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小奥数论1-整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
小学小升初奥数知识：数的整除小学小升初奥数知识集锦：数的整除导语：下面是小编为您收集整理的数的整除相关知识，欢迎阅读!1.整除的概念在小学书中所学的自然数和零，都是整数。
同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数(或者说余数为零)，就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。
这时a叫做b 的倍数，b叫做a的约数。
例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15;也可以说15是3的倍数，3是15的约数。
由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：(1)被除数是整数，除数是自然数;(2)商是整数;(3)没有余数。
这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。
例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。
又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。
2.整除的性质(1)如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差(大减小)也都能被这个自然数整除。
换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差(大减小)仍是这个自然数的倍数。
例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除;即从6│18及6│42可知6│(18+42)、6│(42-18)。
(2)如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。
即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。
例如，7│28，28│84，那么就有7│84。
(3)如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。
也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。
例如，13│39，39×4=156，因此13│156。
(4)如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。
即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差(大减小)都不是丙数的倍数。
例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83(48+35=83)，也不整除13(48-35=13)。
数论知识点之整除与余数整除⼀、常见数字的整除判定⽅法1. ⼀个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；⼀个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；⼀个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. ⼀个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；⼀个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果⼀个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果⼀个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果⼀个数能被99整除，这个数从后两位开始两位⼀截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若⼲个有两个数字还有⼀个是⼀位数）的和是99的倍数，这个数⼀定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在⼗进制数中成⽴.）⼆、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b⼜能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．⽤同样的⽅法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a⼀定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质 5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为⾮0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；余数⼀、三⼤余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
1. 数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质整数a 除以整数b （b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
b ∣a ，读着b 能整除a;或a 能被b 整除；ba ，不能整除；① 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b 是a 的倍数，c 是b 的倍数，则c 肯定是a 的倍数；② 加减性：如果a|b 、a|c ，那么a|(b c);③ 因数性：如果ab|c ，那么a|c ，b|c;即如果ab 的积能整除c,则a 或b 皆能整除c; ④ 互质性，如果a|c ，b|c ，且（a,b ）=1,那么ab|c,即如果a 能整除c,b 能整除c ，且ab 互质，则ab 的积能整除c;⑤ a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。
2.2数的整除的判别法各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；余数一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：〔1〕能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
〔2〕能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
〔3〕能被4〔或25〕整除的特征：如果一个数的末两位数能被4〔或25〕整除，那么这个数能被4〔或25〕整除。
〔4〕能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
〔5〕能被8〔或125〕整除的特征：如果一个数的末三位数能被8〔或125〕整除，那么这个数能被8〔或125〕整除。
〔6〕能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
7〕能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：第1页共 7页1〕一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
2〕一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
3〕一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
4〕一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
〔如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求〕。
【经典例题1】一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
除法运算中的整除与余数知识点总结在数学中，除法是一种基本的运算符号，用于将一个数称为另一个数的倍数。
在除法运算中，我们常常遇到两个关键概念：整除和余数。
本文将对整除和余数的概念进行详细解释，并探讨其在数学运算和实际问题中的应用。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
我们可以用符号“|”来表示整除关系，例如，如果一个数a能够被另一个数b整除，则记作a | b。
例如，4 | 12 表示12能够被4整除，即12 ÷ 4 = 3，没有余数。
整除的应用非常广泛。
在数论中，整除是研究素数、因数分解、最大公约数和最小公倍数的基础。
在实际应用中，整除的概念经常用于整数的倍数关系、约数关系等。
二、余数的概念余数是指在除法运算中剩下的不够被除数整除的部分。
余数常常用符号“%”来表示。
例如，如果一个数a除以另一个数b得到的余数为r，则记作a % b = r。
例如，13 % 5 = 3，表示13除以5得到的余数为3。
余数的应用也非常广泛。
在计算机科学中，余数的概念经常用于判断一个数是否为偶数或奇数，进而进行条件判断。
在代数学中，余数的概念与同余关系有密切的联系。
三、整除与余数的性质与定理1. 若a | b 且 b | c，则a | c。
这是整除关系的传递性质。
2. 若a | b 且 b | a，则a = ±b。
这是整除关系的反对称性质。
3. 若a | b 且 a | c，则a | (pb + qc)，其中p和q为任意整数。
这是整除关系的线性性质。
4. 余数定理：对于任意整数a和正整数b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
这个定理说明了除法运算总能得到一个唯一的余数。
五、整除与余数在实际问题中的应用整除与余数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它们在实际问题中也起着重要的作用。
1. 日历计算：通过整除和余数的概念，我们可以计算任意一天是星期几。
小奥数论整除和余数知识点总结及例题Prepared on 21 November 20211.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。
b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除；①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
① 一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。
395864□82365，答案为5463925□01234，答案为1和8② 特殊求空格数根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为：7×11×13=1001;77×13=1001;99×11=1001;7×143=1001;根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa→ ×1001;求能被7整除的空格数 系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除）除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。
除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。
例如：2.3余数的判别法① 整除是余数为0的情况。
a ÷b=c …..0；此时，a=b ×c;b=a ÷c②有余数的情况：a÷b=c…..d（0﹤d﹤b）；此时，a=b×c+d;b=(a-d)÷c;c=(a-d)÷b记着：a≡d(modb)2.3.2余数的判别法（与整除相同）【注意】：当被除数是比除数小的非零自然数，则被除数为余数；当被除数比【例】将1，2,3,4，…，30从左往右依次排列成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？奇数位数字和：（0+9+8+…+1）×2+0+9+7+5+3+1=115偶数位数字和：3+2×10+1×10+8+6+4+2=53115-53=62；62÷11，余7；【例】求被13除余数是多少？解：注意13|111111，即每连续6个1是13的倍数，且2012除以6余2，所以答案为11．…无敌乱切，按1/2/3/4到2011的等差数列求和，看除以9的余数；定义:用给定的正整数m分别除整数a、b，如果所得的余数相等，则称a、b关于模m同余或a同余于b模m，记作a≡b(modm)，如56≡0（mod8），式子称为同余式，m称为该同余式的模。
充要条件：整数a,b对模m同余的充要条件是a-b能被m整除（即m|a-b）；或a≡b(modm)的充要条件是a=mt+b（t为整数）。
2.3.2.2基本定理同余关系具有自身性、对称性与传递性，即1）自身性：a≡a(modm);2）对称性：若a≡b(modm),则b≡a(modm);3）传递性：若a≡b(modm),b≡c(modm)，则a≡c(modm).2.3.2.3重要定理：一个同余式的加减乘及幂的运算定理1若a≡b(modm),n为自然数，则an≡bn(modm)；即a、b关于关于模m同余，则a、b的同倍数也关于模m同余；定理2若ca≡cb(modm),(c,m)=d（最大公约数）,且a,b为整数，则a≡b(modm/d).推论若ca=cb(modm),(c,m)=1,且a,b为整数，则a≡b(modm).定理3若a≡b(modm),a≡b(modn),则a≡b(mod[m,n]).推论若a≡b(modmi),i=1,2,…,n，则a≡b(mod[m1,m2,..,mn]).【例】将1996加上一个整数，使和能被9和11整除，加的整数尽可能小，那么加的整数是多少？1996≡16(mod99)；99-16=83定理4若a≡b(modm),则a n≡b n(modm),其中n是自然数。
两个同模同余式的加减乘运算若a≡b(modm),c≡d(modm),则可以将这两个同余式左右两边分别相加、相减或相乘：1）a+c≡b+d(modm);即和的余数等于余数的和2）a-c≡b-d(modm);即差的余数等于余数的差；3）ac≡bd(modm)；即积的余数等于余数的积；【例】316×419×813除以13所得的余数2.3.4只知被除数和余数，求除数或求商（注意余数比除数小）有余数的情况：a÷b=c…..d（0﹤d﹤b）；b=(a-d)÷c;或c=(a-d)÷b如果，只知a和d,求b或c【例】1111÷某2位数=（） (66)①余数不确定——余数的和【例1】63=m×（）+a90=m×（）+b130=m×（）+c,余数和为25；（63+90+130）=m×（）+（a+b+c）=m×（）+25（63+90+130-25）=m×（）258=m×（）258的约数有8个：1/2582/1293/866/43因为余数要小于除数，判断9﹤m﹤63；所以m=43②余数不确定——余数相同【例2】300=m×（商）+a262=m×（）+a205=m×（）+a,根据同余定理：m∣（300-262）=m∣（38）；m∣（262-205）=m∣（57）；m∣（300-205）=m∣（95）；满足两个即可，选数小的算，求同时满足能整除38和57，即求这两个数的公约数，分别有1和19，答案为19。
③余数不确定——余数的差【例3】97=m×（商）+a+329=m×（）+a变为94=m×（）+a,根据同余定理：m∣（94-29）=m∣（65）；65的约数有1/65,5/13，除数大于余数，排除1和65,5和13都满足；④余数不确定——余数的倍数【例4】61=m×（商）+2a90=m×（）+a变为180=m×（）+2a,根据同余定理：m∣（180-61）=m∣（119）；119的约数有1/119,7/17，除数大于余数，排除1和119,仅17满足；2.3.5幂和连乘积的余数——余数的周期性周期性的用法：可用以求某个数的若干次方的个位数：【例】32015的个位数：3的若干次方的个位数，依次枚举，找出循环规律，4个一个周期，2015除以4，余几为周期内第几个。
幂的余数的求法：先求底数的余数，再算底数的幂的余数的周期性，再根据指数相应的周期来确定最终的余数；【例】2015100除以7的余数：2015100≡6100≡1（mod7）6,36,196,1176…除以7的余数分别为6,1,6,1，2个为1周期，100÷2=50余0，故余数为1。
特殊情况：①【例】32014除以8的余数：32014≡91007≡1（mod8）9除8的余数为1，所以无论指数多少，余数皆为1。
【例】31625除以9的余数：【例】14389除以7的余数：【例】33335555+55553333除以7的余数：②作业5，2的3次方以上模8的余数皆为02.3.6中国剩余定理——物不知数（韩信点兵）【题目】今物知其数三三数剩二（数除三余数二意思）,五五数剩三,七七数剩二,问物几何（韩信点兵算所谓剩余定理）【解法】三人同行七十稀；把除以3所得的余数用70乘五树梅花廿一枝；把除以5所得的余数用21乘；七子团圆正半月；把除以7所得的余数用15乘除百零五便得知；把上述三个积加起来,除以105的余数即为得数；2×70+3×21+2×15=233233÷105=2…23；得数为23。
2.3.6.2物不知数：余数问题的通解：基本的枚举法①从除数大的开始枚举；②先找同时满足两个除数的最小符合数，再加这俩除数的最小公倍数，直到满足所有除数的最小的符合数；③再加所有除数的最小公倍数×n，直到符合题意；【例】3余2，5余3，7余2，求满足条件的数；【注意】①从除数大的着手；【例】5余4,97余1；1,98,195，得389；②找最小符合数时不要忽略商为0的情况；【例】某除48余23，除49余23；某最小的答案就是23；【例】例3：49余23,48余23；最小符合数为23，连续两个自然数的最小公倍数为其积；48×49能整除14，余数是0,23除14的余数，全是9。
③在所有除数的最小公倍数内一定能找到最小的满足数；④多个符合数必然是一个以所有除数的最小公倍数为等差的等差数列2.3.6.3物不知数：余数问题的通解：特殊情况①余数相同的——最小符合数就是余数，其他的为除数的最小公倍数的倍数+余数（即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数）；【例】5余4,7余4,9余4，最小的为4；【例】某除4、除5、除6皆余1，某=4/5/6的公倍数+1；②差相同的——余数都不相同但除数与余数的差相同的，最小符合数为除数的最小公倍数-差；其他符合数为除数的最小公倍数的倍数-差（也即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数）；【例】5余3,7余5,9余7：都补上两个的就都整齐了，所以为最小公倍数-2；为313；【例】5千多根火柴棍，10根一盒的分余9，9根一盒的分余8，8根一盒的分余7，7根一盒的分余6，6根一盒的分余5，5根一盒的分余4，问到底多少根火柴棍？10余9，9余8，8余7，7余6，6余5：【5,6,7,8,9】-1=【1,2,3,4,5,6,7,8,9，10】-1=2520-1=25192519+2520=5039【例】有不足100个苹果，如果是10个一堆，那么剩余9个；9个一堆剩余8个；6个一堆剩余5个；5个1堆剩余4个；3个一堆剩2个；求开始有多少个苹果【10,9,6,5,3】-1=89③和相同——余数都不相同的，但除数与余数的和相同的，可以转化为同余的，最小符合数就为最小的除数+余数；其他的符合数为除数的最小公倍数的倍数+和（也即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数）；【例】5余4,7余2,6余3：最小符合数为5+4=9；【注意】多个除数的时候一定先看有无特殊情况；先利用部分特殊规律的，再找一般的；【例】3余2,5余4,7余1，【例】3余1,5余2,7余2,11余3；先找同余，2+35,37+已满足的3个的最小公倍数；2.3.6.4物不知数：可以用来解决除以12和6的余数的算法：互质分解求A=123456……319被12/14/15/45/99除的余数；将12互质分解=4×3,求同时满足除以4和除以3的；A≡(1+2+3+ (319)≡(1+319)×319÷2≡160×319≡1×1（mod3）4余3,3余1，最小符合数为7，其他符合数为7+12×n所以A≡7（mod12）;【注意】①常见的互质分解有：12=4×3,14=2×7,15=3×5,45=5×9，99=9×11；105=3×5×7，其中105的频率最高；【例】5余4,97余1；1,98,195，得389；②99有两种算法，两位截断法和互质分解；求A=123123……123被99除的余数；︸123个123互质分解法：将99互质分解=9×11,求同时满足除以9和除以11的；A≡123×123≡6×6≡0（mod9）;A≡(62×123)-(61×123)≡123≡2（mod11）9余0,11余2，最小符合数为90，其他符合数为90+99×n所以A≡90（mod99）;两位截断法：A≡(23+31+12)×61+(1×23)≡66×61+24≡4026+24≡66+24③求A=……2016被495除的余数；︸100个2016互质分解法：将495互质分解=9×5×7,求同时满足除以9余0，除以5余1，除以11余9的物不知数，即为余数；2.3.6.4物不知数：非典型物不知数题目转为物不知数题目【例1】三个非0的连续自然数，分别是3、5、7的倍数，找出符合要求的最小的一组自然数；设n,n+1,n+2分别能被3、5、7整除，则n÷3余0，（n+1）÷5余0，（n+2）÷7余0，3余0，5余4，7余51954答案为54、55、56【例2】三个非0的连续自然数，分别是7、9、11的倍数，找出符合要求的最小的一组自然数；设n,n+1,n+2分别能被7、9、11整除，则n÷7余0，（n+1）÷9余0，（n+2）÷11余07余0，9余8，11余953350答案为350、351、352图1:2m+(m+1)=a=3m+1;图2:3n+2(n+1)=a=5n+2;图3:4x+3(x+1)=a=7x+3;所以，3m+1=5n+2，m=5n+13除3余1，除5余2；除7余3；根据物不知数通常求法，得出a=52作业6：如果倒过来不够减怎么办，-450时，前面加一个够减的7的倍数就可以；例2：19余9,23余7；用余数来取代，7+23的倍数，模19时，变为7+4的倍数，列举除19余9的数直到符合的，9,28,47，从47往回导出倍数为10，再往回算为237；与辗转相除法类似；。
