2017-2018学年北京市北京师范大学附属中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可． 详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

北京师大附中2017—2018学年度第二学期统练1高二数学（理）2018.3本试卷共6页,100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(共6小题,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 在复平面内,复数13-iz =对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 已知曲线2122y x =-上一点1)2P -,则过点P 的切线的倾斜角为 （A ）30︒（B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒3. 下列函数中,在区间0+∞（，）上单调递增的是（A ）2y x =-（B ）12log y x =（C ）1()2x y =（D ）1y x x=-4. 函数()ln 2f x x =,则()f x '=（A ）14x（B ）12x（C ）2x（D ）1x5. 下列结论：①(sin )cos x x '=;②211();x x '=③31(log );3ln x x '=④1(ln )x x'=.其中正确的有 （A ）3个（B ）2个（C ）1个（D ）0个 6. 已知,A B 是函数2x y =的图象上的相异两点,若点,A B 到直线12y =的距离相等,则点,A B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-（D ）(,4)-∞-二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)7. 已知函数()sin ,f x x =则()2f π'=______.8. 已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切,则a 的值为______.9. 若函数()x x f x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是______. 10. 函数cos 1xy x=-的导数是______. 11. 已知32()(1)3,f x x x f x '=++则(1)f '的值为______.12. 函数32()39f x x x x =+-的单调增区间是______.13. 已知函数(),bf x ax x=+其中,a b 为常数.曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是320.x y -+=则()f x 的解析式是______.14. 如图,函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是5,y x =-+则(3)(3)f f '+=______.三、解答题(共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15. 已知曲线3(),f x x x =-求过点(1,0)A 且与曲线3()f x x x =-相切的直线方程.16. 如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥平面,ABCD //AB CD ,,AB AD ⊥1AD CD ==,12AA AB ==,E 为1AA 的中点.（Ⅰ）求四棱锥1C AEB B -的体积;（Ⅱ）设点M 在线段1C E 上,且直线AM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为13,求线段AM 的长度;（Ⅲ）判断线段1B C 上是否存在一点N ,使得//NE CD ?（结论不要求证明）17. 设F 为抛物线2:2C y x =的焦点,,A B 是抛物线C 上的两个动点,O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AB 经过焦点F ,且斜率为2,求AB ; （Ⅱ）当OA OB ⊥时,求OA OB ⋅的最小值.18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆C 交于,M N 两点.若直线3x =上存在点P ,使得四边形PAMN 是平行四边形,求k 的值.北师大附高二年级第一次统练数学学科测试答案（理工类）2018.3一、选择题:本大题共6小题.二、填空题:本大题共8小题.7.0 8.2 9.ln 2 10.2(1)sin cos (1)x x xx -+-11.6- 12.(,3)-∞-和(1,)+∞13.1()4f x x x=+ 14.1三、解答题:15. 解:2()31f x x '=-设切点坐标为3000(,)x x x -, 200()31k f x x '==-,则切线方程为320000()(31)()y x x x x x --=--, 因为切线过点(1,0)A ,所以3200000()(31)(1)x x x x --=--, 解得0011,2x x ==-当01x =时,切线方程为220x y --=； 当012x =-时,切线方程为410x y +-=.16. 解:（Ⅰ）∵1AA ⊥平面,ABCD AD ⊂平面,ABCD ∴1.AA AD ⊥又∵1,AB AD AA AB A ⊥⋂=, ∴AD ⊥平面11ABB A . ∵//AB CD ,∴四棱锥1C AEB B -的体积1113C AEB B AEB B V S AD -=⋅11[(12)2]1132=⨯⨯+⨯⨯=.（Ⅱ）以A 为原点,以AD 为x 轴,以1AA 为y 轴,以AB 为z 轴,建立空间直角坐标系, ∵1AD CD ==,12AA AB ==,E 为1AA 的中点,∴11(0,0,2),(0,2,2),(1,2,1),(1,0,1),(0,1,0),B B C C E 1(0,2,0),(1,0,1)BB BC ==-.设点(,,)M a b c ,∵点M 在线段1C E 上,∴1,0,EM EC λλ=> ∴(,1,)(1,1,1)(,,),a b c λλλλ-== 得(,1,),M λλλ+∴(,1,),AM λλλ=+ 设平面11BCC B 的一个法向量为(,,),n x y z = 由1200n BB y n BC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩,取1,z =得(1,0,1).n = ∵直线AM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为13,∴1cos ,32n AM n AM n AM⋅<>===⋅, 解得1=3λ.∴141(,,),333AM =则1(AM ==∴线段AM .（Ⅲ）线段1B C 上不存在点N ,使得//NE CD . 17. （Ⅰ）由题意,抛物线C 的方程为22y x =,则其焦点坐标为1(,1)2F ,则直线AB 的方程为12()212y x x =-=-.由2212y x y x=-⎧⎨=⎩消去y ,得24610.x x -+= 设点1122(,),(,)A x y B x y , 则0,∆>且12123214x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,所以52AB ==.（Ⅱ）设直线OA 的方程为,0,y kx k =≠ ∵OA OB ⊥,∴直线OB 的方程为1y x k=-,由22y kx y x =⎧⎨=⎩,解得222x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即222(,)A k k ,则24244OA k k =+,由212y x k y x⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得222x k y k ⎧=⎨=⎩,即2(2,2)B k k -,则24244OB k k =+, ∴2422422441()()(44)16(2)OA OB k k k k k k ⋅=++=++22116(22)64k k ≥+⋅=, 当且仅当1k =±时取等号, ∴OA OB ⋅的最小值为8.18. 解:（Ⅰ）由题意得2,c a e a ===,所以c =. 因为222a b c =+,所以1=b , 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形,则//PA MN ,且=PA MN .所以直线PA 的方程为(2)y k x =-,所以(3,),P k PA =设1122(,),(,)M x y N x y . 由22344y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)8380k x kx +++=, 由0∆>,得212k >. 且1221228341841k x x k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩. 所以22221212226432(1)[()4](1)(41)k k x x x x k k -++-⋅++. 因为=PA MN ,. 整理得421656330k k -+=,解得k =或k =经检验均符合0∆>,但k =PAMN 是平行四边形,舍去.所以k =,或2k =±.。

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++． 2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ，∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||11sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-， ∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <>== 故二面角111B AD C --的大小为． 5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________．【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ． （1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A 1A 【答案】（1）(0,0,1)．（2）112．【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CB AD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．。

首都师大附中2017-2018学年第二学期期中考试卷高二数学（理）第I 卷（共32分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若22()(32)i m m m m -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．0或12．下列以t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与1xy =所表示的曲线完全一致的是（ ）．A ．1212,x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．,1x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．tan ,1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan ,1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩3．极坐标方程π2sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的曲线是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．函数cos y x x =+的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．已知函数()y xf x '=的图象如下图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）． A ．B ．xC ．D ．6．已知函数2()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R ．若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．[e,)+∞ B ．2e ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．22e ,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2[e ,)+∞7．定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式e ()3e x x f x +>（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(3,)+∞8．定义在R 上的函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，则下面结论正确的是（ ）． ①若()()f x x g ''>，则函数()f x 的图象在函数()g x 的图象上方；②若函数()f x '与()g x '的图象关于直线x a =对称，则函数()f x 与()g x 的图象关于点(,0)a 对称； ③函数()()f x f a x =-，则()()f x f a x ''=--； ④若()f x '是增函数，则1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≤．A ．①②B ．①②③C ．③④D ．②③④第II 卷（共68分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 9．20171i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭__________．10．22-⎰=__________．11．20sin nx dx ⎰=__________．12．已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）．设点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q 到直线l 的距离是最小值为__________．13．若(,)P x y 在椭圆214x y +=上，则2x y +的最大值等于__________．14．定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”． 下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()1n(+1)f x x =；④31()2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题（本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数33()3f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值．（1）判断()f x 和(1)f -是函数()f x 的极大值还是极小值，并说明理由． （2）求函数()y f x =在点(2,2)A --处的切线方程．16．已知函数2()e ax f x x =，其中0a ≤，e 为自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值．17．已知函数()1n 2f x a x x =-+，其中0a ≠． （1）求()f x 的单调区间；（2）若对任意的1[1,e]x ∈，总存在1[1,e]x ∈，使得12()()4f x f x +=，求实数a 值．。

北师大隶真切验中学2021 －2021 学年度第一学期高二年级数学〔理科〕期中练习试卷〔一卷〕 试卷说明：1、 本试卷考试时间为 120 分钟；总分为 150 分，试卷一 100 分，试卷 二 50 分.2、试卷一共有三道大题，19 道小题；试卷二共有两道大题，8 道小题 .3、选择题、填空题、解答题在答题纸上作答.命题人 :批阅人 :一、选择题〔本大题共10 小题，每题4 分，共 40 分. 每题只有一个正确答案, 〕1．直线3x y 1 0的倾斜角的大小是〔〕A. 30B. 150C. 120D. 602.圆 2 2 2 2xy 1和圆 x(y 3) 4 的地址关系是〔〕A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含3．假设正方体的各极点都在一个半径为 R 的球面上，那么该正方体的体积是〔 〕 A.32 2R B.43 3 R C. 89 33 R D. 3 9 3 R4. 水平放置的正ABC 中 , 点 A 的坐标为〔 -1,0 〕，点 B 的坐标为〔 1,0 〕，用斜二测画 法获取A' B 'C ' ，那么点 C ' 到 x '轴的距离为 ()A. B.C.D.25. 在空间直角坐标系中，点 A 在 x 轴上，B(4, 2,3) ，C (6, 1,4) ，假设AB AC那么点 A 的横坐标是〔〕A ．5 B．6 C．7 D ． 86. 如图，在正方体A BCD A B C D 中，M , N 分别是BC1, CD 1 的中点，那么以下判断错1 1 1 1．误．的是( ) D1C1A1B 1NMDCA ．MN 与CC 1 垂直B ．MN 与AC 垂直A B C．MN 与BD 平行 D ．MN 与 A1 B1 平行7．两条直线m, n ，两个平面, ，给出下面四个命题：①m // n,m n ②// ,m,n m // n③m // n,m// n // ④// , m // n, m n其中正确命题的序号是〔〕A ．①③B．②④C．①④D．②③8．假设P 2，1 为圆2 2x 1 y 25 的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程A1是〔〕A ．x y 3 0 B．x y 3 0 C．x y 3 0 D．x y 3 0 9．圆C： 2 2 2 6 0x y x y F 与直线x 2 y 5 0交于A, B 两点 ,假设CA CB , 那么 F 的值为( )A ．-10B ．-30 C．10 D ．2010. 在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = 2, BC = AA1 =1，A1D1点P 为对角线AC1 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点B1C1P〔点P ，Q 可以重合〕，那么B1 P + PQ 的最小值为( ) ADQA. 2B. 3 BCC.32 D. 2二、填空题〔本大题 6 小题，每题 4 分，共24 分，将正确答案填在答题纸上〕11. 假设a，b是异面直线，直线 c ∥a ，那么c 与b的地址关系是__________12. 圆 C 的圆心在直线2x y 10 0 上，且经过点 A (2, 7 ), B (8, 7 ) ，那么圆C 的标准方程是__________________________ ；13. 一个底边长均为4, 侧棱长4 3 的正三棱柱，假设在它的上下底面的中心地址上各打一个直径为2, 深为 1 的圆柱形孔，那么该几何体的表面积是_______________ ．14. 一个四棱锥的三视图以以下图，其中侧视图为正三角形，那么该四棱锥的体积是_____________ ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是___________ ．15 ．如图，四边形ABCD 中，AB AD CD 1，BD 2 ，BD CD ．将四边形ABCD 沿BD折成周围体 A BCD ，使面 A BD 面BCD ，那么以下结论中正确的选项是___________〔1〕A C BD 〔2〕BA C 90〔3〕 A DC 是正三角形〔4 〕周围体 A BCD 的体积为1 616.圆 2 2C : ( x 3) ( y 5) 5 ，过圆心 C 的直线l 交圆 C 于A, B两点，交y 轴于点P .假设A 恰为PB 的中点，那么直线l 的方程为____________________________________.三. 解答题〔本大题共 3 小题，共36 分，写出必要的解答过程, 将答案写在答题纸上〕17. 〔本小题总分值12 分〕。

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A B 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．。

2017-2018学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．二、填空题9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为．10．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．已知，则cos2x=．13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是．14．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？2016-2017学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．【考点】正弦定理．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选D．5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换步骤，进行解答即可．【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=cos2x将该函数所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y=cosx的图象所以函数的解析式为y=cosx．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，利用体积公式可得结论．【解答】解：由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，则该几何体的体积是=故选D．7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程有且仅有一个正实数解，转化为方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，即方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，构造函数f（x）=ax3﹣3x2+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．又∵f'（x）=3x（ax﹣2）①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解满足要求；②当a＞0时，则得f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，f（0）=1，知若要满足条件只有x=时，f（x）取到极小值0，x=入原方程得到正数解a=2，满足要求；③当a＜0时，同理f（x）在（﹣∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（，0）上单调递增f（0）=1＞0，所以函数f（x）的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意综上：a≤0或a=2．故答案为：{a|a≤0或a=2}8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．【考点】导数的运算．【分析】先对f（x）求导，由题意可得h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：f′（x）=x2﹣3x+4，∵f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选：A．二、填空题9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为2．【考点】复数求模．【分析】变形可得复数z=，化简可得z=2i，可得其模．【解答】解：∵（1﹣i）z=2+2i，∴z====2i，∴|z|=2故答案为：210．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=【考点】向量加减法的应用．【分析】向量求模的运算，要求向量的模，一般用求模的公式，先求向量的平方运算，题目中给的条件能让我们先求数量积，进而求向量的模．【解答】解：∵||=3，||=2，且与的夹角为60，∴||====，故答案为：．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．已知，则cos2x=．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知可得cosx﹣sinx=﹣，利用二倍角公式两边平方可求sin2x，进而结合2x的范围，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵sin（﹣x）=（cosx﹣sinx）=﹣，解得：cosx﹣sinx=﹣，∴两边平方可得：1﹣sin2x=，可得：sin2x=，∵x∈（，），2x∈（，π），∴cos2x=﹣=．故答案为：．13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是①③．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和对称性对每一个选支进行逐一判定即可．【解答】解：∵为偶函数∴f（﹣x+）=f（x+），对称轴为而y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x+）=﹣f（x﹣）=f（x+）即f（x+）=﹣f（x﹣），f（x+π）=﹣f（x），f（x+2π）=f（x）∴y=f（x）是周期函数，故①正确x=（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确（﹣π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确当时，它取最大值或最小值，故④不正确故答案为：①③14．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是①．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质．【解答】解：对于①，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1），f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y ﹣x|满足（2）；f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于②不满足（3）对于③不满足（2）故答案为①三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）=cos2x，由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由α是锐角，且，得=，α=，故f（α）=cos2x=cos．【解答】解：（Ⅰ）=cos2x﹣sin2x=cos2x．由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得kπ≤x≤kπ+，故求f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）∵α是锐角，且，∴=，α=．∴f（α）=cos2x=cos==﹣．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1，可得f′（1）=﹣3，再根据f（1）=﹣1，又由f′（﹣2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．（2）由题意函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间[﹣2，0]大于或等于0，从而求出b的范围．【解答】解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．（1）函数f（x）在x=﹣2时有极值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（2）因为函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．【考点】余弦函数的图象．【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）构造函数H（x）=g（x）﹣xf（x），；利用导数判断函数的单调性，根据根的存在性定理即可判断函数H（x）在上零点的个数．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=e x sinx，∴g（0）=e0sin0=0；g'（x）=e x（cosx+sinx），∴g'（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x；（2）设H（x）=g（x）﹣xf（x），；则当时，H'（x）=e x（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx=（e x﹣x）cosx﹣（e x﹣1）sinx，当，显然有；当时，由，即有，即有H'（x）＜0，所以当时，总有H'（x）＜0，故H（x）在上单调递减，故函数H（x）在上至多有一个零点；又，；且H（x）在上是连续不断的，故函数H（x）在上有且只有一个零点．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？【考点】数列的应用；计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l （P）和l（Q）；（Ⅱ）先由a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得；再利用定义推得所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜＜a n，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n．由此即可证明l（A）的最小值2n﹣3．【解答】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．（Ⅱ）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以．又集合A=2，4，8，，2n，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则a i+a j＜2a j=2j+1≤a l＜a k+a l，即a i+a j≠a k+a l．当j=l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l．因此，当且仅当i=k，j=l时，a i+a j=a k+a l．即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n+a n，﹣1所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．事实上，设a1，a2，a3，，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j=a1+a i；+j﹣1+a n；当i+j＞n时，a i+a j=a i+j﹣n因此每个和a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个．所以对这样的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．2016年12月18日。

北京师大附中2017～2018学年度第一学期高中二年级年级期末考试数学试卷(理科)说明:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.请将答案填写在答题纸上,考试结束后,请监考人员只将答题纸收回.一、选择题(每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的—项,请将答案填在答题纸上)1.已知命题:p n ∀∈N ,2n n >,则¬p 是( ) A.n ∀∈N ,2n n … B.n ∀∈N ,2n n < C.n ∃∈N ,2n n … D.n ∃∈N ,2n n >2.已知向量a=(l,m,2),b=(-2,-l,2),且1cos ,3a b =那么实数m=( ) A.-4 B.4 C.14 D.14-3.如果命题“p 或q ”是真命题,“非p ”是假命题,那么( ) A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或者是假命题4.已知直线l 1:ax ＋(a ＋1)y ＋1=0,l 2:x ＋ay ＋2=0,则“a=-2”是“l 1⊥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线2222:1x y C a b -=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为( )A.221810x y -=B.22145x y -= C.22154x y -= D.22143x y -= 6.已知点A(6,0),抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,点P 在抛物线C 上,若点F 恰好在PA 的垂直平分线上,则PA 的长度为( )A.23B.25C.5D.67.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,下列结论不正确．．．的是( )A.C 1D 1⊥B 1CB.BD 1⊥ACC.BD 1∥B 1CD.∠ACB 1=60°8.已知点A(-l,-l).若曲线G 上存在两点B,C,使△ABC 为正三角形,则称G 为Γ型曲线.给定下列四条曲线:①y=-x ＋3(0≤x ≤3)； ②；()2220y x x=--剟③()01y x x =-剟； ④.()299024y x x =-剟其中,Γ型曲线的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(每小题5分,共30分,请将答案填在答题纸上) 9.已知21i ia =-+,其中i 为虚数单位,a ∈R,则a=________. 10.若点P(2,2)为抛物线y 2=2px 上一点,则抛物线焦点坐标为________；点P 到抛物线的准线的距离为________.11.已知点F,B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点,若线段FB 的中点在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率是________.12.如图,在三棱锥A -BCD 中,2BC DC AB AD ====,BD=2,平面ABD ⊥平面BCD,O 为BD 中点,点P,Q 分别为线段AO,BC 上的动点(不含端点),且AP=CQ,则三棱锥P-QCO 体积的最大值为________.13.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知点A(1,0,2),B(0,2,1).点C,D 分别在x 轴,y 轴上,且AD ⊥BC,那么CD 的最小值是________.14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=x 2-ax ＋a,其中a ∈R . ①f(-1)=________；②若f(x)的值域是R ,则a 的取值范围是________.三、解答题(共80分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分)已知圆C 经过坐标原点O 和点(4,0),且圆心在x 轴上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点(1,2),且l 与圆C 相交所得弦长为23,求直线l 的方程.16.(本小题13分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,23AC =,13AA =,AB=2,点D 在棱B 1C 1上,且B 1C 1=4B 1D.(Ⅰ)求BD ⊥A 1C ；(Ⅱ)求:直线BD 与平面A 1BC 的夹角的正弦值.17.(本小题13分)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是12x =-,O 为坐标原点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若过点A(2,0)的直线l 与抛物线相交于B,C 两点,求证:∠BOC 为定值.18.(本小题14分)如图,在四棱锥E-ABCD 中,平面ABE ⊥底面ABCD,侧面AEB 为等腰直角三角形,2AEB π∠=,底面AB CD 为直角梯形,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD=2BC=2.(Ⅰ)求证:BC ⊥平面ABE ；(Ⅱ)求:平面DEC 与平面ABE 所成的锐二面角的大小；(Ⅲ)在线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD？若存在,求出EFEA值；若不存在,说明理由.19.(本小题14分)已知椭圆2222:1x yCa b+=(a>b>0)的右顶点为A(2,0),离心率为12.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若经过点(1,0)直线l与椭圆C交于点E、F,且165EF=,求直线l的方程；(Ⅲ)过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形.如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,请说明理由.20.(本小题13分)若数列A:a1,a2,…,a n(n≥3)中ai∈N*(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n-1,a k＋1＋a k-1>2a k 恒成立,则称数列A为“U-数列”.(Ⅰ)若数列1,x,y,7为“U-数列”,写出所有可能的x,y；(Ⅱ)对所有可能的“U-数列”A:a1,a2,a3,a4,记M=max{a1,a2,a3,a4},其中max{x1,x3,…,x s}表示；x1,x2,…,x s这s个数中最大的数,则M的最小值是________________(直接写出答案)；(Ⅲ)若“U-数列”A:a1,a2,…,a n中,a1=1,a n=2017,求n的最大值.参考答案一、选择题(每小题4分,共40分。

2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．2．（5分）已知抛物线C：y2=4x上的点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．164．（5分）直线被椭圆所截得的弦中点坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，0）C．（﹣2，1）D．（2，3）5．（5分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，直线x=2与双曲线的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线Γ上的点P，若，则a，b满足的一个等式是（）A．B．C．2ab=1 D．4ab=17．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．8．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0），F2（4，0），E1（0，﹣4），E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x，y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36；④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为（）A．②①B．②③C．②③④D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）命题：∀x∈N，x2≥x的否定是．10．（5分）已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则此双曲线的标准方程是．11．（5分）如图，程序输出的是132，则判断框中应填．12．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．13．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．三、解答题（本大题共4小题，共50分）15．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．17．（13分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．（1）求抛物线C的方程．（2）如图，点为抛物线C的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．18．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在直线x=2的右侧，考察范围是到点B的距离不超过的区域E；在直线x=2的左侧，考察范围是到A，B两点的距离之和不超过的区域F（1）求考察区域边界E，F的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．（2）考察区域的边界线上存在几对关于点（2，0）对称的点？并写出对称点的坐标．（3）如图所示，设P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：，，P 3（8，6）．当冰川融化时，冰川的边界线P1P2，P2P3所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动0.2km，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于（2，0）对称的点．2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的标准方程为，∵椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，∴，解得．故椭圆的方程为．故选：C．2．（5分）已知抛物线C：y2=4x上的点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：抛物线C的方程为：y2=4x的准线为x=﹣1，设点P的横坐标为x0，由于点P到准线的距离为5，所以x0+1=5，解得x0=4．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：根据程序框图，知当k=3时输出S，第1次循环得到：S=1×20=1，k=1；第2次循环得到：S=1×21=2，k=2；第3次循环得到：S=2×22=8，k=3；此时不满足循环条件，输出S=8．故选：C．4．（5分）直线被椭圆所截得的弦中点坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，0）C．（﹣2，1）D．（2，3）【解答】解：将直线方程代入椭圆得x2+4x﹣4=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，，∴，，即直线被椭圆所截得的弦中点坐标为（﹣2，1）．5．（5分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在椭圆的方程中，a=5，b=4，则c=3，则椭圆的离心率e==，即必要性成立，反之不一定成立，则“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）如图，直线x=2与双曲线的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线Γ上的点P，若，则a，b满足的一个等式是（）A．B．C．2ab=1 D．4ab=1【解答】解：由题意有，是渐近线方向向量，又，点P在双曲线上，所以，化简得4ab=1．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设|MF1|=t，由双曲线的定义可得|MF2|=t﹣2a，|PF2|=t，|PF1|=t+2a，由MF1⊥MF2，可得|MF1|2+|MP|2=|PF1|2，即t2+（2t﹣2a）2=（t+2a）2，解得t=3a，又|MF1|2+|MF2|2=|F2F1|2，即为（3a）2+a2=4c2，即为c=a，则e==．故选：C．8．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0），F2（4，0），E1（0，﹣4），E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x，y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36；④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为（）A．②①B．②③C．②③④D．①②③④【解答】解：对于①，考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆上，P到F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和为定值，到E1（0，﹣4），E2（0，4）两点的距离之和不是定值，故①错误；对于②，两个椭圆关于直线y=x，y=﹣x均对称，故曲线C关于直线y=x，y=﹣x 均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故④错误．综上所述，正确命题的序号是②③．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）命题：∀x∈N，x2≥x的否定是∃x∈N，x2＜x．【解答】解：∵命题∀x∈N，x2≥x是全称命题命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x∈N，x2＜x．故答案为：∃x∈N，x2＜x．10．（5分）已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则此双曲线的标准方程是．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y=0，则可设双曲线的方程为x2﹣=λ，λ≠0；又由双曲线的右焦点为（5，0），即焦点在x轴上且c=5，则λ＞0；则双曲线的方程可变形为=1，又由c=5，则5λ=25，解可得λ=5；则此双曲线的标准方程是；故答案为：．11．（5分）如图，程序输出的是132，则判断框中应填i≥11？（或i＞10？）．【解答】解：模拟程序的运行，可得第一次运行：i=12，判断成立，S=12，i=11；第二次运行：i=11，判断成立，S=12×11=132，i=10；第三次运行：i=10，判断不成立，故输出S=132，故判断框中应填i≥11？（或i＞10？）．故答案为：i≥11？（或i＞10？）．12．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，m=±．则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．13．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是6．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故答案为：6．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（，）（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．【解答】解：（1）由题意可得射线OM方程为y=x（x＞0）与圆x2+y2=1联立，解得x=，y=，即有N（，）；（2）双曲线x2的渐近线方程为y=±x，代入圆x2+y2=1可得四个交点（，），（﹣，），（﹣，﹣），（，﹣）；即有曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线为两段圆弧，且圆心角为120°，半径为1，则弧长为．故答案为：（1）（，）；（2）．三、解答题（本大题共4小题，共50分）15．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则有，所以m＞2．若q为真命题，则有△=[4（m﹣2）2]﹣4×4×1＜0，所以1＜m＜3．由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，知命题p与q一真一假．当p真q假时，由得m≥3；当p假q真时，由，得1＜m≤2．综上，m的取值范围为（1，2]∪[3，+∞）．16．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故x1+x2=﹣，x1x2=﹣，若⊥，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．17．（13分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．（1）求抛物线C的方程．（2）如图，点为抛物线C的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．【解答】解：（1）由已知可得，P=2，故抛物线C的方程为y2=4x．（2）证明：由（1）知：P（﹣1，t）（t≠0），则，直线PO的方程为y=﹣tx，代入抛物线C的方程有：，当t2≠4时，，∴直线MN的方程为：，即，∴此时直线MN过定点（1，0），当t2=4时，直线MN的方程为x=1，此时仍过点（1，0），综上所述，直线MN过定点（1，0）．18．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在直线x=2的右侧，考察范围是到点B的距离不超过的区域E；在直线x=2的左侧，考察范围是到A，B两点的距离之和不超过的区域F（1）求考察区域边界E，F的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．（2）考察区域的边界线上存在几对关于点（2，0）对称的点？并写出对称点的坐标．（3）如图所示，设P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：，，P 3（8，6）．当冰川融化时，冰川的边界线P1P2，P2P3所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动0.2km，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于（2，0）对称的点．【解答】解：（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，由题意知，当x＜2时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长的椭圆上，此时短半轴长，故其方程为．综上，考察区域边界（曲线）的方程为：，．（2）设A（a，b）位于椭圆C2上，其关于（2，0）对称的点B（4﹣a，﹣b）位于圆C1上，则：，解得或，故考察区域的边界上有且只有1对关于点（2，0）对称的点，对称点为，．（3）∵，，∴P1P2的方程为，则点到直线P1P2的距离，∵，P3（8，6），∴P2P3的直线方程为y=6，点到直线P2P3的距离，设第七年开始，考察区域的边界上不再存在关于点（2，0）对称的点，由于d2＜d1，且t∈N*，解得t≥22，故从第22年开始，考察区域的边界上不再存在关于点（2，0）对称的点．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。