高考备考——深度总结函数恒成立求参数范围的解题秘笈

高考数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧第一篇：高考数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。

恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。

其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。

本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

2例1对于x∈R，不等式x-2x+3-m≥0恒成立，求实数m的取值范围。

2解：不妨设f(x)=x-2x+3-m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f(x)≥0(x∈R)，只需22]。

∆≤0，即(-2)-4(3-m)≤0，解得m≤2⇒m∈(-∞，2变形：若对于x∈R，不等式mx+2mx+3>0恒成立，求实数m的取值范围。

2f(x)=mx+2mx+3。

①当m=0时，3>0，显然成立。

②当m>0时，此题需要对m的取值进行讨论，设3)。

则△<0⇒0<m<3。

③当m<0时，显然不等式不恒成立。

由①②③知m∈[0，的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

22f(x)=ax+bx+c，由aax+bx+c>0关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数2f(x)=x-2kx+2，在x≥-1时恒有f(x)≥k，求实数k的取值范围。

例2已知函数解：令F(x)=f(x)-k=x-2kx+2-k，则F(x)≥0对一切x≥-1恒成立，而F(x)是开口向上的抛物线。

函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最大值。

（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最小值。

2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。

求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。

【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。

二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。

2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。

求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。

四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。

五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。

六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。

专题——求参数取值范围一般方法概念与用法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。

题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。

这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。

就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。

题型以及解题方法一，分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m a x a f x≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m i n a f x ≤，转化为函数求最值。

例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

解：根据题意得：21a x x +->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >例2．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a≥ ;若a≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.解:根据题意得,x+−2>1在x∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x在x∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a−)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令 =t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为< ,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可.∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且c a mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题随着高考数学的不断更新，函数含参量不等式在考卷中的出现和应用日益增多，其解题技巧也被考生广泛讨论。

在解决函数含参量不等式恒成立问题时，考生首先要掌握和理解相关知识点，其次要根据问题本身进行分析和解答。

首先，考生需要了解高考中函数含参量不等式恒成立问题的基本概念。

函数含参量不等式恒成立问题是指，当某个函数的参量满足一定条件时，函数的不等式即恒成立。

一般来说，函数的参量可分为定参量和自变量，函数的表达式中的不等式可以为大于、小于、大于等于或小于等于。

掌握了函数含参量不等式问题的基本概念，考生接下来要求解具体问题时，应在解题过程中，根据问题本身，对函数的参量和变量进行分类。

对定参量，应明确其取值范围；而对自变量，需要把不等式的等号两边分别等于零，根据合理判断及计算机计算，从而分析出解的取值范围。

再者，考生要在解决函数含参量不等式恒成立问题的过程中，注意把握函数的不等式的符号，尤其是在涉及大于、大于等于、小于或小于等于的问题时。

此时，考生要根据不等式等号两边的函数表达式综合分析，根据参量和自变量的变化范围，用计算机计算求解，并通过合理判断，得出结论。

最后，解决函数含参量不等式恒成立问题时，考生还应注意一些实际情况。

如函数的参量或自变量不是整数，考生可以采取近似处理，
根据判别准则，对满足条件的参量或自变量取适当的近似值。

综上所述，解决函数含参量不等式恒成立问题时，考生要掌握相关知识点，把握不等式的符号，并综合考虑实际情况。

只有掌握此类解题技巧，才能更好地解决高考中的函数含参量不等式恒成立问题，提高解题能力。

恒成立问题中含参范围的求解策略周云才数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为)x (f a >（或)x (f a <）在给定区间上恒成立max )x (f a >⇔（或min )x (f a <），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。

例1 当]1,(x -∞∈时，不等式0124)a a (x x 2>++-恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：因04x >，所以x x 22141a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛->-对]1,(x -∞∈恒成立，即有max x x22141a a ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛->-，由于x x 2141)x (f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=在]1,(-∞上是增函数，所以当1x =时，432141)x (f 11max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以.23a 2103a 4a 443a a 22<<-⇒<--⇒->-例2 设c b a >>且ca m cb 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a ( .4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

恒成立问题求参数范围的方法
嘿，朋友们！今天咱要来唠一唠恒成立问题求参数范围的方法，这可太重要啦！
比如说，你看那函数 f(x)=x^2+2ax+1，要是让它在某个区间上恒大于0，这不就得想法子找出 a 的范围嘛。

这就好比你要去寻找宝藏，得知道从哪里开始挖呀！
咱先来说说分离参数法。

就是把参数和变量分开来，让参数在一边，变量在另一边。

就像你把好东西和坏东西分开放一样，这样清楚明白！比如说有个式子 mx^2+2x-1>0 恒成立，咱就可以把 m 分离出来，m>1/x^2-2/x。

然后再去研究右边这个式子的最值，不就可以求出 m 的范围啦！
再来就是最值法啦。

你想想，要恒成立，那函数的最值是不是得满足条件呀？好比你要跑赢比赛，总得知道自己的最快速度才行嘛。

比如函数
f(x)=ax^3+bx^2+cx 在区间[1,2]上恒小于 2，那咱就求出这个函数在这个区间上的最大值，让它小于 2 不就得了。

还有图像法呢，通过画函数图像来直观地看出参数的范围。

这就像你看地图找路一样，一目了然呀！比如说知道一个函数的大致形状，然后根据恒成立的条件在图像上找找线索。

哎呀呀，这些方法各有各的好用之处。

分离参数法简单直接，最值法稳妥可靠，图像法直观形象。

所以说呀，恒成立问题求参数范围并不可怕，只要咱掌握了这些方法，就像有了一把钥匙，能打开那扇通往正确答案的门！遇到这种问题咱就不用愁啦，大胆去尝试，肯定能找到答案！。

恒成立求参数范围题解题技巧
嘿，同学们！今天咱就来讲讲恒成立求参数范围题的解题技巧，这可真是个让人又爱又恨的家伙啊！
比如说，给你这样一道题：对于任意 x，不等式x²+ax+1＞0 恒成立，求 a 的取值范围。

哇，是不是一下子有点懵？别急，听我慢慢道来。

首先呢，咱得看到关键信息，“恒成立”这三个字可太重要啦！就好像你要追一个心仪的对象，不管对方啥时候出现，你都得有办法应对，才能成功追求到嘛。

这时候就得用上我们的绝招啦！
第一种方法，判别式法。

咱先把不等式看成一个二次函数，这就像给它拍了张快照。

然后看看判别式，如果判别式小于 0，那它就恒在 x 轴上方，不就恒成立啦！就像天总是蓝的，你就不用担心下雨啦！像刚才那道题，咱用判别式来算一算，一下子就能找到 a 的范围啦！
再比如，给你这样一个例子：x²-2ax+2-a＞0 恒成立，这又咋搞？嘿嘿，还是用同样的办法呀，判别式出马，轻松搞定！
还有第二种方法，最值法哦！有时候我们得找到这个函数的最值，让最值都满足条件，那肯定就恒成立啦！这就好比你得把自己的底线守好，只要底线不出问题，那一切就都没问题啦！
哎呀呀，学会这些技巧，是不是觉得恒成立求参数范围题也没那么可怕啦？其实啊，数学就是这样，只要你掌握了方法，就能轻松应对！所以大家一定要多练习，多思考，把这些技巧都变成自己的武器，去攻克那些难题吧！相信你们一定可以的！加油哦！。

【高中数学解题秘籍系列(上)】————函数中恒成立问题解题策略函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点，函数类问题的解决思路最终都归结为函数性质、函数思想的应用。

恒成立问题，是高中数学中较为常见的一中题型，这类问题的解决通常涉及一次函数、二次函数、三角函数、指对数函数等函数性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性和创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型. 现在我们一起探讨一下具体问题.类型一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常利用赋值法求解，特别是对选择、填空题能很快求得.例1. 如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．2- D ．1-【解答】解：取0x =与4x π=-，则(0)4f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得1a =-故选：D ．【赏析】此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.()，．3+∞0在R 上01恒成立，所以 1，101a ∴=. )(22014a >--类型四、变量分离型——分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若规定与x 的取值范围内的任何一个数都有()()f x g a >恒成立，则()min ()g a f x <； 若对于x 取值范围内的任何一个数都有()()f x g a <恒成立，则()max ()g a f x >(其中max ()f x 和min ()f x 分别为()f x 的最大值和最小值).例4．已知三个不等式①2430x x -+<，②2680x x -+<，③2290x x m -+<．要使同时满 足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围．【解答】解：不等式①2430x x -+<，解得13x <<，②2680x x -+<，解得24x <<，同时满足①②的所有x 的值得23x <<，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2290x x m -+<在(2,3)x ∈上恒成立，即229m x x <-+在(2,3)x ∈上恒成立，又229x x -+在(2,3)x ∈上大于9，所以 9m ≤.例5. 函数()f x 是奇函数，且在[1,1]-上单调递增，又(1)1f -=-，若2()21f x t at -+≤对所 有的[1,1]a ∈-都成立，求t 的取值范围.【解答】解：据奇函数关于原点对称，(1)1f =,又()f x 在[1,1]-上单调递增，max ()(1)1f x f ∴==2()21f x t at -+≤ 对所有的[1,1]a ∈-都成立，因此，只需221t at -+大于或等于()f x 在[1,1]-上的最大值1 ,2221120t at t at ∴-+⇒-≥≥又对所有[1,1]a ∈-都成立,即关于a 的一次函数在[1,1]-上大于或等于0恒成立,222020t t t t ⎧-∴⎨+⎩≥≥ 2 0 2t t t ⇒=-≥或或≤ 即(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞【赏析】利用变量分离解决恒成立问题, 主要是要把它转化为函数的最值问题.类型五、数形结合型——直观求解例6. 若对任意的实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(,3)-∞B ．(-∞，3]C ．(,3)-∞-D ．(-∞，3]- 【分析】设|1||2|y x x =+--，对任意实数x ，不等式|1||2|x x a +-->恒成立转化为求函数|1||2|y x x =+--的最小值，画出此函数的图象，即可求得a 的取值范围.【解答】解：对任意的实数x ，令3,1|1||2|=21,123,2x y x x x x x -⎧⎪=+----<<⎨⎪⎩≤-≥在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可以看出，要使对任意的实数x不等式|1||2|x x a +-->恒成立，只需3a <-故选：C ．【赏析】(1)本题中若将对任意实数x,不等式|1||2|+-->恒成立, 求实数a改为对任意实数x,x x a不等式|1||2|+--<恒成立, 求实数a, 同样由图象可得3x x aa>；(2)对任意实数x, 不等式|1||2|x x a++->恒成立, 求实数a, 构造函数, 画出图象,得3a<.利用数形结合解决恒成立问题, 应先构造函数, 作出符合已知条件的图形, 再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系, 得出答案或列出条件, 求出参数的范围.恒成立的题型和解法还有很多, 只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质, 具体问题具体分析, 选用恰当的方法, 对问题进行等价转化, 就能使问题获得顺利解决. 只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力.。