平面向量专题复习10页word

1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

复习模块：平面向量一 、知识点（1）平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小,方向。

零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。

单位向量：模为1的向量。

平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。

规定：零向量与任何一个向量平行。

相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。

负向量:与非零向量a 的模相等,方向相反的向量，记作-a 。

规定：零向量的负向量仍为零向量。

向量加法的三角形法则：如图1,作AB =a ， BC =b ,则向量AC 记作a＋b ，即 ，和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD =AB ＋BC =AC , AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。

向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ; a ＋（−a ）= 0;（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c )．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a 的终点．如图3。

a −b =a+(−b ），设a =OA ，b =OB ，向量的数乘运算:数与向量的乘法运算。

一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ,它的模为， 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反．共线向量充要条件：对于非零向量a 、b ，当0λ≠一般地，有 0a = a Aa -b Bb O 图3 图1A CBa ba +b a b 图2 C B0, λ0 = 0 .线性组合：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ,b 线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ,则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． 设平面直角坐标系中,11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则由此得到，对非零向量a 、 b ,设1122(,),(,),a b ==xy x y当0≠λ时（3）平面向量的内积向量a 与向量b 的夹角，记作<a ，b>. []o o b a 180,0,>∈<内积的定义：两个向量a ，b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．记作a ·b ，结论：（1）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b 。

平面向量专题复习考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理题型一、平面向量的概念1．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3题型二、平面向量的线性表示1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12AD C ．BC D.12BC 2．(2013·江 苏 高 考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 4．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.题型三、平面向量共线定理典题：设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[变式1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线．考点二、平面向量基本定理及其坐标表示题型一、平面向量基本定理及其应用1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .题型二、平面向量的坐标表示1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)2．(2015·昆 明一 中 摸 底 )已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．题型三、平面向量共线的坐标表示典题：平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求m n 的值．[题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能能否共线考点三、平面向量的数积、模长、夹角题型一、平面向量的数量积1．(2015·云 南 统 一检 测 )设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12 C.32 D.522.(2013·湖 北 高 考 )已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－31523．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.4．(2015·东 北 三 校 联 考 )已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC＋DB )，则BE ·DF ＝________.题型二、平面向量的模长1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．82．(2014·北 京 高 考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.题型三：平面向量的夹角1．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π62．(2014·江 西 高 考 )已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.3．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．4．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152。

第五章 平面向量●网络体系总览平面向量解斜三角形向量的概念向量的运算向量的表示向量的应用几何表示坐标表示代数运算几何运算线段的定比分点平移正弦定理余弦定理●考点目标定位1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：（1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； （4）正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意：（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积●知识梳理1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. （3）运算律：a +b =b +a ；（a +b ）+c =a +（b +c ）. 3.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. 4.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行.（2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ，λ（a +b ）=λa +λb . 5.两个重要定理：（1）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）.（2）平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.●点击双基1.（2004年天津，理3）若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于A.（－3，6）B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3）解析：易知a 与b 方向相反，可设b =（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b |=35=224λλ+，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b =（－3，6）. 答案：A2.（2004年浙江，文4）已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34 D.－34 解析：由a ∥b ，∴3cos α=4sin α.∴tan α=43. 答案：A3.若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且=a ，=b ，则等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21bD.a －21b 解析：BE =AE －AB =AD +DE －AB =AD +21AB －AB =b －21a . 答案：B4.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1 解析：a 与b 共线⇔存在实数m ，使a =m b ， 即e 1+k e 2=mk e 1+m e 2.又e 1、e 2不共线， ∴⎩⎨⎧==.1k m mk ，∴k =±1.答案：D5.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______. 解析：|a +b |=6464+=82（km ）. 答案：82 km 东北方向●典例剖析【例1】 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6剖析：欲求|a +b |，一是设出a 、b 的坐标求，二是直接根据向量模计算. 解法一：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则x 12+y 12=1，x 22+y 22=4，a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2）， ∴（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=4. ∴x 12－2x 1x 2+x 22+y 12－2y 1y 2+y 22=4. ∴1－2x 1x 2－2y 1y 2=0.∴2x 1x 2+2y 1y 2=1.∴（x 1+x 2）2+（y 1+y 2）2=1+4+2x 1x 2+2y 1y 2=5+1=6. ∴|a +b |=6.解法二：∵|a +b |2+|a －b |2=2（|a |2+|b |2）， ∴|a +b |2=2（|a |2+|b |2）－|a －b |2 =2（1+4）－22=6. ∴|a +b |=6.故选D.深化拓展此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.AGB CDE剖析：要证GA+GB+GC=0，只需证GA+GB=－GC，即只需证GA+GB与GC互为相反的向量.证明：以向量GB、GC为邻边作平行四边形GBEC，则GB+GC=GE=2GD.又由G 为△ABC的重心知AG=2GD，从而GA=－2GD.∴GA+GB+GC=－2GD+2GD=0.评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.深化拓展此题也可用向量的坐标运算进行证明.【例3】设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP=t AB.再用以O为起点的向量表示.证明：∵P在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=t AB.∴OP－OA=t（OB－OA）.∴OP=OA+t OB－t OA=（1－t）OA+t OB.设1－t=λ，t=μ，则OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.深化拓展①本题也可变为OA，OB不共线，若OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明AP与AB共线.②当λ=μ=21时，OP =21（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 【例4】 若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小? 解：（1）设a －t b =m ［a －31（a +b ）］（m ∈R ），化简得（32m －1）a =（3m－t ）b . ∵a 与b 不共线， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.2123030132t m t m m ， ∴t =21时，a 、t b 、31（a +b ）的终点在一直线上. （2）|a －t b |2=（a －t b ）2=|a |2+t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°=（1+t 2－t ）|a |2，∴t =21时，|a －t b |有最小值23|a |. 评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题. 思考讨论两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?●闯关训练 夯实基础1.（2004年广东，1）已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－3 解析：由a ⊥b ，则3x －3=0，∴x =1. 答案：B2.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有 A.a ∥b 且a 、b 方向相同 B.a =b C.a =－b D.以上都不对 解析：a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，∴a ∥b 且方向相同. 答案：A3.在四边形ABCD 中，AB －DC －CB 等于 A.B.BDC.ADD.解析：－－=－=+=. 答案：C4.设四边形ABCD 中，有=21AB 且|AD |=||，则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析：∵DC =21AB ，∴DC ∥AB ，且DC ≠AB .又|AD |=|BC |，∴四边形为等腰梯形. 答案：C5.l 1、l 2是不共线向量，且a =－l 1+3l 2，b =4l 1+2l 2，c =－3l 1+12l 2，若b 、c 为一组基底，求向量a .解：设a =λ1b +λ2c ，即－l 1+3l 2=λ1（4l 1+2l 2）+λ2（－3l 1+12l 2）， 即－l 1+3l 2=（4λ1－3λ2）l 1+（2λ1+12λ2）l 2，∴⎩⎨⎧-=-.31221342121＝＋，λλλλ解得λ1=－181，λ2=277，故a =－181b +277c . 6.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：e 12=4，e 22=1，e 1·e 2=2×1×cos60°=1， ∴（2t e 1+7e 2）·（e 1+t e 2）=2t e 12+（2t 2+7）e 1·e 2+7t e 22=2t 2+15t +7.∴2t 2+15t +7＜0.∴－7＜t ＜－21.设2t e 1+7e 2=λ（e 1+t e 2）（λ＜0）⇒⎩⎨⎧==λλt t 72⇒2t 2=7⇒t =－214， ∴λ=－14. ∴当t =－214时，2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π. ∴t 的取值范围是（－7，－214）∪（－214，－21）. 思考讨论向量a 、b 的夹角为钝角，则cos 〈a ，b 〉＜0，它们互为充要条件吗?培养能力7.已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?解：∵d =λ（2e 1－3e 2）+μ（2e 1+3e 2） =（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d =k c ，即（2λ+2μ）e 1+（－3λ+3μ）e 2=2k e 1－9k e 2，由⎩⎨⎧-=+-=+，，k k 933222μλμλ得λ=－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d 与c 共线.8.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知=a ，=b ，试用a 、b 分别表示、和.解：由三角形中位线定理，知DE 21BC . 故=21BC ，即=21a . CE =CB +BD +DE =－a +b +21a =－21a +b ， =MD +DB +=21ED +DB +21=－41a +21a －b =41a －b . 探究创新9.在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示.解：由已知得=31，AN =41AC .设ME =λMC ，λ∈R ，则AE =AM +ME =AM +λMC . 而=－AM ，∴=+λ（－） =31+λ（－31）. ∴=（31－3λ）+λAC .同理，设NE =t NB ，t ∈R ，则AE =AN +NE =41AC +t NB =41AC +t （AB －AN ）=41+t （AB －41）. ∴=（41－4t）+t . ∴（31－3λ）+λ=（41－4t）+t .由AB 与AC 是不共线向量，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-，，441331t t λλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.113112t ，λ∴AE =113AB +112AC ， 即=113a +112b . 评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.●思悟小结1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.3.对于两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a =λb ，只有b ≠0才是正确的.而当b =0时，a ∥b 是a =λb 的必要不充分条件. 4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题. 5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力. ●教师下载中心 教学点睛1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.2.复习时要构建良好的知识结构.3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等. 拓展题例【例题】 对任意非零向量a 、b ，求证：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |. 证明：分三种情况考虑.（1）当a 、b 共线且方向相同时，|a |－|b |＜|a +b |=|a |+|b |，|a |－|b |=|a －b |＜|a |+|b |. （2）当a 、b 共线且方向相反时，∵a －b =a +（－b ），a +b =a －（－b ），利用（1）的结论有||a |－|b ||＜|a +b |＜|a |+|b |，|a |－|b |＜|a －b |=|a |+|b |.（3）当a ，b 不共线时，设OA =a ，OB =b ，作OC =OA +OB =a +b ，BA =OA －OB =a －b ，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a |－|b ||＜|a ±b |＜|a |+|b |.综上得证.。

一、向量的概念与线性运算考点一： 向量及与向量相关的基本概念题型1. 概念判析例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若==则(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ρρ=，c b ρρ=，则c a ρρ=；(7)若b a ρρ//，c b ρρ//，则c a ρρ//(8)若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A(9) b a ρρ=的充要条件是||||b a ρρ=且b a ρρ//；考点二: 向量的加、减法题型1: 考查加法、减法运算及相关运算律例2、化简)()(---题型2: 结合图型考查向量加、减法例3、在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4、如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA→ =3a ，CB → =2b ，求CD→ ，CE → ．B D E考点三: 向量数乘运算及其几何意义题型1: 三点共线问题例5、设21,e e 是不共线的向量，已知向量2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A 、B 、D 三点共线，求k 的值。

例6、已知A 、B 、C 、P 为平面内四点，求证：A 、B 、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m 、n ，使PC → =mP A → +nPB→ ，且m+n=1。

二、平面向量的基本定理与坐标表示考点一： 平面向量基本定理题型1. 利用一组基底表示平面内的任一向量例7、在△OAB 中，21,41==，AD 与BC 交于点M ，设=a r ，=b r ，用a r ,b r 表示OM 。

例8、若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e例9、在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且 , AC AB a b ==u u u r r u u u r r ,试 用, a b r r 表示AP u u u r考点二: 平面向量的坐标表示与运算题型1: 向量加、减、数乘的坐标运算例10、已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.例11、若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2= 例12、若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MN , 求P 点的坐标；考点三: 向量平行的充要条件题型1: 平行、共线问题例13、已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例14、若向量a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2)共线且方向相同，求x例15、已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t +=，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。

平面向量一. 向量的根本看法与根本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b ,c 来表示，或用有向线段的起点与终uuur uuuryj ( x, y) 向点的大写字母表示，如： AB几何表示法AB ，a；坐标表示法 a xiuuur即向量的大小，记作｜ a ｜量的大小即向量的模〔长度〕，记作 | AB |向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量 a ＝0r r｜ a ｜＝0由于 0的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行〔共线〕的问题中务必看清楚可否有“非零向量〞这个条件．〔注意与 0 的差异〕③单位向量：模为 1 个单位长度的向量向量a0为单位向量｜a0｜＝ 1④平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都能够移到同素来线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 a ∥ b 由于向量能够进行任意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同素来线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总能够重合，记为a b 大小相等，方向相同 (x1 , y1 ) (x2 , y2 )x1x2 y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuur设 AB a, BC b ，那么a+b=AB BC=AC〔1〕0 a a 0 a ；〔2〕向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法那么〞与“平行四边形法那么〞：（1〕用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2〕三角形法那么的特点是“首尾相接〞，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法那么；当两向量是首尾连接时，用三角形法那么．向量加法的三角形法那么可实行至多个向量相加：1uuur uuur uuurL uuur uuur uuurAB BC CD PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连〞．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：〔 i 〕( a) = a； (ii) a +( a )=( a )+ a = 0 ；(iii) 假设a、b是互为相反向量，那么a = b , b = a , a + b = 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量〔 a 、b有共同起点〕4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：〔Ⅰ〕a a ；〔Ⅱ〕当0 时，λa的方向与a的方向相同；当0 时，λa的方向与a的方向相反；当0 时， a 0，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b= a6平面向量的根本定理：若是 e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数1 , 2 使：a1e1 2 e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意 :（1〕向量的加法与减法是互逆运算（2〕相等向量与平行向量有差异，向量平行是向量相等的必要条件（3〕向量平行与直线平行有差异，直线平行不包括共线〔即重合〕，而向量平行那么包括共线〔重合〕的情况（4〕向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对地址有关2二. 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与r rx 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的根本定理知，该平面内的任向来量r r r rr 是一一 a 可表示成 a xi yj ，由于 a 与数对 (x,y) r r r对应的，因此把 (x,y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y) ，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对位置有关2 平面向量的坐标运算：(1) r x 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 x 2 , y 1 y 2 假设 a,b ，那么a b 假设 A x 1 ,y 1, B x 2 , y 2 uuur (2) ，那么 AB x 2 x 1, y 2 y 1 (3) r =(x,y) ，那么 r x, y)假设aa =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0假设 a,b，那么 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r rx 1 x 2y 1 y 2假设 a,b ，那么 a brry 1 y 2 0假设a b ，那么 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕及其各运算的坐标表示和性质运 算 几何方法坐标方法 运算性质种类向 1 平行四边形法那么 r ra b b a量2 三角形法那么a b (x 1 x 2, y 1 y 2)的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法那么rra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur 减AB BA法uuur uuur uuurOB OA AB 3向a 是一个向量 ,a( x, y)( a)()a 量 满足 :的>0 时 ,a 与 a 同()aaa 乘 向 ;法<0 时 ,a 与 a 异( ab )ab向 ;=0 时,a = 0a ∥b a b向 a ?b 是一个数rrx 1x 2 y 1 y 2 a ? bb ? a量 a?b的a0 或 b 0时 ,???数( a) b a ( b)(a b)量 a?b =0 (ab) ?c a?cb ?c积a0 且 b 0 时 ,a 2 | a |2 , | a | x 2 y 2a?b | || |cos ,| a ? b | | a || b |a b a b三．平面向量的数量积1 两个向量的数量积：两个非零向量 rrr rr rrra 与b ，它们的夹角为，那么 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos叫做 a 与 b 的数量积〔或内积〕r r规定 0 arr rr r2=a b向量的投影： ︱ b ︱ cosr∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影3r r r r r数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2a a a | a |5 乘法公式成立：r r r r r 2 r 2r 2 r 2a b a b a b ab ；r r 2 r 2 r r r 2 r 2r r r 2ab a2a b ba 2a bb6 平面向量数量积的运算律：4①交换律成立： r rr r a bb a②对实数的结合律成立：r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r rr r a b ca cb c ca b特别注意：〔 1〕结合律不成立：r r r r r r；a b ca b cr r r rr r〔2〕消去律不成立 a b a c 不能够获取b cr rr r r r 〔3〕 a b =0 不能够获取 a =0 或 b=07 两个向量的数量积的坐标运算：rrr ry 1 y 2两个向量 a( x 1 , y 1 ), b( x 2 , y 2 ) ，那么 a · b =x 1 x 28 向量的夹角：r r uuur r uuur r已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a , OB = b , 那么 ∠AOB=〔 0 01800〕叫做向量 r ra 与b 的夹角r rr r x 1x 2 y 1 y 2cos = cosa ?ba,b r r = 22x 2 22a ? bx 1 y 1 y 2当且仅当两个非零向量rr 0 r r 0ra 与b 同方向时， θ=0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ =180 ，同时 0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题rrr r r r9 垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 那么称 a 与b 垂直，记作 a ⊥ b10 两个非零向量垂直的充要条件 ：a ⊥ba·b＝ Ox 1x 2y 1 y 2 0 平面向量数量积的性质题型 1. 根本看法判断正误 ：（ 1〕共线向量就是在同一条直线上的向量.（ 2〕假设两个向量不相等，那么它们的终点不能能是同一点.（ 3〕与向量共线的单位向量是唯一的.〔4〕四边形 ABCD 是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD .uuur uuur〔5〕假设 AB CD ，那么 A 、 B 、 C 、 D 四点构成平行四边形 .〔6 〕由于向量就是有向线段，因此数轴是向量.〔7 r rr r r r〕假设 a 与 b 共b 与 c 共线，那么 a 与 c 共线 .线，〔8r r r r〕假设 mamb ，那么a b .5rr n .〔9〕假设mana ，那么mr rr r〔10〕假设 a 与 b 不共线，那么a 与b 都不是零向量 . r r r r r r〔11〕假设 a b | a | | b | ，那么 a / /b .r r r r r r〔12〕假设 |a b | | a b | ，那么 a b .题型 2. 向量的加减运算1. rrr r.设 a 表示“向东走 8km 〞 ,b 表示“向北走 6km 〞 , 那么 |ab |2.uuur uuur uuur uuur uuuur. 化简 (AB MB ) (BO BC ) OMuuur uuur3 uuur3. |OA|5, |OB|, 那么 | AB |的最大值和最小值分别为、 .4.uuur uuur uuuruuur r uuurr uuuruuurAC 为 AB 与 AD 的和向量，且 AC a, BDb ，那么 AB， AD5.uuur3 uuur uuuruuuruuuruuur点 C 在线段 AB 上，且 ACAB ,那么ACBC ， ABBC .5题型 3. 向量的数乘运算1.r r r rr r rrr 计算：〔 1〕 3(a b) 2( a b)〔 2〕 2(2 a 5b 3c)3( 2a3b2.rr3,8) ，那么 r1r.a (1, 4),b (3ab题型 4.2作图法球向量的和r rr 1 rr3r向量 a,b ，如以以下图，请做出向量3a2 b 和2ab .r2arb题型 5. 依照图形由向量求未知向量1. 在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量uuur uuur uuurAB ，AC 表示 AD . 2.uuur r uuurr uuur uuur 在平行四边形 ABCD 中， ACa, BD b ，求 AB 和 AD ..r2c )题型 6. 向量的坐标运算uuur (4,5) A(2,3) ，那么点 B 的坐标是1. AB， .uuur( 3, 5) ， P(3,7) ，那么点 Q 的坐标是2. PQ.r r r4) , 那么合力的坐标为.3. 假设物体受三个力 F 1 (1,2) , F 2 ( 2,3),F 3 ( 1,6rr(5, 2) r r r r r r4. a( 3,4) ， b，求 a b ， a b ， 3a 2b .ruuur5. A(1,2), B(3,2) , 向量2, x 3y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值 .a (x6. uuur uuur uuur (uuur . AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD 1,4) ，那么DA7. O 是坐标原点， A(2,1),B( 4,8)uuur uuur r uuur，且 AB 3BC 0 ，求 OC 的坐标 .题型 7. 判断两个向量可否作为一组基底ur uur1. e 1 ,e 2 是平面内的一组基底，判断以下每组向量可否能构成一组基底：ur uur ur uur uruuruurururuuruururuur uur urA.e 1 e 2和e 1e 2B.3e 1 2e 2 和4e 2 6e 1 C.e 1 3e 2和e 23e 1 D.e 2和e 2e 12.r(3,4) ，能与 r〕aa 构成基底的是〔A. (3,4)B.(4,3) C.(3,4)D. (1,4)5 55 5553题型 8. 结合三角函数求向量坐标uuur1. O 是坐标原点，点uuur2 ， xOAA 在第二象限， | OA | 150o ，求 OA 的坐标 . 2.uuur 4 3 xOA uuurO 是原点，点 A 在第一象限， | OA | ， 60o ，求 OA 的坐标 .题型 9. 求数量积rr 4 r r 的夹角为 60 or rr r r 1. | a | 3,| b | ，且 a 与 b ，求〔 1〕 a b ，〔 2〕 a ( a b) ，r 1 r r r r r r〔3〕 ( a 2 b) b ，〔 4〕 (2 a b ) (a 3b ) .r(2, r ( 8,10) r r r rrr r2. a 6), b ，求〔 1〕 | a |,| b | ，〔2〕 a b ，〔 3〕 a (2 a b ) ，r r r r〔4〕 (2 a b ) (a 3b ) .题型 10. 求向量的夹角71. rrr r12 r r | a |8,| b | 3 ， a b ，求 a 与 b 的夹角 .2. rr( 2 3, 2) r r a( 3,1), b ，求 a 与 b 的夹角 .3. A(1,0) ， B(0,1) ， C (2,5)，求 cos BAC .题型 11. 求向量的模rrr r or r r r 1. | a |3,| b | 4 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求〔 1〕 | a b | ，〔 2〕 | 2a 3b |.rr( 8,10) r r r r r 1 r2. a(2, 6), b，求〔 1〕 | a |,| b | ，〔5〕 | a b | ，〔 6〕 | a 2 b |.r r2 r r3 rr3. | a | 1，|b | ， | 3a 2b |，求 | 3a b | .r r r 题型 12. 求单位向量a【与 a 平行的单位向量： e r】| a |1. r(12,5) 平行的单位向量是.与 a2. r1) 平行的单位向量是.与 m( 1,2题型 13. 向量的平行与垂直rr1. rrr r a(6,2) ， b (3,m) ，当 m 为何值时，〔 1〕 a / /b ？〔 2〕 a b ？rrr r r r垂直？2. a (1,2) ， b( 3,2) ，〔 1〕 k 为何值时，向量 ka b 与 a 3b 〔2〕 k 为何值时，向量 r r r rka b 与 a 3b 平行？rr r r r rr r rr3. a 是非零向量，a b a c ，且 bc ，求证： a (b c) .题型 14. 三点共线问题 1. A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证： A, B,C 三点共线 .8uuur2r r uuur r r uuur r r2.设AB2(a5b), BC2a8b,CD3(a b) ，求证：A、B、D三点共线.3.uuur r r uuur r r uuur r r. AB a2b, BC5a6b, CD7a2b ，那么必然共线的三点是4. A(1,3)， B(8,1) ，假设点 C (2a1,a2) 在直线 AB 上，求 a 的值.5.已知四个点的坐标 O(0,0) ， A(3, 4) ， B( 1,2) ， C (1,1) ，是否存在常数 t ，使uuur uuur uuurOA tOB OC 成立？题型 15. 判断多边形的形状1.uuur r uuur r uuur uuur.假设AB3e， CD5e ，且| AD | | BC |,那么四边形的形状是2. A(1,0) ， B(4,3)， C(2,4) ， D (0, 2) ，证明四边形ABCD 是梯形.3. A( 2,1)，B(6,3) ， C (0,5) ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，三角形 . uuur uuur uuur(1,3) ,求证：ABC 是等腰直角OA( 1,8), OB( 4,1),OC题型 16. 平面向量的综合应用1.r r r r r ra(1,0) ， b(2,1) ，当k为何值时，向量ka b 与 a3b 平行？2.r( 3,r r r ra5) ，且a b ，| b | 2 ，求b的坐标.3.r r r r r ra与 b 同向， b(1,2) ，那么ab10，求 a 的坐标.3.r r(3,1)r(5,4)r r r a(1,2) ， b， c，那么 c a b .9rr(3,4) r(5,0) ，请将用向量 rrr4. a(5,10) ， b ， ca, b 表示向量 c .rrrrm 的范围；5. a(m,3) ， b(2, 1) ，〔 1〕假设 a 与 b 的夹角为钝角，求rr（ 2〕假设 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围 .rr( 3,m) r r r r6. a(6,2) ， b，当 m 为何值时，〔 1〕 a 与 b 的夹角为钝角？〔 2〕 a 与 b的夹角为锐角？7. 梯形ABCD 的极点坐标分别为 A( 1,2) ， B(3, 4) ， D (2,1) ，且 AB / / DC ，AB 2CD ，求点 C 的坐标 .8. 平行四边形ABCD 的三个极点的坐标分别为A(2,1) ， B( 1,3) ，C (3, 4) ，求第四个极点 D 的坐标.9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实质航行方向与水流方向成 30o 角，求水流速度与船的实质速度 .10. ABC 三个极点的坐标分别为A(3, 4) ， B(0,0) ， C (c,0) ，uuur uuur〔1〕假设 AB AC 0 ，求 c 的值；〔 2〕假设 c5 ，求 sin A 的值 .【备用】1. rr r r r r r r | a |3,| b | 4,| a b | 5，求 | a b |和向量 a, b 的夹角 .2. rr r ur r r r rr r r urx a b ， y 2a b ，且 | a | | b | 1， ab ，求 x, y 的夹角的余弦 .1. rr2,r r r r.a(1,3),b (1) ，那么 (3a 2b) (2a 5b)rr (2, r r r r4. 两向量 a(3, 4), b 1) ，求当 a xb 与 a b 垂直时的 x 的值 . 5.rr (2, r r的范围 .两向量 a(1,3), b ) ， a 与b 的夹角 为锐角，求10rr r r的取值范围 .变式： 假设a( , 2), b ( 3,5) ， a 与 b 的夹角 为钝角，求选择、填空题的特别方法：1. 代入考据法r r(1, r( 1, 2) r例：向量 a (1,1),b1),c ，那么c 〔〕A.1 r3 r1 r3 rC.3 r1rD.3 r1 rab B.a bab ab222222 222. 消除法uuur例： M 是 ABC 的重心，那么以下向量与AB 共线的是〔〕uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur A. AM MB BC B. 3AM AC C. AB BC AC D. AM BM CM11。