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根轨迹例题题4-1 求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
（1）2(2)()23g K K s W s s s +=++解1）起点：两个开环极点1211p p -=-+-=--。
终点：系统有一个 2 z -=-开环零点。
2）实轴上根轨迹区间为 (2]-∞-，。
3）渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑ 求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)18021μϕ+==-22021k σ--=-=- 4）求分离点，会合点 由'()()'()()0D s N s N s D s -=得223(2)(22)0s s s s ++-++=整理得2410s s ++=解得12s =--22s =-+。
由于实轴上的根轨迹在()2-∞，区间内，所以分离点应为12 3.7s =-≈-。
5）出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()11809054.7144.7sc β=--=同理，2144.7sc β=- 。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-1(1) 根轨迹图（2）)22)(2()(2+++=s s s s K s W gK解1） 起点：系统四个开环极点为12340,2,1,1p p p j p j -=-=--=---=-+；终点：四个无限零点。
2） 渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)451354o μϕ+==±± 、21114k σ+-=-=-＋ 3） 分离点，会合点计算'()()'()()0D s N s N s D s -=整理得 3 (1)0s += 解得1,2,3 1s =- 4） 出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()1180901354590sc β=-++=-同理，290sc β=+ 。
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
根轨迹典型习题1、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 5.0)(1s 2.0(s k)s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )2s )(5s (s K10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(373520a a③ 分离点：02d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。
④ 与虚轴的交点： 特征方程为0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω010)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[32 解得⎩⎨⎧==ω7k 10与虚轴的交点（0，j 10±）。
根轨迹如图所示。
2、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s 2(s )1s (k )s (G ++=，试概略绘出系统根轨迹。
解： )21s (s 2)1s (K )1s 2(s )1s (K )s (G ++=++=根轨迹绘制如下：① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0-② 分离点： 1d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。
根轨迹如图所示。
3、已知单位反馈系统的开环传递函数)3s )(2s (s )5s (k )s (G *+++=，试概略绘出系统根轨迹。
解：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点：5131211+=++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
4、已知单位反馈系统的开环传递函数)1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++=，试概略绘出系统根轨迹。
1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---6320满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2解根轨如图解4-2所示：3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*ssszsKsG产生纯虚根为1j±的z值和*K值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG-+++++=*的闭环根轨迹图（要求3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。
（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。
