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种群的相互依存摘要：甲乙两种群的相互依存有三种形式：1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
本文分别对这三种相互依存的关系进行分析，从种群的增长规律出发，对Logistic 模型进行修改，建立两种群相互依存的模型。
并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析, 分别得出了两种群相互依存的条件。
关键词：Logistic 模型 微分方程组 稳定点 鞍点 平衡点 自治方程第一种情况的分析： （1.）模型假设1.以)(1t x 、)(2t x 表示甲、乙二种群在时刻t 的数量，1r 表示甲种群的固有增长率,)2,1(=i N i 分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量2.甲独自生存时，数量变化服从Logistic 规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。
3.乙种群没有甲的存在会灭亡,死亡率为2r ,甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic 规律)。
4.乙为甲提供食物是甲消耗的σ1 倍,甲为乙提供食物是乙消耗的σ2 倍(2.)模型建立:经过分析得到以下方程:)1()()1()(2211212222111211N xN x x r t x N x N x x r t x -+-=+-=••σσ (1)上式刻画了区域所考查的两种群的发展规律，即为依存模型.(3)模型求解:欲求此问题的相互依存的条件我们先来介绍以下的知识内容：微分方程理论性简介：此问题为动态过程，且建此模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。
为了分析这种稳定与不稳定我们常常不是通过求解微分方程，而是通过用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
基于logistic数学模型的种群增长规律全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：种群增长是生物学中一个重要的研究课题，从古至今，人们一直致力于探索各种生物群体的增长规律。
logistic数学模型被广泛应用于种群增长的研究中。
logistic模型由数学家皮埃尔·弗朗索瓦·热涅提出，用来描述种群在资源有限的情况下的增长趋势。
通过logistic模型，我们可以更好地理解种群增长的规律，并预测未来的发展走势。
让我们来了解一下logistic模型的基本原理。
在logistic模型中，种群数量随着时间的推移呈现出S形曲线的增长趋势。
该模型的基本方程可以表示如下：dN/dt = rN(1 - N/K)dN/dt表示种群数量N随时间t的变化率，r是种群固有的增长速率，K是种群的环境容量。
在这个方程中，第一项rN表示种群的自然增长，第二项-rN^2/K表示种群数量受到环境资源限制的补偿性减少。
当种群数量接近环境容量K时，增长速率趋于零，种群数量稳定在一个平衡值。
通过logistic模型，我们可以得出一些关于种群增长的规律。
种群数量不会一直呈指数增长，而是会在某个阈值处趋于稳定。
这是因为种群在资源有限的情况下，无法无限地增长下去。
种群的增长速率取决于种群固有的增长速率r和环境容量K。
当种群数量接近环境容量时，增长速率会减缓，最终趋于零。
种群数量的波动会受到环境因素的影响，如自然灾害、疾病传播等，从而影响种群的增长走势。
在实际应用中，logistic模型可以帮助我们更好地管理和预测种群的增长情况。
通过对种群数量、环境容量和增长速率等参数的测算，我们可以预测未来种群数量的变化趋势，及时采取控制措施，保护种群的生存和发展。
logistic模型还可以用于研究不同因素对种群增长的影响，为生态环境保护和资源管理提供科学依据。
基于logistic数学模型的种群增长规律，为我们深入了解种群发展的机理提供了重要的理论支撑。
3论述生态学的发展过程，并简述各个阶段的特点答：生态学作为一门学科的发展过程，大致可分为四个时期（过程）。
即公元十六世纪前为生态学萌发时期；公元十七世纪至十九世纪末为生态学的建立时期；二十世纪初至二十世纪五十年代，为生态学的巩固时期，二十世纪六十年代以后为现代生态学时期。
在生态学的巩固时期，以地区性特点为背景，分化为三个不同的学派，主要是欧洲学派、俄国学派和英美学派。
5 简述现代生态学的基本特点。
答：现代生态学十分重视生态学研究的尺度，尺度是某一现象和过程在时间和空间上所涉及到的范围和所发生的频率。
生态学承认的尺度有时间尺度、空间尺度和组织尺度。
6根据你对生态学学科的总体认识，谈谈生态学学科的特殊性答：生态学根据研究对象的生境划分，可划分为陆地生态学、海洋生态学、淡水生态学和岛屿生态学四个分支学科。
生态学根据研究性质可划分为理论生态学、应用生态学两类。
生态学研究的特殊性应该体现在研究对象和研究单位的特殊性。
上世纪40-50年代，动物生态学研究单位主要是种群，而植物生态学的研究单位是群落；60年代以后，生态学的研究单位是生态系统。
8 从负反馈调节入手，谈谈生态系统的自我调节功能答：负反馈控制可使系统保持稳定，由于生态系统具有负反馈的自我调节机制，所以在通常情况下，生态系统会保持自身的生态平衡。
生态平衡是一种动态平衡，当生态系统达到动态平衡的最稳定状态时，他能够自我调节和维持自己的正常功能，并能在很大程度上克服和消除外来的干扰，保持自身的稳定性。
10 简述生态系统的基本结构（组成）和基本功能答：生态系统的组成主要的由生物群落和无机环境两大部分构成。
生物群落包括生产者、消费者和分解者（还原者）三大功能类。
无机环境包括参加物质循环的无机元素和化合物、联系生物与非生物的有机物质及其它物理条件。
生态系统的基本功能是能量流动，物质循环和信息传递。
12 简述系统的概念与系统特征答：由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合而成的具有特定功能的有机整体。
比率型Holling-Leslie捕食模型的稳定性分析杨文彬;王艳娥;李艳玲【摘要】A class of ratio-dependent Holling-Leslie type predator-prey model was studied in the paper .The stability of positive equilibrium for the local system is discussed by the method of spectralanalysis .Meanwhile ,the existence of periodic orbits isshown .Secondly ,the Turing in-stability of the positive equilibrium for the reaction-diffusion system is also discussed by the same way ,and then by the upper and lower solution method ,the global stability is obtained .%研究一类比率依赖Holling-Leslie捕食-食饵模型.利用谱分析方法讨论了局部系统正常数平衡态的稳定性,进而说明周期轨道的存在性.利用同样方法讨论反应扩散系统正常数平衡态的Turing不稳定性,并通过上下解方法证明其全局稳定性.【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(046)001【总页数】5页(P20-24)【关键词】Holling-Leslie捕食模型;反应扩散系统;稳定性【作者】杨文彬;王艳娥;李艳玲【作者单位】西安邮电大学理学院 ,陕西西安 710121;陕西师范大学计算机科学学院 ,陕西西安 710119;陕西师范大学数学与信息科学学院 ,陕西西安 710119【正文语种】中文【中图分类】O175.26文献[1]提出了以下比率依赖的Holling-Leslie捕食模型:(1)这里,Ω⊂RN是有界光滑区域；n是定义在边界∂Ω上的三单位外法向量;u(x,t)、v(x,t)分别是食饵种群和捕食者种群的密度；是基于比率的Holling-Ⅲ型功能反应函数；di(i=1,2)分别是u、v的扩散系数；齐次Neumann边界条件表示种群在边界上的流量为零;u0(x)、v0(x)是非负连续函数；a、b、m、di(i=1,2)均为正常数。
lotka-volterra模型的假设全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：Lotka-Volterra 模型是描述捕食者和被捕食者之间相互作用的一个经典数学模型。
它由意大利数学家Alfred J. Lotka和美国数学家Vito Volterra分别在20世纪初提出，并成为生态学研究的基础之一。
该模型简单而直观地描述了捕食者和被捕食者之间的群体动态变化，可以帮助我们更好地理解生物群体之间的相互作用。
在Lotka-Volterra 模型中，我们首先假设只有两种生物群体：一种是捕食者，一种是被捕食者。
捕食者以被捕食者作为食物来源，而被捕食者则成为捕食者的猎物。
这两种群体之间的关系被描述为一种资源-消耗的关系，即捕食者消耗被捕食者以维持生存。
在这个模型中，我们做出了一些基本的假设，这些假设是建立模型的前提，也是对生态系统运作的简化描述。
以下是Lotka-Volterra 模型的基本假设：1. 环境对生物群体的影响是恒定的。
在模型中，我们假设环境对捕食者和被捕食者的影响是固定的，不会发生变化。
这样可以简化模型，使其更易于理解和分析。
2. 捕食者的增长率与被捕食者数量成正比。
在Lotka-Volterra 模型中，我们假设捕食者的增长率与被捕食者的数量成正比。
这意味着被捕食者的数量越多，捕食者的增长率越高，反之亦然。
3. 被捕食者的增长率与捕食者数量成负相关。
与捕食者相反，被捕食者的增长率与捕食者的数量成负相关。
这意味着捕食者的数量越多，被捕食者的增长率越低，反之亦然。
4. 每一个生物群体都在密集性独立环境中生存。
在模型中，我们假设每一个生物群体都在一个密集性独立的环境中生存，即捕食者和被捕食者的数量变化不受其他环境因素的影响。
5. 空间是均匀分布的。
我们还假设空间在生物群体之间是均匀分布的，即没有空间上的不均匀性会影响捕食者和被捕食者之间的相互作用。
这些假设是建立Lotka-Volterra 模型的基础，在研究捕食者和被捕食者之间的相互作用时，我们可以通过这些假设进行简化和分析。
N 种群的互惠模型的全局渐近稳定性＊李小丽, 李艳玲(陕西师范大学,数学与信息科学学院,陕西西安710062)摘 要: 文章研究了具有时滞N-物种互惠反应扩散系统及其相应的常微分系统。
利用一般反应扩散系统的上下解方法,得到了解的存在性和平衡态方程正解的全局渐近稳定性的充分条件。
这个结果导致了互惠反应扩散系统的持久性,平凡解和所有半平凡解的不稳定性和不存在非一致平衡解。
关键词: 互惠模型;反应扩散系统;时滞;常微分系统;全局渐进稳定性中图分类号:O 175.26 文献标识码: A 文章编号: 1007-9793(2009)02-0013-05本文讨论N 种群互惠反应扩散方程组解的存在性和平衡态方程正解的全局渐近稳定性。
所考虑的模型如下ut -L i u i =a i (x )u i 1-u i +∑Nj ≠i b i j u j +∑Nj ≠ic i j J i ＊u j ,t >0,x Ψ,i ,j =1,…,N .(1)具有下列初边界条件u iv=0,t >0,x Ψ,u i (t ,x )=ηi (t ,x ),t I ,x Ψ,I i =[-r i ,0],r i >0,i=1,…,N .(2)其中Ψ是R n (n ≥1)中具有光滑边界 Ψ的有界光滑区域,且u i分别表示N 个种群的密度。
v表示 Ψ外法线导数,对于任意的i ,j =1,…,N ,a i (x )>0是Ψ上的C α函数,b i j ,c i j 是非负常数,并且b i j +c i j >0,L i 是一致椭圆算子L i u i =∑nj ,k =1a (i )j k(x ) 2u i x j x k +∑nj =i b (i )j (x ) u i x j(3) J i ＊u i =u i (t -r i ,x )是离散型时滞;J i ＊u i =∫t-r iJ i (t -s )u i (s ,x )d s 是连续型时滞,J i 在R +上分片连续,易知,若u i (t ,x )=c ,则J i ＊u i =c。
时滞可以是离散型和连续型的任意组合。
(1)所对应的平衡态方程为 -L i u i =a i (x )u i 1-u i +∑N j ≠ib i j u j +∑N j ≠ic i j J i ＊u j ,xΨ,i ,j =1,…,N, u iv=0, x Ψ,i =1,…,N .(4)第29卷第2期2009年3月云南师范大学学报J o u r n a l o f Y u n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y V o l .29N o .2M a r .2009＊收稿日期:2008-09-17基金项目:国家自然科学基金(10571115),陕西省自然科学基础研究资助项目(2007A 11).作者简介:李小丽(1982-),女,山西省运城市人,硕士研究生,主要从事反应扩散方程研究.1 主要结论在这一节我们将给出(1)具有初边界条件(2)的解存在性和(4)正常数解的全局渐近稳定性的充分条件。
假设矩阵A 是非奇异的,其中A=(b i j +c i j )N x N , b i j +c i j =-1, i =1,…,N . 定理1 设A 是非奇异矩阵。
如果存在一常值向量M =(M 1,…,M N )T,使得A 0M ≥e ,那么下列结论成立(i )对于任意非负非平凡初值η=(η1(t ,x ),…,ηN (t ,x )),系统(1)-(2)有唯一的非负整体解u (t ,x )=(u 1(t ,x ),…,u N (t ,x ));(i i )平衡态方程(4)有唯一的正常数解ρ＊=(ρ＊1,…,ρ＊N );(i i i )(1)-(2)的解具有下列收敛性l i m t ※∞u (t ,x )=ρ＊,x Ψ. 其中e =(1,…,1)T,A 0=(-i j -c i j )N ×N ,b i j +c i j =-1,i =1,…,N .定理2 在定理1的条件下,常数解ρ＊=(ρ＊1,…,ρ＊N )是全局渐近稳定的,平凡解和所有半平凡解不稳定.进一步可知(4)没有非一致平衡解。
推论1 假设是非奇异矩阵,且满足∑Nj ≠ib i j +∑N j ≠ic i j ≤12,则当M=2e 时定理2中的所有结论均成立。
推论2 设定理1的条件满足,若对部分或全部i ,L i =1则定理2的所有结论均成立.特别对常微分方程结论正确。
2 预备知识本节给出一般具有时滞的抛物型方程组的一些结论,所考虑系统如下 u it -L i u i =f i(x ,U ,J ＊U ),t >0,x Ψ, u iv=0, t >0,x Ψ u i (t ,x )=ηi (t ,x ), t I i,x Ψ,i =1,…,N .(5)U =(u 1,…,u N ),J ＊U=V=(J 1＊u 1,…,J N ＊u N ),L i ,J i ＊u i ,I i 如第一节的定义。
f i(x ,U ,J ＊U )=a i (x )g i (U ,V )是U ,J ＊U 的非线性函数,且a i (x )≥0,x Ψ,g i (U ,V )不显含x 设U ＊≡(u i ,[U ]i );其中[U ]i 表示U 除了分量u i 外的向量。
令f i (x ,U ,V )=f i (x ,u i ,[U ]i ,V ),F (x ,U ,V )=(f 1(x ,U ,V ),…,f N (x ,U ,V )),集合S ≡{U C (Ψ):δ≤U≤M }。
引理1 设M ≡(M 1,…,M N ),δ≡(δ1,…,δN )是(5)的一对常数上下解且M≥δ,函数F (x ,U ,V )是L i p s c h i t z 连续函数,则对任意η(t ,x ) S ,系统(5)有唯一的整体解U (t ,x ) S 。
特别地,当M ≥0时,则对任意的非平凡初值η(t ,x )≥0,系统(5)有唯一的有界非负整体解。
·14·云南师范大学学报(自然科学版)第29卷 假设在S 中G (U ,V )=(g 1(U ,V ),…,g N (U ,V ))是拟单调递增的,由初值U (0)=M ,U(0)=δ得到迭代序列{U (m )}≡{u 1(m ),…,u (m )N },{U (m )}≡{u (m )1,…,u (m )N }。
线性迭代如下-L i u i (m )+(K I a i )u i (m )=(K i a i )u i (m -1)+a i g i (u i (m -1),[U ]i (m -1),J ＊U (m -1)),-L i u i(m )+(K I a i )u i(m )=(K i a i )u i(m -1)+a i g i (u i(m -1),[U ]i(m -1),J ＊U(m -1)),(6)u i(m )v = u i (m )v =0, i =1,…,N K i 是L i p s c h i t z 常数,M ,δ是常值向量,由文献[9]可知δ≤U (m )≤U(m +1)≤U(m +1)≤U(m )≤M (7)l i m m ※∞U (m )=ρ, l i m m ※∞U (m )=ρ m =1,…,N(8)且有δ≤ρ≤ρ≤M 。
综上所述,可以得到如下引理。
引理2 对于非线性函数f i(x ,U ,V ),设引理1的条件满足,则初值U (0)=M ,U(0)=δ时,由(6)构造的迭代序列{U (m )},{U (m )}有(8)成立;若ρ=ρ(≡ρ＊),则ρ＊是(5)的平衡态方程在S 中的唯一解,并且对任意初值η(t ,x ) S ,当t ※∞时,(5)的解U (t ,x )※ρ＊。
引理3 设引理1的条件满足,对于任意非负非平凡初值η(t ,x ),U=(u 1,…,u N )是(5)的解。
若ρ=ρ(≡ρ＊),存在t ＊>0使得δi ≤u i (t ,x )≤M i (t [t ＊-r i,r ＊],x Ψ,i =1,…,N ),则当t ※∞时,U (t ,x )※ρ＊。
3 主要结论的证明证明(i )(1)的反应函数如下f i (x ,U ,J ＊U )=a i (x )u i [1-u i +∑N j ≠ib i j u j +∑N j ≠ic i j J j ＊u j],i ,j =1,…,N .(9)这里f i (x ,U ,J ＊U )是L i p s c h i t z 连续函数,且有拟增性。
设M≡(M 1,…,M N ),δ≡(δ1,…,δN )是(1)的常数上下解,则取下解δ=0,因为a i (x )>0,M i >0,且取M i满足M i -∑N j ≠ib i j M j -∑N j ≠ic i j M j ≥1中的条件A 0M≥e ,由引理1可知,系统(1)-(2)有唯一非负整体解u (t ,x )=(u 1(t ,x ),…,u N (t ,x )).(i i )为了证明平衡态方程(4)正常数解的存在性,需选择适当非负上下解M ,δ。
因为a i (x )>0,M i >0,取M i 满足M i -∑N j ≠ib i j M j -∑N j ≠ic i j M j ≥1及充分小的δ≡(δ1,…,δN ),即取M i 满足定理1中条件A 0M ≥e ,利用引理2,由(6)所构造的迭代序列收敛到ρ≡(ρ1,…,ρN )和ρ≡(ρ1,…,ρN ),并且ρ≥ρ>0。
因为a i(x )>0,所以下列等式成立1-ρi +∑Nj ≠i b i j ρj +∑Nj ≠ic i j ρj =0,1-ρi +∑Nj ≠i b i j ρj +∑Nj ≠ic i j ρj =0 i ,j =1,…,N .(10)令ρi =ρi -ρi (i =1,…,N ),并将(10)对应两式相减,得到下面ρi 的齐次线性方程组-ρi +∑Nj ≠i b i j ρj +∑Nj ≠ic i j ρj =0, i ,j =1,…,N .(11)·15· 第2期李小丽,等: N 种群的互惠模型的全局渐近稳定性因为矩阵A 非奇异,所以ρi =0,即ρ=ρ(≡ρ＊),ρ＊是(4)的解。
(i i i )因为ρ=ρ(≡ρ＊),由引理2知,设M ≡(M 1,…,M N )满足A 0M ≥e 及充分小的δ>0,对于任意的初值η(t ,x )满足δ≤η(t ,x )≤M ,则当t ※∞时,(1)-(2)有解u (t ,x )=(u 1(t ,x ),…,u N (t ,x )),l i m t ※∞u (t ,x )=ρ＊.对任意非负非平凡初值η(t ,x ),设U i (t ,x )>0是抛物型方程 U it -L i U i =a i U i (M i -U i ), t >0,x Ψ U iv=0, t >0,x Ψ(12) U i (0,x )=ηi(0,x ), x Ψ, i =1,…,N .的解且有l i m t ※∞U i (t ,x )=M i ,其中M i是方程(12)的唯一正平衡解。
