河北衡水中学2020届高三年级考试理数答案

第一节集合知识回顾1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法A B或B A集合的并集集合的交集集合的补集A∪B＝A∩B＝∁A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课前检测1.已知数集A ＝{0,1,x ＋2},那么x 的取值集合为 ( )A ．{x |x ≠－2}B ．{x |x ≠－1}C ．{x |x ≠－2且x ≠－1}D ．x ∈R2.下列判断正确的命题个数为( )①a ∈{a };②{a }∈{a ,b }；③{a ,b }⊆{b ,a };④∅⊆{0}．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3.集合A ＝{1,2,3}的非空真子集的个数为( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ .5.设全集U ＝R ,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2＜x ＜4},则A ∩B ＝ ____________；A ∪B ＝____________；A ∪∁U B ＝____________．课中讲解考点一. 集合的基本概念例1. 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．变式1.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .例2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98变式2．已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( ) A ．(8，＋∞) B ．[8，＋∞) C ．(16，＋∞)D ．[16，＋∞)考点二. 集合间的关系例1.设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P变式1.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？变式2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________．变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.考点三 集合的运算例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2D ．4变式1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}例2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．6变式2．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6例3．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( ) A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3}变式3．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( ) A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝R C ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2} D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R考点四．集合的新定义问题例1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 变式1.给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．例2．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9变式2．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3}课后习题一 单选1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381xB x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,42．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合{}|21x A x =>，{}2|560B x x x =+-<，则AB =（ ）A ．()1,0-B ．()0,6C ．()0,1D ．()6,1-3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2-4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合{}2*20,A x x x x N =--<∈，集合{B x y ==，则集合A B 等于（ ）A ．1B ．[)1,2C ．{}1D ．{}1x x ≥5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}6．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P ∩Q =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<7. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．218．已知全集U ＝{x ∈Z|0＜x ＜8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅ B ．{(4,0)，(3,0)} C ．[－3,3]D ．[－4,4]10．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2，－1)∪(－1,0]C ．[0,1)∪(1,2]D ．[－2,0]11．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}； ②{x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝ln xx ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪1，e]；④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1，x ＋1x ，x ∈[1，2]. 其中“互倒集”的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二．多选12. (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0,1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集13．(多选)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中是真命题的有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集 三．填空14. 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________.四．解答题16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．参考答案1.已知数集A ＝{0,1,x ＋2},那么x 的取值集合为 ( )A ．{x |x ≠－2}B ．{x |x ≠－1}C ．{x |x ≠－2且x ≠－1}D ．x ∈R答案：C解析：因为集合的元素满足互异性,所以x ＋2≠0且x ＋2≠1,得x ≠－2且x ≠－1,故选C ． 2.下列判断正确的命题个数为( ) ①a ∈{a };②{a }∈{a ,b }；③{a ,b }⊆{b ,a };④∅⊆{0}． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个答案：C解析：①元素与集合的关系的表示方法,正确； ②两个集合之间的关系,不正确； ③正确； ④∅是任何集合的子集,正确,故选C ．3.集合A ＝{1,2,3}的非空真子集的个数为( ) A ．3个 B ．6个 C ．7个D ．8个 答案：B解析：若一个集合的元素个数为n ,则其子集个数为2n , 真子集的个数为2n －1,非空子集的个数为2n －1, 则非空真子集的个数为2n －2,故选B.4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ . 答案：8解析：问题可转化为求集合{3,4,5}的子集个数,即集合A 的个数为8.5.设全集U ＝R ,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2＜x ＜4},则A ∩B ＝ ____________；A ∪B ＝____________；A ∪∁U B ＝____________．答案：{x |2＜x ≤3} {x |1≤x ＜4} {x |x ≤3或x ≥4}解析：在数轴上分别表示出集合A ,B ,∁U B ,即得∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}． 课中讲解考点一. 集合的基本概念例1. 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式1.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 例2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.变式2．已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( ) A ．(8，＋∞) B ．[8，＋∞) C ．(16，＋∞)D ．[16，＋∞)解析：选C 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k >4，所以k >24＝16，故选C. 考点二. 集合间的关系例1.设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P变式1.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． [解析] 例1.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，故选C.变式1.∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (1)C (2)(－∞，3]例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？ 解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________． 答案 P ⊆Q解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P ⊆Q变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.【思路点拨】判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直接观察或通过元素特征，求同存异，定性分析．解:A ={0,-4}.若B ⊆A ,则B =∅,{0},{-4},{0,-4}.当B =∅时,则x 2+ax +a =0无解,所以a 2-4a <0,解得0<a <4; 当B ={0}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根0,所以a =0;当B ={-4}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根-4,所以a 2-4a =0且14-4a +a =0,无解; 当B ={0.-4}时,则x 2+ax +a =0有两个根0和-4,无解.综上,存在实数 a 满足 0≤a <4,使得B ⊆A .【点评】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．空集是任意集合的子集,解题时不能忽视! 考点三 集合的运算例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=， 解得2a =-.故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 变式1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选A【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.例2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，AB 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题..变式2．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.例3．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3}答案 BD解析 ∵A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |－1<x ≤2}，A 不正确；A ∪B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |－2≤x ≤2}＝{x |－2≤x ≤3}，B 正确；∵∁R B ＝{x |x <－2或x >2}，∴A ∪∁R B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |x <－2或x >2}＝{x |x <－2或x >－1}，C 不正确；A ∩∁RB ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |x <－2或x >2}＝{x |2<x ≤3}，D 正确．变式3．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是() A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R答案 ABD解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．考点四．集合的新定义问题例1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}变式1.给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．[解析] 例1.因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，所以A ⊗B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}．(2)①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中，设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③中，令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z}，则A 1，A 2为闭集合，但3k ＋2k ∉(A 1∪A 2)，故A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．[答案] (1)D (2)②例2．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13， 则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2， 共有7个元素，故选B.变式2．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3} 解析：选B 由log 2x ＜1，得0＜x ＜2，所以P ＝{x |0＜x ＜2}．由|x －2|＜1，得1＜x ＜3，所以Q ＝{x |1＜x ＜3}．由题意，得P －Q ＝{x |0＜x ≤1}.课后习题一 单选1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,4 【答案】B【详解】∵集合{}2|20A x x x =-≤∴{}02A x x =≤≤∵集合{}|1381x B x =<<∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤<∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂=故选B.2．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合{}|21x A x =>，{}2|560B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,6C ．()0,1D ．()6,1-【答案】C 【详解】{}{}{}0|21|22=|0x x A x x x x =>=>>， {}{}{}2|560|(6)(10|61B x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<），∴A B =()0,1．故选：C.3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2- 【答案】C 【详解】{}{}2914027B x x x x x =-+<=<<, {2U B x x ∴=≤或}7x ≥，{}(]()323,2U A B x x ∴⋂=-<≤=-.故选：C.4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合{}2*20,A x x x x N=--<∈，集合{B x y ==，则集合A B 等于（ ） A ．1B ．[)1,2C ．{}1D ．{}1x x ≥ 【答案】C 【详解】由题得{}{}{}2**20,12,1A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=N N ， {{}{}{}222log 0log log 11B x y x x x x x x ===≥=≥=≥，{}1A B ∴⋂=.故选： C. 5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4} 【答案】C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)AB ==. 故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.6．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则PQ = A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x << 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==.故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.8．已知全集U ＝{x ∈Z|0＜x ＜8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{(4,0)，(3,0)}C ．[－3,3]D ．[－4,4]解析：选D 由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R}，所以M ∩N ＝[－4,4]．故选D.10．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2，－1)∪(－1,0]C ．[0,1)∪(1,2]D ．[－2,0]解析：选D 依题意可得x (1－x ＋a )>0.因为其解集为{x |－1≤x ≤1}的子集，所以当a ≠－1时，0＜1＋a ≤1或－1≤1＋a ＜0，即－1＜a ≤0或－2≤a ＜－1.当a ＝－1时，x (1－x ＋a )>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a ≤0.11．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集： ①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝ln x x ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪1，e]；④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪ y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1，x ＋1x ，x ∈[1，2]. 其中“互倒集”的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 对于①，当－2＜a ＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2－4x ＋1＜0}＝{x |2－3＜x ＜2＋3}，所以12＋3＜1x ＜12－3，即2－3＜1x ＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln x x是增函数，当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，y ∈[－e,0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ，所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎡⎭⎫25，125∪⎣⎡⎦⎤2，52＝⎣⎡⎦⎤25，52且1y ∈⎣⎡⎦⎤25，52，所以④是“互倒集”．故选C.二．多选12. (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( )A ．数域必含有0,1两个数B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集答案 AD解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b＝1∈P ，故可知A 正确． 当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确． 当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确．根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．13．(多选)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中是真命题的有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集答案 AB解析 两个复数的和、差、积仍是复数，且运算后的实部、虚部仍为整数，所以集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集，A 正确．当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，B 正确．对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，C 错误．取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1不属于T ，故T 不是封闭集，D 错误．三．填空14. 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________. 答案 1解析 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1,1}，满足题意．四．解答题16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}．∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．∴∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}．(2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A .当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1＜a ≤3.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]．。

河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由导数几何意义得 ，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知 ，所以 ，
，当且仅当 时等号成立．
故选：A．
4.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则 的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于 的等式，即可得出结果.
【详解】因为 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
由题意可得 ，可得 ，当 时， ，
故选：D.
5.已知函数 部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称
C. 在区间 上的最小值为 D. 的图象关于直线 对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合“五点法“作图，求出函数 的解析式，再逐项判断作答.
详解】观察图象知， ，而 ，解得 或 ，
函数 周期 ，由图象知 ，即 ，因此 ，
解得 ，由五点作图法知， ，当 时， ；当 时， ，不符合题意，
所以 ， ， ，
的最小正周期为 ，A不正确；
因为 ，即 的图象关于点 不对称，B不正确；
当 时， ，则 ， 在区间 上的最小值为 ，C不正确；
因为 ，因此 的图象关于直线 对称，D正确.
河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2021-2022年河北衡水中学同步原创月考卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）i 1A i ∈11iA i -∈+5i A ∈i A -∈U R =(){}(){}2|21,|ln 1,x x A x B x y x -=<==- {}|1x x ≥{}|1x x ≤{}|01x x <≤{}|12x x ≤<()()()13222,1log 2,1x e x f x x x +⎧<⎪=⎨≥⎪-⎩()2f f =⎡⎤⎣⎦2e22e 2e ˆˆˆy bx a =+ˆb ˆb ˆb 0.87-222p q +=2p q +≤2p q +>222p q +≠,,a b c a b a c =b c =():01x p y a a a =>≠且:sin q y x =p q ∧2000:,310p x R x x ∃∈-+≥2:,310p x R x x ⌝∀∈-+<.O ABC -120AOB ∠=AOC BOCO ABC -3233 23 13 03233{}n a 1241,6a a a =+=n N *∈()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-02f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭12n n n a c a =+{}n c n n S 2122n n n +-214122n n n -++-22122n n n ++-24122n n n ++-()y f x =x ()()2f x f x +=11x -≤<()sin 2f x xπ=()()()log 0,1a g x f x x a a =->≠且 ()10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦()10,5,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()11,5,775⎛⎤⎥⎝⎦[)11,5,775⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 3n a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭{}n a ()11,0n a a n N *=>∈n n S {}n S 12n n S a +,x y 0,50,30,x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩()()222m x y x y +≤+()()221,x x e x e x f x g x x e +==()12,0,x x ∀∈+∞()()121g x f x k k ≤+ 三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 32BA BC ⋅=a c +18.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分） 已知是边长为3的等边三角形，点D,E 分别是边AB,AC 上的点，且满足将DE 折起到的位置，并使得平面（1）求证： （2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线与平面所成角的正切值的最大值. 20.（本小题满分12分）OAB S OAB ODE S ODE .（本小题满分12分）()()()()213121ln 0.2f x x a x a a x a =-+++>()f x 1x =320x y -+=()f x []()21,,6x e f x k k ∀∈≥+ 请考生在22~24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲 O O AE CD ⊥BDE ∠.O 3AB =3AE =xoy 3sin ,:3cos ,x C y αααα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩αx :sin 16l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.l l ()32.f x x x k =-+-+()3f x ≥1k =()3.f x x <。

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。

2024～2025学年度高三上学期第一次综合素养测评物理学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。

考试时间75分钟。

第Ⅰ卷（选择题共46分）注意事项：1.答卷Ⅰ前考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案。

一、单选题（每小题4分，共28分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 2024年8月1日，潘展乐在长50m 的标准泳池中以46秒40的成绩获得巴黎奥运会男子100米自由泳冠军，为中国游泳首夺该项目奥运会金牌，并打破世界纪录，则（ ）A. 研究潘展乐的技术动作时可以将他看成质点B. “46秒40”指的是时间间隔C. 潘展乐在加速阶段比匀速阶段惯性小D. 潘展乐比赛的平均速度大小约为2.17m/s2. 图甲所示装置为灭火火箭筒，主要用于实施远距离高效、安全灭火作业。

在一次消防演练中，消防员在同一位置用火箭筒先后两次以相同速率、不同角度发射火箭弹，火箭弹均击中着火点，火箭弹的两次运动轨迹如图乙所示。

忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）A. 不同轨迹的火箭弹，击中着火点时的速度相同B. 不同轨迹火箭弹，运动过程中速度变化量相同C. 火箭弹沿轨迹1的运动时间大于沿轨迹2的运动时间D. 火箭弹沿轨迹1最小速度大于沿轨迹2的最小速度3. 同一“探测卫星”分别围绕某星球和地球多次做圆周运动。

“探测卫星”在圆周运动中的周期二次方的的T 2与轨道半径三次方r 3的关系图像如图所示，其中P 表示“探测卫星”绕该星球运动的关系图像，Q 表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足T 2=c ，图中c 、m 、n 已知，则（ ）A. 该星球和地球的密度之比为m :nB. 该星球和地球的密度之比为n :mC.D.4. 油纸伞制作工艺是我国非物质文化遗产之一。

第二讲 数列求和及综合应用本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对递推数列概念及解析式的理解，掌握递推数列给出数列的方法． (2)掌握等差(比)数列求和公式及方法．(3)掌握数列分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法． (4)掌握与数列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略． 预测2019年命题热点为：(1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式． (2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和．(3)已知某个不等式成立，求某参数的值．证明某个不等式成立．Z 知识整合hi shi zheng he1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{ca n a n ＋1}(其中{a n }是公差d ≠0且各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．3．错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．4．倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．附：(1)常见的拆项公式(其中n ∈N *) ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k)．③1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1).④若等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)；1a n a n ＋2＝12d (1a n －1a n ＋2)． ⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12[1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)]．⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前n 项和公式，如 ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；③12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．Y 易错警示i cuo jing shi1．公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为1的分类讨论． 2．错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项． 3．裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项． 4．裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性．1．(2017·全国卷Ⅱ，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( B )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B ．2．(2017·全国卷Ⅰ，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依次类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( A )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )2.由题意知，N >100，令n (1＋n )2>100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×(1＋29)2＋5＝440.故选A ．3．(2018·江苏卷，14)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27.[解析] B ＝{2,4,8,16,32,64,128…}，与A 相比，元素间隔大，所以从S n 中加了几个B 中元素考虑，1个：n ＝1＋1＝2 S 2＝3,12a 3＝36 2个：n ＝2＋2＝4 S 4＝10,12a 5＝60 3个：n ＝4＋3＝7 S 7＝30,12a 8＝108 4个：n ＝8＋4＝12 S 12＝94,12a 13＝204 5个：n ＝16＋5＝21 S 21＝318,12a 22＝3966个：n ＝32＋6＝38 S 38＝1 150,12a 39＝780发现21≤n ≤38时S n －12a n ＋1与0的大小关系发生变化，以下采用二分法查找： S 30＝687,12a 31＝612，所以所求n 应在22～29之间， S 25＝462,12a 26＝492，所以所求n 应在25～29之间， S 27＝546,12a 28＝540，所以所求n 应在25～27之间， S 26＝503,12a 27＝516，因为S 27>12a 28，而S 26<12a 27，所以使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27. 4．(2017·全国卷Ⅱ，15)等差数列{a n }的前n 项和S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝2nn ＋1. [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则 由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)． ∴∑k ＝1n1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1. 5．(2018·全国卷Ⅲ，17)等比数列{}a n 中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式．(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解析] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.6．(2018·北京卷，15)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式． (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n .[解析] (1)由已知，设{a n }的公差为d ，则a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 1＋2d ＝2a 1＋3d ＝5ln 2，又a 1＝ln 2， 所以d ＝ln 2，所以{a n }的通项公式为a n ＝ln 2＋(n －1)ln 2＝n ln 2(n ∈N *)． (2)由(1)及已知，e a n ＝e n ln 2＝(e ln 2)n ＝2n ，所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝21＋22＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．命题方向1 求数列的通项公式例1 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( B )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12D ．a n ＝n[解析] 由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ]·(a n ＋1＋a n )＝0，又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2·a n ，所以a n ＝n n ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)，所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)，于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)(2017·厦门二模)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式为( B )A ．a n ＝－2n －1B ．a n ＝(－2)n －1C ．a n ＝(－2)nD ．a n ＝－2n[解析] 由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得a n ＝23a n －23a n －1.所以a n ＝－2a n －1.又可以得到a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1(n ≥2)．又a 1＝(－2)1－1＝1，所以a n ＝(－2)n －1.『规律总结』求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．(2)已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，求a n .(3)累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．(5)构造法：①递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋qp －1＝p (a n ＋q p －1)(p ≠1)的形式，利用{a n ＋qp －1}是以p 为公比的等比数列求解； ②递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1－1a n ＝1p的形式．G 跟踪训练en zong xun lian1．若数列{a n }满足a 1＝0,2a n ＝1＋a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2019＝20182019.[解析] 当n ≥2时，因为2a n ＝1＋a n a n －1， 所以(1－a n －1)－(1－a n )＝1－a n －a n －1＋a n a n －1， 所以(1－a n －1)－(1－a n )＝(1－a n )(1－a n －1)， 所以11－a n －11－a n －1＝1，因为a 1＝0，所以11－a 1＝1， 所以{11－a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以11－a n＝1＋(n －1)＝n ，所以11－a 2019＝2019，解得a 2019＝20182019.2．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n }前10项的和为2011.[解析] 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n－a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，故数列{1a n}前10项的和S 10＝2(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝2(1－111)＝2011.命题方向2数列求和问题(一)分组转化法求和例2 设数列{a n}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(a n－a n＋1＋a n＋2)x＋a n＋1cos x－a n＋2sin x满足f′(π2)＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝2(a n＋12a n)，求数列{b n}的前n项和S n.[解析](1)由题设可得f′(x)＝a n－a n＋1＋a n＋2－a n＋1sin x－a n＋2cos x.对任意n∈N*，f′(π2)＝a n－a n＋1＋a n＋2－a n＋1＝0，即a n＋1－a n＝a n＋2－a n＋1，故{a n}为等差数列．由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{a n}的公差d＝1，所以a n＝2＋1·(n－1)＝n＋1.(2)因为b n＝2(a n＋12a n)＝2(n＋1＋12n＋1)＝2n＋12n＋2，所以S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(2＋2＋…＋2)＋2(1＋2＋…＋n)＋(12＋122＋…＋12n)＝2n＋2·n(n＋1)2＋12[1－(12)n]1－12＝n2＋3n＋1－12n.(二)裂项相消法求和例3 (2017·全国卷Ⅲ，17)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n.(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n＋1}的前n项和．[解析](1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)a n－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记{a n2n ＋1}的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. (三)错位相减法求和例4 (2018·郴州二模)已知等差数列{a n }，满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，a n ＋2log 2b n ＝－1.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设d 为等差数列{a n }的公差，且d >0，由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1,1,3后成等比数列， 得(2＋d )2＝2(4＋2d )， 因为d >0，所以d ＝2， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又因为a n ＝－1－2log 2b n ， 所以log 2b n ＝－n ，即b n ＝12n .(2)T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ①，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1②， ①－②，得12T n ＝12＋2×(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1.所以T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .(四)奇(偶)数项和问题例5 (2018·潍坊二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40；数列{}b n 的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式．(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数， 求数列{c n }的前n 项和P n .[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝4，所以a n ＝4n ，因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3， 当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)， 数列{}b n 为等比数列，所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数.当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝(4＋4n －4)·n 22＋6(1－4n 2)1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时， 方法一：n －1为偶数， P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1.方法二：P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝(4＋4n )·n ＋122＋6⎝⎛⎭⎫1－4n －121－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数. 『规律总结』1．分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组．(2)根据正号、负号分组，此时数列的通项式中常会有(－1)n 等特征． 2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘{a n ·b n }型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比． ②把两个和的形式错位相减． ③整理结果形式． 4．分奇偶的求和问题如果数列的奇数项与偶数项有不同的规律，当n 为奇数或偶数时S n 的表达式不一样，因此需要分奇偶分别求S n .(1)分组直接求和：相邻的奇偶项合并为一项，组成一个新的数列b n ，用S ′n 表示其前n 项和，则S n＝⎩⎨⎧S ′n2，n 为偶数，S ′n －12＋a n，n 为奇数.(2)分奇偶转化求和：先令n 为偶数，求出其前n 项和S n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n .G 跟踪训练en zong xun lian(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n.求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×[4＋4(1－2n )1－2－(n＋1)×2n ＋2]＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.(理)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)因为2S n ＝3n ＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3. 当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13.当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝13＋[]1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]．两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n .经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n.命题方向3 数列与函数、不等式的综合问题(一)数列与函数的综合例6 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a nb n}的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)f ′(x )＝2x ln 2，f ′(a 2)＝2a 2ln 2，故函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln 2(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意得，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n2n＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.(二)数列与不等式的综合例7 (文)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{4a n (a n ＋2)}的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.[解析] (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ， 当n ≥2时，2S n －1＝na n －1， 两式相减得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1， 所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11.因为a 1＝2，所以a n ＝2n . (2)证明：因为a n ＝2n ，令b n ＝42n (2n ＋2)＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以T 1＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1.因为f (n )＝1n ＋1在N *上是递减函数，所以1－1n ＋1在N *上是递增的，所以当n ＝1时，T n 取最小值12.所以12≤T n <1.(理)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1 (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[解析] (1)证明：由a n ＋1＝3a 1＋1， 得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.『规律总结』1．数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 (1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．(2)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．2．解决数列与函数综合问题的注意点(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．(2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析] 由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)， 解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n )[解析] 因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1a n a n ＋1＝12×(14)n －1，所以{1a n a n ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12×1×(1－14n )1－14＝23(1－14n )，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C )A ．30B ．45C ．90D ．186[解析] 设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6， 所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析] ∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ； ③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④[分析] 保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析] 解法一：设{a n }的公比为q . ①f (a n )＝a 2n ，∵a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ． ③f (a n )＝|a n |， ∵|a n ＋1||a n |＝|a n ＋1a n|＝|q |， ∴{f (a n )}是等比数列，排除A ． 解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24， f (a 3)＝f (8)＝28，所以f (a 2)f (a 1)＝2422＝4≠f (a 3)f (a 2)＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n . 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1 009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，则ln a 2 018的值为2_017.[解析] 因为数列{b n }为等比数列，且b 1 009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2 018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2 017＝b 2 0171 009＝e2 017，ln a 2 018＝lne 2 017＝2 017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 10的值为1 023128.[解析] 数列{a n }是等比数列，其公比为2， 设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14. 那么1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 10＝4(1＋12＋122＋ (129)＝4×1－12101－12＝1 023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项， 所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝32，a 2＋a 3＝12. 因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8.所以q ＝a 3a 2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n 1－2＝2n－1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4. 由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝n (n ＋1)2.(2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得n (n ＋1)2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列. 已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)， ①求T n ； ②证明[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n 1－2＝2n －1，故T n ＝∑k ＝1n (2k －1)＝∑k ＝1n2k－n ＝2×(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. ②因为(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝(2k ＋1－k －2＋k ＋2)k(k ＋1)(k ＋2)＝k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{1(2n ＋1)a n}的前n 项和T n ＝( C )A ．－n2n ＋1B ．n 2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析] 本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12. 当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以1(2n ＋1)a n ＝－2(2n －1)(2n ＋1)＝－(12n －1－12n ＋1)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析] 依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析] 画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A ) A ．25 B ．50 C ．100D ．不存在[解析] ∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B ) A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析] 由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ， ∴S n ＋1S n ＝32， ∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S 2S 1＝32，∴S n ＝(32)n －1. 5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析] a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.[解析] 因为a n ＝log 2n n ＋1， 所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1， 若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15， 则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n 群，…，第n 群恰好n 个数，则第n 群中n 个数的和是3·2n －2n －3.[解析] 由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20 ① 2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21 ② ②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1) ＝2n＋4(1－2n －1)1－2－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1 ＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析] (1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析] (1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1a n ＋2，a 1＝－12. (1)求证{1a n ＋1}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析] (1)证明：∵a n ＋1＝－1a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝－1a n ＋2＋1＝a n ＋2－1a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2， 由于a n ＋1≠0，∴1a n ＋1＋1＝a n ＋2a n ＋1＝1＋1a n ＋1， ∴{1a n ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)题结论知：1a n ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1， ∴a n ＝1n ＋1－1＝－n n ＋1(n ∈N *)． (3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1， 设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1∴P的最大值为2.。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分1502024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月月考数学检测试题分，考试时间第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的120分钟..1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则A B =I （）A. {}1,2B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】D 【解析】【分析】先解不等式求出集合A ，再根据交集运算求出A B Ç.【详解】由2230x x -->，解得3x >或1x <-.所以{|3A x x =>或1}x <-，又{}1,2,3,4B =，所以{}4A B Ç=.故选：D.2. 已知(1i)24i z +=+，则z =（ ）A. 10 B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 再求模长可得答案.【详解】()()()()24i 1i 24i 242i3i 1i 1i 1i 2+-+++====+++-z ，则z =.故选：C.3. 已知3log 2a =，4log 3b =， 1.20.5c =，比较a ，b ，c 的大小为（ ）A. a b c>> B. a c b>>C. b c a >>D. b a c>>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较,a b 的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较,a c 大小，即可求解.【详解】2ln 2ln 3ln 2ln 4(ln 3)ln 3ln 4ln 3ln 4a b ×--=-=×，因为ln 2,ln 40>，所以ln 2ln 4+>，即()()()22211ln 2ln 4ln 8ln 9ln 344×<<=，所以()2ln 2ln 4ln 3×<，且ln 3ln 40×>，所以a b <，又因为 1.2131log 2log 2,0.50.521a c =>===<，所以a c >，综上，b ac >>，故选：D.4. 已知向量()2,1a =r ，()1,3b =-r ，()()ka b a b -^+r rr r ，则实数k 的值为（ ）A. 94-B.94C. 1-D. 1【答案】B 【解析】【分析】计算出()21,3ka b k k -=-+r r ，()3,2a b +=-rr ，根据垂直得到方程，求出实数k 的值.【详解】由题意得()2,1a =r ，()1,3b =-r ，则()21,3ka b k k -=-+r r ，()3,2a b +=-rr ，因为()()ka b a b -^+r r r r ，所以()()321230k k --+=，解得94k =.故选：B5. 已知等比数列{}a 的前n 项和为n S ，若1231117a a a ++=，212a =，则3S =（ ）A.78B.74 C.72D. 7【答案】B 【解析】【分析】运用等比数列的通项公式计算公比，再求和即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ¹，依题意，1231117a a a ++=，212a =，即2222221111117q a a a a a a q qq ++=++×=，所以2227q q++=，即22520q q -+=，解得2q =或12q =，所以114a =，212a =，31a =或11a =，212a =，314a =，所以31171424S =++=.故选：B.6. 定义在()0,¥+上的函数()f x 满足()12,0,x x "Î+¥且12x x ¹，有()()()12120f x f x x x éù-->ëû，且()()()f xy f x f y =+，()243f =，则不等式()()231f x f x -->的解集为（ ）A. ()0,4 B. ()0,¥+ C. ()3,4 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】结合题设赋值可得()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】因为()()()f xy f x f y =+，所以()()()()2422223f f f f =´=+=，即()123f =，因为()()()()()18424232313f f f f f =´=+==´=，所以()()231f x f x -->，可转化为()()()238f x f x f -->，即()()()283f x f f x >+-，即()()()()283824f x f x f x >´-=-.因为()f x 满足()12,0,x x "Î+¥且12x x ¹，有()()()12120f x f x x x -->éùëû，所以()f x 在区间()0,¥+上单调递增，即20302824x x x x >ìï->íï>-î，解得34x <<，即不等式()()231f x f x -->的解集为()3,4.故选：C.7. 已知角a ，b 满足tan 2a =，()2sin cos sin b a b a =+，则tan b =（ ）A.13B.17C.16D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan a b a +=，故3tan()tan 32a b a +==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7b =.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin b a b a a b a a b a =+-=+-+，2sin cos()sin b a b a =+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin a b a a b a a b a +-+=+，即2sin()cos 3cos()sin a b a a b a +=+，则2tan()3tan a b a +=，因为tan 2a =，所以3tan()tan 32a b a +==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan a b ba b a b b+++===--，故2tan 36tan b b +=-，解得1tan 7b =.故选：B.8. 已知0x >，0y >，且2e ln x x y =+，则（ ）A. 2e y > B. 22e x y +> C. 2e lnx y< D. 22e 1x <-【答案】B 【解析】【分析】令()()2e 0xf x xx =->，求导分析单调性可得ln 1y >，选项A 错误；把不等式等价转化，通过构造函数可得选项B 正确；由条件得2e ln x y x -=，根据0x >可得ee ln lnxy y->，选项C 错误；令e 1x =+可得选项D 错误.【详解】对于A 选项：令()2e xf x x =-，0x >，()e 2xf x x ¢=-，令()e 2xh x x =-，()e 2xh x ¢=-，令()0h x ¢=，则ln 2x =，当()0,ln 2x Î时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，()f x ¢单调递减；当()ln 2,x Î+¥时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，()f x ¢单调递增，所以()f x ¢有最小值()()ln 2min ln 2e 2ln 222ln 20f x f ¢¢==-=->，所以()f x 在区间()0,¥+上单调递增，故()()020e 01f x f >=-=，所以ln 1y >，即e y >，故A 选项错误；对于B 选项：由A 可知2ln e x y x =-，要证22e x y +>，即证22ln ln e x y +>，即证2ln 2y x >+，即证()22e 2x xx ->+，即证22e220xx x --->.令()22e 22xg x x x =---，则()2e 41xg x x ¢=--，令()2e 41xt x x =--，()2e 4xt x ¢=-，令()0t x ¢=，则ln 2x =，当()0,ln 2x Î时，()0t x ¢<，()t x 单调递减，()g x ¢单调递减；当()ln 2,x Î+¥时，()0t x ¢>，()t x 单调递增，()g x ¢单调递增，所以()g x ¢有最小值()()ln 2min ln 22e4ln 2144ln 2134ln 2g x g ==--=-¢-¢-=，由3e 16>得()min 0g x ¢>，所以()g x 在区间()0,¥+上单调递增，故()()0202e 20020g x g >=-´--=，所以22e x y +>成立，故B 选项正确；对于C 选项：由2e ln x x y =+得2e ln x y x -=，因为0x >，所以0e e ln e ln 1ln ln e ln lnx y y y y y ->-=-=-=，所以2e ln x y>，故C 选项错误；对于D 选项：令e 1x =+，则222e 2e 1e 1x =++>-，故D 选项错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ¹+=.则以下结论正确的是（ ）A. 168a =B. 若910S S =，则43d =C. 若2d =-，则n S 的最大值为21SD. 若151618,,a a a 成等比数列，则4d =【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由1518224a a +=可得()112141724a d a d +++=，故1158a d +=，所以168a =，故A 正确，由910S S =可得101606a a d ==-，故43d =，故B 正确，若2d =-，则201640a a d =+=，且{}n a 单调递减，故n S 的最大值为20S 或19S ，故C 错误，若151618,,a a a 成等比数列，则16161518a a a a ×=，即()()64882d d =-+，解得4d =或0d =（舍去），D 正确，故选：ABD10. 已知函数()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（ ）A. 当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当1a =且x ∈(0,π)时，()()2sin sin f x f x<C. 若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D. 若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ¹，则01322x x +=【答案】ABD 【解析】【分析】求函数f (x )的导函数，判断函数的单调性，求其极值点，由()f x 有三个零点列不等式求b 的取值范围，判断A ，证明1≥sin x >sin 2x >0，结合单调性比较()()2sin ,sin f x f x 的大小，判断B ，由条件可得()f x 成中心对称，结合对称性性质判断C ，由极值点的性质可得12a >-，200661a x x =-+，令012x x t +=，化简又()()01f x f x =，可证明01322x x t +==判断D.【详解】对于选项A ，当1a =时，()3223f x x x b =-+，()()26661f x x x x x ==¢--，由f ′(x )=6x (x−1)>0，得到0x <或1x >，由()()610f x x x -¢=<，得到01x <<，所以()3223f x x x b =-+的单调递增区间为(),0¥-，(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)，故()f x 在0x =处取到极大值，在1x =处取到极小值，若()f x 有三个零点，则f (0)=b >0,f (1)=b−1<0,解得01b <<，故选项A 正确；对于选项B ，当x ∈(0,π)时，0sin 1x <<，20sin 1x <<，又()2sin sin sin 1sin 0x x x x -=->，即2sin sin x x >，由选项A 知，()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()()2sin sin f x f x <，故选项B 正确；对于选项C ，因为()()12f x f x -=-，即()()12f x f x -+=，所以()f x 成中心对称，又()()32231f x x x a x b =-+-+的定义域为R ，所以()111123112842f a b æö=´-´+-´+=ç÷èø，整理得到22b a -=，所以选项C 错误；对于选项D ，因为()()32231f x x x a x b =-+-+，所以()2661f x x x a =-+-¢，由题有()Δ362410a =-->，即12a >-，由()20006610f x x x a =-+-=¢，得200661a x x =-+，令012x x t +=，则102x t x =-，又()()01f x f x =，所以()()002f x f t x =-，得到()()()())323200000023122321(2x x a x b t x t x a t x b -+-+=---+--+，整理得到()()22000036263310x t x t tx t x a -+--++-=，又200661a x x =-+，代入化简得到()()203230x t t --+=，又012x x t +=，10x x ¹，所以00130x t x x -=-¹，得到230t -+=，即01322x x t +==，所以选项D 正确.故选：ABD.11. 设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x ¢和()g x ¢，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=¢¢=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A. ()00f = B. ()g x 的图象关于直线2x =对称C. ()f x 的一个周期是4D.()20251k g k ==å【答案】BCD 【解析】【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数()g x ¢的图象关于点()2,0对称，从而可得()g x 的图象关于x =2对称，所以()g x 是周期函数，4是一个周期，可判断A 、B 、C 项；因为()()130g g ==，且()()20g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()202515061234202510k g k g g g g g g =éù=´++++==ëûå，可判断D 项.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，所以()g x 的图象关于()1,0中心对称，()()11g x g x +=--+两边求导得：()()11g x g x ¢¢+=-+，所以()g x ¢图象关于x =1对称，因为()()11g x f x --=，所以()()10g x f x ¢¢+-=；所以()()10g x f x -+¢=¢，又()()3f x g x ¢=+¢，所以()()130g x g x ¢¢-++=，所以函数()g x ¢的图象关于点()2,0对称；的所以()g x 的图象关于x =2对称，故B 正确；所以()()22g x g x +=-，即()()13g x g x -+=+，又()()11g x g x +=--+，所以()()13g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，所以()()4g x g x =+，所以()g x 是周期函数，且4是一个周期，又因为()()11g x f x --=，所以()()11f x g x =--，所以()f x 是周期函数，且4是一个周期，故C 正确；因为()1g x +为奇函数，所以()g x 过()1,0，所以()10g =，令x =0，代入()()11f x g x =--，可得()()0111f g =-=-，故A 错误；令x =0代入()()13g x g x -+=+，可得()()130g g ==，令x =1，代入()()11g x g x +=--+，可得()()20g g =-，又因为()g x 的周期为4，所以()()04g g =，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()()20251506123420255064110k g k g g g g g g g =éù=´++++=´+==ëûå，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1.若()()f x a f x a =+-+，则()f x 关于x a =对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ¢¢+=--+，则()f x ¢关于(),0a 中心对称；2.若()()f x a f x a +=--+，则()f x 关于(),0a 中心对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ¢¢+=-+，则()f x ¢关于x a =对称；3.若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数且周期为T ；第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列{}a 满足35a =，221n n a a =+，()*122n n n a a a n ++=+ÎN，设{}na 的前n 项和为S ，则S =______.【答案】2n 【解析】【分析】根据122n n n a a a ++=+，利用等差中项性质判断数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，由题设条件求得11a =，2=d ，再运用等差数列求和公式计算即得.【详解】由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，首项为1a ，由221n n a a =+，可得11(21)2[(1)]1a n d a n d +-=+-+，解得11d a =+，又由3125a a d =+=，解得11a =，2=d ，故()2122n n S n n -=+´=.故答案为：2n .13. 若函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()24y f x x =-的单调递增区间是______.【答案】()0,2【解析】【分析】根据反函数的定义可得f (x )=log 2x ，进而结合复合函数的单调性求解即可.【详解】由题意得f (x )=log 2x ，0x >，在定义域上单调递增，则()()2224log 4f x xx x -=-，由240x x ->，解得04x <<，所以函数()24f x x-定义域为(0,4)，且24y x x=-在(0,2)上单调递增，所以其单调递增区间为(0,2).故答案为：(0,2).14. 若正实数,a b 满足()1ln ln e a a b a a b --+³，则1ab的最小值为______.【答案】e 4【解析】【分析】把不等式()1ln ln ea ab a a b --+³变形为11ln e e 10a a b b a a--æö-+³ç÷èø，通过换元1e a b t a -=，根据不等式恒成立得出a 与b 的关系，从而把1ab表示为关于a 的表达式，再通过构造函数求最值即可．【详解】∵()1ln ln e a a b a a b --+³，∴1ln ln e a b b a a a--+³，∴11lnln e 1e a a b b a a --++³，即11ln e e 10a a b ba a--æö-+³ç÷èø，令1e a b t a-=，则有()ln 100t t t -+³>，设()ln 1f t t t =-+，则()111-¢=-=tf t t t，由()0f t ¢=得1t =，当01t <<时，()0f t ¢>，()f t 单调递增；当1t >时，()0f t ¢<，()f t 单调递减，∴()()max 10f t f ==，即ln 10t t -+£，∵ln 10t t -+³，∴ln 10t t -+=，当且仅当1t =时等号成立，∴1e 1a b t a -==，即111e a b a -=，∴()121e 0a a ab a-=>，设()()12e 0x g x x x -=>，则()()132e x x g x x --¢=，由()0g x ¢=得2x =，当02x <<时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当2x >时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，∴()()min e 24g x g ==，即1ab 的最小值为e 4.故答案为：e4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式变形为11ln e e 10a a b b a a--æö-+³ç÷èø，通过换元1e a b t a -=得到()ln 100t t t -+³>，结合函数的单调性分析得ln 10t t -+£，即ln 10t t -+=（当且仅当1t =时等号成立），由此得到1e 1a b a -=，等式变形为()121e 0a a ab a-=>，构造函数分析单调性即可得到1ab 的最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ÐÐ===，求sin B .【答案】（1）2π3A =（2【解析】【分析】（1）等价变形已知条件，得到222b c a bc +-=-，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出CD =结合正弦定理即可求得sin C =，最后根据()sin sin B A C =+即可得解；法②：由法①得CD =ACD V 中由正弦定理得sin ADC Ð=π2ADC B Ð=+，从而得解sin B =CD =ABD △中a =+，由（1）问知222a b c bc =++，代入建立关于c 的方程，解方程得2c =，从而得出AD BD B BD ===；法④：由等面积法得ABC ABD ACD S S S =+V V V ，建立关于c 的方程，求得2c =，代入222a b c bc =++求得a ，最后结合正弦定理即可得解.【小问1详解】()()22222()2b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=，则222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】法①：由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD Ð=Ð，所以π6CAD Ð=，如图在ACD V 中，由余弦定理2222cos CD AD AC AD AC DACÐ=+-×31647=+-=，即CD =在ACD V 中由正弦定理sin sin CD AD DAC C Ð==sin C =，因为π03C <<，故cos C ==，在ABC V 中()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=-=.法②：同解法①CD =ACD V 中由正弦定理sin sin CD AC DAC ADC=ÐÐ，4sin ADC=Ð，所以sin ADC ADC ÐÐ===又因为π2ADC BAD B B ÐÐÐ=+=+，即πcos 2B æö+=ç÷èø，所以sin B =法③同上CD =ABD △中BD =，所以a =，由（1）问知222a b c bc =++，所以22416c c =++，即2210416c c c +=++23,c =+即2440c c -+=，所以2c =，AD BD B BD ===.法④如图由（1）知2π3A =，则π6CAD Ð=，因为ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以12π11π4sin 423226c ´=+´=+2c =，所以222164828a b c bc =++=++=，即a =在ABC V 中，由正弦定理sin sin a bA B=4sin B =，解得sin B ==16. 已知函数()()3ln212x f x x x x=++--.（1）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（2）若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）1,12æöç÷èø【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，然后计算()()2f x f x +-的值即可确定函数的对称性，从而得结论；（2）求导()f x ¢，从而得()f x 的单调性，构造函数()()12g x f x =+-，判断函数()g x 的单调性与奇偶性，从而列不等式求解集.【小问1详解】证明：函数()()3ln212x f x x x x=++--，定义域满足02x x >-，解得02x <<，即函数定义域为()0,2，所以()()()()()3322ln21ln 2212x x f x f x x x x x x x-+-=++-++-+--()()()332ln 222112x x x x x x x x -æöéùéù=×++-+-+-ç÷ëûëû-èø0404=++=.所以曲线()y f x =关于点()1,2对称，即曲线()y f x =是中心对称图形.【小问2详解】()()()()2211223123122f x x x x x x x =+++-=++---¢，因()0,2x Î，()202x x >-，所以()()()2223102f x x x x =++->-¢，所以()f x 在区间()0,2上单调递增.因为()f x 关于点()1,2对称，所以()()12g x f x =+-是奇函数，且在区间()1,1-上单调递增.为由()()214f m f m -+<，即()()2122f m f m éù--<--ëû，即()()221g m g m -<--，所以()()221g m g m -<-，所以221,1221,111,m m m m -<-ìï-<-<íï-<-<î解得112m <<.所以实数m 的取值范围为1,12æöç÷èø.17. 已知数列()12nn n a =-+，()10n n n b a a l l +=->，且{}n b 为等比数列.（1）求l 的值；（2）记数列{}2n b n×的前n 项和为nT .若()*2115i i i T TT i ++×=ÎN ，求i 的值.【答案】（1）2l = （2）2i =【解析】【分析】（1）先由1n n n b a a l +=-求出123,,b b b ，在{}n b 为等比数列可得2213b b b =×，由此解出l 即可得出答案.（2）分n 为偶数和n 为奇数，求出n T ，再由()*2115i i i T T T i ++×=ÎN ，解方程即可得出答案.【小问1详解】因为()12nn n a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a l +=-，则1215b a a l l =-=-，23275b a a l l =-=-，343177b a a l l =-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =×，所以()()()2755177l l l -=--，整理得220l l --=，解得1l =-或2.因为0l >，所以2l =.当2l =时，()()111212212n nn n n n n b a a +++éù=-=-+--+ëû()()()()1111221231nnnn n ++=-´-+-´--=-´-.则()()1131131n n nn b b ++-´-==--´-，故{}n b 为等比数列，所以2l =符合题意.【小问2详解】()2231nn b n n ×=-´-×，当n 为偶数时，()2222222231234561n T n n éù=-´-+-+-+-×××--+ëû()()331212n n n =-´++×××+=-+；当n 为奇数时，()()()()()22113311231122n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，()()**31,21,N ,231,2,N .2n n n n k k T n n n k k ì+=-Îïï=íï-+=Îïî因为20i i T T +×>，又2115i i i T T T ++×=，所以10i T +>，所以i 为偶数.所以()()()()()3331231512,222i i i i i i éùéù-+´-++=´++êúêúëûëû整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍去），所以2i =.18. 已知函数()()21e1axf x x -=++，()()()211e 1axa x g x x +-=++.（1）当0a <时，讨论()f x 的零点个数；（2）当0x ³时，()()f x g x ³，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）1,2æù-¥-çúèû【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到最小值111e 1aa f a a+-æö=+ç÷èø，构造()11e 1a h a a +=+，0a <，求导得到其单调性，结合()10h -=，得到1a <-时，11e 10a a++>，则()0f x >，无零点；当1a =-时，()f x 有1个零点；当10a -<<时，()f x 有2个零点.（2）变形得到()1e 1ax x x --³+，两边同时取自然对数得，()()1ln 1x ax x -³-+，当0x =时，00³成立，当0x >时，参变分离得到()11ln 1a x x -+³+，设()()11ln 1m x x x-=++，0x >，多次求导，结合特殊点函数值，得到()m x 区间(0,+∞)上单调递增，又当x 趋近于0时，()m x 趋近于12-，所以()12m x >-，所以12a £-，得到答案.【小问1详解】()()()222e 1e e 1ax ax ax f x a x ax a ---=-+¢=--+，0a <，令()0f x ¢=，得1ax a -=，其中0a ->，10a a-<.当1,a x a ¥-æöÎ-ç÷èø时，f ′(x )<0，当1,a x a ¥-æöÎ+ç÷èø时，f ′(x )>0，则()f x 在区间1,a a ¥-æö-ç÷èø上单调递减，在区间1,a a ¥-æö+ç÷èø上单调递增，所以()1211111e 1e 1aa aaa a f x f a a a--×+--æöæö³=++=+ç÷ç÷èøèø.设()11e 1a h a a +=+，0a <，则()11122111e e e a a a a h a a a a+++-=-=×¢+.因0a <，所以()0h a ¢<，所以()h a 在区间(),0¥-上单调递减，又因为()10h -=，所以当1a <-时，11e 10aa++>，则()0f x >，无零点；当1a =-时，11e 10aa++=，()f x 有1个零点；当10a -<<时，11e 10a a++<，又()20e 10f =+>，当x 趋近于-¥时，()()21e1axf x x -=++趋近于1，()f x 有2个零点，综上，当1a <-时，()f x 无零点；当1a =-时，()f x 有1个零点；当10a -<<时，()f x 有2个零点.【小问2详解】()()f x g x ³，即()()2121e 1(1)e 1a x ax ax x x +--++³++，即()()2121e(1)e a x axax x x +--+³+，在为当0x ³时，11x +³，2e 0ax ->，所以()()f x g x ³，可得()111e ax x x -³+，可得()1e 1ax x x --³+，两边同时取自然对数得，()()1ln 1x ax x -³-+，当0x =时，00³成立，当0x >时，()ln 10x +>，则()()1ln 1x ax x -³-×+，可得()11ln 1a x x-+³+.设()()11ln 1m x x x-=++，0x >，则()()()()()()2222221ln 1111ln 111ln 1x x x m x x x x x x x ¢-++=×-=++++，设()()()221ln1n x x x x =-++，0x >，则()()()()()()2212ln 112ln 12ln 12ln 11n x x x x x x x x x =-+-+××+×=-+-++¢.设()()()22ln12ln 1p x x x x =-+-+，0,x >则()()()22ln 11222ln 1111x x p x x x x x -+=-+×-=+¢++，设()()22ln 1k x x x =-+，0x >，则()222011x k x x x -+¢==>+，所以()k x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00k =，所以()0k x >，所以()0p x ¢>，则()p x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00p =，所以()0p x >，所以()0n x ¢>，则()n x 在区间(0,+∞)上单调递增，又()00n =，所以()0n x >，所以()0m x ¢>，则()m x 在区间(0,+∞)上单调递增，又当x 趋近于0时，()m x 趋近于12-，所以()12m x >-，所以12a £-，所以实数a 的取值范围为1,2æù-¥-çúèû.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方19. 若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ¹，都有()()1212f x f x k x x -£-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”.（1）判断函数()1f x x=是否是区间[)1,+¥上的“1-利普希兹条件函数”？并说明理由；（2）已知函数()3f x x =是区间[]()0,0a a >上的“3-利普希兹条件函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为连续函数，其导函数为()f x ¢，若()(),f x K K ¢Î-，其中01K <<，且()01f =.定义数列{}n x ：10x =，()1n n x f x -=，证明：()11n f x K<-.【答案】（1）是，理由见解析 （2）(]0,1 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明[)12,1,x x ¥"Î+，12x x ¹，()()1212f x f x x x -<-，结合定义判断结论；（2）由条件可得()3f x x -在[]()0,0a a >单调递减，由此可得()30f x ¢-£在[]0,a 恒成立，由此可求a 的取值范围；（3）由条件先证明函数()()g x f x Kx =+单调递增，再证明函数()()h x f x Kx =-单调递减，由此证明()()1212f x f x K x x -<-，再证明()()11n n n f x f x K ---<，结合绝对值不等式性质证明结论.【小问1详解】是，理由如下：依题意，[)12,1,x x ¥"Î+，12x x ¹，()()12121212111f x f x x x x x x x -=-=-，注意到[)12,1,x x ¥Î+，因此121x x >，从而1211x x <，故()()121212121f x f x x x x x x x -=-<-，即()f x 是区间[)1,+¥上的“1-利普希兹条件函数”.【小问2详解】依题意，[]12,0,x x a "Î，均有()()12123f x f x x x -£-成立，不妨设21x x >，则()()212133f x f x x x -£-，即()()221133f x x f x x -£-设()()333p x f x x x x =-=-，则()p x 在[]0,a 上单调递减，故()2330p x x -¢=£对[]0,x a "Î恒成立，即2033a <£，因此(]0,1a Î.【小问3详解】证明：由()(),f x K K ¢Î-，设()()g x f x Kx =+，则g ′(x )=f ′(x )+K >0，故()g x 为单调递增函数，则12x x "<，恒有()()12g x g x <，即()()1122f x Kx f x Kx +<+，得()()()1221f x f x K x x -<-，设()()h x f x Kx =-，则()()0h x f x K ¢¢=-<，故ℎ(x )为单调递减函数，则12x x "<，恒有()()12h x h x >，即f (x 1)−Kx 1>f (x 2)−Kx 2，得K (x 2−x 1)>f (x 2)−f (x 1).综上可知，()()1212f x f x K x x -<-，又()01f =， 10x =，()21x f x =，则()()()212121f x f x K x x K x K f x K -<-===，当2n ³时，()()()()1112n n n n n n f x f x K x x K f x f x -----<-=-()()2211122121n n n n n K x x K f x f x K x x K -----<-=×××=-<-=，则()()()()()()()()112211n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x ---=-+-+×××+-+.()()()()()()()112211n n n n f x f x f x f x f x f x f x ---£-+-+×××+-+1211111n n n K K K K K K---<++×××++=<--.综上所述，()11n f x K <-.【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。

数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合==−M x y x {|ln(1)}，集合==∈xN y y e x R {|,}（e 为自然对数的底数），则 M N = A ．x x <{|1}B ．x x >{|1}C ．x x <<{|01}D ．x x >{|0}2．已知角α的终边与单位圆交于点13,223−⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪，则cos2α= A ．－1B ．−79C ．−49D ．793．若曲线()ln =−f x a x bx在点f (1,(1))处的切线的斜率为1，则+a b 22的最小值为 A ．12B ．22C ．32D ．344．将函数=sin 2y x 的图象向右平移ϕϕ>(0)个单位长度后，得到函数y x πcos 26=+⎛⎝⎫⎭⎪ 的图象，则ϕ的值可以是 A ．π12B ．π6C ．π3D ．π235．已知函数f x x =+><<ωϕωϕπ()sin(2)(0,0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A ．f x ()的最小正周期为π56B ．f x ()的图象关于点π3,0−⎛⎝ ⎫⎭⎪对称 C ．f x ()在区间π0,2⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的最小值为−32 D ．f x ()的图象关于直线x =−π56对称 6．若函数f x x ωωω=−>()|tan()|(0)的最小正周期为4，则在下列区间中f x ()单调递增 的是河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛−31,1B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,31C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,35D ．)4,3(7．圭表（如图①）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推断节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图②是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即)ABC ∠大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即)ADC ∠大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即BD 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为A ．a )32(−B ．a 433− C ．a 413− D ．a 433+ 8．已知不等式0)(>x f 的解集为A ，若A 中只有唯一整数，则称A 为“和谐解集”，若关于x 的不等式|cos sin |2cos sin x x mx x x −+>+在区间),0(π上存在“和谐解集”，则实数m 的可能取值为 A ．32cos 2 B ．23 C ．32cosD ．1cos二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水市衡水中学2025届高考仿真卷数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 2．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8y x =+，则表中数据m 的值为（ ）变量x 01 2 3 变量y m35.57A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.53．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．2313⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,B ．()1,3C ．2313⎛⎤⎥ ⎝⎦,D ．(1,3]7．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16216πB ．1628πC ．8216πD ．828π8．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±10．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)11．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水市联考卷2025届高考仿真卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -2．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．253．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解:4．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥5．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞6．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过137．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．2y x =±8．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-10．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数f(x)＝ 为奇函数，则g(－1)＝________.
13．－3解析 因为函数f(x)为奇函，则x<0，－x>0，
f(－x)＝－g(x)＝x2－2x，则可知g(－1)＝－3.
14．函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈[m，m＋1]都有f(x)<0，则实数m的取值范围为________．
∴2a＝ ＋ ＝ ＝2，∴a＝1.
故当a＝1时，函数f(x)是R上的奇函数．
21.(12分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
2.答案C
3．设a＝log54－log52，b＝ln ＋ln 3，c＝10 lg 5，则a，b，c的大小关系为( )
A．a<b<cB．b<c<aC．c<a<bD．b<a<c
3.答案:A
4．函数y＝x －1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
4.答案:B
5．定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为( )
8．A [首先，由题意，知f(－1)＝f(0)＝0，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(3)＝0，
f(x)＝(x2＋x)(x2＋ax＋b)＝(x2＋x)(x－2)(x－3)＝(x2＋x)(x2－5x＋6)
＝[(x－1)＋1][(x－1)＋2][(x－1)－1][(x－1)－2]＝[(x－1)2－1][(x－1)2－4]，
所以x(40－x)≥300，解得x∈[10,30]．]

专题01 数轴与集合运算【热点聚焦与扩展】数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算.1、集合运算在数轴中的体现：:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分. :AB 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和.:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）.2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行处理，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域. （3）涉及到多个集合交、并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可. 3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来，以便于观察.（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知集合P ={|14}x x <<，{|23}Q x x =<< 则PQ = （ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x <≤D ．{|14}x x << 【答案】B【解析】由已知易得{}23PQ x x =<<，故选B ．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查集合的交集运算，考查数学运算学科素养．解题关键是理解集合交集的含义，利用数轴进行求解．例2【2020届湖南高三二模】设集合{}35|A x x =<<，{}2|340B x x x =--<，则AB =（ ）.A ．∅B ．{}|25x x <<C ．5{|}4x x <<-D ．{|34}x x <<【答案】D【解析】因为{}{}2||14340B x x x x x =-<-<=-<所以{}{}{}|14||3534x x x x AB x x <=-<<<<<=.故选：D.【专家解读】本题考查集合的交集运算，是基础题，. 例3【2020届湖北高三三模已知集合103x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =（ ）.A ．{}21x x -<< B ．{}32x x -<< C ．{}21x x -<≤ D ．{}21x x -≤≤【答案】C 【解析】因为(1)(3)01031303x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩，所以{}31A x x =-<≤. 因为222x x <⇒-<<，所以{}22B x x =-<<.{}21A B x x ⋂=-<≤.故选：C【专家解读】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题. 例4【2020年高考全国I 卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭．由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-．故选B ．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了一元二次不等式的解法、含参数的一元一次不等式的解法，考查利用集合的交集运算求参数的值，考查数形结合思想，考查数学运算及直观想象等学科素养．解题关键是正确求解一元二次不等式，应用数形结合法求参数的值．例5.已知集合{}A x x a =<， {}2320B x x x =-+<，若A B B ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1a < B. 1a ≤ C. 2a > D. 2a ≥ 【答案】D【解析】{}()23201,2B x x x =-+<=， ∵A B B ⋂=，∴B A ⊆ ∴2a ≥ 故选D.例6.已知集合{}{}|21,|A x x x B x a x b =><-=≤≤或，若(],2,4A B R A B ==，则b a=________ 【答案】4-【解析】1,4a b =-=，所以4ba=-. 例7. 已知集合{}{}0)12(,31122<+++-=≤++-=m m x m x x B x x x A ，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围为 【答案】53(,)22- 【解析】113x x -++≤ 当1x >时，31132x x x -++≤⇒≤312x ∴<≤ 当11x -<≤时，11323x x -++≤⇒≤恒成立 当1x ≤-时，31132x x x ---≤⇒≥-312x ∴-<≤- 33,22A ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦22(21)0x m x m m -+++<()()()10x m x m ∴-+-< 1m x m ∴<<+ A B ≠∅312m ∴+>-且32m < 53,22m ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.【精选精练】1．【2020年高考山东卷】设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则=A B A ．{|23}x x <≤ B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<【答案】B【解析】由已知易得{}=23AB x x =<<，故选B ．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查集合的并集运算，考查数学运算学科素养．解题关键是正确理解集合并集的含义．2．【2020·河南高三二模】设全集U =R ，集合{}(4)(1)0A x x x =-+≥，则UA（ ）A ．(1,4]-B ．[1,4)-C ．(1,4)-D ．[1,4]-【答案】C【解析】由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可. 因为(4)(1)0x x -+≥， 所以1x ≤-或4x ≥， 即{|1A x x =≤-或4}x ≥， 所以(1,4)UA =-，故选：C【专家解读】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题.3．【2020·福建高三五月联考】集合{}22,A x x R =-≤≤∈，集合{}23,B y y x x A ==-∈，则AB =（ ）A ．{}32x x -≤≤ B ．{}21x x -≤≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}31x x -≤≤【答案】B【解析】因为{}22,A x x R =-≤≤∈，{}23,B y y x x A ==-∈，可得[]23,2,2y x x =-∈-，结合二次函数图象和交集定义，即可求得答案.{}22,A x x R =-≤≤∈，{}23,B y y x x A ==-∈可得[]23,2,2y x x =-∈-根据二次函数图象特征可得：31y -≤≤∴ []3,1B =- ∴ [][][]2,23,12,1A B --=-=故{}21A B x x ⋂=-≤≤ 故选：B.【专家解读】本题考查了集合交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．【2019年高考全国Ⅱ理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞．故选A ．5．【2020届湖北黄冈二模】已知全集I R =，集合(){}2lg 1A xy x ==-∣，(){}2lg 1B yy x ==-∣，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．RB ．(,1)-∞C ．(,1]-∞D ．(1,0]-【答案】B【解析】化简集合A B 、，根据并集和补集与交集的定义可知图中阴影部分表示A B ，计算即可.(){}{}{}22lg 11101A x y x x x x x ==-=-=-><<∣∣∣，2011x <-≤，∴()2lg 10x -≤∴{}0B y y =≤∣，(),1A B ∴⋃=-∞.故选：B【专家解读】本题考查了集合的化简与运算问题，考查计算能力，是基础题. 6.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤， 又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-.故选A ．7.【2020届河北衡水中学二调】已知集合{}|12A x x =-<<，{}2|,B y y x x A ==∈，则()R C A B =（ ） A ．∅ B ．[)1,4C ．()2,4D ．[)2,4【答案】D【解析】求出B 中y 的范围确定出B ，再求出A 的补集，运用集合的交集运算即可． 由题得，{}|04B y y =≤<，又(][),12,R C A =-∞-+∞，所以()[)2,4R C A B ⋂=.故选：D.【专家解读】此题考查了交集、补集及其运算，熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，属于基础题． 8. 【2020届湖南衡阳联考】已知全集U =R ，集合{}2|3130A x x x =-<，{}|31xB y y ==+，则()UAB =（ ）A ．131,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．(0,1]C ．131,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,1)【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合A ,利用指数函数的值域求出集合B ,根据集合补集的定义和集合的交运算求解即可.依题意得，集合1303A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎭⎩,{}|31{|1}xB y y y y ==+=>，由集合补集的定义知，{|1}UB y y =≤，由集合的交运算可得，()(0,1]UA B ⋂=，故选：B【专家解读】本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交、补运算；考查运算求解能力；属于基础题.9.已知全集U R =，集合{|11}A x x =-<， 25{|1}1x B x x -=≥-，则U A C B ⋂=（ ） A. {|12}x x << B. {|12}x x <≤ C. {|12}x x ≤< D. {|14}x x ≤< 【答案】C【解析】由题意得{|11}{|111}{|02}A x x x x x x =-<=-<-<=<<，25254{|1}{|1}{|0}{|14}111x x x B x x x x x x x x x ---=≥=≥=≥=<≥---或， ∴{|14}UB x x =≤<，∴(){|12}U A C B x x ⋂=≤<．选C ．【专家解读】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.10．已知全集U R =，设函数()lg 1y x =-的定义域为集合A ，函数y =的值域为集合B ，则()U A C B ⋂=（ ）A. []1,3B. [)1,3C. (]1,3 D. ()1,3 【答案】D【解析】由题意， 10x ->， 1x >，即()1A =+∞，由22109x x ++≥3 即)[3 B =+∞， 则()3U C B =-∞，()()13U A C B ⋂=，故选D11．设集合A ={x|2x >1}，B ={y|y =√2x −1,x ∈A}，则A ∩(C R B)等于（ ） A. (0,2) B. (0,√3) C. [√3,2) D. (√3,2) 【答案】C【解析】由2x >1，即为2x −1>0，即2−x x>0，即为x(x −2)<0，解得0<x <2,∴A =(0,2)，由0<2x −1<3，即B =(0,√3)，∴C R B =(−∞,0]∪[√3,+∞) ∴A ∩(C R B)=[√3,2) .12.设常数a R ∈，集合()(){}|120A x x x =--≥， {}|B x x a =≥，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()2,+∞D. [)2,+∞ 【答案】B【解析】由题得{|21}A x x x =≥≤或，因为A B R ⋃=，所以通过画数轴分析得到1a ≤，（注意一定要取等），故选B.【专家解读】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点； （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合； （3）注意考虑端点处是否可以重合.。

2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．82．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．45．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．118．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 ．14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 种．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈﹣1N*）,则m地最小值为 ．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 女生 合计 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．8【考点】18:集合地包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q,再根据P⊆Q,根据子集地性质,求出子集地个数即为集合P 地个数；【解答】解:集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},∴Q={0,1,2},共有三个元素,∵P⊆Q,又Q地子集地个数为23=8,∴P地个数为8,故选D；2．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【考点】A5:复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、虚部地定义即可得出．【解答】解:复数==i﹣2地虚部为1．故选:B．3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．【考点】BC:极差、方差与标准差．【分析】根据平均数公式先求出a,再计算它们地方差．【解答】解:设丢失地数据为a,则这组数据地平均数是×（a+0+1+2+3）=1,解得a=﹣1,根据方差计算公式得s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选:A．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．4【考点】KC:双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地离心率以及焦点到直线地距离公式,建立方程组即可得到结论．【解答】解:∵:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,∴e=,双曲线地渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F（c,0）到渐近线bx﹣ay=0地距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C5．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或【考点】7C:简单线性规划．【分析】依题意,三条直线围成一个直角三角形,可能会有两种情形,分别计算两种情形下三角形地顶点坐标,利用三角形面积公式计算面积即可．【解答】解:有两种情形:（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直,则k=﹣,三角形地三个顶点为（0,0）,（0,1）,（,）,三角形地面积为s=×1×=；（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直,则k=0,三角形地三个顶点为（0.0）,（0,1）,（,1）,三角形地面积为s=×1×=．∴该三角形地面积为或．故选:D．6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．【考点】GU:二倍角地正切．【分析】将已知等式两边平方,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解:∵,∴,化简得4sin2α=3cos2α,∴,故选:C．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．11【考点】EF:程序框图．【分析】模拟程序框图地运行过程,求出运算结果即可．【解答】解:起始阶段有m=2a﹣3,i=1,第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9,i=2,第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21,i=3,第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45,i=4,第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93,跳出循环,输出m=32a﹣93=35,解得a=4,故选:A8．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【考点】K8:抛物线地简单性质．【分析】分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD地值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段地性质可求得p,则抛物线方程可得．【解答】解:如图分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,∵|AE|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,∴=求得p=,因此抛物线方程为y2=3x．故选C．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．【考点】L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中地四个三视图,可知四个三视图,分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥,但其中有一个是错误地,根据A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,可得A,C均正确,而根据AC可判断B正确,D错误．【解答】解:三棱锥地三视图均为三角形,四个解析均满足；且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2地棱锥A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥设A中观察地正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥故选D10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】由题意求得cosA=﹣,再由余弦定理,得出关于﹣地方程,构造函数,利用函数零点地判断方法得出cosA地取值范围．【解答】解:△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,∴c=b=2,﹣acosA=1,cosA=﹣＜0,且4＞a＞2；由余弦定理得,cosA==,∴﹣=,化为:8•﹣8•+1=0,令﹣=x∈（﹣,﹣）,则f（x）=8x3﹣8x2+1=0,∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0,f（﹣0.3）=0.064＞0,∴cosA∈（﹣0.4,﹣0.3）．故选:A．11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．【考点】3O:函数地图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1,可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,利用排除法即可得到解析．【解答】解:令f（x）=x3﹣3x2+x+1,则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,∴f（,1）=0,f（1﹣）=0,f（1+）=0,∵sgn（x）=,∴sgn（f（1））=0,可排除A,B；又sgn（f（1﹣））=0,sgn（f（1﹣））=0,可排除C,故选D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]【考点】6B:利用导数研究函数地单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增,分类讨论,根据函数地性质及对勾函数地性质,即可求得实数a地取值范围．【解答】解:由任意地x1,x2∈[1,2],且x1＜x2,由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0,则函数y=丨f（x）丨单调递增,当a≥0,f（x）在[1,2]上是增函数,则f（1）≥0,解得:0≤a≤,当a＜0时,丨f（x）丨=f（x）,令=﹣,解得:x=ln,由对勾函数地单调递增区间为[ln,+∞）,故ln≤1,解得:﹣≤a＜0,综上可知:a地取值范围为[﹣,],故选B．二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是　（）2018　．【考点】DB:二项式系数地性质．【分析】利用二项式定理,对等式中地x赋值﹣2,可求得a0=0,再令x=,即可求出解析．【解答】解:∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018,∴令x=﹣2,得a0=0再令x=﹣,得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018,∴=,故解析为:（）2018,14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有　18　种．【考点】D8:排列、组合地实际应用．【分析】根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,由排列数公式可得其排法数目,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,若A,E种地植物不同；由加法原理可得D、E 区域地排法数目,进而由分步计数原理计算可得解析．【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,三个区域两两相邻,种地植物都不能相同,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,有A33=6种情况,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,则D有2种种法,若A,E种地植物不同,则E有1种情况,D也有1种种法,则D、E区域共有2+1=3种不同情况,则不同地种法共有6×3=18种；故解析为:18．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1N*）,则m地最小值为　8　．【考点】H2:正弦函数地图象．【分析】由正弦函数地有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件地最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣1﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m地最小值为8．故解析为:8．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．【考点】LG:球地体积和表面积．【分析】由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,AD=1,可得四面体ABCD地外接球地半径==,即可求出四面体ABCD地外接球地表面积．【解答】解:由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,∵AD=1,∴四面体ABCD地外接球地半径==,∴四面体ABCD地外接球地表面积为=,故解析为:．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．【考点】8E:数列地求和；82:数列地函数特性；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列地通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．【解答】解:（Ⅰ）∵等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,∴S n==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时,T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时,T n=﹣++…﹣+ =1+=．∴Tn=．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．【考点】MT:二面角地平面角及求法；LS:直线与平面平行地判定．【分析】（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,求出相关点地坐标,求出平面BEF地一个法向量,平面BCF地一个法向量,设平面BCF 与平面BEF所成地锐二面角为θ,利用数量积求解即可．【解答】解:（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD地中点．因为F为DE地中点,所以OF∥BE．因为BE⊄平面ACF,OF⊂平面AFC,所以BE∥平面ACF．（II）因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为ABCD为正方形,所以CD⊥AD．因为AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,所以CD⊥平面DAE．因为DE⊂平面DAE,所以DE⊥CD．所以以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,则E（2,0,0）,F（1,0,0）,A（2,0,2）,D（0,0,0）．因为AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为AE=DE=2,所以．因为四边形ABCD为正方形,所以,所以．由四边形ABCD为正方形,得==（2,2,2）,所以．设平面BEF地一个法向量为=（x1,y1,z1）,又知=（0,﹣2,﹣2）,=（1,0,0）,由,可得,令y1=1,得,所以．设平面BCF地一个法向量为=（x2,y2,z2）,又知=（﹣2,0,﹣2）,=（1,﹣2,0）,由,即:．令y2=1,得,所以．设平面BCF与平面BEF所成地锐二面角为θ,又cos===．则．所以平面BCF与平面BEF所成地锐二面角地余弦值为．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生　5 40 45　女生　15 40 55　合计　20　　80　　100　P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）【考点】CG:离散型随机变量及其分布列；BL:独立性检验．【分析】（1）由频率分布表地性质能完成表（一）,从而能完成频率分布直方图,进而求出30岁以下频率,由此以频率作为概率,能估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格,求出K 2=≈4.04＜5.024,从而得到没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2,分别求出相应地概率,由此能求出ξ地分布列．【解答】解:（1）完成表（一）,如下表:年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）150.1578[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555完成频率分布直方图如下:30岁以下频率为:0.1+0.15+0.25=0.5,以频率作为概率,估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为:12000×0.5=6000．（2）完成表格,如下:50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100K2==≈4.04＜5.024,所以没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2P（ξ=0）==,P（ξ=1）==,P（ξ=2）==．∴ξ地分布列为:ξ012P20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．【考点】KH:直线与圆锥曲线地综合问题．【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆地标准方程及其即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x地一元二次方程,利用直线与椭圆相切⇔△=0,即可解得k地值,进而利用垂直与斜率地关系即可证明；（ii）分类讨论:l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,无论两条直线中地斜率是否存在,都有l1,l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4地直径．【解答】（Ⅰ）解:∵椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．∴,,∴=1,∴椭圆方程为,∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明:（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴地交点为P（0,2）,设过点P（0,2）且与椭圆相切地直线为y=kx+2,联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0,解得k=±1,∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2．∵,∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,则l1:,当l1:时,l1与准圆交于点,此时l2为y=1（或y=﹣1）,显然直线l1,l2垂直；同理可证当l1:时,直线l1,l2垂直．②当l1,l2斜率存在时,设点P（x0,y0）,其中．设经过点P（x0,y0）与椭圆相切地直线为y=t（x﹣x0）+y0,∴由得．由△=0化简整理得,∵,∴有．设l1,l2地斜率分别为t1,t2,∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程,∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直．综合①②知:∵l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4地直径,|MN|=4,∴线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中地应用；54:根地存在性及根地个数判断；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数,利用f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,列出方程组求解a,b．（2）通过a=0,a＜0,判断方程地解．a＞0,求出函数地导数判断函数地单调性,求出极小值,分析出当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a ＞e时方程有两解．【解答】解:（1）因为:（x＞0）,又f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b所以解得:a=2,b=﹣2ln2…（2）当a=0时,f（x）在定义域（0,+∞）上恒大于0,此时方程无解；…当a＜0时,在（0,+∞）上恒成立,所以f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数．∵,,所以方程有惟一解．…当a＞0时,因为当时,f'（x）＞0,f（x）在内为减函数；当时,f（x）在内为增函数．所以当时,有极小值即为最小值…当a∈（0,e）时,,此方程无解；当a=e时,．此方程有惟一解．当a∈（e,+∞）时,,因为且,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解,因为当x＞1时,（x﹣lnx）'＞0,所以x﹣lnx＞1,所以,,因为,所以,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e,+∞）上有惟两解．…综上所述:当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．…[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．【考点】Q4:简单曲线地极坐标方程；O7:伸缩变换．【分析】（I）直线l地参数方程消去数t,能求出直线l地一般方程,由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,能求出曲线C地直角坐标方程,由圆心（2,3）到直线l地距离d=r,得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,从而点M地参数方程为（θ为参数）,由此能求出地取值范围．【解答】解:（I）∵直线l地参数方程为（t为参数）．∴消去数t,得直线l地一般方程为,∵曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,∴由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得曲线C地直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．∵圆心（2,3）到直线l地距离d==r,∴直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,则点M地参数方程为（θ为参数）,∴,∴地取值范围为[﹣2,2]．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．【考点】R2:绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式,然后解绝对值不等式,根据绝对值不等式地解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式地解法去绝对值,然后利用图象研究函数地最小值,使得1﹣2m大于等于不等式左侧地最小值即可．【解答】解:（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3,2≤x≤8,∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时,f（x）=|x﹣1|,令,由图象知:当时,g（x）取得最小值,由题意知:,∴实数m地取值范围为．2023年7月23日31。

2022-2023学年度上学期高三年级六调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某年级有男生180人，女生160人，现用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则样本中女生人数为（ ） A.40 B.36 C.34 D.322.设2i,ia a R z +∈=，则“1a >”是“z >的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.以模型(0)kx y ce c =>去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到经验回归方程21z x =−，则,k c 的值分别是（ ） A.2,e − B.12,e C.12,e− D.2,e 4.设向量a 与b 的夹角为θ，定义sin cos a b a b θθ⊕=+.已知向量a 为单位向量，2b =，1a b −=，则a b ⊕=（ ）A.2 C.2D.5.5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A.5B.-5C.15D.-156.用黑白两种颜色随机地染如图所示的5个格子，每个格子染一种颜色，则从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（ ）A.6B.10C.16D.207.为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育､美育､书法三门选修课程.该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为（ ）A.536 B.16 C.736D.7188.已知实数,,a b c 满足ln ln ln 0a a b ce b c==−<，则（ ）A.b a c <<B.c b a <<C.a b c <<D.c a b <<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生都参加且每人只参加其中一个社团，校团委从全校学生中随机选取一部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，则（ ）A.选取的这部分学生的总人数为500B.合唱社团的人数占样本总量的35%C.选取的学生中参加机器人社团的人数为75D.选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍10.在二项式8⎛⎝的展开式中（ ）A.常数项是第4项B.所有项的系数和为1C.第5项的二项式系数最大D.第4项的系数最小11.盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A =“两个球颜色相同”，B =“第1次取出的是红球”.C =“第2次取出的是红球”，D =“两个球颜色不同”，则（ ）A.A 与B 相互独立B.A 与D 互为对立事件C.B 与C 互斥D.B 与D 相互独立12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1i a =或2i a =的概率均为()11,2,3,,2i n =.设nS 能被3整除的概率为n P ，则（ ） A.21P = B.314P = C.113411024P =D.当5n …时，13n P <第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13，有一组样本数据1234,,,x x x x .，该样本的平均数和方差均为m .在该组数据中加入一个数m ，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________.14，两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到这件产品是合格品的概率为__________.15.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数()11rn n C +，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出()()1111111r r r n n n n C n C nC +−+=++，令()()221111111312306012n n n a n C n C+=++++++++，记n S 是{}n a 的前n 项和，则n S =__________.16.在三棱锥P ABC −中，,24,PAC PAB PA PB AC AB BC ∠∠======若三棱锥P ABC −的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）从某酒店开车到机场有两条路线，为了解这两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各10次的全程时间（单位：min ），数据如下表所示：将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ，经计算可得50,60x y ==. （1）求2212,s s ；（2）假设路线一的全程时间X 服从正态分布()211,N μσ，路线二的全程时间Y 服从正态分布()222,N μσ，分别用2212,,,s x y s 作为221212,,,μμσσ的估计值.现有甲､乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过60min ，乙要求路上时间不超过70min ，为尽可能满足客人的要求，司机送甲､乙去机场应该分别选哪条路线？ 18.（12分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()cos cos cos 0a B C b c B C ++++=.（1）求A ；（2）若D 为线段BC 延长线上的一点，且,3BA AD BD CD ⊥=，求sin ACD ∠. 19.（12分）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检. （1）在试产初期，批次M 芯片生产前三道工序的次品率分别为123111,,605958P P P ===. （i ）求批次M 芯片的次品率M P ；（ii ）第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验，已知智能自动检测显示批次M 芯片的合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；（2）该企业改进生产工艺后生产了批次 N 的芯片.某手机生产厂商获得批次M 与批次N 的芯片，并在某款新型手机上使用，现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装批次M 芯片的有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N 芯片的有60部，其中对开机速度满意的有58人.依据0.005α=的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度的满意度有关？附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m （其中：100400m ≤≤），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：（2）从样本的B 级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350,400]的零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A 级零件的利润是10元，一个B 级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润. 21.（12分）如图，直三棱柱111A B C ABC −中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，D ，E ，F 分别为AC ，BC ，1B B 的中点，111C F A B ⊥，G 为线段DE 上一动点.（1）证明：11C F AG ⊥；（2）求平面11GA C 与平面11GA B 夹角的余弦值的最大值. 22.（12分）汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：x 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车. （i ）若95w =，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；（ii ）设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为()f p ，求当w 为何值时，()f p 最大.附：ˆˆy bx a =+为回归方程，1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==−=−∑∑，ˆˆa y bx=−.参考答案及解析2022-2023学年度上学期高三年级六调考试·数学一､选择题1.D 【解析】由题意得样本中女生人数为1606832180160⨯=+.2.A 【解析】由题意得22i 2i iaz a −==−，所以z ==.令z >1a >或1a <−，故“1a >”是“z >的充分不必要条件.3.B 【解析】由题意得()ln ln ln kxy cec kx ==+，设ln z y =，可得ln z c kx =+.又经验回归方程为21z x =−， 所以ln 1,2c k =−=，故1,2c k e==. 4.C 【解析】由题意得222211a b a a b b −=−⋅+=−=，解得cos 2θ=.又[]0,θπ∈，所以sin 2θ==.所以2222112a b a b a a b b ⊕=+=+⋅+=2=5.C 【解析】5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭可看作5个311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭相乘，展开式中3x 可由2种情况获得：①从中取2个式子提供3,3x 个式子提供1x ，则可得到()32233353110C x C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②从中取1个式子提供3,4x 个式子提供-1，则可得到()13435144(1)5C x C x −=，故5311x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为10515+=.6.B 【解析】由题意得从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有3种：①全染黑色，有1种方法；②第1个格子染黑色，另外4个格子中有1个格子染白色，剩余的格子都染黑色，有144C =种染色方法；③第1个格子染黑色，另外4个格子中有2个格子染白色，剩余的格子都染黑色，有2415C −=（种）染色方法，所以从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有1+4+5=10（种）. 7.D 【解析】6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一名同学选修，共有222112336266534333C C C C C C C A A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭540（种）选课方法，佮有2名同学选修传统体育的选课方法有222122642224210C C C C A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭（种），所以恰有2名同学选修传统体育的概率210754018P ==. 8.C 【解析】由题意知0,0,0a b c >>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==−<，得0 1.01,1a b c <<<<>.设()ln (01)xf x x x =<<，则()()21ln 0,x f x f x x−=>'单调递增.因为1x e x x +>…，所以0a e a >>.又ln 0a <，所以ln ln a a a e a>，故ln ln b ab a >，所以()()f b f a >，则b a >，故01a bc <<<<，即a b c <<. 二､多选题9.AC 【解析】由两个统计图可得参加演讲社团的人数为50，占选取的学生总人数的10%，所以选取的学生的总人数为50÷10%=500，故A 正确；合唱社团的人数为200，则合唱社团的人数占样本总量的200500⨯100%=40%，故B 错误；选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的1-40%-20%-15%-10%=15%，所以选取的学生中参加机器人社团的人数为500×15%=75，故C 正确；选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团的人数为75，故D 错误.10.BCD【解析】二项式8⎛⎝的展开式的通项为8818(1)2kk k k kk T C −−+⎛==− ⎝.48k k C x −，对于A ，令40k −=，得4k =，故常数项是第5项，故A 错误；对于B ，令1x =，则所有项的系数和是8(21)1−=，故B 正确；对于C ，展开式共9项，则第5项的二项式系数最大，故C 正确；对于D ，设第(1)k +项的系数的绝对值最大，则888819817822,22,k k k k k k k k C C C C −−−−+−⎧⋅⋅⎨⋅⋅⎩……解得23k 剟.又k Z ∈，所以2k =或3k =，当2k =时，231792T x =；当3k =时，41792T x =−，所以第4项的系数最小，故D 正确.11.ABD 【解析】设2个红球分别为12,,2a a 个白球分别为12,b b ，则样本空间为()(){1211Ω,,,a a a b =，()()()()()(12212122111,,,,,,,,,,a b a a a b a b b a b ,)()()()()}212212221,,,,,,,,a b b b a b a b b ，共12个基本事件，事件()()()({1221122,,,,,,A a a a a b b b =,)}1b ，共4个基本事件，事件()(){1211,,,B a a a b =，()()()()}12212122,,,,,,,a b a a a b a b ，共6个基本事件，事件()()()(){21112112,,,,,,,C a a b a b a a a =，()()}1222,,,b a b a ，共6个基本事件，事件({1D a =,)()()()()()11221221112,,,,,,,,,,b a b a b a b b a b a ，()()}2122,,,b a b a ，共8个基本事件.对于A ，因为()()()416121,,123122126P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =成立，则A 与B 相互独立，故A 正确；对于B ，因为,ΩA D A D ⋂=∅⋃=，所以A 与D 是对立事件，故B 正确；对于C ，因为B C ⋂≠∅，所以B 与C 不互斥，故C 错误；对于D ，因为()()()82141,,1232123P D P B P BD =====，所以()()()P B P D P BD =成立，则B与D 相互独立，故D 正确.12.BC 【解析】由题意得1233221210,,2224P P P =====，故A 错误､B 正确；n S 被3除的余数有3种情况，分别为0,1,2，所以1n P +()112n P =−，则1111323n n P P +⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭.所以1133n P −=−.112n −⎛⎫− ⎪⎝⎭，即1111323n n P −⎛⎫=−⋅−+ ⎪⎝⎭，所以10111113413231024P ⎛⎫=−⨯−+= ⎪⎝⎭，故C 正确；当6n =时，56111111323323P ⎛⎫=−⨯−+=> ⎪⎝⎭，故D 错误.三､填空题13.45m 【解析】样本数据1234,,,x x x x 的平均数和方差均为m ，在该组数据中加入一个数m ，则新样本数据的平均数()145x m m m =⨯⨯+=，方差22144()55s m m m m ⎡⎤=⨯⨯+−=⎣⎦. 14.0.957 【解析】设i A =“取到的产品来自第i 批”()1,2,i B ==“取到合格品”，则()()()()12120.3,0.7,0.95,0.96P A P A P B A P B A ====∣∣，由全概率公式得()()()()()11220.30.950.70.960.957P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=∣∣.15.1122n n −++ 【解析】由()()1111111r r r n n n n C n C nC +−+=++，得()()()12111111221n n nn C n C n C +++=+++，所以()()()()211112112n n C n n n n +=−++++， 所以111111223233434n a ⎛⎫⎛⎫⎛=−+−+−⎪ ⎪ ⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝()()()111145111n n n n n n ⎡⎤⎡⎫++−+−⎢⎥⎢⎪⨯−++⎭⎢⎥⎢⎣⎦⎣ ()()()()11111112212212n n n n n n ⎤=−=−+⎥++++++⎥⎦所以1211223n n n S a a a =+++=−+− 11111111341222222n n n n n n −+−−+=−+=+++++ 16.22π 【解析】由题意得222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，且45PAB ∠=，所以45PAC PAB ∠∠==.在PAC 中，由余弦定理得2222cos 1622410PC AC PA AC PA PAC ∠=+−⋅⋅=+−⨯=，所以22221012PB PC BC +=+==，所以PB PC ⊥.又,,PA PC P PA PC ⋂=⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，故可将三棱锥P ABC −补为直三棱柱11BA C PAC −，如图所示，则直三棱柱11BA C PAC −的外接球即为三棱锥P ABC−的外接球.设PAC外接圆圆心为211,O A BC 的外接圆圆心为1O ，则直三棱柱的外接球球心为12O O 的中点O ，连接OA ，则OA 即为外接球的半径.在PAC中，根据正弦定理可得22sin 2PC O A PAC ∠===，所以2O A =22222212222115222O O OA OO O A O A ⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该外接球的表面积为21144222OA πππ⋅=⨯=四､解答题17.解：（1）()2222222221168161681212610010s =+++++++= (22222222222124822118110s =+++++++++)2116=（2）由（1）知()()2250,10,60,4X N Y N ~~.因为()()6050P X P X >剟，且.()()150602P X P Y ==剟 所以()()6060P X P Y >剟. 因为()()()11702,70P X P X P Y μσ=+>剟?()()()2211682,2P Y P Y P X μσμσ=++=剟?()222P Y μσ+…，所以()()7070P X P Y <剟， 所以送甲去机场应该选择路线一，送乙去机场应该选择路线二. 18.解：（1）由已知得()()cos cos cos a B C b c A +=+， 由正弦定理，得()()sin cos cos sin sin cos A B C B C A +=+， 则sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A −=−， 即()()sin sin A B C A −=−，所以C B π−=（舍去）或2B C A +=， 故2A A π−=， 所以3A π=.（2）设ACB ∠θ=， 在ACD 中，由正弦定理，得sinsin 6CDACππθ=⎛− ⎝①， 在ABC 中，由正弦定理，得sinsin 33BCACππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭②，所以sin 3sin 6πθπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫− ⎪⎝⎭，1sin cos 222θθ+=，解得tan θ=所以sin 14θ=，即sin 14ACD ∠=. 19.（1）（i ）批次M 芯片的次品率为()()()12359585711111160595820M P P P P =−−−−=−⨯⨯=（ii ）设批次M 的芯片智能自功检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ， 由已知得98119(),()111002020M P A P AB P ==−=−=， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率为()1910095()()209898P AB P B A P A ==⨯=.（2）零假设为0H ：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联. 由已知可建立22⨯列联表如下：220.005100(1058230)10.6697.879.40601288x χ⨯⨯−⨯=≈>=⨯⨯⨯根据0.005α=的独立性检验，我们推断此推断0H 不成立，即认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联.此推断犯错误的概率不大于0.005. 20.解：（1）质量指标值在250以下的产品所占比例为()0.0010.0020.003500.30.6++⨯=<，在300以下的产品所占比例为0.30.008500.70.6+⨯=>. 所以60%分位数一定位于区间[)250,300内.由0.60.325050287.50.70.3−+⨯=−，可以估计该产品的质量指标值的60%分位数为287.5.（2）()0.0010.0015010010+⨯⨯=，所以样本的B 级零件个数为10个， 质量指标值在[350，400]的零件为5个， 故ξ可能取的值为0，1，2，3，30553101(0)12C C P C ξ===，()21553105112C C P C ξ===，()12553105212C C P C ξ===，03553101(3)12C C P C ξ===随机变量ξ的分布列为所以()1212122E ξ=++=. （3）设每箱零件中A 级零件有X 个，每箱零件的利润为Y 元，则B 级零件有()500X −个，由题意知：()10550052500Y X X X =+−=+，由（2）知：每箱零件中B 级零件的概率为()0.0010.001500.1+⨯=，A 级零件的概率为1-0.1=0.9所以()~500,0.9X B ， 所以()5000.9450E X =⨯=，所以()()()52500525004750E Y E X E X =+=+=（元）. 所以每箱零件的利润是4750元21.（1）证明：在直三棱柱111A B C ABC −中，侧面11AA B B 为正方形， 所以11111AB A B A B B B ⊥，∥，而111C F A B ⊥，1111,,B B C F F B B C F ⋂=⊂平面11BB C C ， 所以11A B ⊥平面11BB C C ， 所以AB ⊥平面11BB C C ，又BC ⊂平面11BB C C ，，所以BC ⊥，以B 为坐标原点，,,AB BC BB ，所在的直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则11(2,0,2),(0,2,2),(1,1,0),(0,1,0),A C D E1(0,0,1),(0,0,2),F B故()()11,0,0,0,2,1ED C F ==−−.设()01EG ED λλ=剟，则()1,0,0EG λ=，故(,1,0)G λ 所以()12,1,2AG λ=−−， 故()()110,2,12,1,20C F AG λ⋅=−−⋅−−=， 所以11C F AG ⊥，即11C F A G ⊥. （2）解由（1）可知：11111(2,2,0),(2,1.2),(2,0,0)AC AG A B λ=−=−−=−， 设平面11C A G 的法向量为(),,m x y z =，则11100m AC m AG⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2+20(2)20x y x y z λ−=⎧⎨−+−=⎩，令2x =，则2,1y z λ==−，则平面11GA C 的一个法向量为(2,2,1)m λ=−， 设平面11A GB 的法向量为(),,n a b c =，则1110n A B n A G ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20(2)20a a b c λ−=⎧⎨−+−=⎩，则0a =，令1c =，则2b =，则平面11GA B 的一个法向量为(0,2,1)n =， 设平面11GA C 与平面11GA B 的夹角为θ，故|||||cos |c |os ,|||5m n mm n n θ=〈〉==⋅=⋅令3,[3,4]t t λ+=∈，则cos |θ===， 而函数22481y t t =−+在111[,]43t ∈时单调递增，故114t =时，22481y t t=−+取最小值， 即当114t =，即4,1t λ==时，cos θ=5. 故平面11GA C 与平面11GA B . 22.（1）解：由题意得1234535x ++++==，1012172026175y ++++==，1110212317542052269ni ii x y==⨯+⨯+⨯++=⨯⨯∑22222211234555nii x==++++=∑.所以12212955317ˆ45545ni ii nii x ynx ybxnx ==−⋅−⨯⨯===−−∑∑，ˆˆ17435a y bx =−=−⨯=. 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ45y x =+， 令ˆ4550yx =+>，得11.25x >， 又x 为正整数，所以12x …. 所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆.（2）解：（i ）由题意知，该地区200名购车者中女性有200954560−−=名， 故其中购置新能源汽车的女性车主的有602040−=名.所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为408404517=+.所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为817.当7x =时，ˆ47533y=⨯+=， 所以预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆， 因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为83315.517⨯≈万人 （ii ）由题意知，45,013545p w w =≤≤+，11,4p 剟则()3325435()C (1)102f p p p p p p =−=−+所以()()43222()1058310583f p p p pp pp =−+−+'210(1)(53)p p p =−−当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，知()0f p '>所以函数()f p 单调递增 当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，知()0f p '<所以函数()f p 单调递减所以当()3,5p f p =取得最大值即323max 5333216()C 1555625f p f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 此时453455w =+，解得30w =， 故当30w =时()f p 取得最大值216625.。

2017—2018学年高三一轮复习周测卷（一）理数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1、下列说法正确地是A ．0与地意义相同B ．高一（1）班个子比较高地同学可以形成一个集合C ．集合是有限集D ．方程地解集只有一个元素2、已知集合,则A ． B ． C ． D ．3、设命题,则为A ．B ．C ．D ．4、已知集合,则集合A ． B ． C ． D ．5、设,则""是""地A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是A ． B ． C ． D ．7、已知命题有解,命题,则下列选项中是假命题地为A ．B ．C ．D ．8、已知集合,则集合不可能是A ． B ． C ． D ．{}0{}(,)|32,x y x y x N +=∈2210x x ++=2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈A B =(0,2)[0,2]{}0,2{}0,1,22:"1,1"p x x ∀<<p ⌝21,1x x ∀≥<201,1x x ∃<≥21,1x x ∀<≥201,1x x ∃≥≥2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-A B = 1[0,)2[0,1]1(,1]21(,)2+∞,a b R ∈22log log a b >21a b ->221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-p q a 1(0,)21[0,)21(0,]21[,1)22:,10p m R x mx ∀∈--=2000:,210q x N x x ∃∈--≤p q ∧()p q ∧⌝p q ∨()p q ∨⌝{|A x y A B φ=== B 1{|42}x x x +<{(,)|1}x y y x =-φ22{|log (21)}y y x x =-++9、设,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是A ．B ．C ．D ．10、已知命题,命题,若命题且是真命题,则实数地取值范围是A ．B ．C ．D ．11、对于任意两个正整数,定义某种运算"",法则如下:当都是正奇数时,；当不全为正奇数时,,则在此定义下,集合 地真子集地个数是A ．B ．C ．D ．12、用表示非空集合中地元素个数,定义 ,若,且,设实数地所有可能地取值集合是,则A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把解析填在答题卷地横线上..13、已知含有三个实数地集合既可表示成,又可表示成,则等于14、已知集合,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是15、已知集合,若,则实数地所有可能取值地集合为16、下列说法错误地是 (填序号)①命题",有"地否定是",有"；②若一个命题地逆命题,则它地否命题也一定为真命题；③已知,若为真命题,则实数地取值范围是1,:()[(1)]0p q x a x a ≤---≤p q a 3[1,]23(1,)23(,1)[,)2-∞+∞ 3(,1)(,)2-∞+∞ 2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥2:,220q x R x ax a ∃∈++-=p q a {}(,2]1-∞ (,2][1,2]-∞ [1,)+∞[2,1]-,m n *,m n m n m n *=+,m n m n mn *={(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈721-1121-1321-1421-()C A A ()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=1A B *=a {,,1}b a a 2{,,0}a a b +20172017a b +2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<x A ∈x B ∈m {1,1},{|20}A B x ax =-=+=B A ⊆a 1212,,x x M x x ∃∈≠1221[()()]()0f x f x x x -->1212,,x x M x x ∃∉≠1221[()()]()0f x f x x x --≤21:230,:13p x x q x+->>-()q p ⌝∧x (,3)-∞- (1,2)[3,)+∞④""是""成立地充分条件三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知集合 .（1）分别求；（2）已知集合,若,求实数地取值范围.18、（本小题满分12分）（1）已知,关于地方程有实数,关于地函数在区间上是增函数,若"或"是真命题,"且"是假命题,求实数地取值范围；（2）已知,若是地必要不充分条件,求实数地取值范围.19、（本小题满分12分）集合（1）若集合只有一个元素,求实数地值；（2）若是地真子集,求实数地取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数地值域是集合A,关于地不等式地解集为B,集合,集合.（1）若,求实数地取值范围；（2）若,求实数地取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数,集合.（1）若,求实数地值；3x ≠3x ≠2{|3327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>,()R A BC B A {|1}C x x a =<<C A ⊆a :p x 240x ax -+=:q x 224y x ax =++[3,)+∞p q p q a 22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤p ⌝q ⌝a 219{|()(3)0},{|ln(0}24A x x xB x x ax a =--==+++=B a B A a ()41log ,[,4]16f x x x =∈x 31()2()2x a x a R +>∈5{|0}1x C x x -=≥+{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->A B B = a D C ⊆m ()f x =A 22{|290}B x x mx m =-+-≤[2,3]A B = m（2）若,使,求实数地取值范围.22、（本小题满分12分）已知是定义域为R 地奇函数,且当时,,设"".（1）若为真,求实数地取值范围；（2）设集合与集合地交集为,若为假,为真,求实数地取值范围.12,()R x a x C B ∀∈∃∈21x x =m ()f x 12x x <1212()[()()]0x x f x f x -->:p 2(3)(128)0f m f m ++-<p m :q {|(1)(4)0}A x x x =+-≤{|}B x x m =<{}|1x x ≤-p q ∧p q ∨m。

衡水金卷2018届全国高三大联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,,则（）A. B.C. D.【解析】C【解析】..................................所以,.故选C.2. 记复数地虚部为,已知复数（为虚数单位）,则为（）A. B. C. D.【解析】B【解析】.故地虚部为-3,即.故选B.3. 已知曲线在点处地切线地倾斜角为,则（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由,得,故.故选C.4. 2023年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行为此发行了以此为主题地金银纪念币.如下图所示是一枚8克圆形金质纪念币,直径,面额100元.为了测算图中军旗部分地面积,现用1粒芝麻向硬币内投掷100次,其中恰有30次落在军旗内,据此可估计军旗地面积大约是（）A. B. C. D.【解析】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得,芝麻落在军旗内地概率为,设军旗地面积为S,由题意可得:.本题选择B选项.5. 已知双曲线:（,）地渐近线经过圆:地圆心,则双曲线地离心率为（）A. B. C. D.【解析】A【解析】圆:地圆心为,双曲线地渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列,且,则（）A. B. C. D.【解析】A【解析】依题意,得,所以.由,得,或（由于与同号,故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图地程序框图,若输出地地值为,则①中应填（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由图,可知.故①中应填.故选C.8. 已知函数为内地奇函数,且当时,,记,,,则,,间地大小关系是（）A. B. C. D.【解析】D【解析】函数是奇函数,则,即当时,,构造函数,满足,则函数是偶函数,则,当时,,据此可得:,即偶函数在区间上单调递减,且:,结合函数地单调性可得:,即:.本题选择D选项.点睛:对于比较大小、求值或范围地问题,一般先利用函数地奇偶性得出区间上地单调性,再利用其单调性脱去函数地符号"f",转化为考查函数地单调性地问题或解不等式(组)地问题,若f(x)为偶函数,则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．9. 已知一几何体地三视图如下图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体地体积为（）A. B. C. D.【解析】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形地三棱锥构成地组合体,故其体积.故选A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间地关系,遵循"长对正,高平齐,宽相等"地基本原则,其内涵为正视图地高是几何体地高,长是几何体地长；俯视图地长是几何体地长,宽是几何体地宽；侧视图地高是几何体地高,宽是几何体地宽.由三视图画出直观图地步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面地直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右地高度；3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数（,）地部分图像如下图所示,其中.记命题:,命题:将地图象向右平移个单位,得到函数地图象,则以下判断正确地是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【解析】D【解析】由,可得.解得.因为,所以,故为真命题；将图象所有点向右平移个单位,得.地图象,故为假命题,所以为假,为真,为假,为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质:过焦点地光线经抛物线反射后得到地光线平行于抛物线地对称轴；反之,平行于抛物线地对称轴地入射光线经抛物线反射后必过抛物线地焦点.已知抛物线地焦点为,一条平行于轴地光线从点射出,经过抛物线上地点反射后,再经抛物线上地另一点射出,则地周长为（）A. B. C. D.【解析】B【解析】令,得,即.由抛物线地光学性质可知经过焦点,设直线地方程为,代入.消去,得.则,所以..将代入得,故.故.故地周长为.故选B.点睛:抛物线地光学性质:从抛物线地焦点发出地光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线地对称轴.12. 已知数列与地前项和分别为,,且,,,,若,恒成立,则地最小值是（）A. B. C. D.【解析】B【解析】已知,,两式子做差得到,故数列是等差数列,由等差数列地通项公式得到,故,故裂项求和得到,由条件恒成立,得到K 地最小值为．故解析选B ．点睛:本题考查到了通项公式地求法,从而得到数列是等差数列,再求出,根据裂项求和地方法可以求出前n 项和。