高中数学第一章三角函数14三角函数的图象与性质143正切函数的性质与图象互动课堂学案新人教A版必修4

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线． 解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． 答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一 用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准． 题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？ 解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数 答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。

第12课时 正切函数的性质与图象1错误! A ．xx ≠k π＋错误!，k ∈ZB ．xx ≠k π2－错误!，k ∈ZC ．xx ≠错误!＋错误!,k ∈ZD ．xx ≠k π2，k ∈Z答案 C解析由2x＋错误!≠kπ＋错误!，得x≠错误!＋错误!（k∈Z）．2．函数y＝tan x错误!≤x≤错误!，且x≠错误!的值域是________．答案(－∞，－1]∪[1,＋∞）解析∵y＝tan x在错误!，错误!，错误!，错误!上都是增函数，∴y≥tan 错误!＝1或y≤tan错误!＝－1．3．函数y＝sin x＋tan x，x∈－错误!，错误!的值域为________．答案－错误!，错误!解析∵y＝sin x和y＝tan x两函数在－错误!,错误!上都是增函数,∴x ＝－错误!时，y min＝－错误!－1，当x＝错误!时，y max＝错误!＋1．4）A．y＝tan2x B．y＝|sin x|C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!答案D解析∵y＝tan2x的最小正周期是错误!，∴排除A；又∵y＝|sin x|及y＝sin错误!＝cos2x是偶函数，∴排除B，C．故选D．5．函数y＝3tan错误!的图象的一个对称中心是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．（0，0)答案C解析因为y＝tan x的图象的对称中心为错误!，k∈Z．由错误!x＋错误!＝错误!，k∈Z，得x＝kπ－错误!,k∈Z,所以函数y＝3tan错误!的图象的对称中心是kπ－错误!，0，k∈Z．令k＝0，得－错误!，0．故选C．6错误!错误!错误!)A．a〈b〈c B．b<c<aC．c〈b<a D．a<c〈b答案D解析∵tan70°>tan45°＝1，∴a＝log错误!tan70°<0．又0<sin25°〈sin30°＝错误!，∴b＝log错误!sin25°>log错误!错误!＝1,而c＝错误!cos25°∈(0，1)，∴b〉c〉a．7．(1)求函数y＝tan2x－错误!的单调区间；(2)比较tan错误!与tan错误!的大小．解(1）由于正切函数y＝tan x的单调递增区间是－错误!＋kπ，错误!＋kπ，k∈Z，故令－错误!＋kπ<2x－错误!〈错误!＋kπ，k∈Z,得－错误!＋kπ<2x<错误!＋kπ，k∈Z，即－错误!＋错误!〈x<错误!＋错误!，k∈Z．故y＝tan2x－错误!的单调递增区间是－错误!＋错误!，错误!＋错误!，k∈Z,无单调递减区间．（2）tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!，tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!,因为y＝tan x在0，错误!内单调递增,所以tan错误!〈tan错误!,即tan错误!〈tan错误!．8；④y ＝tan｜x|在x∈－错误!,错误!内的大致图象，那么由(a)到(d）对应的函数关系式应是( ）A．①②③④ B．①③④②C．③②④① D．①②④③答案D解析y＝tan（－x)＝－tan x在－错误!,错误!上是减函数，只有图象（d)符合，即(d)对应③．9．观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围．(1)tan x>1；（2）－错误!<tan x〈错误!．解（1）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝1．在区间错误!内，满足tan x〉1的区间是π4，错误!．又由正切函数的最小正周期为π，可知满足tan x〉1的x的取值范围是错误!（k∈Z）．（2）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝－错误!，tan错误!＝错误!．在区间错误!内，满足－错误!<tan x〈错误!的区间是－错误!，π3．又由正切函数的最小正周期为π,可知满足－33<tan x〈错误!的x的取值范围是错误!（k∈Z)．一、选择题1．当x∈－错误!,错误!时，函数y＝tan｜x｜的图象（)A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．没有对称轴答案B解析函数y＝tan|x｜是偶函数，其图象关于y轴对称．2．函数f（x）＝tanωx－错误!与函数g（x)＝sin错误!－2x的最小正周期相同，则ω＝( ）A．±1 B．1 C．±2 D．2答案A解析由题意可得π｜ω|＝2π|－2|,解得｜ω|＝1，即ω＝±1．3．下列各式中正确的是( )A．tan735°〉tan800° B．tan1〈tan2C．tan错误!〈tan错误!D．tan错误!〈tan错误!答案D解析tan错误!＝tan错误!＝tan错误!〈tan错误!，故选D．4．y＝cos x－错误!＋tan（π＋x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析y＝cos x－错误!＋tan(π＋x）＝sin x＋tan x．∵y＝sin x，y＝tan x均为奇函数，∴原函数为奇函数．5．若直线x＝错误!(－1≤k≤1）与函数y＝tan2x＋错误!的图象不相交，则k＝（)A．14B．－错误!C．错误!或－错误!D．－错误!或错误!答案C解析由题意得2×错误!＋错误!＝错误!＋mπ,m∈Z，解得k＝错误!＋m，m∈Z．由于－1≤k≤1，所以k＝14或－错误!．二、填空题6．关于函数f(x）＝tan错误!，有以下命题:①函数f（x）的周期是错误!；②函数f（x)的定义域是xx∈R且x≠错误!＋错误!，k∈Z;③y＝f(x)是奇函数;④y＝f（x)的一个单调递增区间为错误!．其中，正确的命题是________．答案①解析f(x）＝tan错误!的周期T＝错误!，故①正确；定义域为错误!，故②不正确；f（x）是非奇非偶函数，故③不正确；f(x)的单调递增区间为错误!，k∈Z，故④不正确．7．函数y＝tan（cos x)的值域是________．答案[－tan1，tan1]解析由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的性质求解．∵－π2<－1≤cos x≤1<错误!，∴－tan1≤tan（cos x)≤tan1．8．不等式tan错误!≥－1的解集是________．答案错误!解析由正切函数的图象,可知－错误!＋kπ≤2x＋错误!〈错误!＋kπ，k ∈Z，所以原不等式的解集为x－错误!＋错误!≤x〈错误!＋错误!，k∈Z．三、解答题9．函数f（x）＝tan（3x＋φ)图象的一个对称中心是错误!，0，其中0<φ〈错误!，试求函数f(x)的单调区间．解由于函数y＝tan x的对称中心为错误!,0，其中k∈Z．故令3x＋φ＝错误!，其中x＝错误!，即φ＝错误!－错误!．由于0〈φ<错误!,所以当k＝2时,φ＝错误!．故函数解析式为f（x）＝tan3x＋错误!．由于正切函数y＝tan x在区间kπ－错误!,kπ＋错误!(k∈Z）上为增函数．则令kπ－错误!<3x＋错误!<kπ＋错误!，解得kπ3－π4<x<错误!＋错误!，k∈Z，故函数f(x)的单调增区间为错误!－错误!，错误!＋错误!，k∈Z．10．设函数f(x）＝tan（ωx＋φ)错误!，已知函数y＝f(x)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为错误!，且图象关于点M错误!对称．（1)求f(x）的解析式;（2)求f（x）的单调区间;（3)求不等式－1≤f(x）≤错误!的解集．解(1）由题意，知函数f（x）的最小正周期T＝错误!，即错误!＝错误!．因为ω>0，所以ω＝2．从而f（x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x）的图象关于点M错误!对称，所以2×错误!＋φ＝错误!，k∈Z，即φ＝k π2＋错误!,k ∈Z ．因为0〈φ〈错误!,所以φ＝错误!． 故f (x ）＝tan 错误!．（2）令－π2＋k π〈2x ＋错误!<错误!＋k π，k ∈Z ,得－错误!＋k π<2x 〈k π＋错误!，k ∈Z ， 即－错误!＋错误!〈x <错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以函数f （x )的单调递增区间为－错误!＋错误!，错误!＋错误!,k ∈Z ,无单调递减区间．（3）由(1)，知f (x ）＝tan 错误!． 由－1≤tan 错误!≤ 错误!，得－错误!＋k π≤2x ＋错误!≤错误!＋k π,k ∈Z ， 即－错误!＋错误!≤x ≤错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以不等式－1≤f （x ）≤错误!的解集为错误!．。

《正切函数的性质与图象》教学设计一、教材内容分析：1、教学内容人教版A版，数学必修4，第一章，1.4.3“正切函数的性质与图象”《普通高中课程标准实验教科书·数学 4 （必修）》第一章第四节第三课时内容2、教材分析：本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数．正切函数的性质和图象是对前面已学函数以及三角函数知识的深化运用。

教材紧扣课题，先探究正切函数的性质，再作图，这与前面对正弦函数、余弦函数的研究恰好相反。

本节课提出先推导函数性质，再作图，又由图形发现新性质，再理性反思的处理方式，这样既能在性质的指导下，可以更加有效地作图，数形结合相得益彰，又能给学生提供更多研究数学问题的视角。

二、学习者特征分析：学生已经学习了正切的定义、单位圆中的正切线、诱导公式、正弦函数的图象和性质等，具备了学习本节课的知识基础．并且在学习基本初等函数时，已然形成了稳定的函数研究模式，即先画图、再性质．选择恰当的方法和过程来研究正切函数的性质，对学生来说也是一种考验。

三、教学策略选择与设计：我们知道研究函数常见两种方式，第一种方式是先根据函数解析式作出整体的函数图象．通过观察图象获得对函数性质的直观感性的认识，然后再把直观想象的内容用代数的语言加以抽象概括，进一步加以推理证明。

这种研究过程体现的思维模式是由“直观想象”到“抽象概括”，研究方法是由“整体”到“局部”；第二种方式是先用代数的语言抽象概括出函数的局部性质，再根据性质画出函数的整体图象，这种研究过程体现的思维模式是由“抽象概括”到“直观想象”，研究方法是由“局部”到“整体”；前面主要研究了正余弦函数的图象和性质，我们的研究方法是先画出函数的图象，观察图象得到函数的性质．这节课研究正切函数过程中要体会另一种思维模式，先研究函数的一些局部的抽象的性质，再通过性质画出函数的整体的直观的图象．使学生的研究函数的思维模式从“直观到抽象、整体到局部”突破到“抽象到直观、局部到整体”，研究过程也从“先图象后性质”突破到“先性质后图象”，这也是今后研究一个不熟悉的函数时的常用方法。

第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.学科=网2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 . 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在ππ(,)22-,π3π(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ；学-科网 (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【解析】由π33x -ππ2k ≠+得π5π318k x ≠+(k ∈Z )， 所以所求函数的定义域为π5π{|,318k x x x ∈≠+R 且，k ∈Z }； 值域为R ；函数πtan(3)3y x =-的定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数又不是偶函数；正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24. 由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：学-科网一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z ，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象． 【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )． 【答案】－π6或π3.【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.1．函数y =tan x 在其定义域上的奇偶性是 A ．奇函数 B ．偶函数C ．既奇且偶的函数D ．非奇非偶的函数2．函数y =tan （π2–x ）（ππ044x x ⎡⎤∈-≠⎢⎥⎣⎦，且）的值域为 A ．[–1，1] B ．[–1，+∞）C ．（–∞，1）D ．（–∞，–1]∪[1，+∞）3．函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是A ．πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，B ．π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，C ．ππππ2424k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，D ．π5πππ44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，，4．函数t =tan （3x +π3）的图象的对称中心不可能是 A ．（–π9，0） B ．（π18，0）C ．π018⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．5π018⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5．函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为A ．()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，B ．（k π，k π+π）（k ∈Z ）C ．()3ππππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，D ．()π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，6．下列关于函数y =tan （x +π3）的说法正确的是 A ．在区间（–π6，5π6）上单调递增 B ．最小正周期是π C ．图象关于点（π4，0）成中心对称 D ．图象关于直线x =π6成轴对称 7．函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为___________．8．已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且1+tan α≥0，则角α的取值范围是___________．9．函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期T =___________． 10．函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为___________． 11．观察正切曲线，满足条件tan x >1的x 的取值范围是___________． 12．求函数y =tan （π–23x ）的定义域、单调区间和对称中心．学-科网13．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围．（1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.14．下列各式中正确的是A ．tan47π>tan 37π B ．tan （–134π）<tan （–175π） C ．tan4>tan3D ．tan281°>tan665°15．直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离是A ．π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关16．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是17．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1218．函数y =tan （sin x ）的值域为A ．[–π4，π4] B ．[–22，22]C ．[–tan1，tan1]D ．以上均不对19．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．20．设函数()πtan 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数f （x ）的定义域和最小正周期； （2）求f （x ）的单调增区间； （3）求不等式–1≤f （x ）≤3的解集．21．求函数y =tan （3x –π3）的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．22．若函数f (x )＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．23．已知函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝. （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间； （2）试比较()πf 与3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小．1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 ADACDBCBAAC1．【答案】A【解析】正切函数y =tan x 的定义域是（–π2+k π，π2+k π）k ∈Z ，定义域关于原点对称，且对于定义域内的任意x ，满足f （–x ）=tan （–x ）=–tan x =–f （x ），所以函数y =tan x 在其定义域上是奇函数．故选A ．3．【答案】A【解析】πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=–tan （2x –π4），要使原函数有意义，则ππππ2π242k x k -+<-<+，解得ππ3ππ8282k k x -+<<+，k ∈Z ，∴函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，，故选A ． 4．【答案】C【解析】因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是（π2k ，0），k ∈Z ．令3x +ππ32k =，解得x =ππ–69k ，k ∈Z ；所以函数y =tan （3x +π3）的图象的对称中心为（ππ–69k ，0），k ∈Z ；当k =0、1、–1时，得ππ–69k =–π9、π18、–5π18，所以A 、B 、D 选项是函数图象的对称中心．故选C ． 5．【答案】D【解析】对于函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令k π–π2<x –π4<k π+π2，求得k π–π4<x <k π+3π4，可得函数的增区间为（k π–π4，k π+3π4），故选D ．7．【答案】3-【解析】由于函数f （x ）=tan x 在（–π2，π2）上单调递增，故函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故当x =–π3时，函数f （x ）取得最小值为–3，故答案为：3-． 8．【答案】[3π4，π） 【解析】1+tan α≥0，∴tan α≥–1，解得–π4+k π≤α<π2+k π，k ∈Z ．又α∈（π2，π），∴3π4≤α<π，即α的取值范围是[3π4，π）．故答案为：[3π4，π）． 9．【答案】π3【解析】根据正切函数的图象与性质得：函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期为：T =ππ3ω=．故答案为：π3． 10．【答案】2π【解析】函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为：T =ππ12ω==2π．故答案为：2π． 11．【答案】（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z 【解析】观察正切曲线：当tan x =1时，x =ππ4k +，k ∈Z ，由tan x >1，可得ππππ42k x k +<<+．故答案为：（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z ．12．【解析】对于函数y =tan （π–23x ）， 令12x –π3≠k π+π2，k ∈Z ， 解得x ≠2k π+5π3，k ∈Z ，故函数y 的定义域为{x |x ≠2k π+5π3，k ∈Z }． 令k π–ππ–223x <<k π+π2，k ∈Z ， 解得2k π–π3<x <2k π+5π3，k ∈Z ， 故函数y 的单调增区间为（2k π–π3，2k π+5π3），k ∈Z ；无单调减区间． 令ππ–232x k =，k ∈Z ， 求得x =k π+2π3，k ∈Z ， 故函数y 图象的对称中心为（k π+2π3，0），k ∈Z ． 13．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .14．【答案】C【解析】函数y =tan x 在（–π2，π2）上单调递增．A ，tan 47π=tan （–37π），∴tan 47π<tan 37π，故A 错误．B ，tan （–134π）=tan （–π4），tan （–175π）=tan （–2π5），则tan （–134π）>tan （–175π），故B 错误．C ，tan4=tan （4–π），tan3=tan （3–π），则tan （4–π）>tan （3–π），即tan4>tan3，故C 正确．D ，tan281°=tan （–79°），tan665°=tan （–55°），则tan281°<tan665°，故D 错误，故选C ． 15．【答案】B【解析】直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离正好等于y =tan x 的一个周期，即直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离为π，故选B ．学-科网 16．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 17．【答案】A【解析】解法一：验证：当φ＝－π6时，2x ＋φ＝2×π12－π6＝π6－π6＝0，∴tan(2x ＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－π6.解法二：由题意，得2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，令k ＝0时，φ＝－π6，故φ可以是－π6.18．【答案】C【解析】∵–1≤sin x ≤1，且函数y =tan t 在t ∈[–1，1]上是单调增函数，∴tan （–1）≤tan t ≤tan1，即–tan1≤tan （sin x ）≤tan1，∴函数y =tan （sin x ）的值域为[–tan1，tan1]．故选C ． 19．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．（3）由题意，k π–π4≤π23x -≤k π+π3， 可得不等式–1≤f （x ）≤3的解集π4π{|2π2π}63x k x k k +≤≤+∈Z ，． 21．【解析】由ππ3π32x k -≠+，解得π5π318k x ≠+，k ∈Z ； ∴所求的定义域为π5π{|}318k x x x k ∈≠+∈R Z ，且，； 函数的值域为R ， 周期为T =ππ3ω=， f （x ）的定义域不关于原点对称，∴f （x ）是非奇非偶的函数； 令–π2+k π<3x –ππ32<+k π，k ∈Z ， 解得–π18+π3k <x <5π18+π3k ，k ∈Z ， ∴函数y 在区间()πππ5π318318k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，上是增函数．③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 23．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<，∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【思路分析】（1）将函数化为()π3tan()46x f x =--，然后根据正切函数的周期和单调性求解． （2）由题意可得()π3π5ππ3tan,3tan 12224f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，根据函数tan y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可得π5πtantan 1224<，从而可得()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。

§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。

正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

5.4.3 正切函数的性质与图象知识点 函数y ＝tan x 的图象与性质 解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 上都是增函数状元随笔 如何作正切函数的图象 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法 “三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线． [教材解难]1．教材P 209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．2．教材P 210思考可以先考察函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．[基础自测]1．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 解析：由正切函数的图象可知D 正确． 答案：D2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D3．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．π D．2π解析：解法一 函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|，可得T ＝π|2|＝π2.解法二 由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.答案：B4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y ＝tan x 在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.答案：＜题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )． 【解析】 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为 {xx ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }.(2)要使y ＝lg(3－tan x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x >0x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z. 求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠k π＋π2 k∈Z等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x的定义域为( ) A.{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z(2)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 解析：(1)函数y ＝1tan x 有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x {x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z}＝{x {x ≠k π2，k ∈Z }.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以所求函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．答案：(1)D (2)见解析 (1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0 (3)真数大于0(4)正切函数x≠k π＋π2，k∈Z题型二 正切函数的单调性及其应用 例2 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调区间． 【解析】 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，得－π12＋k π3<x <π4＋k π3(k ∈Z )．所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调递减区间为（－π12＋k π3，π4＋k π3）(k ∈Z )．状元随笔 先利用诱导公式将函数转化为y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，再由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k∈Z)解出x 即可.方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．跟踪训练2 本例(2)函数变为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4，求该函数的单调区间．解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是（2k π－π2，2k π＋32π），k ∈Z .题型三 正切函数图象与性质的综合应用[教材P 212例6] 例3 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3的定义域、周期及单调区间． 【解析】 自变量x 的取值应满足 π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 即x ≠2k ＋13，k ∈Z .所以，函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k ＋13，k ∈Z .设z ＝π2x ＋π3，又tan(z ＋π)＝tan z ，所以tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x ＋2)＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.因为∀x ∈{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }都有tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x ＋2)＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3， 所以，函数的周期为2.由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z 解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z . 因此，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z 上单调递增.利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 教材反思解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解析：(1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )．得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )．所以f (x )的定义域是{xx ≠5π3＋2k π，k ∈Z } 因为ω＝12，所以最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )，故函数f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23π，0，k ∈Z .(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是{xπ6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z }. 由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点． 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的范围确定x 2－π3的范围是本题的难点．思想方法 与三角函数相关的函数零点问题例 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，32π时，确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数．【分析】 tan x －sin x ＝0的根即为tan x ＝sin x 的根，也就是y ＝tan x 与y ＝sinx 交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．【解析】 在同一平面直角坐标系内画出y ＝tan x 与y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．【点评】 数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．课时作业 36一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．π D．2π解析：方法一 函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接利用公式，可得T ＝π|－4|＝π4. 方法二由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6－π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，所以周期T ＝π4. 答案：A2．函数y ＝1tan x (－π4<x <π4)的值域是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)解析：∵－π4<x <π4，∴－1<tan x <1，∴1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.答案：B3．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b >a >c D ．b <a <c解析：tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数且π>3>2>5－π>π2可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．答案：C4．函数y ＝3tan 2x 的对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，0(k ∈Z ) D.()k π，0(k ∈Z )解析：令2x ＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4(k ∈Z )，则函数y ＝3tan 2x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )，故选B.答案：B 二、填空题 5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋6x 的定义域为________．解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z6．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3]7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为________，图象的对称中心为________． 解析：最小正周期T ＝π2；由k π2＝2x －π4(k ∈Z )得x ＝k π4＋π8(k ∈Z )． ∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π4＋π8，0(k ∈Z )．答案：π2；⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4＋π8，0(k ∈Z ) 三、解答题8．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解析：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z，T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π＜12x －π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π＜x ＜4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．9．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.解析：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.[尖子生题库]10．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性． 解析：由函数y ＝|tan x |得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )－tan x ，k π－π2<x <k π(k ∈Z )，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．11由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .。