2017年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----复数、参数方程、极坐标

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．复数（）．A．B．C．D．2．若，满足，则的最大值为（）．A．B．C．D．3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）．A．B．C．D．4．设，两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）．A．B．C．D．6．设是等差数列，下列结论中正确的是（）．A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是（）．A．B．C．D．8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）．A．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油D．某城市机动车最高限速千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）10．已知双曲线的一条渐近线为，则__________．11．在极坐标中，点到直线的距离为__________．12．在中，，，，则__________．13．在中，点，满足，．若,则__________．__________．14．设函数①若，则的最小值为__________．②若恰有个零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值．16．（本小题满分13分），两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，，，，，，组：，，，，，，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若平面，求的值．18．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时,；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）的离心率为，点，和点都在椭圆上，直线交轴于点．．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得若存在，求点的坐标；若不不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知数列{}满足，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案（理工类）一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案A D B B C C C D二、填空题题号9 10 11 12 13 14 答案三、解答题15．解：（Ⅰ）周期．（Ⅱ），，，，最小值为．16．解：（Ⅰ）记甲康复时间不小于天为事件．则，答：甲康复时间不小于天的概率为．（Ⅱ）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件．基本事件空间如下表乙甲短短短长长长长短短短短长长长短短短短短长长短短短短短短长短短短短短短短短短短短短短短短短短短短短短所以．（Ⅲ）或，由于组为公差为的等差数列，所以当或时组也为公差为的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有或两个值．17．（Ⅰ）证明：为等边三角形，为中点，又平面平面，平面平面，平面，．（Ⅱ）以为原点建立如图坐标系，，，，平面的法向量；设平面的法向量，则取又二面角为钝角，二面角的余弦值为．（Ⅲ）平面，，，，解得（舍）或．18．解：（Ⅰ)所以又所以切线方程为，即．（Ⅱ）又因为，所以所以在上是增函数又，故所以．（Ⅲ），设，，，，函数是单调递增，显然成立当时，令，得极值，显然不成立，由此可知最大值为．19．解：（Ⅰ）由题意知，，又，解得，，所以的方程为．的斜率，所以方程，令，解得所以．（Ⅱ），同（I）可得，，，因为所以，设则即，又在椭圆上，所以，即，所以，故存在使得．20．解：（Ⅰ），，．（Ⅱ）若存在是的倍数，设，当时，，也是的倍数；当时，，也是的倍数．综上，是的倍数，依次类推，当时，是的倍数；若存在是的倍数，设，当时，，因为，所以也是的倍数；当时，，因为，所以也是的倍数；．综上，是的倍数，依次类推，当时，是的倍数；所以原结论成立．（Ⅲ）当时，将代入，依次得到，，，，，，，，所以当时，，此时，共个元素．由题意，可取的值有，，，共个元素，显然，不论为何值，必为的倍数，所以，①当时，，此时最多有个元素；②当时，，此时最多有个元素；③当时，，此时最多有个元素；所以集合的元素个数的最大值为．2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）选填解析一、选择题1．【答案】A【解析】解：．故选A．2．【答案】D【解析】解：如图，当，．故选D．3．【答案】B【解析】解：结束，输出．故选B．4．【答案】B【解析】解：不能推出，而，，“”是“”的必要不充分条件．故选B．5．【答案】C【解析】解：由三视图知，面ABC，，,，，,．故选C．6．【答案】C【解析】解：，，所以，．故答案为C．7．【答案】C【解析】解：由题可知：，当时，．时，单调递减，单调递增，当时，，的解集为．故答案选C．8．【答案】D【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于，A错；由图知，当以的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B错；甲车以行驶小时耗油升，故C错在限速，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油．故答案选D．二、填空题9．【答案】【解析】解：，当时，系数为．故答案为．10．【答案】【解析】解：令，所以．故答案为．11．【答案】【解析】直线方程为，点为，所以点到直线方程的距离为．故答案为．12．【答案】【解析】解：．故答案为13．【答案】，【解析】解：，所以,．故答案为，．14．【答案】，【解析】解：①当时，，时，，时，，所以；②（I）当时，没有两个零点，（Ⅱ）当时，时，，有一个零点；时，；当，即时，恰有两个零点，所以当时，恰有两个零点；（Ⅲ）当时，时，，有一个零点；时，，，有两个零点，此时有三个零点；（Ⅳ）当时，时，无零点；时，有两个零点，此时有两个零点．综上所述．故答案为，．。

2017年市高考数学试卷（理科）一、选择题.（每小题5分）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面对应的点在第二象限，则实数a的取值围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．95．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．28．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=．10．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=．13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．20．（13分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n ﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．2017年市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题.（每小题5分）1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}故选：A．【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面对应的点在第二象限，则实数a的取值围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面对应的点在第二象限，可得，解得a围．【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故选：D．【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．二、填空题（每小题5分）9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= 2 ．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．10．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则= 1 ．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为 1 ．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|﹣r C=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到s inα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3 ．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i=A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S△ABC=acsinB=×7×3×=6．【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p==．（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列如下：ξ 0 1 2PE（ξ）==1．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．20．（13分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n ﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n=d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．加油。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用1、（昌平区2017届高三上学期期末）设函数()ln(1)f x ax bx =++,2()()g x f x bx =-.(Ⅰ）若1,1a b ==-,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ）若曲线()y g x =在点(1,ln 3)处的切线与直线1130x y -=平行.(i ） 求,a b 的值;(ii ）求实数(3)k k ≤的取值范围，使得2()()g x k xx >-对(0,)x ∈+∞恒成立.2、（朝阳区2017届高三上学期期末)设函数2()ln(1)1f x x axx =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程; （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ)证明()()f x g x ≤．3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数2()e ()xf x xa =-,a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减,试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．4、（东城区2017届高三上学期期末）设函数()ln(1)()1axf x x a x =+-∈+R ． (Ⅰ）若(0)f 为()f x 的极小值,求a 的值;（Ⅱ）若()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立,求a 的最大值．5、（丰台区2017届高三上学期期末)已知函数()e xf x x =与函数21()2g x xax=+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.6、(海淀区2017届高三上学期期末）已知函数()ln 1a f x x x =--．(Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证:当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数3()9f x xx=-，函数2()3g x x a=+。

2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理，11)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.2．(2017·天津理，11)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 2．【答案】2【解析】由4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0，得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，半径为1， ∵圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|(23)2＋22＝34＜1， ∴直线与圆相交，有两个公共点． 二、解答题1．(2017·全国Ⅰ文，22)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 1．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧x 29＋y 2＝1，x ＋4y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d＝|3cos θ＋4sin θ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋9 17.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.2．(2017·全国Ⅱ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．2．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3．(2017·全国Ⅲ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5. 4．(2017·江苏，21)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 4．解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.5．(2017·全国Ⅰ理，22)[选修4-4，坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 5．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17， 所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.6．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．6．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知，|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α ＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.7．(2017·全国Ⅲ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．7．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)3.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为( )A.2B.32C.53D.85 4.若x,y 满足{x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则x+2y 的最大值为( )A.1B.3C.5D.95.已知函数f(x)=3x -(13)x,则f(x)( ) A.是奇函数,且在R 上是增函数 B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数6.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3√2B.2√3C.2√2D.28.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)()A.1033B.1053C.1073D.1093第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.若双曲线x2-y 2m=1的离心率为√3,则实数m= .10.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2= .11.在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.12.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则cos(α-β)=.13.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.14.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题13分)a.在△ABC中,∠A=60°,c=37(Ⅰ)求sin C的值;(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积.16.(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=√6,AB=4.(Ⅰ)求证:M为PB的中点;(Ⅱ)求二面角B-PD-A的大小;(Ⅲ)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.17.(本小题13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(Ⅱ)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)18.(本小题14分))作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,12M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.19.(本小题13分)已知函数f(x)=e x cos x-x.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;]上的最大值和最小值.(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π220.(本小题13分)设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1-a1n,b2-a2n,…,b n-a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(Ⅰ)若a n=n,b n=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(Ⅱ)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,c n>M;或者存在正整数m,使得nc m,c m+1,c m+2,…是等差数列.。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编复数与框图一、复数1、（昌平区2017届高三上学期期末）设 a ∈R ，若i(1+i)=2+i a ，则a =______ .2、（朝阳区2017届高三上学期期末）在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限3、（西城区2017届高三上学期期末）复数1i 1i+=-____． 4、（东城区2017届高三上学期期末）若复数(2i)(2i)a -+是纯虚数，则实数a =5、（丰台区2017届高三上学期期末）i 是虚数单位，复数2i 1i-= ． 6、（海淀区2017届高三上学期期末） 已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________． 7、（石景山区2017届高三上学期期末）若34i z i +=，则||z =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59、（通州区2017届高三上学期期末）复数z 满足()11i z i +⋅=-，则z =_______.参考答案1、－22、D3、i4、－15、1i -+6、1i -7、D 8、 9、i -二、框图1、（昌平区2017届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 62、（朝阳区2017届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为．3、（西城区2017届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，输出的S值为____4、（东城区2017届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（A）6（B）8（C）10（D）125、（海淀区2017届高三上学期期末）右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A．6 B．7C．8 D．96、（石景山区2017届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5B．3C．9D．77、（通州区2017届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，输出的A值为A．7 B．15C．31 D．63参考答案1、B2、303、－34、B5、C6、A7、D8、9、10、11、12、13、。

九、圆锥曲线1.(2017海淀期末）1. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ ）A.21B.1C.2D.32.(2017海淀期末）5.已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是（ ）A.12y x =-B.12y x =- C.2y x = D.2y x =- 3.(2017东城期末）（2）抛物线22y x =的准线方程是（ ） A.1y =- B.12y =-C.1x =-D.12x =-4.(2017西城期末)3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（ ）A.0x =0y ±= C.30x y ±= D.30x y ±=5.(2017通州期末) 4．“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.(2017昌平期末）(7) 在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则“b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(2017年朝阳一模）（5）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为=PF （ ）A. 34B. 6C. 8D.168.(2017年平谷一模)7.已知点M (0及抛物线x y 42=上一动点)(y x N ，，则||MN x +的最小值为（ ）A ．5B ． 32C ． 3D ． 49.(2017年西城二模)5．设双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（ ）A.0x ±=B.0y ±=C.80x y ±=D.80x y ±=10.(2017年丰台二模)4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x=±的是（ ）A.2214yx -= B.2214xy -=C.2214yx -= D.2214xy -=填空题部分：11.(2017东城期末）（11）若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =_______．12.(2017朝阳期末）9．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ． 13.(2017石景山期末）11．若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =±，则双曲线的焦点坐标是 ．14.(2017丰台期末）10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．15.(2017年东城一模) （13）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为等边三角形OAB 的边,OA OB 所在直线，直线AB 过双曲线的焦点，且||2AB =，则a = _______．16.(2017年海淀一模)10.已知12(2,0),(2,0)F F -，满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为____.17.(2017年丰台一模)9. 抛物线22y x =的准线方程是 ．18.(2017年石景山一模)11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = ． 19.(2017年平谷一模)12．在平面直角坐标系xOy 中，若方程142222=+-m y m x 表示双曲线，则实数m 的范围_____________；若此双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为________.20.(2017年朝阳二模）9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．21.(2017年东城二模)（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA = ．22.(2017年海淀二模)14.已知椭圆G ：22216x y b+=(0b < 的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_______①③______．解答题部分：23.(2017西城期末）19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．24.(2017海淀期末）18. （本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．24.(2017东城期末）（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足OA OP 3=，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．25.(2017朝阳期末）18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P与其顶点(A,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．26.(2017石景山期末18)18．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．27.(2017丰台期末)19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.28.(2017通州期末)19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．29.(2017房山期末)19．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为（θ为参数），已知圆O 与y 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，点P 为直线l ：y=4上的动点．直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ． （Ⅰ）写出圆O 的标准方程；（Ⅱ）若△PAN 与△MAN 的面积相等，求直线PA 的方程； （Ⅲ）求证：直线MN 经过定点．30.(2017年朝阳一模）(19)（本小题满分14分）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>，离心率3e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ∆,11AE F ∆,1AFF ∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，试证明1322S S S 为定值.31.(2017年东城一模)（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是椭圆C 的左，右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，以原点O 为端点分别作与直线AP和BP 平行的射线，交椭圆C 于,M N 两点，求证：△OMN 的面积为定值．32.(2017年海淀一模)19.（本小题满分14分）已知椭圆G :2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．33.(2017年西城一模)19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．34.(2017年丰台一模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为，右焦点为F ，点()01，B 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，交直线2=x 于点P ，设=PM MF λu u u r u u u r，=PN NF μuuu r uuu r ，求证：λμ+为定值．35.(2017年石景山一模)19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点（0，1）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．36.(2017年顺义一模)19.(本小题满分14分)已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 经过点E O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上一动点，点(3,0)A 与点P 的垂直平分线交y 轴于点B ，求||OB 的最小值.37.(2017年朝阳二模）18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b +=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF ∠=．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 O E G ∠的大小．38.(2017年东城二模)（19）（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上．39.(2017年海淀二模)18.（本小题满分14分）已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等. （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论．40.(2017年西城二模)18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =． 求直线AB 的斜率．41.(2017年丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M ），（231在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.42.(2017年顺义二模)19.（本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a by a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S .试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前北京市2017年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合–21{|}A x x =<<,–1{|}3B x x x =<>或,则A B =( )A .–2|}1{–x x <<B .3|}–2{x x <<C .1|}–1{x x <<D .3|}1{x x <<2.若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是( )A .(–∞,1)B .(–∞,–1)C .(1,+∞)D .(–1,+∞)3.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为A .2B .C .D .4.若x ,y 满足 则x + 2y 的最大值为( )A .1B .3C .5D .95.已知函数1(x)3()3x xf =-,则()f x( )A .是奇函数,且在R 上是增函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是减函数C .是偶函数,且在R 上是减函数6.设,m n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m n λ=”是“0m n <”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为A.B.C.D .28.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的 ( )(参考数据：30.48lg ≈) A .1033 B .1053 C .1073D .109332538532x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.若双曲线221yx m-=则实数m = . 10.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==,448a b ==,则22a b = . 11.在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为(1,0),则|AP |的最小值为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则cos()αβ-= . 13.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c ＞＞,则a b c +＞”是假命题的一组整数的值,,a b c 依次为 .14.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,1,2,3i =.①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q 1,Q 2,Q 3中最大的是 . ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则123,,p p p 中最大的是 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分) 在△ABC 中,60A =︒∠,37c a =. (1)求sin C 的值；(2)若7a =,求△ABC 的面积.数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）16.(本小题14分)如图,在四棱锥P−ABCD 中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,点M 在线段PB 上,PD ∥平面MAC,PA PD ==4AB =. (1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B −PD −A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值.17.(本小题13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望()E ξ； (3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）18.(本小题14分)已知抛物线22C y px =：过点1(1)P ,.过点(10,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.19.(本小题13分)已知函数()cos xf x e x x =-.(1)求曲线(x)y f =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.20.(本小题13分)设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记{}1122max ,,,n n n c b a n b a n b a n =---(n 1,2,3)=,其中{}12max ,,,n x x x 表示12,,,s x x x 这s 个数中最大的数.(1)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列； (2)证明：或者对任意正数,存在正整数m ,当n m ≥时,nc M n>；或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++是等差数列.M数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析第一部分一、选择题 1．【答案】A【解析】由集合交集的定义可得{}=|21A B x x -<<-，故选A .【考点】集合的交运算 2．【答案】B【解析】因为(1i)(i)1(1)i z a a a =-+=++-，所以它在复平面内对应的点为(1,1)a a +-，又此点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，，解得1a <-，故选B ． 【考点】复数的乘法及几何意义3．【答案】C【解析】运行该程序，0,1,3;k s k ==<11011,2,3;1k s k +=+===<213112,,3;22k s k +=+===<3152123,,3332k s k +=+====. 输出的s 值为53.故选C ．【考点】程序框图 4．【答案】D【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以点(1,1),33,31A B C -（，）（，）为顶点的三角形及其内部.当直线：2z x y =+ 经过点B 时，2x y + 取得最大值，所以max 3239z =+⨯=，故选D.【考点】二元一次不等式组所表示的平面区域、困解法求最值5．【答案】A【解析】因为1()3()3xxf x =-，且定义域为R ，所以111()3()=()3[3()]()333x x x x x x f x f x ---=--=--=-，即函数()f x 是奇函数.又3x y =在R 上是增函数，1()3x y =在R 上是减函数，所以1()3()3x x f x =-在R 上是增函数.故选A.【考点】函数的奇偶性与单调性 6．【答案】A【解析】因为m ，n 是非零向量，所以cos ,0m n m n m n =<的充要条件是cos ,0m n <.因为0λ<，则由m n λ=可知m ，n 的方向相反，,180m n =︒，所以cos ,0m n <，所以“存在负数λ，使得m n λ=”可推得“0m n < ”；而由“0m n <”，可推得“cos ,0m n <”，但不一定推得“m ，n 的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m n λ=”.综上所述，“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件，故选A.【考点】充分必要条件与平面向量数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）7．【答案】B【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥A-BCC 1B 1，从图中易得最长的棱为1AC ===，故选：B.【考点】几何体的三视图 8．【答案】D【解析】因为361lg 3361lg 33610.48173=⨯≈⨯≈，所以17310M ≈，则1739380101010M N ≈=，故选D ． 【考点】指数与对数的运算第二部分二．填空题 9．【答案】2【解析】由双曲线的标准方程可知21a =，2b m =，所以1a=，c =，所以1=2m =. 【考点】考查双曲线的标准方程与离心率. 10．【答案】1【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则4138a d =-+=，解得343;18d b q ==-=，解得2q =-.所以22132,1(2)2a b =-+==-⨯-=，所以221ab =.【考点】等差数列与等比数列的通项公式 11．【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为222440x x y +--+=y ，即22121x y -+-=（）（），圆心为（1，2），半径1r =.因为点10P （，）到圆心的距离21d ==>，所以点P 在圆外，所以AP 的最小值为211d r -=-=. 【考点】圆的极坐标方程，点与圆的位置关系 12．【答案】79-【解析】解法一 因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+，k Z ∈，所以2217cos()cos(22)cos 2(12sin )12()39k αβππααα⎡⎤-=+-=-=--=--⨯=-⎢⎥⎣⎦.解法二 因为1sin =03α> ，所以角α 为第一象限角或第二象限角，当角α为第一象限角时，可取其终边上一点()，则cos 3α= ，又()关于y轴对称的点()-在角β的终边上，所以1sin ,cos 3ββ==此时()117cos cos cos sin sin 33339αβαβαβ⎛-=+=-+⨯=- ⎝⎭ .当角α为第二象限时，可取其终边上一点()-，则cos 3α=-，因为()-关于y 轴对称的点()在角β的终边上，所以1sin ,cos 33ββ== ，此时()117cos cos cos sin sin 33339αβαβαβ⎛-=+=-⨯+⨯=- ⎝⎭.综上可得，()7cos 9αβ-=- .【考点】三角函数的概念、两角差的三角函数公式 13．【答案】1,2,3---（答案不唯一）【解析】因为“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）定“设存在实数,,a b c .若a b c >>，则a b c +≤”是真命题.由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <.因此,,a b c 依次可取整数1,2,3---，满足a b c +≤.【考点】全称命题的真假与不等式的性质 14．【答案】1Q2P【解析】①i Q 为i A 与i B 的纵坐标之和，123i =，，，作图可得11A B 中点的纵坐标比2233,A B A B 中点的纵坐标大，所以123Q Q Q ,,中最大的是1Q .②(1,2,3)i i i i i A B p i A B +==+的纵坐标的纵坐标的横坐标的横坐标,分别作123,,B B B 关于原点的对称点123',','B B B ，比较直线'''112233,,A B A B A B 的斜率，可得直线'22A B 的斜率最大，所以123,,p p p 中最大的是2p .【考点】散点图 三、解答题15.【答案】（1）在△ABC 中，因为∠A=60°，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sinC 7c A a ===.（2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC的面积11sinA 8322S bc ==⨯⨯=【考点】正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式 16.【答案】（1）如图，设AC ，BD 的交点为E ，连接ME . 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB=ME ，所以PD ∥ME . 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点.所以M 为PB 的中点.（2）取AD 的中点O ，连接OP ，OE. 因为P A=PD ，所以OP ⊥AD .又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE . 因为ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .如图建立空间直角坐标系O-xyz，则00P （，200D （，，），240B -（，，），4 4.0,BD PD =-=（，）.设平面BDP 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BD n PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即440,20.x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1x =，则1,y z ==于是n =.平面P AD 的法向量为(0,1,0)p =. 所以1cos ,2n p n p n p ⋅==. 由题知二面角B-PD-A 为锐角，所以它的大小为3π. （3）由题意知(1,2,(2,4,0),(3,2,22M C MC -=-. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则2sincos ,=9n MC n MC n MCα==.数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）所以直线MC 与平面BDP.【考点】空间中直线、平面的位置关系以及二面角、线面角17.【答案】（1）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. （2）由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0，1，2.21122222222444121(0),(1),(2)636C C C C P P P C C C ξξξ=========.所以ξ的分布列为故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. （3）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 【考点】散点图，随机事件的概率，随机变量的分布列、数学期望18.【答案】（1）由抛物线2:2C y px =过点11P （，），得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4，准线方程为14x =-. （2）由题意，设直线l 的方程为1(0)2y kx k =+≠，l 与抛物线C 的交点为1122(,),(,)M x y N x y .由21,2y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得224(44)10k x k x +-+=. 则12122211,4k x x x x k k-+==. 因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为12(,)x x .直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112(x ,)y xx . 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-= 12211221221222211(k )()2221(22)()211(2k 2)420,x x kx x x x x k x x x x x kk k x +++-=-++=--⨯+==所以211122y x y x x +=. 故A 为线段BM 的中点。