高考数学复习课件3.2函数的单调性与极值课件理北师大版

基础梳理 1．函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒 等于0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)为 f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)为
增函数 减函数
； ．
2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 极大值； ②如果在x0附近的左侧 那么f(x0)是极小值．
一个防范 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过 认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念， 而极值是个“局部”概念． 两个条件 (1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条 件． (2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的 必要不充分条件．
)．
解析 f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]只有x＝1.比较 17 10 17 f(0)＝－4，f(1)＝－ 3 ，f(2)＝－ 3 .可知最小值为－ 3 . 答案 A
5．(2012· 扬州检测)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增 函数，则m的取值范围是________． 解析 f′(x)＝3x2＋2x＋m，由f′(x)≥0，得m≥－3x2－2x， 令g(x)＝－3x 答案
第2讲 函数的单调性与极值
【2013年高考会这样考】 1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间． 2．利用导数求函数的极值． 3．利用导数求闭区间上函数的最值． 【复习指导】 本节复习时，应理顺导数与函数的关系，体会导数在解决函数 有关问题时的工具性作用．重点解决利用导数来研究函数的单 调性、极值、最值的问题；本节知识往往与其他知识结合命 题，如不等式知识等，还应注意分类讨论思想的应用．
解 (1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 令f′(x)≥0，得ex≥a， 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a＞0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. ∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立， 即a≤ex，x∈R恒成立． ∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0. 当a＝0时，f′(x)＝ex在R上，f′(x)＞0恒成立． 故当a≤0时，f(x)在定义域R内单调递增．
)． B．极小值－2，极大值3 D．极小值－2，极大值2
y′＝3－3x2，令y′＝0得：x＝± 1.
(－1,1) ＋ 增
1 0 极大值3
(1，＋∞) － 减
极小值－1
由表可知，C正确． 答案 C
3．(2011· 南昌调研)已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的 图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )．
解析
当x＜0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c＜0，知相应的
函数f(x)在该区间上单调递减；当x＞0时，由导函数f′(x)＝ax2 ＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则 在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意． 答案 D
x3 2 4．函数f(x)＝ 3 ＋x －3x－4在[0,2]上的最小值是( 17 A．－ 3 C．－4 10 B．－ 3 64 D．－ 3
双基自测 1．(北师大教材习题改编)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ( )． B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
A．(－∞，2) 解析 答案
f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)＞0得x＞2. D
ห้องสมุดไป่ตู้
2．函数y＝1＋3x－x3有( A．极小值－1，极大值1 C．极小值－1，极大值3 解析 则有 x y′ y (－∞，－1) － 减 －1 0
利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义 要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上 为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在 (a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)， x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等 于0.
f(a)，f(b)
比较，其中最大的一个是最
大值，最小的一个是最小值．
一个步骤 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围． 当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0 时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的 单调区间．
2
12 1 1 1 －2x，则g(x)＝－3 x＋3 ＋3≤3.∴m≥3.
1 ，＋∞ 3
考向一 运用导数解决函数的单调性问题 【例1】►已知f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围． [审题视点] 立问题，求a. (1)通过f′(x)≥0求单调递增区间；(2)转化为恒成
f′(x)＜0 f′(x)＞0
，右侧
，
(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右 负，那么f(x)在这个根处取得
极大值
；如果左负右正，
那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那 么这个根不是极值点．
3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b) 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函 数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b] 上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与