北京市通州区2018-2017届中考《矩形、菱形和正方形》专题练习含答案

2018年数学全国中考真题矩形、菱形与正方形（试题二）解析版一、选择题1. （2018广西省桂林市，11，3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点M 在CD 边上，且DM ＝1，△AEM 与△ADM 关于所在的直线AM 对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A ．3 B． CD【答案】C ．【思路分析】连接BM ，由题意可得△ADM ≌△AEM ≌△ABF ，由此可以证得△EAF ≌△BAM ，则FE ＝BM ，计算出BM 的长即可．【解题过程】如下图（1），连接BM ，则由题意可得，△ADM ≌△AEM ≌△ABF ，∴∠BAF ＝∠EAM ，BA ＝AM ，AF ＝EA ，∴∠ BAF ＋∠ BAE ＝∠EAM ＋∠ BAE ，即∠ EAF ＝∠BAM ，则在△EAF 和△BAM 中，∵BA AM EAF BAM AF AE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EAF ≌△BAM （SAS ），∴FE ＝BM ，又∵DM ＝1，在正方形ABCD 中，AB ＝3，∴CM ＝3－1＝2，CB ＝3，∠C ＝90°，∴BM==FE ＝BMC ．【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；旋转的性质；勾股定理；全等三角形的性质及判定2. （2018海南省，14，3分） 如图1，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC 、EG 剪开，拼成如图2所示的□KLMN ，若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形，且□KLMN 的面积为50，则正方形EFGH 的面积为（ ）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】A【思路分析】可设长方形纸片长、宽分别为x、y，正方形纸片边长为z，根据四边形OPQR是正方形，可用y、z的代数式表示x．根据□KLMN的面积为50，可得x、y、z的等量关系，再把用y、z的代数式表示x的值代入，可得正方形EFGH的面积z2的值．【解题过程】设长方形纸片长、宽分别为x、y，正方形纸片边长为z，∵四边形OPQR是正方形，∴RQ=RO，∴x－z=z－y，∴x=2z－y①；∵□KLMN的面积为50，∴xy+z2+(z－y)2=50，把①代入，得(2z－y)·y+z2+(z－y)2=50，∴2zy－y2+z2+z2-2yz+y2=50，整理，得2 z2=50，∴z2=25，∴正方形EFGH的面积= z2=25，故选择B．【知识点】矩形的性质，正方形的性质，完全平方公式，整式加减3.如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（，A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．∴PA+PE的最小值AE′；∵E为AD的中点，∴E′为CD的中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，∠ABF=∠AD E′=90°, ∴DE′=BF ，∴ΔABF ≌ΔAD E′， ∴AE′=AF. 故选D.点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A （或点E ）关于直线BD 的对称点A ′（或E ′），再连接EA ′（或AE ′）即可．4. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，9，3分） 如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是（ ） A ．1B ．1．5C ．2D ．2．5【答案】C 【思路分析】根据折叠及正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ，在Rt △CG E 中，根据勾股定理求出DE 的长． 【解题过程】∵△ABG 沿AG 对折至△AFG ，∴AB =AF ，GB =GF ＝3．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD =AF ．∴Rt △AFE ≌Rt △ADE （HL ）．∴DE =EF ．设DE =x ，则EF =DE =x ，GE =3+x ，CE =x -6．在Rt △CG E 中由勾股定理得222GE CE CG =+．∴222)3()6(3+=-+x x ．解得2=x ．故选C ．【知识点】正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理5. （湖北省咸宁市，16，3）如图，已知∠MON =120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA OB a ==,将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM ′，旋转角为α(0°＜α＜120°且α≠60°），作点A 关于直线OM ′的对称点C ，画直线BC 交OM ′于点D ，连接AC ，AD 。

2018届初三数学中考复习矩形、菱形、正方形专项复习练习1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )A．5 B．4 C．3.5 D．33. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. 3 D．2 34. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC5. 下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 27. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，C E∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE ＝2，则四边形OCED的面积( )A．2 3 B．4 C．4 3 D．88. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC 于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 39. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE 交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm10. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形11. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC＝3.6.其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个12. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．15. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是____．16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．参考答案：1---11 CBDCC AAACD D 12. 45°或105° 13. ①③④ 14. 30 15. 2216. 解：(1)在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AB 上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AC ，DE ＝12AC ，∵EF ＝2DE ，∴EF ∥AC ，EF ＝AC ， ∴四边形ACEF 是平行四边形，∴AF ＝CE (2)当∠B＝30°时，四边形ACEF 为菱形． 理由：在△ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝60°，AC ＝12AB ＝AE ，∴△AEC 为等边三角形，∴AC ＝CE ， 又∵四边形ACEF 为平行四边形．∴四边形ACEF为菱形。

北京市通州区普通中学2019届初三数学中考复习 矩形、菱形和正方形 专项复习练习 1．下列判断错误的是( D )A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A ) A.245 B.125C ．5D ．4 3．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积( A )A ．2 3B ．4C ．4 3D ．84．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D )A. 5B.136 C ．1 D.565．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( D ) A.95 B.125 C.165 D.1856．在▱ABCD 中，AB ＝10，BC ＝14，E ，F 分别为边BC ，AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为( D )A ．7B ．4或10C ．5或9D ．6或87．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，∠EAF ＝45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为( A )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE ＝DF ；②∠DAF ＝15°；③AC 垂直平分EF ；④BE ＋DF ＝EF ；⑤S △CEF ＝2S △ABE ，其中正确结论有( C )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM ⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为5．10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为__24__．11．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a .将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝．12．如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，AD ＝7，为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．13．如图，正方形的面积为3 cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，0则AM的长等于3或3cm.14．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2019B2019C2019的顶点B2019的坐标是__(21008，0)__．15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．解：(1)由折叠知AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴AM＝CN，∴AN＝CM，可证△ANF≌△CME(ASA)，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形(2)∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8，设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4，在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴四边形AECF的面积为EC·AB＝5×6＝3016．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB.(1)求证：PE＝PD；(2)连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，可证△PBC≌△PDC(SAS)，∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD(2)∠PED＝45°.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB＋∠PEC＝180°，∴∠PDC＋∠PEC＝180°，在四边形PECD中，∠EPD＝360°－(∠PDC＋∠PEC)－∠BCD＝360°－180°－90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED＝45°17．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝2，求BC的长；(2)求证：ME＝AM－DF.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，AB∥CD，∴∠1＝∠ACD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴MC＝MD.∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝4，∴BC＝CD＝4(2)延长DF，AB交于G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠DCA.∵BC＝2CF，CD＝2CE，∴CE＝CF.可证△CEM≌△CFM(SAS)，∴ME＝MF.∵AB∥CD，∴∠2＝∠G，∠GBF＝∠BCD，∵F为边BC的中点，∴CF＝BF，可证△CDF≌△BGF(AAS)，∴DF＝GF.∵∠1＝∠2，∠G＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝GM＝MF＋GF＝DF＋ME，即ME＝AM－DF18．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是___FG＝CE___，位置关系是 __FG∥CE__；(2)如图②，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图③，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．解：(2)过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，可证△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB∴BH＝EC，∴FG＝EC(3)成立．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，可证△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE。

2018年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2.00分）（2018•北京）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B． C．D．2．（2.00分）（2018•北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞03．（2.00分）（2018•北京）方程组的解为（）A．B．C．D．4．（2.00分）（2018•北京）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m25．（2.00分）（2018•北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720° D．900°6．（2.00分）（2018•北京）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．47．（2.00分）（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2.00分）（2018•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2.00分）（2018•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2.00分）（2018•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．（2.00分）（2018•北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=，b=，c=．12．（2.00分）（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．13．（2.00分）（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．14．（2.00分）（2018•北京）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2.00分）（2018•北京）某公园划船项目收费标准如下：某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2.00分）（2018•北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5.00分）（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=，CB=，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．18．（5.00分）（2018•北京）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|19．（5.00分）（2018•北京）解不等式组：20．（5.00分）（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（5.00分）（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．22．（5.00分）（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．23．（6.00分）（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．（6.00分）（2018•北京）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．25．（6.00分）（2018•北京）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B 两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．26．（6.00分）（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y 轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7.00分）（2018•北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．（7.00分）（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．2018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2.00分）（2018•北京）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B． C．D．【考点】I1：认识立体图形．【专题】1 ：常规题型；55：几何图形．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2．（2.00分）（2018•北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0【考点】15：绝对值；29：实数与数轴．【专题】1 ：常规题型．【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负．3．（2.00分）（2018•北京）方程组的解为（）A．B．C．D．【考点】98：解二元一次方程组．【专题】52：方程与不等式．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=2，则方程组的解为；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2.00分）（2018•北京）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2 B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m2【考点】1A：有理数的减法；1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（2.00分）（2018•北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720° D．900°【考点】L3：多边形内角与外角．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．6．（2.00分）（2018•北京）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．4【考点】6D：分式的化简求值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．【解答】解：原式=（﹣）•=•=，当a﹣b=2时，原式==，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．（2.00分）（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【考点】HE：二次函数的应用．【专题】33 ：函数思想．【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分半代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．（2.00分）（2018•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【考点】D3：坐标确定位置．【专题】1 ：常规题型；531：平面直角坐标系．【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：C．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2.00分）（2018•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【专题】55E：解直角三角形及其应用．【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10．（2.00分）（2018•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【考点】72：二次根式有意义的条件．【专题】514：二次根式．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．（2.00分）（2018•北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=1，b=2，c=﹣1．【考点】O1：命题与定理．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．（2.00分）（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．13．（2.00分）（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】556：矩形菱形正方形；55D：图形的相似．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．14．（2.00分）（2018•北京）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：早高峰期间，乘坐 C （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【考点】V7：频数（率）分布表；X2：可能性的大小． 【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，B 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，C 线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，∴C 线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大， 故答案为：C ．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．15．（2.00分）（2018•北京）某公园划船项目收费标准如下：某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为390元．【考点】1G：有理数的混合运算．【专题】32 ：分类讨论．【分析】分四类情况，分别计算即可得出结论．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390，∴租3艘六人船或2艘八人船1艘两人船费用最低是390元，故答案为：390．【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2.00分）（2018•北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【考点】D1：点的坐标．【专题】531：平面直角坐标系．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5.00分）（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【考点】JB：平行线的判定与性质；N3：作图—复杂作图．【专题】13 ：作图题．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（5.00分）（2018•北京）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣3+1=﹣+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（5.00分）（2018•北京）解不等式组：【考点】CB：解一元一次不等式组．【专题】1 ：常规题型．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．20．（5.00分）（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【考点】AA：根的判别式．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5.00分）（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．【考点】IJ：角平分线的定义；JA：平行线的性质；KQ：勾股定理；LA：菱形的判定与性质．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．22．（5.00分）（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．【专题】14 ：证明题．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．23．（6.00分）（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】31 ：数形结合；32 ：分类讨论．【分析】（1）把A（4，1）代入y=中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y=x，可知直线l与OA平行，①将b=﹣1时代入可得：直线解析式为y=x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=得k=4×1=4；（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y=x﹣1，解方程=x﹣1得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=+b过（1，﹣1）时，b=﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y=（x＞0）的图象G，当直线l：y=+b过（1，2）时，b=，当直线l：y=+b过（1，3）时，b=，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．24．（6.00分）（2018•北京）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77cm．。

几何综合1 海淀.在^ ABC中，/ A=90° , AB=AC.(1)如图1, △ ABC的角平分线BD CE交于点Q请判断«QB=J2QA”是否正确:(填“是”或“否”)；(2)点P是△ ABC所在平面内的一点，连接PA PB,且PB="PA①如图2,点P在4ABC内，/ ABP=30°,求/ PAB的大小；②如图3,点P在△ ABC外，连接PC,设/ APC=a , / BPC=3 ,用等式表示 a ,3之间的数量关系，并证明你的结论.图1图22 西城.如图1,在Rt^AOB 中，/AOB=90°, /OAB=30°,点C 在线段OB 上，OC=2BC, AO边上的一点D满足/ OCD=30 °.将^ OCD绕点O逆时针旋转a度(90° <480°) 得到△OCD',C, D两点的对应点分别为点C', D',连接AC, BD',取AC'的中点M,连接OM .(1)如图2,当CD'//AB时，灯。

，此时OM和BD'之间的位置关系为；(2)画图探究线段OM和BD'之间的位置关系和数量关系，并加以证明.3东城. 如图1,在△ ABC中，/ ACB=90 °, AO2, BC=2 J3 ,以点B为圆心，J3为半径作圆.点P为一B上的动点，连接PC,彳PC 1 PC ,使点P'落在直线BC的上方，且满足PC： PC =1：通，连接BP , AP'.(1)求/ BAC的度数，并证明△ APC S^BPC；(2)若点P在AB上时，①在图2中画出△ AP C②连接BP',求BP'的长;(3)点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时/ PBC的度数；若没有，请说明理由.4丰台.如图，/ BAD=90°, AB=AD , CB=CD , 一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA, DA交于点M, N,与BA, DA的延长线交于点E, F,连接AC.(1)在/ FCE旋转的过程中，当/ FCA=/ECA时，如图1,求证：AE=AF ;(2)在/ FCE旋转的过程中，当/ FCAw/ ECA时，如图2,如果/ B= 30°, CB=2, 用等式表示线段AE, AF之间的数量关系，并证明.5昌平.已知，△ ABC\ / AC =90 , AC =BC 点D 为BC 边上的一点.(1)以点C 为旋转中心，将△ AC 而时针旋转90° ,得到△ BCE 请你画出旋转后的图形; (2)延长 AD 交BE 于点F,求证：AFI BE;6怀柔.在等月ABC^, ABAC 将线段BA 绕点B 顺时针旋转到 BD A使BDL AC 于H,连结AD 并延长交BC 的延长线于点 P. / \(1)依题意补全图形；\ (2)若/ BAG 2 a ,求/ BDA 勺大小(用含a 的式子表示)；\(3)小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E,从而用等式表示线段 DP BC与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.7平谷.如图，在 RtA ABC^, / BA(=90 , AB=AC 在平面内任取一点 D,连结 AD(AD< AB,将线段AD 绕点A 逆时针旋转90° ,得到线段 AE 连结DE CE BD(1)请根据题意补全图1;(2)猜测BD 和CE 的数量关系并证明；(3)作射线BD CE 交于点P,把4AD 瞰点A 旋转，当/ EAB90° , AB=2, AD=1时，补全 图形，直接写出 PB 的长.(3)若AG 新，BF=1,连接CF,则CF 的长度为备用图8大兴.已知：如图，AB为半圆。

初三中考数学复习矩形、菱形与正方形专项练习题1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为()A．14B．15C．16D．173. 若矩形ABCD的邻边长分别是1，2，则BD的长是()A. 3 B． 5 C. 3 D．2 54. 在下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是( )A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行5. 如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3cm和5cm的两部分，则矩形的较短边长为()A．3cm B．5cm C．3cm或5cm D．以上都不对6. 如图所示，菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边形的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有()A．4个B．5个C．6个D．7个7．如图所示，已知菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若S菱形ABCD＝24，且AE＝4，则CD等于()A．12 B．8 C．6 D．28. 如图，▱ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm9.已知菱形的周长为16 cm，一条对角线长为4 cm，则菱形的四个角分别为()A．30°，150°，30°，150°B．60°，120°，60°，120°C．45°，135°，45°，135°D．以上都不对10. 如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为()A．20 B．24 C．25 D．2611．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形(填一个即可)．12．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC.其中正确结论的序号是________．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是________cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为________．16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件________，使▱ABCD 是矩形．17．如图所示，在菱形ABCD中，∠C＝108°，AD的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB＝________度．18．如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F分别是BC，CD的中点，连结AE，EF，AF，则△AEF的周长为________．19. 如图所示，将两条宽度相同的纸条交叉重叠放在一起，则重叠部分ABCD 是________形，若纸条宽DE＝4cm，CE＝3cm，则四边形ABCD的面积为________．20. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC 于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为________．21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．22. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为a，b，AC，BD 相交于点O.(1) 用含a，b的代数式表示菱形ABCD的面积S；(2) 若a＝3cm，b＝4cm，求菱形ABCD的面积和周长．23. 如图所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F.请你猜想CE与CF的大小有什么关系，并说明理由．24. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．25. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于点F.求证：BE＝CF＋AE.参考答案：1---10 CCBCC BCDBB 11. ∠BAD＝90°12．①②④⑤13．40 cm4003cm214. 1615. 2616. AO＝BO17. 7218. 3319. 菱20 cm220. a 221. 证明：过点D作DG⊥AB于点G，∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形DECF是矩形，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DG.同理：DG＝DF，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形22. 解：(1) S＝ab(2) 菱形ABCD的面积为6 cm2，周长为10 cm23. 解：CE＝CF.理由如下：∵S菱形ABCD＝CE·AB＝CF·AD，且AD＝AB，∴CE＝CF.24. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△CDF(AAS)(2)由(1)知AD＝DC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形25. 证明：延长DC至点E′，使CE′＝AE，连结BE′，易证△ABE≌△CBE′，∴BE ＝BE′，AE＝CE′，∠CBE′＝∠ABE.再证∠BFC＝∠E′BF＝∠ABE＋∠EBF，∴BE′＝E′F，∴BE＝E′F＝CF＋CE′＝CF＋AE。

2017年全国中考数学真题分类矩形、菱形与正方形选择题一、选择题1. (2017四川广安，8，3分)下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形 定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C ，解析：根据菱形的判定定理，四边相等的四边形一定是菱形，故①正确；由于矩形的对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等，由此可判定所得四边形是菱形，故②错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故选项③错误；平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等，所以经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，故④正确；综上所述，正确的说法有2个．故选C ．2. （2017浙江丽水·7·3分）如图，在□ABCD 中，连结AC ，∠ABC ＝∠CAD ＝450，AB ＝2，则BC的长是（ ） A ．2B ．2C ．22D ．4答案：C ．解析：∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ＝45°＝∠ABC ，∴∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，由勾股定理得BC ＝2282222==+，选C ．3. （2017山东枣庄7，3分）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，抓痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为A．2B ． 3C ．2D ．1FMND CA BE答案：B ，解析：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB ＝AB ＝2，BM ＝1，在Rt △BMF 中，FM ＝2222213BF BM -=-=，故选B ．4. (2017四川泸州，10，3分)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是( )A ．24B ．14C ．13D ．23答案：A ，解析：∵AD ∥BC ，BE ＝CE ， ∴BE ：AD ＝BF ：FD ＝EF :AF ＝1:2． 设EF ＝a ，则AF ＝2a ． ∵△BEF ∽△AEB ， ∴BE ：AE ＝EF ：BE ， ∴BE 2＝EF ·AE ＝3x 2，∴BE ＝ 3 错误!未找到引用源。

九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析A组1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，①矩形的对角相等，且都是直角，①矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，①菱形的对角相等，①菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；①矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；①原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；①原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；①原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm解：如图：①菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，①OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．5．如图，菱形纸片ABCD，①A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则①DEC等于75度．解：连接BD，①四边形ABCD为菱形，①A=60°，①①ABD为等边三角形，①ADC=120°，①C=60°，①P为AB的中点，①DP为①ADB的平分线，即①ADP=①BDP=30°，①①PDC=90°，①由折叠的性质得到①CDE=①PDE=45°，在①DEC中，①DEC=180°﹣（①CDE+①C）=75°．故答案为：75．6．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，①OE①AC，且点O是AC的中点，①OE是AC的垂直平分线，①CE=AE=8﹣x，在Rt①CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，①DE的长是3．故答案为：3．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．8．如图，在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB的中点，AE①CD，CE①AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．证明：（1）①在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB中点，①CD=AB=AD，又①AE①CD，CE①AB①四边形ADCE是平行四边形，①平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt①ABC中，AC===8．①平行四边形ADCE是菱形，①CO=OA，又①BD=DA，①DO是①ABC的中位线，①BC=2DO．又①DE=2DO，①BC=DE=6，①S菱形ADCE===24．B组9．如图：点P是Rt①ABC斜边AB上的一点，PE①AC于E，PF①BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12B．6C．12.5D．25解：如图，连接CP．①①C=90°，AC=3，BC=4，①AB===25，①PE①AC，PF①BC，①C=90°，①四边形CFPE是矩形，①EF=CP，由垂线段最短可得CP①AB时，线段EF的值最小，此时，S①ABC=BC•AC=AB•CP，即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，①BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则①CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°解：如图，连接BF，在①BCF和①DCF中，①CD=CB，①DCF=①BCF，CF=CF①①BCF①①DCF①①CBF=①CDF①FE垂直平分AB，①BAF=×80°=40°①①ABF=①BAF=40°①①ABC=180°﹣80°=100°，①CBF=100°﹣40°=60°①①CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，①A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP①CD于点P，则①FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在①BGF与①CPF中，，①①BGF①①CPF（ASA），①GF=PF，①F为PG中点．又①由题可知，①BEP=90°，①EF=PG，①PF=PG，①EF=PF，①①FEP=①EPF，①①BEP=①EPC=90°，①①BEP﹣①FEP=①EPC﹣①EPF，即①BEF=①FPC，①四边形ABCD为菱形，①AB=BC，①ABC=180°﹣①A=70°，①E，F分别为AB，BC的中点，①BE=BF，①BEF=①BFE=（180°﹣70°）=55°，①①FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．13．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，①P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则①ADE的度数为15°或45°．【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．解：①四边形ABCD是正方形，①AD＝AE，①DAE＝90°，①①BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，①①ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，①①AE′M为等边三角形，①①E′AM＝60°，①①DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，①AD＝AE′，①①ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．14．如图：在①ABC中，CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，AE①CE于E，AF①CF 于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断①ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．（1）证明：①AE①CE于E，AF①CF于F，①①AEC=①AFC=90°，又①CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，①①BCE=①ACE，①ACF=①DCF，①①ACE+①ACF=（①BCE+①ACE+①ACF+①DCF）=×180°=90°，①三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN①BC且MN=BC．证明：①四边形AECF为矩形，①对角线相等且互相平分，①NE=NC，①①NEC=①ACE=①BCE，①MN①BC，又①AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），①N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则M1N是①ABC的中位线，MN①BC，而MN①BC，M1即为点M，所以MN是①ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）①MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC①MA，KC=AM因为MN①BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：①ABC是直角三角形（①ACB=90°）．理由：①四边形AECF是菱形，①AC①EF，①EF①AC，①AC①CB，①①ACB=90°．即①ABC是直角三角形．15．如图，在①ABC中，①ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE①BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．（1）证明：①①ABC=90°，BD为AC的中线，①BD=AC，①AG①BD，BD=FG，①四边形BGFD是平行四边形，①CF①BD，①CF①AG，又①点D是AC中点，①DF=AC，①BD=DF；（2）证明：①BD=DF，①四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，①在Rt①ACF中，①CFA=90°，①AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，①四边形BDFG的周长=4GF=20．。

培优专题和梯形菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形,它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形,它具有菱形和矩形的所有特性,可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一.梯形是现实生活中比较常见的图形之一,也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．例1 如果将长方形纸片ＡＢCD,沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EＦ与GＨ互相垂直平分吗？分析要说明ＥF与GH互相垂直平分,只须说明四边形FGEＨ是菱形即可.解：∵FH｀∥GE，ＦＧ∥EH,∴四边形FＧEＨ为平行四边形,由题意知:△GＥF≌△HFE.∴ＦＧ＝FH,EＧ=EＨ．∴四边形GEHＦ为菱形．∴EF、GH互相垂直平分.练习11.如图1，菱形ＡBCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠B=∠EAＦ=60°,•∠BAE=18°，则∠ＣEF=＿____＿__.（1) (2) (３) 2.如图2，四边形ABCＤ是正方形,对角线AＣ、BD相交于O,四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6,则菱形的面积为__＿_____．3．如图3,AＢCD是正方形,E为BF上一点，四边形AＦEC•恰是一个菱形，•则∠EAB=_＿_＿____.例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，•如图,若折痕EＦ长为6,求另一边长．分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形AＢCD 中，已知AD=5，过对角线AＣ的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F,BC于E，若EF=6，求AB的长的问题．解：设AB=x,BE=ｙ，连结ＡE．则AＥ=CＥ=５-y.在Rｔ△ＡＢE中,AB2+BＥ２=AE2,即x2+y2=(5-y）2.得ｙ=22510x-，ＡE＝5-y＝22510x+.又在Rt△ＡOE中，AO=12AＣ=2252x+，ＥO＝12EF=62．代入AＥ２=AO２+OE2得,（22510x+)2=(2252x+）2+（62）2.即x4+25x２-１50=０.解之得,ｘ2=5,ｘ2=-3０（舍去）∴x=5.练习21.如图４,矩形纸片ABCＤ中，AB=３cm，ＢC=4cm，现将Ａ、C重合,使纸片折叠压平,•设折痕为EＦ,试确定重叠部分的△AEF的面积是_＿___＿____.(4) （5)２．如图5所示,把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BＣＤ折成△ＢDF，DF•交AB于E，若已知AE=2cm,∠BDC=3０°，求纸条的长和宽各是＿_____＿_.3．如图,折叠正方形纸片ABCD,先折出折痕BD，再折叠使ＡD边与对角线BD重合,得折痕DG,使AＤ=２,求AG．例3如图,Ｅ、F分别为正方形ＡBCD的边BC、CＤ上的一点，AM⊥EＦ，•垂足为M,ＡM=AＢ，则有ＥＦ＝BＥ+ＤＦ，为什么?分析要说明EF=BE+DＦ,只需说明BE=EM，DF＝FM即可,而连结AE、AF.只要能说明△ABE≌△AME,△ＡDF≌△AMF即可.理由：连结AE、AF.由AB=AM，AB⊥BC,AM⊥EF，AE公用，∴△ABE≌△ＡMＥ.∴BE=MＥ.同理可得,△ADF≌△AMF．∴DF=MＦ．∴EF＝ME+MF＝ＢＥ＋DF.练习31.如图6,点Ａ在线段BG上,四边形ABCＤ与ＤＥFG都是正方形,•其边长分别为3ｃm 和５ｃm，则△CDE的面积为_＿______c m2.(6) (7)２.你可以依次剪6张正方形纸片,拼成如图7所示图形.•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为__＿＿__＿_.3.如图,P 为正方形AB ＣＤ内一点，PA ＝PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ＡBCD 的面积？例4 如图，等腰梯形A ＢCD 中，ＡD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠Ｃ=30°,求AD ：BC 的值.分析 添加辅助线,使等腰梯形ABCD•的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题．解:过D 作DF ∥AB 交B Ｃ于F ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形ＡBFD 为平行四边形． 设A Ｄ=ａ，则ＡD=BF=a.∵BD 平分∠A ＢＣ，∴ＡD=ＡB=DF=D Ｃ=ａ．在Rt △DEC 中，∠C ＝3０°，∵DE=2a ,ＥC ＝3a. 又∵ＥC ＝DF ＝3a, ∴ＢC=B Ｆ＋EF ＋E Ｃ=a ＋32a+32ａ＝(1+3)a.∴AD:BC=a：（１+3)a＝(3-1）:２练习4１.用长为1、4、4、５的线段为边作梯形,那么这个梯形的面积等于____＿_＿.2.用一块面积为900cm2的等腰梯形彩纸做风筝,为牢固起见，•用竹条做梯形的对角线,对角线恰好互相垂直,那么梯形对角线至少需______cm.3.如图，一块直角梯形的钢板，两底长分别是4cm、•１0ｃm，•且有一个内角为60°，问是否能将铁板任意翻转,使从一个直径为８．7cm的圆洞中穿过?例5 如图,在矩形ＡBCD中，已知ＡD=12，ＡＢ=５，P是AD边上任意一点，PＥ•⊥BD，ＰE⊥AC，E、F分别是垂足,求ＰE+PF的长．分析连结PO,则PE、ＰF可分别看作是OD、OA边上的高,而OＡ=OD，故只需求出△ＡOP、△DOP的面积即可．解:连结OP．由矩形ABＣD,AD＝12，AB=5.∴AC=BＤ＝2OA＝２ＯB=１3.∴ＯA＝ＯD＝6.5．而S矩形=12×5=6０.∴Ｓ△ＡOD=14×60=１5．∴S△AＯP +S△DOP=15．即12×OA×PF+12×ＯD×PＥ＝1５.∴12×6.5×（PE+PF)=１5.∴ＰE+PF=60 13.练习５１.如图8,等腰梯形ＡBCD中,上底AＤ＝２,下底ＢＣ=8，M是腰ＡB的中点，若MＤ⊥CD，•则梯形的面积为________.(８）（９）2．如图9，已知正方形ＡBＣＤ的面积为３５平方厘米，Ｅ、F分别为边AB、BＣ上的点.AF、ＣE相交于G，并且△ABF的面积为１4平方厘米,△BCE的面积为5平方厘米,•那么四边形ＢEGＦ的面积是_______＿．３．如图，在ABCＤ中,在ＡＤ、ＣD上各取一点Ｅ、Ｆ,使ＡF=CE,AF与CE相交于Ｐ，•则PＢ平分∠APC．答案：练习1１.1８° 2．363.连结ＢＤ交AC于点O,作ＥM⊥AC于点Ｍ．设正方形边长为ａ,则ＡC=ＢD＝AE=2a又∵AC∥BF，ＢO⊥AC，EＭ⊥AＣ，∴ＢＯ=EM=12BＤ＝22a.在Rｔ△ＡEM中,ＡＥ=2a，EM=2ａ.∴∠CAＥ=3０°．则∠ＥAB=１５°．练习2１．7516cm2．2．纸条长为6cm,宽为23cm．3.作GM⊥BD,垂足为M．由题意可知∠ＡＤG=GDM，则△ADG≌△MDG.∴DM=DA＝2. AC＝GM又易知：GM=ＢM．而ＢM＝BD-DM=22-2=2（2-1),∴ＡＧ=BＭ=2（2－1）．练习３1．6c m2． 2.36．3．过P作EＦ⊥AB于F交DC于E.设PＦ=x,则ＥF=10+x,ＢF=12(10+x).由PB２＝PＦ2+BF 2.可得：１0２=ｘ2+14(x+10)２.故x=6．Ｓ正方形ABCＤ=１62=256.练习41．63或１0.2．302.３.过Ｄ作DＥ⊥ＢＣ于E，则BE=4,EC=6，由∠Ｃ=６0°,知ＣD=2EC=12，ＤＥ=3EC=63，由于ＢC＞8.7，ＤE>8.7，故这两个方向不能穿过圆洞．过Ｂ作BF⊥ＣＤ，有CF＝12ＢＣ＝5.得ＢF=５3=75<75.69=8.7.故沿ＣD方向可穿过圆洞.练习５１.5212．42027cm2（面积法）．3．连结BF、BE．过B作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N.则有S△ＡBF＝S△ＢCE=12SＡBＣD．即12×AF×BＭ＝12×CＥ×ＢＮ.∵ＡＦ=CE∴ＢM=BN∴点B在∠AＰC的平分线上.即PＢ平分∠APC．练习5-1的详解:方法一:过D作DQ⊥BＣ于Q，作CD中点N，连结MN，交DQ于ＳMN为梯形ABＣＤ中位线,∴MN=5,MＮ‖BC∴MS为梯形ABQD中位线∴MＳ＝7/2,S为DQ中点,∵DQ⊥BC,ＭN‖BC，∴DQ⊥MＮ设DS=SQ＝a，则MS²+DS²=MD²,则MD²＝4９/4 + ａ², SN为△DＱC中位线∴SN=3／2∴ＤN²=9/4 +a²∵MD⊥CD∴MD²+DＮ²=MN²∴49／４＋a²＋９/4 +a²=25解得a=√2１/2,ＤＱ=√21，Ｓ＝１/2(2+8)*√21=5√21方法二：延长DM，ＢＣ交于点Ｎ。

一、选择题1. （2018北京市海淀区八年级期末）某小区有一块边长为a 的正方形场地，规划修建两条宽为》的绿化带.方案一如图甲所示，绿化带面积为S 甲；方案二如图乙所示，绿化带s面积为S 乙.设k = —（a>S 乙'力>0）,下列选项中正确的是代。

A甲10 < S —A. 2答案：B、填空题3D. — < k < 221B . — < < 12乙V 3C. 1< k v —22. （2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）15.在长方形ABCD 中.由9个边长均为1的正方形组成的• L 军”模板如图CF = 3.则RC 边的长度为___________..此时景得3. （2018北京西城区二模）如图，在矩形ABCQ 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH.若AB=S, AQ=6,则四边形EFGH 的周长等于.答案：204. （2018北京西城区二模）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCQ 的边A3在x 轴上，A （—3,0）, B （4,0）,边AO 长为5.现固定边AB, “推”矩形使点。

落在y 轴的正半轴上（落点记为D'),相应地，点C的对应点。

'的坐标为.5、(2018北京平谷区第一学期期末)12.已知菱形ABCD中，ZB=60°,AB=2,则菱形ABCD 的面积是.答案：2a/3三、解答题6.(2018北京石景山区初三毕业考试)问题:将菱形的面积五等分.小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题.如图，点。

是菱形ABCD的对角线交点，A3=5,下面是小红将菱形ABCD面积五等分的操作与证明思路，请补充，完整.(1)在边上取点E,使AE=4,连接OE；(2)在BC边上取点使欣=,连接。

F；(3)在CD边上取点G,使CG=,连接OG；(4)在ZM边上取点H,使DH=,连接OH.由于AE=+=+=+可证S^AOE=S四边形eofb=S四边形此成―S四边形如血厂，^"%解：3,2,1；............2分EB、BF；FC、CG-, GD、DH；HA.............4分7、(2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考)如图.将蛆形me/)沿对布度g所n et嫩折会，点c•邕在网平面内.落,％%.，"交于点£.牌"3.所、4,求必的虬眄8.(2018北京西城区二模)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD LAB于点D,BE1AB点3,BE=CD,连接CE,DE.(1)求证：四边形CQBE为矩形；(2)若AC.=2,tanZACD=-,求DE的长.2(1)证明：如图2.CD L AB于点£>,BE_LAB于点3,ZCDA=ZDBE=90°.CD//BE...........................1分丈:BE=CD,:.四边形CD3E为平行四边形..........2分又ZDBE=90°,四边形CQBE为矩形......................................3分(2)解：四边形CQBE为矩形，DE=BC.....................................................4分在RtAABC中，，CD1AB,可得.在RtAABC中，，AC=2,,DE=BC=4..........................................5分9.(2018北京石景山区初三毕业考试)如图，在四边形ABCQ中，ZA=ZBCD=90°, BC=CD=2a/10,CEL AD于点E.(1)求证：AE=CE；(2)若tan D=3,求AB的长.(1)证明：(法一)过点B作BHLCE于H,如图1.'：CE±AD,:.ZBHC=ZCED=90°,Z1+ZD=90°.'：ZBCD=9Q°,+Z2=90°,图1:.Z2=ZD.又BC=CD:.ABHC丝AC E D.BH=CE.,:BH_LCE,CE±AD,匕4=90°,四边形是矩形，AE = BH .:.AE = CE . ............3 分(法二)过点C 作CHLAB 交AB 的延长线于H.图略，证明略.(2)解：..•四边形座是矩形，AB = HE.•.•在 Rt △<?££> 中,CEtan D =---= 3,DE^DE = x,CE = 3x ,CD = y/idx = 2a /10 .x = 2 .:.DE = 2,CE = 6.,.・ CH = DE = 2 .:.AB = HE = 6 —2 = 4.10. (2018北京燕山地区一模)如图，在△ABC 中，分别是AB,AC 的中点，BE=2DE,延长DE 到点F,使得EF=BE,连接CF.(1) 求证：四边形BCFE 是菱形；(2) 若ZBCF=120° , CE=4,求菱形 BCFE 的面积.4分(1)证明：I .点D, E,是AB, AC 中点.♦.DE〃BC, DE=-BC .............1'2又 BE=2DE,即 DE=-BE2.♦.BC=BE 又 EF=BE.♦.EF〃BC, EF=BC...四边形BCFE 是平行四边形............2'又 EF=BE四边形BCFE 是菱形.............3'(2) I .四边形BCFE 是菱形.♦.BC=BE 又 ZBCF=120°.*.ZBCE=60oA BCE 是等边三角形连结BF 交EC 于点0. ...BF_LEC在 RtABOC 中，B0= ^BC 2-OC 2 = 742 - 22 = 2a /3.............4'S aboc=，BO,OC=\x2®2=2后S菱形b cfe=4x2a/3=8^/3.•.511.(2018北示延庆区初三统一练习)如图，RtAABC中，匕430=90°，点D,F分别是AC,A3的中点，CE//DB,BE//DC.(1)求证：四边形QBEC是菱形；(2)若AD=3,DF=1,求四边形OBEC面积.解：(1)在RtA-4BC中，"/CE//DC,BE//DC四边形OBEC是平行四边形LD是AC的中点，ZABC=90:.BD=DC......1分四边形DBEC是菱形......2分(2)TF是的中点BC=2DF=2,ZAFD=ZABC=90°A$菱形dbec=2S®BC=4处在RtA/\FD中,4F—— DF^—J3^-1=2^/2分11S ndbc=干。

2021中考临考专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2B.2C.4D.23. （2020·四川甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E 为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()5. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶16. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）C DFE OBA图5 A ．485 B ．325 C ．245 D ．1257. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个AB CDEFOMN 8. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC= .10. 如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点.若DCA B F EOMN=4，则AC的长为.11. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.12. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．13. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．15. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题17. 如图，将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F . (1)求证:△BCF ≌△BA 1D ;(2)当∠C=α时，判断四边形A 1BCE 的形状，并说明理由.18. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平;再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ;延长PF 交AB 于G .求证: (1)△AFG ≌△AFP ; (2)△APG 为等边三角形.19. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE 为菱形;(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长.20. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．23. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．24. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．2021中考临考专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵菱形ABCD 的周长为32，∴AB ＝8．∵AC ⊥BD ，E 为AB 的中点，∴OE ＝AB ＝4．故选B ．4. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．5. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sin α=2142，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD 的面积为24，OA 为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD 的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF 的值．过程如下：∵AOE EOD AOD S S S ∴111222OA OE OD EF 即11551222OE EF ，∴OE+EF=245，因此本题选C ．7. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 8. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD ，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE 和△OBE 中，BO=DO ，BE=DE ，OE=OE ，所以△ODE ≌△OBE ，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t △AOD 中，∠BOD=45°，∴OA=AD ，在R t △ABD 中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA 和△FOA 中，∠BDA=∠FOA ，OA=AD ，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA ≌△FOA ，所以OF=BD ，故②正确；如答图，过点F 作FQ ⊥OD 于点Q ，由角平分线的性质得AF=FQ ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ 是等腰直角三角形即DF=AF ，故③正确；如答图，AG=OG=OF ，所以OG=DE ，由题意可得△OAG ≌△DAE ，所以∠OAG=∠DAE ，AG=AE ，又由∠OAG ＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE 是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题9. 【答案】4 [解析]由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC=BD ，OC=AC.已知∠ADB=30°，故在Rt △ABD 中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4.10. 【答案】1611. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.12. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.13. 【答案】16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.14. 【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4． 设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2GQD C AB F E O即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．461088-x x 108C'B'D A BCE15. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形，B 是顶点， ∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B=AB=BC ，∠A 1=∠A=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，∴△BCF≌△BA1D.(2)四边形A1BCE是菱形.理由如下:∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∵∠AED=∠C=α，∴A1E∥BC.∵∠AED=∠A1=α，∴A1B∥CE.∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形.18. 【答案】证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PF A=∠GF A=90°，∴△AFG≌△AFP(SAS).(2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠P AG=2∠2=60°，∴△APG 为等边三角形.19. 【答案】解:(1)证明:∵E为AD的中点，AD=2BC，∴BC=ED，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=ED，∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴BA=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∠ADC=2∠ADB=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中，AD=2，CD=1，∴AC=.20. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.21. 【答案】(1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，(1分)∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎨⎧AD ＝ AE∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC，∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(3分)(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，(5分)又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，(6分)又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.(8分)22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.(1分) ∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ，∴四边形PFCH 是矩形，(2分)∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ，(3分)∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(4分)(2)证明：(1)由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .(8分)【解法提示】同(1)证法一样可得，△ACD ≌△CAB ，△APE ≌△PAG ，△PHC ≌△CFP ，∴S △ACD －S △AEP －S △PCH ＝S △CAB －S △PGA －S △CFP ，∴S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG .23. 【答案】(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ，∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°，∴∠FGA ＝∠EFG ，∴EG ＝EF ，∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，解图①由对称性得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC ，∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2，∵AB ＞0，∴AB ＝na ，∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a ， 如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .解图②此时n 4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB ＝n ，即4AB AB ＝n ，∴n ＝16；②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE .∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC ，∴AB DG ＝AE DC ，∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ，∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即(n 4a )2＝(n －2)a ·a ，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．24. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP＝535，∴BP＝15.。

矩形菱形与正方形一、选择题1.（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2 （2018•山东滨州•3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．3．（2018·湖北省宜昌·3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．4．（2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）A．52 B．48 C．40 D．20【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，∴OB=12，OA=5，在Rt△ABO中，AB==13，∴菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．5（2018·山东临沂·3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．6（2018·山东威海·3分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1 B．C．D．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=PG=×=，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．7（2018•湖南省永州市•4分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．任意多边形的内角和为360°D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8（2018年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

矩形菱形与正方形一.选择题1.（2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．1B．1.5C．2D．2.5【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证R△t AFE≌△R t ADE；在直△角ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．【解答】解：∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在△R t ABG和△R t AFG中，∵，∴△R t AFE≌△R t ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6﹣x．∵G为BC中点，BC=6，∴CG=3，在△R t ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9=（x+3）2，解得x=2．则DE=2．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．2.（2018•江苏宿迁•3分）如图，菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）A. B. 2 C. D. 4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形△得ABD是等边三角形；在△R t AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得=OD·AC=4，△S ACD根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求△出OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC.BD的交点，∴AC⊥BD，在△R t AOD中，∴AO=，∴AC=2AO=4，∴S=OD·AC=×2×4=4，△ACD又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，△∴COE∽△CAD，∴，∴，∴S=S=×4=，△COE △CAD故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.3.（2018•江苏无锡•3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于C．等于B．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，==．∴tan∠AFE=tan∠FAG=故选：A．==．【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE 的正切值转化为求∠FAG 的 正切值来解答的．4.（2018•江苏淮安•3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（ ）A ．20B ．24C ．40D ．48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长． 【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且 AO ⊥BO ，则 AB==5，故这个菱形的周长 L=4AB=20．故选：A ．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性 质，本题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键，难度一般．5.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y=x 的图象，点 A 的坐标为（1，10），过点 A 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D ，以 A D 为边作正方形 A B C D ；过点 C 作直线 l 的垂线，垂足为111 11 1 1 1 1A ，交 x 轴于点B ，以 A B 为边作正方形 A BCD ；过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 A ，交直线 l 于点 D ，以 222 22 2 2 2233A D 为边作正方形 ABCD ，…，按此规律操作下所得到的正方形 A B C D 的面积是 （ ）n ﹣1 333 3 3 3n n n n．【分析】根据正比例函数的性质得到∠D OA =45°，分别求出正方形 A B C D 的面积、正方形 A B C D 的面积，111 1 1 12 2 2 2总结规律解答．【解答】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，∴∠D OA=45°，1 1∴D A=OA=1，1 1 1∴正方形A B C D的面积=1=（）1 1 1 11﹣1，由勾股定理得，OD=1，D A=，1 2∴A B=A O=，2 2 2∴正方形A B C D的面积==（）2﹣1，2 2 2 2同理，A D=OA=，3 3 3∴正方形A B C D的面积=3 3 3 3=（）3﹣1，…由规律可知，正方形A B C D的面积=（）n﹣1，n n n n故答案为：（）n﹣1．【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D OA=45°，1 1正确找出规律是解题的关键．6.（2018•山东烟台市•3分）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（）A．7B．6C．5D．4【分析】连接AC.BD，如图，利用菱形的性质得OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，再利用勾股定理计算出CD=5，接着证明△OBM≌△ODN得到DN=BM，然后根据折叠的性质得BM=B'M=1，从而有DN=1，于是计算CD ﹣DN即可．【解答】解：连接AC.BD，如图，∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，∴OC=AC=3，OD= BD=4，∠COD=90°，=5，在△R t COD中，CD=∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM和△ODN中，∴△OBM≌△ODN，∴DN=BM，∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴BM=B'M=1，∴DN=1，∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4．故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．7.（2018•山东聊城市•3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A处，则点C的对应点1C的坐标为（）1A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC三边关系，再利用勾股定理得出答案．1【解答】解：过点C作C N⊥x轴于点N，过点A作A M⊥x轴于点M，1 1 1 1由题意可得：∠C NO=∠A MO=90°，1 1∠1=∠2=∠3，则△A△OM∽△O C△N，1 1∵OA=5，OC=3，∴OA=5，A M=3，1 1∴OM=4，∴设NO=3x，则NC=4x，OC=3，1 1则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC=，1）．故点C的对应点C的坐标为：（﹣，1故选：A．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A△OM∽△O C△N是解题关键．1 18.（2018•上海•4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A.∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B.∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C.AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D.AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．9.（2018•遂宁•4分）下列说法正确的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理．【解答】解：A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；C.矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；D.六边形的内角和是720°，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理，正确把握相关性质是解题关键．10.（2018•资阳•3分）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．【解答】解：∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF===20，∴AD=20厘米．故选：C．7【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形 E FGH 为矩形是解题关键．11. （2018•杭州•3 分）如图，已知点 P 矩形 ABCD 内一点（不含边界），设 ， ，，，若 ， ，则（ ）A..C..BD【答案】A【考点】三角形内角和定理，矩形的性质【解析】【解答】解：∵矩形 ABCD ∴∠PAB+∠PAD=90°即∠PAB=90°-∠PAB ∵∠PAB=80°∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°∴90°-∠PAB+∠PBA=100°即∠PBA-∠PAB=10°① 同理可得：∠PDC-∠PCB=180°-50°-90°=40°②由②-①得：∠PDC-∠PCB-（∠PBA-∠PAB ）=30° ∴故答案为：A【分析】根据矩形的性质，可得出∠PAB=90°-∠PAB ，再根据三角形内角和定理可得出∠PAB+∠PBA=100°， 从而可得出∠PBA-∠PAB=10°①；同理可证得∠PDC-∠PCB=40°②，再将②-①，可得出答案。

北京市通州区普通中学2018届初三数学中考复习 矩形、菱形和正方形 专项复习练习1．下列判断错误的是( D )A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A ) A.245 B.125C ．5D ．43．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积( A )A ．2 3B ．4C ．4 3D ．84．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D )A. 5B.136 C ．1 D.565．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( D )A.95B.125C.165D.1856．在▱ABCD中，AB＝10，BC＝14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE的长为( D )A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或87．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD的边长为( A )A．2 B．3 C．4 D．58．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF ＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE，其中正确结论有( C )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为．510．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为__24__．11．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a.将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝．12．如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，AD ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP )，使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是．13．如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N .若MN ＝AE ，0则AM 的长等于3或314．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB 1为边作正方形OB 1B 2C 2，再以正方形OB 1B 2C 2的对角线OB 2为边作正方形OB 2B 3C 3，以此类推…，则正方形OB 2015B 2016C 2016的顶点B 2016的坐标是__(21008，0)__．15．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)由折叠知AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°，∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ， ∴AM ＝CN ， ∴AN ＝CM ，可证△ANF≌△CME(ASA )，∴AF ＝CE ， 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形 (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8，设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4，在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴四边形AECF的面积为EC·AB＝5×6＝3016．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB.(1)求证：PE＝PD；(2)连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，可证△PBC≌△PDC(SAS)，∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD(2)∠PED＝45°.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB＋∠PEC＝180°，∴∠PDC＋∠PEC＝180°，在四边形PECD中，∠EPD＝360°－(∠PDC＋∠PEC)－∠BCD＝360°－180°－90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED＝45°17．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME ⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝2，求BC的长；(2)求证：ME＝AM－DF.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，AB∥CD，∴∠1＝∠ACD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴MC＝MD.∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝4，∴BC＝CD＝4(2)延长DF，AB交于G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠DCA.∵BC＝2CF，CD＝2CE，∴CE＝CF.可证△CEM≌△CFM(SAS)，∴ME＝MF.∵AB∥CD，∴∠2＝∠G，∠GBF＝∠BCD，∵F为边BC的中点，∴CF＝BF，可证△CDF≌△BGF(AAS)，∴DF＝GF.∵∠1＝∠2，∠G＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝GM＝MF＋GF＝DF＋ME，即ME＝AM－DF18．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是___FG＝CE___，位置关系是 __FG∥CE__；(2)如图②，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图③，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．解：(2)过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，可证△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB∴BH＝EC，∴FG＝EC(3)成立．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，可证△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE。

北京市通州区普通中学2018届初三数学中考复习 图形的轴对称 专题练习题1．下列四个图形分别是节能，节水，低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是( D )2．用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( D )3．(如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( C )A.12B.98C ．2D ．4 5．如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则AEEB等于( B )A. 3 B．2 C．1.5 D. 26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝__1.5__．7．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有__3__种．\8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．9．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B(0，3)，点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是．10．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．11．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD ＝2，∠ADB ＝30°，求BE 的长．(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A ＝∠C＝90°，AB ＝CD.又∵△DBF 是由△DBA 折叠得到，∴∠F ＝∠A＝∠C，BF ＝AB ＝DC.又∠BEF＝∠DEC，∴△DCE ≌△BFE (2)解：由(1)得BE ＝DE.又∵∠ADB＝30°，∴∠ADF ＝2∠ADB＝60°.∴∠EDC ＝30°.在Rt △DEC 中，CD ＝2，∠EDC ＝30°，∵cos30°＝DCDE ，∴DE ＝433.∴BE＝DE ＝43312．作图题：(不要求写作法)如图，△ABC 在平面直角坐标系中，其中点A ，B ，C 的坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．(1)作△ABC 关于直线l ：x ＝－1对称的△A 1B 1C 1，其中点A ，B ，C 的对应点分别为点A 1，B 1，C 1；(2)写出点A 1，B 1，C 1的坐标．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示：(2)A 1(0，1)，B 1(2，5)，C 1(3，2)13．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点，将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点． (1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB，∴∠EBD ＝∠FDB，∴EB ∥DF ，∵ED ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形 (2)解：∵四边形BFDE 为菱形，∴BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝30°，∵∠A ＝90°，AB ＝2，∴AE ＝23＝233，BF ＝BE ＝2AE ＝433，∴菱形BFDE 的面积为433×2＝83314．如图，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF ，CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC.由折叠的性质，可得∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AF＝CF，∴∠EFC＝∠CEF.∴CF＝CE.∴AF＝CF＝CE＝AE.∴四边形AFCE为菱形(2)解：a，b，c三者之间的数量关系式为a2＝b2＋c2.理由如下：由折叠的性质，得CE＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE ＝AE＝a.在Rt△DCE中，CE2＝CD2＋DE2，∴a，b，c三者之间的数量关系式可写为a2＝b2＋c2。

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°， 又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下： 如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形． 解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。

通州区2017-2018学年第一学期九年级期中学业水平质量检测数字试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的）1．下列四个选项中分别给出了单位相同的四条线段的长，其中四条线段成比例的是（ ）． A ．1，5，10，25B ．4，7，14，28C ．2，12，12，4 D ， 【答案】D【解析】D == 故选D ．2．已知反比例函数k y x=的图象过点(2,3)P -，则该反比例函数的图象位于（ ）． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】C【解析】2(3)60=⨯-=-<R ，所以位于二、四象限．故选C ．3．下列关于二次函数23(1)8y x x =-++的图象的顶点坐标正确的是（ ）．A ．(1,8)B ．(1,8)-C ．(1,8)--D ．(3,8)-【答案】B【解析】二次函数顶点式2()y a x h k =-+中，顶点坐标为(,)h k ，此题中1h =-，8k =，所以顶点为(1,8)-．故选B ．4．下列给出的四组图形：①任意两个菱形；②任意两个等边三角形；③任意两个等腰三角形；④任意两个矩形，其中两个图形一定相似的是（ ）．A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】B【解析】相似图形需要对应边成比例，对应角相等，只有等边三角形符合．故选B ．5．如图，在Rt ABC 中，90ACB =︒∠，CD AB ⊥于点D ，2CD =，1BD =，则AD 的长是（ ）．AB CA ．1BC ．2D ．4【答案】D 【解析】易证ACD CBD △∽△， ∴CD AD BD CD=， ∴2CD BD AD =⋅，∵2CD =，1BD =，∴4AD =．故选D ．7．如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，在下面的比例式中，正确的有（ ）．E C BDA①AD BF DB FC =；②AD DE DB BC =； ③AD BF AB BC =； ④EF DE AB BC =；⑤AE BF AC BC =； ⑥BD BF AD CF =． A ．①③B ．①②③C ．④⑤⑥D ．①③⑤【答案】D 【解析】∵DE BC ∥，EF AB ∥， ∴AD AE BF BD EC FC ==，AD AE BF AB AC BC==， EF CE CF AB AC BC ==，DE AE AD BC AC AB==． ∴①③⑤正确，其余错误．故选D ． 9．在平面直角坐标系中，二次函数214y x x =-+和一次函数22y x =的图象如图所示，那么不等式242x x x -+>的解集是（ ）．2+4xA ．0x <B ．04x <<C ．02x <<D ．24x <<【答案】C 【解析】242x x x -+>，即二次函数高于一次函数，由图知，02x <<部分满足．故选C ．二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式，y =_________．【答案】22y x =-+（答案不唯一）【解析】2y ax bx c =++中，只需要0a <，2c =即可．14．若1(1,)A y ，2(5,)B y 为二次函数241y x x =-++的图象上的两点，则1y ，2y 的大小关系为_________．【答案】12y y >【解析】将1(1,)y ，2(5,)y 代入，得14y =，24y =-，∴12y y >．16．如图1，ABC △是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F ，F 分别落在AC ，AB 上．小明的具体作法如图2：①在AB 边上任取一点G '，如图作正方形G D E F ''''．②连接BF '并延长交AC 于点F ．③作FE F E ''∥交BC 于点E ，FG F G ''∥交AB 于点G ，GD G D ''∥交BC 于点D ，则四边形DEFG 即为所求．老师：“小明的做法是正确的．”请你简要分析．．．．说明小明作图的正确性．_________． GAB C E F 图1D'F'F EC BD A G G'图2 【答案】见解析．【解析】因为四边形G D E F ''''为正方形，所以90G D E F E D D G F G F E ''''''''''''====︒∠∠∠∠，又因为FE F E ''∥，FG F G ''∥，GD G D ''∥，所以90GDE FED DGF ===︒∠∠∠，所以四边形DEFG 为矩形，由平行线分线段成比例可知，BF F E G F BF FE GF'''''==， 所以GF EF =，邻边相等的矩形为正方形，所以DEFG 为正方形．三、解答题（共52分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或解答步骤）17．（5分）如图，(1,0)A -，(2,3)B -两点在二次函数21y ax bx =++的图象上．（1）求二次函数的表达式．（2）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．（按照画函数图象的步骤完成）【答案】（1）21y x =-+．（2）见解析．【解析】（1）将(1,0)A -，(2,3)B -代入，得013421a b a b =++⎧⎨-=++⎩，得10a b =-⎧⎨=⎩， ∴解析式为21y x =-+，（2）①列表：②描点（如图）：③作图（如图）：18．（5分）如图，在ABC △中，DE BC ∥，且3AD BD =，48ABC S =△，求ADE △的面积． A DBC E 【答案】27． 【解析】解：∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△，又∵3AD BD =，∴34AD AB =， ∴239416ADE ABC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， 又∵48ABC S =△，∴27ADE S =△．19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1m y x=的图象与一次函数2y kx b =+的图象交于点(4,1)A --和点(,4)B n ．（1）求这两个函数的表达式．（2）观察图象，当12y y >时，直接写出直接变量x 取值范围．【答案】（1）14y x=，23y x =+．（2）4x <-或01x <<． 【解析】（1）将(4,1)A --代入1m y x=， 将4m =，∴14y x=， 将(,4)B n 代入4y x=，将1n =， 将(4,1)A --，(1,4)B 代入2y kx b =+， 得414k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴23y x =+．（2）由图象知，12y y >，即反比例函数高于一次函数，所以4x <-或01x <<．20．（5分）已知在平面直角坐标系中，二次函数2222y x x k =++-的图象与x 轴有两个交点． （1）当k 的取值范围．（2）当k 取正整数时，请你写出二次函数2222y x x k =++-的表达式，并求出此二次函数图象与x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）32k <．（2）22y x x =+；(2,0)-和(0,0)． 【解析】（1）∵与x 轴有两个交点， ∴240b ac ∆=->，即44(22)0k -->，解得32k <． （2）∵k 为正整数，∴1k =， ∴22y x x =+，令0y =，得220x x +=，解得12x =-，20x =，∴交点为(2,0)-和(0,0)．21．（5分）如图，在ABC △中，90ACB =︒∠，D 为AB 上一点，CE CD ⊥，且35CD CB =，35CE AC =． 求证：ACD ECF △∽△． ADBCEF 【答案】证明见解析．【解析】∵90ACB =︒∠，CE CD ⊥，∴ACB DCE =∠∠， 又∵35CD CB =，35CE AC =， ∴ACB ECD △∽△， ∴A E =∠∠，又∵ACB DCF DCE DCF -=-∠∠∠∠，即ACD ECF =∠∠，∴ACD ECF △∽△．22．（6分）某甜品店销售一种蛋糕，已知这种蛋糕的成本价为每个20元，市场调查发现，该种蛋糕每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：280(2040)y x x =-+≤≤．设这种蛋糕每天的销售利润为ω元．（1）求ω与x 之间的函数关系式．（2）该种蛋糕销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）221201600(2040)x x x ω=-+-≤≤．（2）定价为30元；最大利润为200元．【解析】（1）(20)(280)x x ω=--+221201600(2040)x x x =-+-≤≤．（2）22(30)200x ω=--+∵2040x ≤≤，∴当30x =时，ω取最大值200．答：当售价定为30元时，利润最大为200元．23．（6分）如图，Rt AB C ''△是由Rt ABC △绕点A 顺时针旋转得到的，连接CC '交斜边AB 于点E ，连接BB '，CC '的延长线交BB '于点F ．（1）证明：ACE FBE △∽△．（2）设ABC α=∠，CAC β'=∠，如果ACE △≌FBE △，那么α与β需要东路怎样的数量关系？并证明你的结论．B'C'ABC EF 【答案】（1）证明见解析．（2）2βα=，证明见解析．【解析】（1）证明：∵Rt AB C ''△是由Rt ABC △绕A 旋转而符，∴CAC BAB ''=∠∠，AB AB '=，AC AC '=， ∴AB AB AC AC '='， ∴(SAS)ABB ACC ''△∽△，∴ACE ABF =∠∠，又∵AEC BEF =∠∠，∴(AA)ACE FBE △∽△．（2）2βα=，证明如下：∴ACE △≌FBE △，∴BE CE =，∴BCE CBE α==∠∠，∴90EAC ECA α==︒-∠∠，又∵AC AC '=，∴90AC C ACC α'''==︒-∠∠，在ACC '△中用内角和定理，得2(90)180αβ⨯︒-+=︒，∴2βα=．24．（7分）图1所示的是遮阳伞撑开时的实际情况，伞柄垂直于水平地面．图2是遮阳伞在撑开的某一时刻一个切面的伞“骨架”的示意图．当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到达点B 时，伞撑开的面积最大．已知伞在撑开的过程中，总有6.0PM PN CM CN ====分米，18.0CE CF ==分米， 2.0BC =分米．﹙1﹚请你写出AP 的最长值是__________分米．﹙2﹚若60CPN =︒∠，则AP 的值是__________分米．（3）假设阳光是由伞的正上方向下直射，落在地面上伞的阴影﹙假定为圆面﹚面积为y ，求y 与x 的关系式．（结果保留π）．图1图2 【答案】（1）10.0．（2）6.0．（3）29π54π(010)4y x x x =-+≤≤． 【解析】（1）由题知，AP 最大值为AB 长度，12.0CA CM MP =+=分米，∵ 2.0BC =分米，∴12.0 2.010.0AB =-=分米，∴AP 最大值为10.0分米．（2）∵CN PN =，60CPN =︒∠，∴CPN △为等边三角形，∴ 6.0CP CN PN ===分米，∴12.0 6.0 6.0AP AC CP =-=-=分米．（3）如图，作MG CQ ⊥，垂足为G ，作EA CQ ⊥，垂足为H ，则MG MC EH EC=， 由题知，6MC =，18EC =， 112222CA AP x CGCP --===，∴MG= 618=，∴EH = ∴229π()π54π(010)4y EH x x x ==-+≤≤．。

2017年中考数学真题训练-矩形、菱形、正方形（带答案和解释）第五章四边形第25课时矩形、菱形、正方形江苏近4年中考真题精选命题点1 矩形的性质与判定(2016年9次，2015年12次，2014年8次，2013年6次), 1. (2014南京6题3分)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(－2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是( ) A. (32，3)，(－23，4) B. (32，3)，(－12，4) C. (74，72)，(－23，4) D. (74，72)，(－12，4) 第1题图第2题图 2. (2016扬州8题3分)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( ) A. 6 B. 3 C. 2.5 D. 2 3. (2015无锡14题3分)如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于________cm. 第3题图第4题图 4. (2015泰州16题3分)如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE 与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为________． 5. (2014苏州17题3分)如图，在矩形ABCD中，ABBC＝35，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD于点E.若AE•ED＝43，则矩形ABCD的面积为________．第5题图 6. (2015淮安21题8分)已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AE＝DF.求证：BF＝CE.7. (2016南通25题8分)如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE ＝AB，连接DE，交边BC于点F. (1)求证：△BEF≌△CDF； (2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．8. (2016扬州23题10分)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB 沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D 落在AC上的点N处． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．命题点2 菱形的性质与判定(2016年8次，2015年7次，2014年9次，2013年9次) 9. (2014徐州7题3分)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( ) A. 矩形 B. 等腰梯形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 10. (2015徐州7题3分)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于( ) A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14 第10题图第11题图 11. (2013扬州7题3分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 12. (2013淮安17题3分)若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是________． 13. (2014宿迁13题3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．第13题图第14题图 14. (2016南京16题3分)如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________cm. 15. (2015南京24(2)题4分)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H. 第15题图小明在证明四边形EGFH是矩形后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证NM＝NQ.由已知条件________，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证______，______，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，______，即可得证．16. (2014淮安21题8分)如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形．17. (2014镇江20题6分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC. (1)求证：∠1＝∠2； (2)连接BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．18. (2015徐州23题8分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC. (1)求证：四边形BFCE是平行四边形； (2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝________时，四边形BFCE是菱形．19. (2014连云港21题10分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OCED为菱形； (2)连接AE、BE.AE与BE相等吗？请说明理由．20. (2014盐城25题10分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF. (1)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO＝12，求EM∶MF的值．命题点3 正方形的性质与判定(2016年9次，2015年5次，2014年10次，2013年5次) 21. (2015连云港5题3分)已知四边形ABCD，下列说法正确的是( ) A. 当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B. 当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形 C. 当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D. 当AC＝BD，AC⊥BD 时，四边形ABCD是正方形 22. (2013连云港8题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( ) A. 1 B. 2 C. 4－22 D. 32－4 23. (2014泰州16题3分)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点．∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ＝AE，则AP等于________cm. 24. (2013南京19题8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； (2)若∠AD C＝90°，求证：四边形MPND是正方形． 25. (2015泰州25题12分)如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由； (3)求四边形EFGH面积的最小值．答案 1. B 【解析】如解图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，并延长交FB的延长线于点M ，根据题意可得△AOD≌△BCM, OD＝MC＝2，BM＝AD＝1，点C的纵坐标是4，可得点B的纵坐标为3，再由△AOD∽△OBF得，ADOD＝OFBF，代入数据即可求得OF＝32，CE＝CM－OF＝2－32＝12，故点B的坐标为(32，3)，点C的坐标为(－12，4)．第1题解图第2题解图 2. C 【解析】所有剪法中剩余部分面积的值最小时，如解图，S△ABG＝12AB•BG ＝12×4×4＝8，∵AD＝6，∴AE＝ED＝32，∴EF＝DF＝3，∴S△AED＝12AE•ED＝12×32×32＝9，S△EDF＝12EF•DF＝12×3×3＝4.5，∴S 剩余部分＝S矩形ABCD－S△ABG－S△AED－S△EDF＝4×6－8－9－4.5＝2.5. 3. 16 【解析】如解图，连接AC，BD，∵在△ABC中，E、F分别为AB、BC的中点，∴EF＝12AC＝4，同理可得，HG＝12AC＝4，EH＝FG＝12BD＝4，∴四边形EFGH的周长等于16 cm. 第3题解图 4. 245 【解析】如解图，根据题意得，AP＝EP，∵OD＝OE，∠E＝∠D，∠DOP＝∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)，则OP＝OF，DP＝EF，设OE＝a，OP＝b，∴BF＝8－(6－a－b)＝2＋a＋b，FC＝8－(a＋b)，在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2＝CF2＋BC2，即(2＋a＋b)2＝[8－(a＋b)]2＋62，解得a＋b＝245，∴AP的长为245. 第4题解图 5.5 【解析】如解图，连接BE，则BE＝BC.设AB＝3x，BC＝5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝5x，∠A＝90°，由勾股定理得AE＝4x，则DE＝5x－4x＝x，∵AE•ED＝43，∴4x•x＝43，解得x1＝33，x2＝－33(舍去)，则AB＝3x＝3，BC＝5x＝533，∴矩形ABCD的面积是3×533＝5. 第5题解图 6. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD, ∠A＝∠D＝90°，∵AE＝DF，∴AF＝DE，(5分) ∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴BF＝CE. 7. 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴ AB CD ∵BE＝AB，BE在AB的延长线上，∴BE CD. ∴∠BEF＝∠FDC，∠FBE＝∠FCD，∴△BEF≌△CDF(ASA)． (2)由(1)证得，∴四边形BECD为平行四边形，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FCD＝∠A，∵∠BFD＝∠FCD＋∠FDC，∠BFD＝2∠A，∴∠FDC＝∠A，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC. 由(1)知，△BEF≌△CDF，∴BC＝DE. ∴四边形BECD是矩形． 8. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA，由折叠的性质知，∠EAC＝12∠BAC, ∠FCA＝12∠DCA，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，又∵AD∥BC，∴四边形AECF为平行四边形； (2)解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得， BC＝102－62＝8，由折叠的性质知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，在Rt△CEM中，CM＝AC－AM＝10－6＝4，设CE＝x，则BE＝EM＝8－x，由勾股定理得，ME2＋CM2＝EC2，即(8－x)2＋16＝x2，解得x＝5，∵由(1)得，四边形AECF为平行四边形，∴S四边形AECF＝EC•CD＝5×6＝30. 9. C 【解析】如解图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C. 第9题解图 10. A 【解析】由于菱形的周长是28，而它的四条边都相等，∴每条边都是7，而菱形的对角线互相垂直，E为AD的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边上的一半可得OE＝12×7＝3.5. 11. B 【解析】如解图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝12∠BAD＝12×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF，BC＝CD，∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，∴∠CBF＝∠ABC －∠ABF＝100°－40°＝60°，∵在△BCF和△DCF中，BC＝DC∠BCF ＝∠DCFCF＝CF，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠CBF＝60°. 第11题解图 12. 3 【解析】由题意知S菱形＝12×2×3＝3. 13. (5，4) 【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝AD2－AO2＝4，∴点C的坐标是(5，4)． 14. 13 【解析】如解图，连接AC，BD交于点O，∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴S菱形ABCD＝12AC•BD＝120，∴AC•BD＝240，又∵菱形的对角线互相垂直平分，∴2OA•2OB＝240，∴ OA•OB＝60，∵正方形AECF的面积等于边长的平方，∴AE2＝50, 又∵OA2＋OE2＝AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝OA2＋OB2＝52＋122＝13 cm. 第14题解图 15. 解：本题答案不唯一，下列答案仅供参考： FG平分∠CFE; GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16. 证明：设EF与AD交于点O，如解图．第16题解图∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO，由折叠性质可知AO＝DO，EF⊥AD，∴∠AOE ＝∠AOF＝90°，在△AEO和△AFO中，∠EAO＝∠FAOAO＝AO∠AOE ＝∠AOF，∴△AEO≌△AFO(ASA)，∴EO＝FO，即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形． 17. (1)证明：在△ABC与△ADC中， AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠1＝∠2； (2)解：如解图，连接BE、DE，四边形BCDE为菱形，理由如下：第17题解图∵BC＝DC，∠1＝∠2，OC＝OC，∴△COD≌△COB(SAS)，∴OD＝OB，OC⊥BD，又∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形． 18. (1)证明：∵AB＝DC，∴AC＝DB，在△AEC和△DFB 中， AC＝DB∠A＝∠DAE＝DF，∴△AEC≌△DFB(SAS)，∴BF＝CE，∠ACE＝∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形； (2)解：4. 【解法提示】当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，∵AD＝10，DC ＝3，AB＝CD＝3，∴BC＝10－3－3＝4，∵∠EBD＝60°，∴△EBC 为等边三角形，BE＝BC＝4，∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形． 19.(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵在矩形ABCD中，AC＝BD，且AC、BD互相平分，∴OC＝12AC＝12BD＝OD，∴平行四边形OCED是菱形； (2)解：相等．理由如下：在菱形OCED中，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，又∵在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠EDC ＝∠BCD＋∠ECD，∴∠ADE＝∠BCE，在△ADE和△BCE中， AD＝BC∠ADE＝∠BCEDE＝CE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴AE＝BE. 20. (1)证明：在菱形ABCD 中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO 中，∠AEO＝∠CFO∠AOE＝∠COFOA＝OC，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF，又∵O B＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形； (2)解：设OM＝x，∵EF⊥AB，tan∠MBO＝12，∴BM＝2x，又∵AC⊥BD，∴△AOM∽△OBM，∴AMOM＝OMBM，∴AM＝OM2BM＝12x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM∶MF＝AM∶BM＝12x∶2x＝1∶4. 21. B【解析】本题考查平行四边形、矩形、正方形的判定，逐项分析如下：选项逐项分析正误 A 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形× B 两组对边分别相等的四边形是平行四边形√ C 只有两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形× D 只有两条对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形× 22. C【解析】在正方形ABCD 中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD－DE＝42－4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF＝22BE＝22×(42－4)＝4－22. 23. 1或2 【解析】根据题意画出图形，过点P作PN⊥BC交BC于点N，如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3 cm，∴tan30°＝DEAD，∴DE＝3 cm，根据勾股定理得AE＝32＋（3）2＝23 cm，∵M为AE的中点，∴AM＝12AE＝3 cm，在Rt△ADE 和Rt△PNQ中，AD＝PNAE＝PQ，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，∴DE＝NQ，∠DA E＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PFA＝∠DEA＝60°，∴∠PMF ＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝AMAP，∴AP＝AMcos30°＝332＝2 cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1 cm.综上，AP等于1 cm或 2 cm. 第23题解图 24. 证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. 又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°. 又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．由(1)知，∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN. ∴四边形MPND是正方形． 25. (1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD ＝DC，∵AE＝DH＝CG，∴AH＝DG，∵∠A＝∠D，∴△AHE≌△DGH(SAS)，∴EH＝HG，∠AHE＝∠DGH，∵∠DGH＋∠DHG ＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，同理，EH＝EF ＝FG，则EH＝GH＝GF＝FE，∴四边形EFGH是正方形； (2)解：是，直线EG经过正方形ABCD的中心．理由如下：如解图，连接BD，EG，DE，BG，第25题解图∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BGDE是平行四边形，∴OB＝OD，OE＝OG，∴点O为正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心； (3)解：设正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2，而正方形EFGH的面积＝EH2，∴y＝x2＋(8－x)2＝2(x－4)2＋32，∴当x＝4时，y有最小值为32. 即四边形EFGH面积的最小值是32 cm2.。

人教版九年级数学中考矩形、菱形、正方形专项练习基础达标一、选择题1.(2018江苏淮安)如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.48,AO=12AC=3,BO=12BD=4,且AO ⊥BO ,则AB=√AA 2+AA 2=5, 故这个菱形的周长L=4AB=20. 故选A.2.(2017四川广安)下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有( )个. A.4 B.3C.2D.13.(2017四川眉山)如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,若▱ABCD 的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD 的周长为( ) A.14 B.13C.12D.104.(2018贵州遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()A.10B.12C.16D.18PM⊥AD于点M,交BC于点N.则四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,×2×8=8,∴S△DFP=S△PBE=12∴S阴影=8+8=16,故选C.5.(2017山东枣庄)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=A(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()AA.-12B.-27C.-32D.-366.(2018江苏无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan ∠AFE的值()A.等于37B.等于√33C.等于34D.随点E位置的变化而变化EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,△AEH∽△ACD,∴AAAA =AAAA=34.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG=AA AA =3A3A+4A=37.故选A.二、填空题7.(2018湖南株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为..5四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=12BD,∴OD=12BD=5,∵点P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=12DO=2.5.8.(2018广东广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.-5,4)菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,∴AB=5,∴AD=5,∴由勾股定理知:OD=√AA2-AA2=√52-32=4,∴点C的坐标是(-5,4).9.(2018湖北武汉)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.150°1,图1∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,∴∠AEB=∠CED=15°,则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠CED=30°.如图2,图2∵△ADE是等边三角形,∴AD=DE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∴DE=DC,∴∠CED=∠ECD,∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°,∴∠CED=∠ECD=1(180°-30°)=75°,同理∠BEA=∠ABE=75°,2∴∠BEC=360°-75°×2-60°=150°.三、解答题10.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O.过点C 作BD 的平行线,过点D 作AC 的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED 是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则ABCD 的面积是多少?四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD , ∴∠COD=90°. ∵CE ∥OD ,DE ∥OC ,∴四边形OCED 是平行四边形,又∠COD=90°,∴平行四边形OCED 是矩形.(1)知,平行四边形OCED 是矩形,则CE=OD=1,DE=OC=2.∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC=2OC=4,BD=2OD=2, ∴菱形ABCD 的面积为12AC ·BD=12×4×2=4. 能力提升一、选择题1.下列说法中,正确的个数为( )①对顶角相等;②两直线平行,同旁内角相等; ③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A.1B.2C.3D.4对顶角相等,故①正确;②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误; ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选B .2.(2018山东枣庄)如图,在矩形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,AE ⊥BD ,垂足为F ,则tan ∠BDE 的值是( )A.√24B.14C.13D.√23四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC ,AD ∥BC , ∵点E 是边BC 的中点, ∴BE=12BC=12AD , ∴△BEF ∽△DAF , ∴AA AA =AA AA =12, ∴EF=12AF , ∴EF=13AE ,∵点E 是边BC 的中点, ∴由矩形的对称性得:AE=DE , ∴EF=13DE ,设EF=x ,则DE=3x , ∴DF=√AA 2-AA 2=2√2x , ∴tan ∠BDE=AAAA =2√2A =√24.故选A.3.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P 从点A 出发,沿AB 方向以每秒√2 cm 的速度向终点B 运动;同时,动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动,将△PQC 沿BC 翻折,点P 的对应点为点P'.设Q 点运动的时间为t s,若四边形QPCP'为菱形,则t 的值为( )A.√2B.2C.2√2D.3PP',交BC于N点,过P作PM⊥AC,垂足为M.若运动t s时四边形QPCP'为菱形,则PQ=PC,PN⊥BC,四边形PMCN为矩形,BQ=t,AP=√2t,PM=NC=t,∴QC=2t,∴BC=BQ+QC=t+2t=3t=6cm,∴t=2,故选B.4.(2018河南)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()图1图2A.√5B.2D.2√5C.52D作DE⊥BC于点E由题图2可知,点F由点A到点D用时为a s,△FBC的面积为a cm2.∴AD=a.DE·AD=a.∴12∴DE=2.当点F从D到B时,用√5s,∴BD=√5.Rt△DBE中,BE=√AA2-AA2=√(√5)2-22=1,∵ABCD是菱形,∴EC=a-1,DC=a.Rt△DEC中,a2=22+(a-1)2,.解得a=52故选C.5.(2017广东)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是()A.①③B.②③C.①④D.②④二、填空题6.(2018山东潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x 轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为.)-1,√33,连接AM ,∵将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D', ∴AD=AB'=1,∠BAB'=30°, ∴∠B'AD=60°,在Rt △ADM 和Rt △AB'M 中,∵{AA =AA ',AA =AA ,∴Rt △ADM ≌Rt △AB'M (HL), ∴∠DAM=∠B'AM=12∠B'AD=30°, ∴DM=AD tan ∠DAM=1×√33=√33, ∴点M 的坐标为(-1,√33).三、解答题 7.如图所示,在△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠ACB 的平分线于点E ,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF ;(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.MN ∥BC ,∴∠OEC=∠BCE.又∠OCE=∠BCE ,∴∠OEC=∠OCE ,∴OE=OC.同理可证OF=OC ,∴OE=OF.O 运动到AC 中点时,四边形AECF 是矩形.证明:∵CE ,CF 分别是∠ACB 的内,外角平分线.∴∠OCE+∠OCF=12(∠ACB+∠ACD )=12×180°=90°,即∠ECF=90°,又∵OE=OF ,∴当O 点运动到AC 中点时,OA=OC ,四边形AECF 是矩形.8.(2018贵州遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON.,过点O作OH⊥AD于点H,∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2,∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM=√22+42=2√5,由(1)知OM=ON,∴MN=√2OM=2√10.。