四川大学微积分 函数的连续性(精选)

第三讲函数的连续性(The Continuity of function )阅读：第二章2.4pp.44pp.44——50,预习:第三章3.1pp.51pp.51——58,练习pp49--50习题 2.4:1至8;9,(1),(2),(3);10,(1),(3);14;15.作业pp49--50习题 2.4:9,(4);10,(2);11;12;13.2-4函数连续的定义及其性质2-4-1函数连续性的定义(1)定义：函数的连续性描述函数)(x f y =的渐变性态,在通常意义下，我们对函数连续性有三种描述：其一，当自变量x 有微小变化时,其函数y 的变化也是微小的；其二,自变量x 的微小变化不会引起因变量y 跳跃；其三，从几何上理解,连续函数的图形可以一笔画成,无间断.以上只是连续性的直观理解,实质上是相意的反复,在数学上要确切地刻画函数连续性概念,必须用极限作定量地描述:定义1:设函数f 在0x 的某邻域中有定义,若)()(lim 00x f x f x x =→,则称函数f 在点0x 连续,0x 称为是f 的一个连续点;否则就称f 在点0x 间断,0x 称为是f 的一个间断点.注一:函数f 在点x 0连续蕴含以下三个条件，缺一不可:(1)f 在x 0的某邻域有定义;(2)f 在点x 0的极限存在;(3)极限值等于函数值。

以上三条中带本质性的是第二条极限的存在性。

注二：函数f 在点x 0连续意味着极限运算与函数运算可交换，即)()lim ()(lim 000x f x f x f x x x x ==→→定义2:设函数f 在],(0x a 有定义,且)()(lim 00x f x f x x =−→,则称函数f 在点x 0左连续;设函数f 在),[0b x 有定义,且)()(lim 00x f x f x x =+→,则称函数f 在点x 0右连续.定义3:如果函数f 在开区间),(b a 中每一个点都连续,则称f 在),(b a 连续,记作),(b a C f ∈;如果函数f 在),(b a 连续,并且在点a 右连续、在点b 左连续,称f 在闭区间],[b a 上连续,记作],[b a C f ∈.(2)间断点分类：根据间断点的不同情况,可以将间断点分成以下三类:1可去间断点:若)(lim 0x f x x →存在，但不等于)(0x f ,称0x 是f 的可去间断点。

高等数学：（11）函数的连续性（第一章极限）
我们生活中有很多关于连续函数的例子，如我们的身高随着时间发生变化的过程，河水的流动，一个物体的运动轨迹等等，今天我们就来学习函数的连续性。

一个连续的函数是可以一笔画到底的，不需要间断，如下图：
函数连续的定义：设函数y=f(X)在点Xo的某一领域内有定义，如果当X→Xo时，f(X)的极限值等于f(Xo), 那么称函数f(X)在点Xo连续。

一般关于函数连续的题目都是给出一个分段函数，告诉我们该函数在某处连续，然后让我们求出分段函数中的未知参数。

我们只需要求出函数在题目给的连续点的极限值，并将极限值与函数在那一点的值建立一个等式，解出未知数。

有时题目还会让我们讨论左右极限的情况，如下例题：
谢谢观看。

微积分函数的连续性（函数不连续就不能用微积分进行研究吗）示波器正在检查方波信号一般的微积分教程，第一章就是函数，极限，连续。

接着讲导数，再后边讲拉格朗日中值定理等。

条件都是函数在闭区间内连续，在开区间内可导微积分也是可以用来研究函数不连续的点的。

典型的，用傅里叶级数合成方波信号方波信号函数在零点突然跳动，从负一跳动到正一，那这样的波形可以用正弦波和余弦波合成吗？这不止是个理论问题，也是个实际问题。

因为计算傅里叶级数系数只用到积分，没有用到微分，所以函数不连续点，也可以做傅里叶级数展开。

展开以后级数的和，在这点等于左极限和右极限的平均值。

由什么样的函数可以进行傅里叶级数展开这个问题，又引发了什么是函数的积分这个问题，实现了积分的黎曼定义到勒贝格积分定义的发展。

这不是玄学讨论，正余弦波的合成结果，可以用示波器实实在在看。

数学理论的发展也是受实际应用的激发而产生的，不是凭空想象出来的。

类似于瓦特刚发明蒸汽机的时代，没有人讨论发动机是不是必须有活塞这样的问题。

因为当时各种机械都需要将动力输出为旋转运动，所以发动机都是有活塞的。

等飞机刚发明以后，人们依然在飞机上采用活塞式发动机。

但是飞机飞行，不需要有轮子，只要有向后的推力就可以了。

所以以前发动机上，用于把往复运动转化为旋转运动的一套机制，在飞机上其实没有必要。

就有人想到了把活塞式发动机驱动螺旋桨的飞机更换为喷气发动机，把冗余的活塞去掉。

这样提高了能量转化效率，极大的提高了飞机的飞行速度。

这时候，讨论发动机是否必须有活塞，什么情景下需要活塞就有意义了。

那喷气发动机发明以前的发动机教科书，第一章一定不会给发动机分类，分成活塞式和非活塞式。

现在好多微积分教材，第一章讲函数，极限，连续，又给间断点做了分类，分成第一类间断点和第二类间断点。

就是类似喷气式发动机发明以后，发动机教科书第一章给发动机分类。

问题在于，喷气发动机人们在日常生活中，已经见过，所以讨论这个分类，学生觉得正常，一点也不觉得玄。

高等数学川大教材课后习题讲解高等数学是大学数学课程的重要组成部分，而川大教材则是高等数学教材中的一本经典之作。

课后习题是学生巩固知识、提高能力的重要途径。

本文将对高等数学川大教材中的部分课后习题进行讲解，帮助学生更好地理解和应用所学知识。

一、极限与连续1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(x)在点x = 2处的极限。

解析：根据极限的定义，当x趋近于2时，f(x)趋近于多少？我们可以直接代入x = 2计算f(x)的值，即可得到答案。

代入后，得到f(2) = 11。

因此，f(x)在点x = 2处的极限为11。

2. 设函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)，求f(x)在点x = 2处的极限。

解析：在这个题目中，当我们直接代入x = 2计算f(x)的值时，分母会为0，导致结果不确定。

为了解决这个问题，我们可以进行因式分解，得到f(x) = x + 2。

因此，在点x = 2处，f(x)的极限为4。

二、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数f'(x)。

解析：根据导数的定义，我们需要对f(x)进行求导操作。

对于多项式函数，求导时保持指数不变，系数乘上指数，并将指数减1。

因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，它的导数f'(x) = 6x - 2。

2. 求函数f(x) = e^x - sinx的导数f'(x)。

解析：在这个题目中，我们需要使用指数函数和三角函数的导数公式来计算导数。

根据指数函数和三角函数的导数公式，我们可以得到f(x)的导数f'(x) = e^x - cosx。

三、定积分与不定积分1. 求函数f(x) = x^3在区间[0, 2]上的定积分。

解析：对于定积分，我们可以使用求不定积分的方法来计算。

对于f(x) = x^3，我们先求得它的不定积分F(x) = 1/4 * x^4 + C。

然后，我们计算区间[0, 2]上的定积分值，即F(2) - F(0) = 1/4 * 2^4 - 1/4 * 0^4 = 4 - 0 = 4。