奥数专题数论-数的整除附答案

数的整除（ 1）性质、特色、奇偶性教室：姓名：学号：【知识要点】：整除性：（ 1）若是数 a、b 都能被 c 整除，那么它的和（ a+b）或差（ a－ b）也能被 c 整除。

（2）若是数 a 能被自然数 b 整除，自然数 b 能被自然数 c 整除，数 a 必能被数 c 整除。

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它的也能被个数整除。

（4）若是一个数能被两个互数中的每一个数整除，那么，个数能被两个互数的整除。

反之，若一个数能被两个互数的整除，那么个数能分被两个互数整除。

整除特色：（ 1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，个数能被4（或25）整除。

（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，个数能被8（或125）整除。

（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，个数能被3（或9）整除。

（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，个数能被11 整除。

（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位从前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被 7（或 13）整除，个数能被7（或 13）整除。

奇偶性：（ 1）奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶数 =奇数（ 4）奇数×奇数 =奇数（ 5）偶数×偶数 =偶数（ 6）奇数×偶数 =偶数（ 7）奇数÷奇数 =奇数（ 8）⋯【典型例】例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的尾端数后，所得的两位数是17 的倍数，的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是17 的倍数的数中最大的17×5=85（ 17× 6=102） .于是所求数的前两位数字 85.因 8+5=13 ，故所求数的个位数字2、5、8 ，数能被 3 整除，使数最大，其个位数字8.最大三位数是858.例 2： 1～ 200 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个？解：1～ 200 中，能被 6 整除的数共有33 个（ 200÷ 6=33⋯），能被 8 整除的数共有25 个（ 200 ÷8=25 ） .但［ 6， 8］=24 ， 200÷ 24=8⋯⋯ 8，即 1～ 200 中，有 8 个数既被 6 整除，又被8 整除。

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关于数论整除的奥数题及答案
数论整除奥数题及答案
(1)含有数字0的三位数共有多少个?
(2)各位数字乘积能被10整除的三位数共有多少个?
(1)十位上的数字是0的三位数有9×10=90个，各位上的数字是0的三位数也有9×10=90个，十位和个位上的数字都是0的三位数有9个。

90+90-
9=171，所以含有数字0的三位数共有171个。

(2)各位数字乘积能被10整除，说明这个三位数含有数字0或者含有数字2的倍数和5。

由(1)可知，含有数字0的三位数共有171个。

然后计算含有数字2的倍数和5，但是不含0的三位数的个数。

百位数字是5时，这样的三位数有4×9×2-4×4=56个。

同理十位数字和个位数字是5时，这样的三位数也有56个。

而其中有两个数字都是5时，这样的三位数有4×3=12个。

所以，这样的三位数一共有
56×3-12=156个。

171+156=327，所以各位数字乘积能被10整除的三位数共有327个。

小结：此题是综合考察排列组合问题与容斥原理问题的题目。

需要同学有良好的分类讨论的习惯。

奥数数论数的整除奥数数论数的整除奥数数论数的整除1题目：一个五位数恰好等于它各位数字和的20xx倍，则这个五位数是答案：因为20xx是9的倍数，所以，这个五位数一定是9的倍数，那么它的各位数字和一定是9的倍数．由于五位数的各位数字之和最大为45，所以，可以从9、18、27、36、45进行试值．如果数字和为9，那么这个五位数为，然而18063各位数字之和不为9，所以此时不成立；如果数字和为18，那么这个五位数为，36126各位数字之和为18，所以此时成立；如果数字和为27，那么这个五位数为，54189各位数字之和为27，所以此时成立；如果数字和为36，那么这个五位数为，然而72252各位数字之和不为36，所以此时不成立；如果数字和为45，那么这个五位数为，然而90315各位数字之和不为45，所以此时不成立；综上可知，这个五位数为36126或54189．分析：此题是利用了9的整除特点，再进行分类枚举来验证。

本题看起来觉得无从下手，但是利用9的特点可以得到很多信心，数字3也有同样的效果，所以大家再遇到数论问题时，应该先想一想里面是否有3、9这样特殊的倍数。

奥数数论数的整除2一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1。

能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2。

能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3。

能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4。

能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5。

能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6。

能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。