .(3 分) 因此当a > 1和a < 1, 所求极限分别为 0 和-∞ .(2 分)2 3 4 622C15= π3 . n+ ⎛ an -1 ⎝ n ⎨ ⎩∑ ∞ n1 1 n+∞⎰ 而当a = 1,2πJ 1 = ⎰2 c o 2s θd θ /+3 2 2s θπ / 2= 4 ⎰d t a n θ +2 / 3 θ2= 4 d t + 2(3 分)故所求极限为i n⎧ 0, 0a > 12 t a n 0t 2 / 3lim I r →+∞(r ) = ⎪ -∞, ⎪-2π , a < 1 . (2 分)a = 1∞1+ 1 + + 1 七、(14 分) 判断级数2 n 的敛散性, 若收敛，求其和. n =1(n +1)(n + 2)解: (1) 记 a = 1+ 1 ++ 1 ， u = a n , n = 1,2,3, .n2因为n 充分大时n n(n +1)(n + 2)0 < a = 1+ 1 + + 1< 1+n 1dx = 1+ ln n <, (3 分)n2 n ⎰1x所以 u ≤<1而∞1 收敛，所以∑ u 收敛. (2 分)n(n + 1)(n + 2)n 3/2∑3/2n =1n n =1（2） a k = 1+ ++ (k = 1,2,....)2 k 1+ 1 + + 1 n2 k n a k n ⎛ a k a k ⎫ S n = ∑ (k +1)(k + 2) =∑ (k +1)(k + 2) =∑ k + -+ 2 ⎪k =1 k =1k =1 ⎝ 1 k ⎭ = ⎛ a 1 - a 1 ⎫ + ⎛ a 2 - a 2 ⎫ +- a n -1 ⎫ + ⎛ a n- a n ⎫(2 分)2 3 ⎪ 3 4 ⎪ n +1 ⎪ n +1 n + 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭ ⎝ ⎭= 1 a + 1 (a - a ) + 1 (a - a ) + + 1 (a - a ) - 1 a(2 分)2 13 2 14 3 2 n +1 n n -1n + 2 n= ⎛ 1 + 1 + 1 + +1 ⎫ - 1 a = 1- 1 - 1 a .(2 分)1⋅2 2⋅3 3⋅ 4 n ⋅ (n -1) ⎪ n + 2 n n n + 2 n⎝ ⎭因为0 < a n < 1+ ln n 所以0 <a n<1+ ln n 且 lim1+ ln n = 0. 所以lim a n= 0. n + 2 n + 2 n →∞ n + 2 n →∞ n + 2 于是 S = lim S = 1- 0 - 0 = 1 . 证毕。