西安交通大学复变函数考试题及解答3

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e1；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。

二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。

三(8分) 解: 1)在2||1<<z11000111111()()(()())()21222n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞+====-=--=-+--∑∑∑-----4分2) 在1|2|z <-<∞2111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2n n n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑--4分四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故]2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e izix +-++=++⎰∞+∞-π --------3分)2sin 2(cos 54))2((lim 222i ez z e i z i iz i z -=+++--=+-→ππ --------6分 故 2cos 254Re 254cos 222edx x x e dx x x x ix π=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分 五.(8分) 解: 22371()()Cf z d z ξξξξ++'=-⎰ -------3分 由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故i Ci d i i f +='++=+-++=+'⎰1222|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到λλππθ--=za za i e e ez f )( (映射不唯一,写出任何一个都算对)七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:13)(3))0()(()0()0()(`2+=--+'--s s Y y s sY y sy s Y s 代入初始条件,得32113)(2-+++=s s s s Y --------4分)1)(3(1)1)(3)(1(3-++-++=s s s s s 381185143++-++-=s s s 故, tt t e e e t y 3818543)(--++-= ---------8分(用留数做也可以)复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln 2i k e+-π ；2. 三级极点 ；3. 23z ； 4. 0 ；5. 0 ；6.e1；7. 1cos 1sin - ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。

复变函数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 复数z=1+i的模长为（）。

A. 1B. √2C. 2D. √3答案：B2. 若复数z满足|z|=1，则z的辐角（）。

A. 0B. πC. 2πD. 无法确定答案：D3. 函数f(z)=z^2在z=0处的导数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 4答案：A4. 函数f(z)=1/z在z=0处的极限为（）。

A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：C5. 函数f(z)=e^z的实部和虚部分别为（）。

A. cos(z), sin(z)B. sin(z), cos(z)C. cos(z), cos(z)D. sin(z), sin(z)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 复数z=3+4i的共轭复数为______。

答案：3-4i7. 函数f(z)=z^3的导数为______。

答案：3z^28. 函数f(z)=1/(z-1)的极点为______。

答案：z=19. 函数f(z)=e^(z)的导数为______。

答案：e^(z)10. 函数f(z)=sin(z)的导数为______。

答案：cos(z)三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算复数z=2+3i的模长和辐角。

答案：模长|z|=√(2^2+3^2)=√13，辐角arg(z)=arctan(3/2)。

12. 计算函数f(z)=z^2/(z-1)在z=2处的值。

答案：f(2)=2^2/(2-1)=4。

13. 计算函数f(z)=e^(z)在z=i处的值。

答案：f(i)=e^(i)=cos(1)+isin(1)。

四、证明题（每题10分，共30分）14. 证明函数f(z)=z^2在z=0处可导，并求导数。

答案：函数f(z)=z^2在z=0处可导，导数为f'(z)=2z，所以f'(0)=0。

15. 证明函数f(z)=1/z在z=0处不可导。

答案：函数f(z)=1/z在z=0处不可导，因为当z趋近于0时，f(z)的极限不存在。

《工程数学二复变函数前四章》试卷一、选择题1、设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是[ ] (A) i +-43 (B) i +43 (C) i -43 (D) i --432、设)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是[ ] (A) 若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 (B) 若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 (C) 若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是常数 (D) 若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数3、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则()⎰+cdz iy x 2＝[ ](A) i 6561- (B) i 6561+- (C) i 6561-- (D) i 6561+4、设级数i211e n n n π∞=∑的收敛性为（ ）.（A ）通项不趋于0 （B ）通项趋于0，发散 （C ）绝对收敛 （D ）条件收敛 5、设幂级数21(34i)nnn z ∞=+∑的收敛半径为（ ）.（A ）5 （B ）15 （C（D二、填空题（每空3分，共15分） 1、设5=z ，43π=-)arg(i z ，则z ＝________。

2、方程01=--z e 的全部解为________________。

3、设幂函数()f z α取ln ()e f z α的分支，则极限ilim(1)n n n→∞+=_______________。

. 4、幂级数1n n nz ∞=∑的和函数为______。

5、设2201ln(1)d zn n n C z ζζζ∞=-=∑⎰，则=3C ______。

三、计算积分 1、⎰=++1242z z z dz2、()⎰=-13z zdz a z e ，其中a 为1≠a 的任何复数3、dz z z e c z⎰-2)1(，其中C 为正向圆周：2=||z ； 四设2222yx yx i y x y x z f +-+++=)(，指出)(z f 的解析区域，并求出其导数。

二．判断题（每题3分，共30分）1．n z z z f =)(在0=z 解析。

【 】2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。

【 】 3．z e z f =)(是周期函数。

【 】4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。

【 】 5． 设级数∑∞=0n nc收敛，而||0∑∞=n nc发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。

【 】 6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。

【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln nz n z =成立。

【 】8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。

【 】 9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解析函数。

【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。

【 】 三．（8分）y e v pxsin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。

四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。

五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。

六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。

七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。