【教案】§2.1 认识无理数(一)教学设计

北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。

本节内容是在学生学习了实数、有理数的基础上，引入无理数的概念，使学生了解无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生运用数学解决实际问题的能力。

教材通过丰富的实例和探究活动，让学生感受无理数的存在，体验数的概念的扩展，培养学生的数感。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数和有理数，对数的概念有一定的了解。

但是，学生对无理数的理解可能还比较模糊，需要通过具体的实例和实践活动来加深对无理数概念的理解。

此外，学生可能对无理数的存在感到困惑，需要教师通过讲解和引导，让学生逐渐接受无理数的存在。

三. 教学目标1.了解无理数的概念，理解无理数的存在和实际意义。

2.能够识别常见的无理数，如π、√2等。

3.能够运用无理数解决实际问题，提高运用数学解决实际问题的能力。

4.培养学生的数感，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：无理数的概念和实际意义的理解。

2.难点：无理数的识别和运用。

五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，让学生感受无理数的存在和实际意义。

2.实践活动法：通过实践活动，让学生加深对无理数概念的理解。

3.问题驱动法：通过提问和引导，让学生主动探索无理数的性质和运用。

六. 教学准备1.教材和教案。

2.投影仪和教学课件。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示生活中的实例，如圆的周长和面积的关系，引出无理数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解无理数的定义，通过具体的实例，让学生感受无理数的存在。

如π、√2等。

3.操练（10分钟）让学生进行练习，识别常见的无理数，加深对无理数概念的理解。

4.巩固（10分钟）讲解无理数的性质和运用，让学生通过实践活动，加深对无理数概念的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生的数感。

八年级数学上册2.1认识无理数教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册2.1认识无理数》这一节，主要让学生了解无理数的概念，掌握无理数的性质，以及学会用有理数和无理数表示实数。

教材通过生活中的实例引入无理数的概念，接着引导学生通过观察、思考、探究，掌握无理数的性质。

在这一过程中，学生需要理解无理数与有理数的区别，以及无理数在实际生活中的应用。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的概念和性质，具备一定的数学基础。

但是，对于无理数这一概念，学生可能较为陌生，难以理解。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，从生活实例出发，引导学生逐步理解无理数的概念，并掌握无理数的性质。

三. 教学目标1.让学生了解无理数的概念，知道无理数是一种实数。

2.让学生掌握无理数的性质，能够辨别一个数是有理数还是无理数。

3.让学生理解无理数在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：无理数的概念和性质。

2.难点：理解无理数在实际生活中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入无理数的概念，让学生在实际情境中感受无理数。

2.启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，从而掌握无理数的性质。

3.小组合作学习：让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示无理数的定义、性质和实际应用。

2.教学素材：准备一些生活中的实例，用于引入无理数的概念。

3.练习题：准备一些有关无理数的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如圆的周长、声音的频率等，引导学生思考这些实例与数学的关系。

进而提出问题：“你知道无理数吗？无理数是什么？”让学生分享自己对无理数的理解。

2.呈现（15分钟）教师利用课件，详细讲解无理数的定义、性质和特点。

同时，通过展示一些实际应用的例子，让学生了解无理数在生活中的重要作用。

2.1认识无理数（第1课时）执教人：陈守贤一、教学目标知识与技能1.学会用勾股定理寻找无理数；2.能判断三角形的某边长是否是有理数；3.能正确地进行判断某些数是否为有理数。

过程与方法1.通过勾股定理计算出某些直角三角形的边不能都用有理数表示，引出无理数在数学计算中是客观存在；2.通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；情感态度与价值观通过做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神，感受数学在描述客观事物中所起的作用。

二、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：师：如果一个数的平方是整数，这个数一定是整数吗？如果一个数的平方是分数，这个数一定是分数吗？下面我们就一起来研究这个问题。

实例1用学生学过的探索勾股定理用过的图，即以直角三角形两直角边和斜边分别为边作三个正方形。

设三角形两直角边分别为1和2、斜边为x。

问题：x是整数（或分数）吗？实例2把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．第三环节：获取新知内容：已知22a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：释1．满足22a=的a为什么不是整数？释2．满足22a=的a为什么不是分数？实例3已知，正三角形ABC的边长为2，高为h,h可能是整数吗?可能是分数吗?【释一释】：h为什么不是整数？为什么不是分数？归纳：上面三个实例中的x、a、h他们既不是正数也不是分数。

【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然一个数不是整数也不是分数，那么这个数一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础做一做在正方形网格中，先找出两条长度为有理数的线段，再找出两条长度不是有理数的线段。

2.1认识无理数教学目标【知识与能力】感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.【过程与方法】经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.【情感态度价值观】通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.教学重难点【教学重点】感受无理数产生的背景.【教学难点】会判断一个数是不是无理数.教学准备两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?第二环节：新知构建探究活动问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1:拼成后的正方形是什么样的呢?问题2:拼成后的大正方形面积是多少?问题3:若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a 不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展] 正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA 的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P 表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.第三环节：课堂小结通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.第四环节：检测反馈1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长 ( )A .是有理数B .不是有理数C .不确定D .4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 ( )A .16B .25C .2D .4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为 ,长度不是有理数的线段为 .答案:略第五环节：布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习及教材习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 .【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b 2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499.解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499.4.略板书设计2.1.1认识无理数1.拼接正方形.2.做一做.3.a ,b 存在,但不是有理数.教学设计反思成功之处大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.不足之处在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解. 再教设计设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.。

2.1认识无理数（第一课时）一、教学目标叙写１．学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1．２．学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数”（无理数）的存在.３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解．二、教学重难点１．重点：让学生经历无理数的发现过程.２．难点：会判断一个数是否为无理数．三、教学过程（一）、情景引入［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.1、思考：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？（二）、自主探究1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？［生甲］a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a 2=2.［生丙］由a 2=2可判断a 应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数. ［生乙］因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a 不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a 这样的数，由此看来，数又不够用了.活动内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】将两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形.设这个大的正方形的边长为a,a 满足什么条件？【议一议】： 已知22a =，请问：①a 可能是整数吗？②a 可能是分数吗？【释一释】：释1．满足22a =的a 为什么不是整数？释2．满足22a =的a 为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a 不是整数也不是分数，那么a 一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础（四）、整理反思1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？2.1认识无理数（第二课时） 一、教学目标叙写1、学生通过预习教材22-23页,初步感知无理数的估算过程．2、学生通过合作探究“活动1”部分，让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想，通过学生的活动2并探究得出无理数的概念.3、学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．4、学生通过完成“五、当堂评价”，能正确地对给出的数进行分类，加深对有理数和无理数的理解．二、教学重难点１．重点：了解无理数与有理数的区别并能正确判断.２．难点：无理数概念的建立及估算，会判断一个数是无理数还是有理数．三、教学过程（一）、复习引入1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…)有理数分数(如31，52-，119，0.5，… )2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.（二）、自主探究1.探索无理数的小数表示请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.(归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数).［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如 1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.［生］因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.［生］因为 1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.［生］因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.［生］我的探索过程如下.［师］还可以继续下去吗？［生］可以.［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.2.探索有理数的小数表示，明确无理数的概念思考：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？——分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.3，112,458,95,54，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.［生］3=3.0，54=0.8，95=•5.0， •=71.0458，••=818.1112 ［生］3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数. ［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a ，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.（三）、合学应用例1：填空：0.351， 4.96••-，0.4583，•7.3，－π，－71，18. 3.14159， 6， －5.2323332…，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 ：判断下列说法是否正确：(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限数. （ ）（四）、整理反思1．无理数的定义.2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3．请把已学过的数怎样分类？易错点： .（五）、当堂评价1、以下各正方形的边长是无理数的是（ ）(A)面积为25的正方形；(B)面积为254 的正方形； (C)面积为8的正方形； (D)面积为1.44的正方形.2.已知：在下数中254 ，5，1.42••-，π，3.1416，32，0，24，2n (1)- ，－1.424224222…， （1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.（六）、变练拓展1. 设面积为5π的圆的半径为a .(1)a 是有理数吗？说说你的理由.(2)估计a 的值(精确到十分位，并利用计算器验证你的估计).(3)如果精确到百分位呢？解：∵πa 2=5π∴a 2=5(1)a 不是有理数，因为a 既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数.(2)估计a ≈2.2.(3)a ≈2.24.。

《认识无理数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解无理数的概念，区分有理数和无理数。

（2）学生能够识别常见的无理数，并掌握无理数的表示方法。

2、过程与方法目标（1）通过实际问题的探究，培养学生的观察、分析和归纳能力。

（2）在数的扩充过程中，让学生体会从特殊到一般、从有限到无限的数学思维方法。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的奇妙与魅力，激发学生对数学的兴趣。

（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重难点1、教学重点（1）无理数的概念。

（2）无理数与有理数的区别。

2、教学难点（1）无理数概念的形成。

（2）对无理数的准确判断。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程1、导入新课通过讲述一个关于正方形边长的问题引入：一个正方形的面积是2，那么它的边长是多少？学生可能会想到边长是\（＼sqrt{2}＼），但对\（＼sqrt{2}＼）的认识可能比较模糊。

从而引出本节课的主题——认识无理数。

2、探索新知（1）有理数的回顾先回顾有理数的概念，包括整数和分数。

让学生列举一些有理数，并总结有理数的特点，即可以表示为两个整数的比值。

（2）无理数的产生通过计算边长为 1 的正方形的对角线长度，引导学生发现\（＼sqrt{2}＼）不能表示为两个整数的比值，从而引出无理数的概念。

（3）无理数的概念讲解无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。

（4）常见的无理数介绍一些常见的无理数，如\（＼pi\）、＼（＼sqrt{3}＼）、＼（＼sqrt{5}＼）等，让学生对无理数有更直观的认识。

3、巩固练习（1）判断下列数哪些是有理数，哪些是无理数：314，＼（＼frac{22}｛7}＼），＼（＼sqrt{9}＼），＼（＼sqrt{2}＼），***********…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）（2）在数轴上表示出\（＼sqrt{2}＼）和\（＼pi\）。

4、小组讨论组织学生分组讨论以下问题：（1）无理数与有理数有什么区别和联系？（2）如何判断一个数是无理数还是有理数？5、课堂总结（1）回顾无理数的概念、常见的无理数。

北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教案一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。

本节课的主要内容是让学生了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系，以及掌握一些估算无理数大小方法。

教材通过引入π和√2等实际例子，帮助学生建立起无理数的直观印象，进而引导学生通过观察、思考、探究，发现无理数的特点和性质。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的相关知识，对数的概念有一定的了解。

但是，学生对无理数的概念和性质可能感到陌生，理解起来有一定难度。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握无理数的概念。

三. 教学目标1.了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系。

2.能够运用逼近法估算无理数的大小。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.重点：无理数的概念和性质。

2.难点：理解无理数与有理数的关系，以及运用逼近法估算无理数的大小。

五. 教学方法1.采用情境教学法，通过引入实际例子，激发学生的学习兴趣。

2.采用探究教学法，引导学生通过观察、思考、动手操作，自主发现无理数的特点和性质。

3.采用讲解法，教师详细讲解无理数的概念和性质，引导学生理解和掌握。

4.采用小组合作学习法，鼓励学生互相讨论、交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备计算器、纸张等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示π和√2的实际应用场景，如圆的周长和物体尺寸的测量等，引发学生对无理数的兴趣。

同时，提出问题：“你们认为π和√2是什么类型的数？”让学生思考并发表观点。

2.呈现（15分钟）教师讲解无理数的概念，通过PPT展示无理数的定义和性质，让学生了解无理数的特点。

同时，举例说明无理数与有理数的关系，如π和√2都是无理数，而2和3是有理数。

3.操练（10分钟）教师提出问题：“如何估算无理数的大小？”引导学生运用逼近法估算无理数的大小。

第二章实数§2.1 认识无理数(一)教学目标(一)知识目标:1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.(二)能力训练目标:1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观目标:1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学方法教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教学过程一、创设问题情境,引入新课提问：同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?答：在小学我们学过自然数、小数、分数.进一步提问：在初一我们还学过负数.答：对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.二、讲授新课1.问题的提出提问：请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？答：好.(学生非常高兴地投入活动中).经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.小结：现在我们一齐把大家的做法总结一下：教师：下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？答案1：a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数.答案2：因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a 2=2.答案3：由a 2 =2可判断a 应是1点几.教师：大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.我们的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数. 因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a 不可能是分数. 经过大家的讨论可知，在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a 这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？b 是有理数吗？请大家先回忆一下勾股定理的内容.在直角三角形中，若两条直角边长为a ，b ，斜边为c ，则有a 2+b 2=c 2.在这题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b ，根据勾股定理得b 2=12+22，即b 2=5，则b 是有理数吗？请举手回答.因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b 不可能是整数.没有两个相同的分数相乘得5，故b 不可能是分数.因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.大家分析得很准确，像上面讨论的数a ，b 都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a 2=2中的a 不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.三、课堂练习(一)课本P 21随堂练习如图，正三角形ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD =1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得h 2=3.h 不可能是整数，也不可能是分数.四、课堂小结1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.2.能判断一个数是否为有理数.五、作业课本P22 §2.1 1、2六、课堂检测为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？七、板书设计八、教学后记复杂的学习领域应针对学习者先前的经验和兴趣，只有这样，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的.本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，同时通过学生的反思：a既不是整数，那么a究竟是什么样的数呢？让学生感受到学习无理数的必要性.在教学过程中，教师要关注学生对“a既不是整数，也不是分数”的理解和应用过程，从而发展学生的数感，借助计算器进行了探索正方形边长的活动，得到无理数存在的必然性，对这个结论再给予一定的理论分析，从中体会数的发展，关注学生能否准确地利用计算器进行探索活动.。

义务教育教科书数学八年级上册（北京师范大学出版社）2.1认识无理数教学设计一、教学内容与内容解析（一）教学内容人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，学生在七年级上学期有了一次“数不够用了”的经历，从而使数的范围扩大到了有理数。

本节在上一章勾股定理及有理数的基础上再一次让学生感受“数怎么又不够用了”从而引入新数“无理数”将数的范围扩大到实数。

（二）教学内容解析本节课是北师大版八年级数学第二章实数的第一节“认识无理数”，本节课通过各种丰富多彩的数学活动，让学生体会无理数产生的背景，以及无理数存在的必要性和合理性，同时借助计算器探索无理数是无限不循环小数，从中体会无限逼近的思想。

本节课上一章勾股定理应用的进一步深化，同时又是实数概念及运算的开始，起着承上启下的作用。

本节内容是本章的起始课，具有承上启下的作用.既要进行相关知识的教学，又要帮助学生掌握研究一个数学对象的一般思路与方法，初步形成数学思维方式，实现对研究内容的整体建构，有助于培养学生分析问题、解决问题的能力．二、教学目标与目标解析（一）教学目标1、让学生亲自动手做拼图活动以及勾股定理的应用，让学生感受无理数产生的实际背景，以及无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2、经历探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别的过程，会判断一个数是有理数还是无理数.3、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.4、通过了解有关无理数发现的历史，培养他们为真理而奋斗的献身精神。

5、理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。

（二）教学目标解析本节内容是本章的起始课，既要进行相关知识的教学，又要让学生感悟研究一个数学对象的一般思路与方法，实现对本章内容的整体建构.充分调动学生的积极性，培养他们的勇于探索、独立思考以及合作精神，提高他们的辨识能力以及有条理的表达能力.三、教学问题诊断分析（一）学情分析八年级的学生已经积累了一些数学活动经验，也经历了一次数系的扩充，但无理数不象有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，学生理解起来会有些困难。