高考数学(人教A)一轮课件：2-4指数与指数函数

②把根式n am化成分数指数幂 的形式，若对mn 约分，要结
合根式的基本性质进行，如
，a∈R，而
，则 a≥0.
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象和性质
答案：A
3．已知函数 f(x)＝a2－x(a＞0 且 a≠1)，当 x＞2 时，f(x)＞1， 则 f(x)在 R 上( )
A．是增函数 B．是减函数 C．当 x＞2 时是增函数，当 x＜2 时是减函数 D．当 x＞2 时是减函数，当 x＜2 时是增函数
解析：令 2－x＝t，则 t＝2－x 是减函数， ∵当 x＞2 时，f(x)＞1， ∴当 t＜0 时，at＞1.∴0＜a＜1. ∴f(x)在 R 上是增函数．
递减
递增
Hale Waihona Puke 当x＝0时， y＝1 . 当x＜0时， y＞1 ； 当x＜0时， 0＜y＜1 ； 当x＞0时， 0＜y＜1 . 当x＞0时， y＞1 .
归纳拓展：(1)指数函数的图象特征： ①指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数 的大小关系：在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在 y 轴 左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． ②指数函数 y＝ax 与 y＝(1a)x(a＞0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对 称．
a(a＞0)
负数没有 偶次方根
(2)两个重要公式
a ，n为奇数
①n
an＝|a|＝
a a≥0 －a a＜0
，n为偶数
；
②(n a)n＝ a (注意 a 必须使n a有意义)．
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
②零指数幂：a0＝ 1 (a≠0)； 1
③负整数指数幂：a－p＝ ap (a≠0，p∈N*)；
④正分数指数幂： ⑤负分数指数幂：
＝ n am (a＞0，1m、n∈N*，且 n＞1)；
＝
＝ n am (a＞0，m、n∈N*，
且 n＞1)．
⑥0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂无意义．
特别提醒：①分数指数幂和根式是两种不同的表示形式，它 们之间可以进行互化，通常情况下，是把根式转化为分数指数幂 进行运算，然后再把运算的结果用根式表示．
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1) 在x轴 上方 ，过定点 (0,1) .
图象特征 当x逐渐增大时， 当x逐渐增大时， 图象逐渐下降呈 图象逐渐上升呈“
“捺”状
撇”状
定义域
R
函数 值域 单调性
函数值变 化规律
y＝ax(a＞0，且a≠1)
(0，＋∞)
第四节 指数与指数函数
考点 考纲要求
幂的 运算
理解有理数指数 幂的含义，掌握 幂的运算法则
理解指数函数的 指数 含义；理解其单 函数 调性，掌握图象
上的特殊点
考查角度
幂的运算，根式的化简
用单调性比较幂的大小， 求最值；图象及变换作 图；求复合函数的单调 性、值域等
从近几年的高考试题看，对本节内容的考查体现在以下几个 方面：
[变式 1] 计算：
题型二 指数函数的图象及变换 【例 2】 已知函数 y＝(13)|x＋1|. (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时函数有最值．
[解] (1)由已知可得 y＝(13)|x＋1|＝313x＋x1＋x1<x－≥1－.1， 其图象由两部分组成： 一部分是：y＝(13)x(x≥0)向1―个左―单平→位移 y＝(13)x＋1(x≥－1)；
1．一般不对指数和指数函数直接考查，大多数与其他知识 结合考查，如：和函数的图象变换结合考查相关函数的性质；和 方程结合考查解方程或函数的零点问题．
2．试题以选择题、填空题的形式出现，难度大多为中档题． 3．命题切入点：通过函数图象的变换，把指数函数变换为 相关函数考查相关知识．
预测 2015 年高考中考查与指数函数相关的函数的性质仍会 是命题的热点，特别要重视指数函数与函数性质、二次函数、方 程、不等式等内容结合的综合问题.
6 a·
－a等于(
A．－ －a
C. －a
) B．－ a D. a
解析：由已知可得 a≤0，∴原式＝ 答案：A
＝－ －a.
2．已知函数 f(x)＝4＋ax－1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐
标是( )
A．(1,5)
B．(1,4)
C．(0,4)
D．(4,0)
解析：∵y＝ax 恒过定点(0,1)，∴f(x)＝4＋ax－1 恒过定点(1,5)．
⇒12＜y＜1.
答案：C
题型一 指数幂的化简与求值
[方法·规律] 1.这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂 统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同 底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分 母又含有负指数．
(2)函数 y＝a|x|(a＞0，a≠1)的图象和性质． ①函数 y＝a|x|(a＞0，a≠1)的图象如下：
②函数 y＝a|x|(a＞0，a≠1)是偶函数． 当 a＞1 时，函数在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增； 当 0＜a＜1 时，函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递 减．
3 1.
答案：A
4．(2014·郴州五校联考)函数 f(x)＝2|x－1|的图象是( )
2x－1，x≥1， 解析：f(x)＝12x－1，x＜1，
故选 B.
答案：B
5．函数 y＝2x2＋x 1(x＞0)的值域为(
)
A．(－∞，12)
B．(1，＋∞)
C．(12，1)
D．(－∞，12)∪(1，＋∞)
解析：因为 x＞0，所以 2x＞1.由于 y＝2x2＋x 1⇒2x＝1－y y＞1
1.根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示 备注
如果 xn＝a ，那么 x 叫做
n＞1 且 n
a 的 n 次方根
∈N*
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个 正数 ，负数 的 n 次方根是一个 负数
n a
零的 n 次 方根是零
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有 两个 ，它们互为
相反数
n ±