2019-2020学年度衡水中学高三年级下学期期中考试理科数学试卷(含答案和解析)

【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合二项式系数和的性质可得 即 ，写出二项式展开式的通项公式 ，令 即可得解。
【详解】由题意 ，解得 ，则 ，
则二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 即 ，则 .
故选：A。
【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了运算求解能力，属于基础题。
7。祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第 位，也就是 和 之间,这一成就比欧洲早了 多年，我校“爱数学"社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示,模型内置一个与其各个面都相切的球,该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了 个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）
【详解】不等式变形为 ,
即 ,设 ，
则不等式 对任意的实数 恒成立，
等价于 对任意 恒成立,
，则 在 上单调递增，
，即 对任意 恒成立，
恒成立，即 ，
令 ，则 ,
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
时， 取得最小值 ,
，即 ，
的最小值是 。
故选：B
【点睛】本题考查函数，导数,不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想,计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形 ,并能构造函数并转化为 对任意 恒成立,属于难题。
【详解】设正方体的边长为 ，则 ，即正方体棱长为 ,。球 的球心为正方体的中心，以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ,则A（3，0，0)， ，B（3，3，0)， ,D（0，0，0），

n 2n1
,
Tn
1 20
2 21
n 2n1
1 2
Tn
1 21
2 22
n 2n
两式相减得：
1 2
Tn
1 20
1 21
1 2n1
n 2n
2
n2 2n
Tn
4
n2 2n1
··························································9
分
代入 Tn 2n1 n 50 得 2n n 26 0 ·····································10 分
1 3
，求得
a
4或
1，可得
P(4, 4)
或
P(1,
1)， 4
2
当
P(4, 4)
时，
|
PM
|
5
，|
PA |
55 2
，
| PF | | PA |
| PM | | PA |
5 55
25 5
；
2
5
当
P(1, 1) 时，| PM 4
|
5 4
，| PA |
55 4
| PF | ，| PA |
| PM | | PA |
16． 5 5
16【解析】抛物线 x2 4 y 的焦点 F (0,1) ，准线方程为 y 1 ，
过点 P 作 PM 垂直于准线， M 为垂足，则由抛物线定义可得 | PF || PM | ，
当
M
与
A 重合时，
| PF | | PA |
| |
PM PM
| |

4
故选：A.
12.【答案】D
【解析】由题意可知 f ′(= x)
aex (x
−1)
+
1 x
−
x= 12
0
有两个不等根.即
ae
x
(
x
−
1)
=−
x− x2
1
,
x ∈ (0, 2) ,有一根 x = 1 .另一根在方程 1 = −x2ex , x ∈ (0, 2) 中,令 h(x) = x2ex , x ∈ (0, 2) , a
上式对 n = 1 也成立，
可得数列
{an
}
是首项为
1，公比为
1 2
的等比数列，
可= 得 S5
1= − 215 1− 1
31
．
16
2
故答案为： 31 ． 16
15. ①②
16.【答案】 6π 【解析】如图，设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 O1 ，在平面 BCD 内的射影为 O2 则二面角 A − BC − D 的平面角为∠AMD ,点 A 在截面圆 O1 上运动，点 D 在截面圆 O2 上运 动，由图知，当 AB = AC ，BD = CD 时，三棱锥 A − BCD 的体积最大，此时 ∆ABC 与 ∆BDC
是等边三角形,
高三数学理科试题 第 1 页(共 10 页)
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设 BC = a ，则 A= M D= M
3 2
a ， S∆BCD
=
3 a2 . 4
=h AM sin(π −= ∠AMD)
6 3
a
, VA− B= CD
1 3
S∆DBC= ⋅ h

2019-2020学年河北省衡水市第三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设等比数列的前项和为，若，，则公比A．1 B.2 C．4 D．8参考答案：C2. 设a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列四个命题中正确的是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥bD．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】对四个选项中的命题依据相关的立体几何知识逐一判断即可【解答】解：对于选项A，将一个圆锥放到平面上，则它的每条母线与平面所成的角都是相等的，故“若a，b与α所成的角相等，则a∥b“错；对于选项B，若a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系可能是平行，相交或异面，故B错；对于选项C，若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b是正确的，两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的；对于选项D，由面面平行的定理知，一个面中两条相交线分别平行于另一个平面中的两条线才能得出面面平行，故D错．故选C．【点评】本题以立体几何中线面位置关系为题面考查了命题真假的判断，熟练掌握空间中点线面的位置关系是解答的关键3. 点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D如图所示，不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分．由可得，故．的几何意义为直线的斜率，故当点与点重合时直线的斜率的最小，此时．4. 等差数列的前n项和为，且，则（）(A)8 (B)9 (C)1 0 (D) 11参考答案：B略5. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A正六棱柱的左视图是一个以AB长为宽，高为2的矩形，所以左视图的面积为，选A.6. 已知、均为锐角，若的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：C7. 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.参考答案：A略8. 设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α参考答案：D【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，?α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D9. 已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，给定点，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D考点：函数与方程10. 若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】z（1﹣i）=|1﹣i|+i，化为z=，再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：∵z（1﹣i）=|1﹣i|+i，∴z===+i，∴z的实部为．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域是，单调递减区间是________________________．参考答案：（-∞，0）∪（2，+∞）， (2，＋∞)12. 如图，椭圆C：，与两条平行直线：，：分别交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD的面积为，则直线AD的斜率为________．参考答案：【分析】设D的坐标，四边形的面积等于2个三角形的面积之和可得D的横坐标，代入椭圆方程求出D的纵坐标，进而求出直线AD的斜率．【详解】解：设，由椭圆的对称性，可得，由题意，所以，代入椭圆中可得，即，所以，所以直线AD的方程为，故答案为：【点睛】本题考查了直线与椭圆的知识，待定系数法是解决本题很好的途径，准确运算是解题的关键.13. 过点且与相切的直线方程为．参考答案：14. 在中，,则的面积等于_________.参考答案：15. 若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为．参考答案：﹣540【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】依据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：若的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为=﹣540，故答案为：﹣540．16. 文：已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和________．参考答案：17. 已知中AC=4，AB=2，若G为的重心，则。