第1章插值

且 要求插值函数的三个插值基函数，满足如下性质： 函数值 节点
函数
x0
x1
x2
l0(x)
l1(x) l2(x)
1
0 0
0
1 0
0
0 1
注意：问题的关键是求出三个基函数。
分析：由于
l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l2(x0)=0 , l2(x1)=0 ,
现在考察函数的二阶导数
(t ) f (t ) L1 (t ) k ( x)(t t0 )(t t1 )
(t ) f (t ) 2!k ( x)
f ( ) k ( x) 2! f ( ) R( x) ( x x0 )( x x1 ), [a, b] 2!
返回本节
1.1.3 多项式插值函数
虽然插值函数种类可以有多种，但由于代数多项式具有形式简单和一 些良好的特性，例如多项式曲线是光滑的，且容易计算它的导数与积分， 所以实际上常选用代数多项式作为插值函数。
在多项式插值中，设所求的插值函数为：
Pn ( x) a0 a1x a2 x2 an xn
(1)
这时插值问题变为:求 n 次多项式Pn(x)，使满足插值条件
Pn ( xi ) yi ,
i 0,1,2,, n
(2)
将（2）代入（1）得具有方程组
考察它的系数行列式
n a0 a1 x0 a2 x 2 a x 0 n 0 y0 2 n a a x a x a x 0 11 21 n 1 y1 n a0 a1 xn a2 x 2 n an x n y n
f ( ) R( x) ( x x0 )( x x1 ), [a, b] 2! sin R( x) ( x 11)( x 12) 2! sin 1 | R(11.5) | (11.5 11)(11.5 12) 0.5 (0.5) 0.125 2! 2
x 12 x 11 L1 ( x) 0.190809 0.207912 11 12 12 11
所以有
L1 (11.5) 0.190809 L1 (10.5) 0.190809
因为
11.5 12 11.5 11 0.207912 0.199361 11 12 12 11 10.5 12 10.5 11 0.207912 0.182236 11 12 12 11
[ x0 , x],[ x, x1 ] ，可知导函数 分别在两个区间上应用洛尔定理：
在每个区间上至少有一个零点，不妨设为
0,
继续对 使
( x)
在区间 [1 , 2 ] 应用洛尔定理，至少有一个
( ) 0
则称函数 (x) 为插值函数； f(x) 称为被插值函数； x0 , x1, ... , xn 称为插 值节点；（1）式称为插值条件。
这样对函数 y=f(x)在区间 [a,b] 上的各种计算，就可以对插值 (x) 函
数的计算代替。
自然问：这样构造的插值函数是否存在？是否唯一？如何构造？ 构造的插值函数可以是什么类型的？三角函数？对数函数？
l0(x2)=0 , l1(x2)=0 , l2(x2)=1 .
不难发现这样 l0(x) 含有 x-x1 , x-x2 两个因子，因此令
l0(x)= λ(x-x1)(x-x2)
只需将 l0(x0)=1 代人上式得
1 ( x0 x1 )(x0 x2 )
所以有
( x x1 )(x x2 ) l0 ( x) ( x0 x1 )(x0 x2 )
返回本节
1.1.2 插值函数
设由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, ... , xn 处 的值 函数值为 y0 , y1 , … , yn , 构造一个简单函数 (x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式 y= f(x) (x) 使 (x0)=y0 , (x1)=y1 , , (xn)=yn , （ 1）
你认为上面计算有问题吗？
内插与外插：一般内插的效果优于外插。 例：给定
sin 11 0.190809 , sin 12 0.207912 , sin 13 0.224951
构造二次插值函数并计算 sin 1130 ? 解：由
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x2 ) ( x x1 )(x x2 ) L2 ( x) y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产 和实验中，函数f(x)或者其表达式复杂不便于计算或者没有解析式而 只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个 简单的而便于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x)。 例如：温度变化、化学反应速度、山体的地形、股市变化、销售情 况等函数情况。 如何建立函数来逼近或近似地代替这些已知函数呢？ 数学上常用的方法有： 插值 一致逼近 均方逼近（最小二乘）。 本章讨论插值法。
因为
l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
x x0 l1 ( x) x1 x0
x x1 l0 ( x) x0 x1
至此我们有 L1 ( x) 如果度量呢？
f ( x) ，显然近似比较粗糙；我们问近似程度有多高？
线性插值的误差 定理：记 L1(x) 为以 (x0 , y0) , (x1,y1) 为插值点的插值函数，x0, x1 在区间 [a,b]上。这里 y0 = f(x0) , y1=f(x1)，设 f(x) 一阶连续可导， 二阶导数存在(a,b)，则对任意给定的 x，有以下的 1 R( x) f ( x) L1 ( x) f ( )( x x0 )( x x1 ), [a, b] 2! 证明：令 R( x) f ( x) L1 ( x) 因为 R( x0 ) 0, R( x1 ) 0,
类似的可以得出 l1(x)， l2(x) :
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) l1 ( x) l2 ( x ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
所以二次拉格朗日插值函数
L2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
整理一下讨论过程。
你能由线性及二次插值说说n次插值的表达式吗？
返回本节
二次插值函数误差
回顾线性插值的误差。
f ( ) R( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ), [a, b] 3! 要求：上述公式证明和线性误差误差的证明类似，自己 完成。
( x 12)(x 13) ( x 11)(x 13) ( x 11)(x 12) L2 ( x) y0 y1 y2 (11 12)(11 13) (12 11)(12 13) (13 11)(13 12)

例：要制作三角函数 sinx 的函数值表，已知表值有四位小数，要求用 线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试决定其最大允许步长。 分析：要求表值有四位小数，也即要求表值有四位有效数字，也即表 值的舍入误差为末位的半个单位即。 也即要求截断误差满足该条件。 线性插值的误差为截断误差
( x x0 )(x x2 ) ( x x1 )(x x2 ) L2 ( x) y0 y1 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x x0 )(x x2 ) y2 ( x2 x0 )(x2 x1 )
说明x0 ，x1是 R(x) 的两个零点，所以可设
R( x) k ( x)(x x0 )(x x1 )
说对任何一个固定的点 x ，引进辅助函数
显然有 又由
(t ) f (t ) L1 (t ) k ( x)(t t0 )(t t1 ) ( x0 ) ( x1 ) 0 ( x) 0 说明函数有三个零点，不妨设 x0 x x1
而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式
1 1 V( x0 , x1 ,...,x n ) ... 1
n
x x x x
0 1
2 0 2
... ... ... ...
1 2 n
...
...
x x x
n 0 n
1 n n
...
x x
n
( xi x j )
1.2.1 线性插值
1.2.2 二次插值
1.2.3 n次插值
1.2.4 拉格朗日算法
返回本章
1.2.1 线性插值(n=1)
已知函数 f(x) 有两个插值点 ( x0 , y0 ), ( x1, y1 ) ，构造线性插值函数
L1(x)=ax + b
使它满足插值条件：
（ 1）
L 1(x0) = y0 ,
不妨设
x x1 l0 ( x) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
基函数

L1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
所以线性插值函数是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数 就是对应点上的函数值。
显然两个基函数有如下特点：
l0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0
L1(x1) = y1 ,
为确定 a , b ，把两点代入方程（1），得
ax 0 b y0 ax1 b y1