八年级数学上册 2.1 认识无理数教学设计 北师大版

北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。

本节内容是在学生学习了实数、有理数的基础上，引入无理数的概念，使学生了解无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生运用数学解决实际问题的能力。

教材通过丰富的实例和探究活动，让学生感受无理数的存在，体验数的概念的扩展，培养学生的数感。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数和有理数，对数的概念有一定的了解。

但是，学生对无理数的理解可能还比较模糊，需要通过具体的实例和实践活动来加深对无理数概念的理解。

此外，学生可能对无理数的存在感到困惑，需要教师通过讲解和引导，让学生逐渐接受无理数的存在。

三. 教学目标1.了解无理数的概念，理解无理数的存在和实际意义。

2.能够识别常见的无理数，如π、√2等。

3.能够运用无理数解决实际问题，提高运用数学解决实际问题的能力。

4.培养学生的数感，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：无理数的概念和实际意义的理解。

2.难点：无理数的识别和运用。

五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，让学生感受无理数的存在和实际意义。

2.实践活动法：通过实践活动，让学生加深对无理数概念的理解。

3.问题驱动法：通过提问和引导，让学生主动探索无理数的性质和运用。

六. 教学准备1.教材和教案。

2.投影仪和教学课件。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示生活中的实例，如圆的周长和面积的关系，引出无理数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解无理数的定义，通过具体的实例，让学生感受无理数的存在。

如π、√2等。

3.操练（10分钟）让学生进行练习，识别常见的无理数，加深对无理数概念的理解。

4.巩固（10分钟）讲解无理数的性质和运用，让学生通过实践活动，加深对无理数概念的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生的数感。

八年级数学上册2.1认识无理数教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册2.1认识无理数》这一节，主要让学生了解无理数的概念，掌握无理数的性质，以及学会用有理数和无理数表示实数。

教材通过生活中的实例引入无理数的概念，接着引导学生通过观察、思考、探究，掌握无理数的性质。

在这一过程中，学生需要理解无理数与有理数的区别，以及无理数在实际生活中的应用。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的概念和性质，具备一定的数学基础。

但是，对于无理数这一概念，学生可能较为陌生，难以理解。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，从生活实例出发，引导学生逐步理解无理数的概念，并掌握无理数的性质。

三. 教学目标1.让学生了解无理数的概念，知道无理数是一种实数。

2.让学生掌握无理数的性质，能够辨别一个数是有理数还是无理数。

3.让学生理解无理数在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：无理数的概念和性质。

2.难点：理解无理数在实际生活中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入无理数的概念，让学生在实际情境中感受无理数。

2.启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，从而掌握无理数的性质。

3.小组合作学习：让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示无理数的定义、性质和实际应用。

2.教学素材：准备一些生活中的实例，用于引入无理数的概念。

3.练习题：准备一些有关无理数的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如圆的周长、声音的频率等，引导学生思考这些实例与数学的关系。

进而提出问题：“你知道无理数吗？无理数是什么？”让学生分享自己对无理数的理解。

2.呈现（15分钟）教师利用课件，详细讲解无理数的定义、性质和特点。

同时，通过展示一些实际应用的例子，让学生了解无理数在生活中的重要作用。

2.1.1 认识无理数一、板书课题 师：同学们，今天我们来学习数怎么不够用了二、出示目标 师：为了学好本节课，请看本节课的学习目标学习目标会区别一个数是不是有理数三、自学指导 师：来看我们本节课的自学指导自学指导认真看课本21P 内容，要求：（1）怎样把两个小正方形剪开拼成一个大正方形，（2）完成做一做，思考这个数为什么不能用有理数表示五分钟后，比谁能快速的完成自学指导中的问题四、学自学（学生看书， 教师巡视，，督促每位学生认真看书）五、测与导1、问题一：怎样小正方形剪拼成一个大正方形，并求出它的边长，边长的平方等于A 引例1： 下面请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形，把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形。

引例2： a 可能是整数吗？说说你的理由. 引导学生从多个方面进行拼接，理解22=a ，a 不是整数，由于⋅⋅⋅==42,1122，越来越大，则a 不是整数.引例3： a 可能是分数吗？说说你的理由.因为943232 412121=⨯=⨯,结果都是分数,所以a 不可能是分数. 生总结:a 既不是整数,也不是分数,所以a 不是有理数.归纳总结：有理数包括：整数和分数.如果一个数既不是整数也不是分数，那么这个数不是有理数.2、做一做：(1) 如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？a 2=2a 12 b解：两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，得12+22=5，所以正方形的面积是5.(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？解：b2=5.①因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.②没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数.3、检测：随堂练习（引导学生回答正三角形的性质，强调书写格式）预设问题（1）正三角形的性质不会（2）格式书写不规范4、小结：本节课我们学习了不能用有理数表示的数六、练P 1必做：22选做：P 222七、教学反思：。

八年级数学上册2.1认识无理数教案新版北师大版一. 教材分析本节课的主题是“认识无理数”，是无理数概念的学习。

无理数是实数的重要组成部分，与有理数相对应。

学生在学习有理数的基础上，进一步认识无理数，理解无理数的性质和无理数在实际生活中的应用。

教材通过引入π、√2等具体例子，让学生感受无理数的存在，并通过观察、实验、推理等方法，引导学生认识无理数的概念。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数，对实数的概念有了一定的了解。

但无理数作为实数的一个分支，与有理数有很大的不同，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，需要结合学生的认知水平，采用生动形象的例子和直观的演示，引导学生理解和接受无理数的概念。

三. 教学目标1.让学生理解无理数的概念，认识无理数的存在。

2.让学生掌握无理数的性质，了解无理数在实际生活中的应用。

3.培养学生的观察能力、实验能力和推理能力。

四. 教学重难点1.教学重点：无理数的概念和性质。

2.教学难点：无理数的理解和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法、观察实验法、小组合作法等教学方法。

通过生动形象的例子和直观的演示，引导学生观察、实验、推理，从而理解和掌握无理数的概念。

六. 教学准备1.准备相关例题和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备相关教学素材，如π、√2等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数的概念，进而引出无理数的概念。

提问：“同学们，我们已经学习了有理数，那么你们知道有理数有哪些特点吗？今天我们将要学习一种新的数——无理数，你们猜猜无理数有哪些特点呢？”2.呈现（10分钟）利用多媒体展示无理数的定义和性质，让学生直观地感受无理数的存在。

呈现无理数的定义：“无理数是不能表示为两个整数比的数。

”呈现无理数的性质：“无理数是实数的一部分，与有理数相对应。

无理数不能精确表示，它们的小数部分是无限不循环的。

”3.操练（15分钟）让学生通过观察、实验、推理等方法，加深对无理数概念的理解。

2.1认识无理数第2课时教学目标【知识与能力】掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.【过程与方法】借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.【情感态度价值观】在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.教学重难点【教学重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【教学难点】无理数概念的建立.教学准备计算器、立方体、多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如−1,0,2,3,…)分数(如13,−25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.第二环节：新知构建面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)【思考】 a ,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,45,59,-845,211. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】 你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.3.例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.第三环节：课堂小结数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数第四环节：检测反馈1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A .面积为25的正方形B .面积为425的正方形C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数. 4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n . (2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.2.课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x ,则x ( )A .1<x <2B .2<x <3C .3<x <4D .4<x <52.一个正三角形的边长是4,高为h ,则h 是 ( )A .整数B .分数C .有限小数D .无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是 数.【拓展探究】4.设半径为a 的圆的面积为20 π.(1)a 是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a 的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.(2)a≈4.5.(3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米.(2)1.73米.板书设计2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.教学设计反思成功之处本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.不足之处对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.再教设计知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.初中数学公式大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

北师大版数学八年级上册《认识无理数》教案教学目标：1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数．2.通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力. 3．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作调学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神. 教学重点与难点：重点：无理数概念的建立过程；了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.难点：无理数概念的建立及估算；会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别．教法与学法指导：本节课是在上一节课对无理数定性分析的基础上，借助于计算器，采用估算等方法，对无理数的产生进行定性的研究.在教学中要强调让学生探究概念形成的过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调小组之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力.学生要借助工具多动手、动口、动脑，自主探究，提高学习的兴趣，进一步体会数学的地位和作用. 课前准备:多媒体课件、计算器. 教学过程：一、创设情境，导入新课教师：同学们还记得有理数是如何分类的吗？教师：很好！上节课我们了解到一些数，如a 2=2，b 2=5中的a ，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来探究这些数的真面目．设计意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.实际效果：激发学生的好奇心和求知欲，吸引学生注意力，引出本节课题“数怎么又不够用了”. 二、合作探究，发现新知探究一：计算器探索面积为2的正方形的边长a ．（课件展示） 教师：大家还记的我们上节课是怎样得到面积为2的正方形的吗？学生：有理数 整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数.分数 (如-13，25，911，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数?学生：把两个边长为1的小正方形，通过剪切、拼图拼成一个大的正方形，它的面积就是2.教师：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？你能不能估计大正方形的边长a在什么范围内？学生：（观察课件后回答）通过图形可以看出1＜a＜2.因为12=1，22=4，而a的平方等于2，所以1＜a＜2.教师：非常好！既然1＜a＜2，那么a是1点几呢？为什么？学生：（探究后回答）1.4＜a＜1.5．因为1.42=1.96，1.52=2.25，而a的平方等于2，所以1.4＜a＜1.5．教师：你能精确到它的百分位吗？千分位呢？万分位呢？下面给大家几分钟的时间，借助计算器进行探索.（学生小组合作，探索交流）教师：谁能说一下小组探索的结果？学生：a=1.4142．教师：恰好是1.4142吗？学生：约等于1.4142，在1.4142与1.4143之间.教师：还有几位小数？学生：无数位.它是一个无限小数.教师：对，大家可以看一下小明同学的探索过程.（展示课件）边长a面积S1＜a＜2 1＜S＜41.4＜ a＜1.5 1.96＜S＜2.251.41＜ a＜1.42 1.9881＜S＜2.01641.414＜ a＜1.415 1.999396＜S＜2.0022251.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜S＜2.00024449教师：如果继续探索下去，你会有什么发现？学生：这个数是无限小数而且不循环.教师：对，事实上，它是一个无限不循环小数.探究二：计算器探索面积为5的正方形的边长b（课件展示）教师：模仿上一个探索过程，你能探索面积为5的正方形的边长b吗？如果能，把探究的结果填入下表.边长b面积S保留整数＜b ＜＜S ＜保留十分位＜ b ＜＜S ＜学生：（小组合作，交流探索）把探究结果填入表格. 教师：谁能说一下你能得到什么结论？学生：b =2.23606…，它也是一个无限不循环小数.教师：同学们探索的非常好. 模仿刚才的探索方法，我们也可以探索体积为2的正方体的棱长.借助计算器，可以得到它的棱长为1.25992105…，它也是一个无限不循环小数.设计意图：借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是一个无限不循环小数，并从中感受无限逼近的数学思想.实际效果：通过探究让学生真切感受到无理数确实是无限不循环的，为无理数概念打下基础. 议一议（课件展示）：把下列有理数表示成小数，你发现了什么？ 3，45，59，845，211． 学生1：3=3.0，54=0.8，95=•5.0，•=71.0458，••=818.1112．学生2：我发现3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数．教师：好！上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，但是又不是循环的,是无限不循环小数.你能给这类数取个名字吗？生：无理数.教师：很好，哪位同学给无理数下个定义？ 学生：无理数就是无限不循环小数.教师：好，圆周率π=3，14159265…也是一个无限不循环小数,目前π值已精确计算到了将近65亿位，但是仍然不是一个精确的数值.故π是无理数.像上面研究过的a 2=2，b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数都是无理数．教师：理解无理数的概念一定要抓住哪两方面？ 学生：一是无限小数；二是不循环小数．教师：同学们一定要抓住这两点，只要有一点不符合，它就不是无理数.你能举出其他的无理数例子吗？保留百分位 ＜ b ＜ ＜ S ＜ 保留千分位 ＜ b ＜ ＜ S ＜ 保留万分位＜ b ＜＜ S ＜学生：(学生踊跃的)1.2345678987…，2π等等. 教师：无理数多不多？ 学生：多．教师：在我们生活中除了π以外，还有非常多的无理数.下面我们看例1，你能分清有理数和无理数吗？ 设计意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.教学效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.三、例题示范，应用概念 （课件展示）例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，34-，••75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，-π．学生：有理数有3.14，34-，••75.0；无理数有0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1), -π.教师：回答得很好，大家鼓励一下.只要你抓住了无理数的两个特征，你就能把它识别出来. 跟踪练习： 1．填空:0.351，π+1，.68.4，23-, 3.14159, -5.2323332…, -3π ，1.234567891011…(由相继的正整数组成).有理数有： ； 无理数有： ． 2．判断下列说法是否正确:(1)有限小数是有理数； （ ） (2)无限小数都是无理数； （ ） (3)无理数都是无限小数； （ ） (4)有理数是有限小数. （ ） 教师强调:1．无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 2．任何一个有理数都可以化成分数形式，而无理数则不能．例2 （1）设面积为10的正方形的边长为x ，x 是有理数吗？说说你的理由． (2)估计x 的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计． （3）如果结果精确到百分位呢？解：(1)由题意得x2=10，因为32=9，42=16，而 32 <x2<42．故3<x<4，所以x不是整数，没有一个分数的平方等于10，所以x不是分数．因为x即不是整数也不是分数，故x不是有理数．(2) 估计x≈3.2．(3) x≈3.16．设计意图：通过例1及练习的讲解，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类，培养学生总结归纳的能力.而例2属于数的估算.，进一步发展学生的思维判断能力.实际效果：通过师生的共同探究，形成对中学阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.四、课堂总结，盘点收获教师：通过本节课的学习你有哪些收获呢？你还存在疑问吗？学生：我的主要收获是认识了无理数，并且能把无理数与有理数区别开.有理数包括整数和分数，能够化成有限小数或者是无限循环小数,而无理数是无限不循环小数.教师：还有要补充的吗？学生：我还学会了π是无理数以及利用估算的方法探索无理数的范围.教师：大家总结的很全面.以后我们还会学到很多关于无理数的知识,希望同学们继续努力.设计意图：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成良好的学习习惯，提高学生的归纳总结能力，进一步发展学生的思维判断能力。

北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教案一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。

本节课的主要内容是让学生了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系，以及掌握一些估算无理数大小方法。

教材通过引入π和√2等实际例子，帮助学生建立起无理数的直观印象，进而引导学生通过观察、思考、探究，发现无理数的特点和性质。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的相关知识，对数的概念有一定的了解。

但是，学生对无理数的概念和性质可能感到陌生，理解起来有一定难度。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握无理数的概念。

三. 教学目标1.了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系。

2.能够运用逼近法估算无理数的大小。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.重点：无理数的概念和性质。

2.难点：理解无理数与有理数的关系，以及运用逼近法估算无理数的大小。

五. 教学方法1.采用情境教学法，通过引入实际例子，激发学生的学习兴趣。

2.采用探究教学法，引导学生通过观察、思考、动手操作，自主发现无理数的特点和性质。

3.采用讲解法，教师详细讲解无理数的概念和性质，引导学生理解和掌握。

4.采用小组合作学习法，鼓励学生互相讨论、交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备计算器、纸张等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示π和√2的实际应用场景，如圆的周长和物体尺寸的测量等，引发学生对无理数的兴趣。

同时，提出问题：“你们认为π和√2是什么类型的数？”让学生思考并发表观点。

2.呈现（15分钟）教师讲解无理数的概念，通过PPT展示无理数的定义和性质，让学生了解无理数的特点。

同时，举例说明无理数与有理数的关系，如π和√2都是无理数，而2和3是有理数。

3.操练（10分钟）教师提出问题：“如何估算无理数的大小？”引导学生运用逼近法估算无理数的大小。

北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计1一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。

本节课主要让学生了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系，以及掌握一些估算无理数大小的方法。

教材通过实例引入无理数的概念，让学生在实际问题中感受无理数的存在，并通过探究无理数的性质，使学生对无理数有更深入的了解。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数，对数的运算、平方根等概念有了一定的了解。

但学生对无理数的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和探究活动来逐步理解和掌握。

此外，学生可能对无理数的实际应用价值有一定的疑问，需要在教学中加以引导和解释。

三. 教学目标1.了解无理数的概念，能正确识别无理数和有理数。

2.理解无理数与有理数的关系，掌握无理数的性质。

3.学会估算无理数的大小，提高数的估算能力。

4.培养学生的探究能力和合作精神，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.无理数的概念和性质。

2.估算无理数的大小。

五. 教学方法1.实例引入：通过实际问题引出无理数的概念，让学生感受无理数的存在。

2.小组探究：学生进行小组讨论和探究，共同发现无理数的性质。

3.讲练结合：在讲解无理数的概念和性质的同时，结合练习题进行巩固。

4.数形结合：利用图形和图像帮助学生直观地理解无理数的大小。

六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，展示无理数的实例和性质。

2.练习题：准备一些有关无理数的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.图形工具：准备一些图形工具，如直尺、圆规等，用于数形结合的教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出无理数的概念，如“√2的平方等于多少？”，让学生感受无理数的存在。

2.呈现（10分钟）呈现无理数的定义和性质，如“无理数是不能表示为两个整数比的数”，并通过PPT课件展示一些无理数的实例，如π、√2等。

3.操练（10分钟）让学生进行一些有关无理数的练习题，如“判断以下哪个数是无理数？”、“计算√3的平方”。

第二章实数2.1 认识无理数(一)教学目标(一)知识目标:1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.(二)能力训练目标:1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观目标:1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学方法教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教学过程一、创设问题情境,引入新课［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.二、讲授新课1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.［生乙］因为，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做投影片§2.1.1 A(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？b是有理数吗？［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.［师］在这题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答.［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.三、课堂练习(一)课本P35随堂练习如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.(二)补充练习为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？解：a的值大约是2.2，这个值不可能是分数.四、课堂小结1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.2.能判断一个数是否为有理数.五、课后作业：见作业本。