平面向量及其加减运算(学生版)

）
r
r
A ．如果向量 b 与向量 a 平行，那么存在唯一的实数
r
r
B．如果 m 、 n 为实数，那么 m( na) ( mn)a ；
rr m 使得 b ma ；
r rr C．如果 m 、 n 为实数，那么 ( m n) a ma na ；
rr
rr
D．如果 m 、 n 为实数，那么 m( a b) ma mb ．
6．向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、 最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．
6 / 18
八年级春季班
例题解析
【例 11】 化 简：
uuur uuur uuur uuur
（ 1） AB BC CD DA
；
uuur uuur uuur uuur uuuur （ 2） ( AB MB) (BO BC) OM _______________ ．
知识精讲
1．有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段．
2．向量 既有大小又有方向的量叫做向量． 向量的大小也叫做向量的长度． （或向量的模）
3．向量的表示 （ 1）向量可以用有向线段直观表示
①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向．
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八年级春季班
（ 2）常见的表示方法
uuur
uuur
那么 OC =
， AB =
．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例 8】 在梯形 ABCD 中， AD / /BC ， AB CD ， DE / / AB ，点 E 在 BC 上，如果把图中
线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）

注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。

ABCD
首
则
AC a b
首 相
C
连
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练一练
a, b 如图,已知 用向量加法的平行四边形法则作出 ab
（1）
b
ab
首
ba
首 相
（2）
b
a
ab
连
a
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回顾例1：平行四边形ABCD中，
AB AD AC
AD 问: 能否不移动向量 , 而移动向
量 ？结果是否和原来一样呢？
AB
。 a
说明：
① 规定 0 0
② 性质
a
a
a
a
a
a
0
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2、向量的减法：
向量
a
与向量
b
的负向量的和定义为向量
a
b 与向量
的差，即
ab a b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
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a b 1、向量减法法则：已知向量 ， 不共线，求作
向量 ，使 c
a a a a
a
a bbbbb
B
A
C
a b AB AC CB
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a b 例1 已知如图所示向量 、 ，请画出向量
a
b
O a
A
b a b
a b
B
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例2 化简：
⑴ OD OA
⑵ AB AC BD DC
解： ⑴ OD OA AD
⑵ AB AC BD DC
的向量．
这种求不共线的两个向量和的方法叫做
首
向量加法的平行四边形法则
首 相

平面向量的加减运算平面向量是数学中的重要概念，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍平面向量的加减运算，以及相关的性质和应用。

一、平面向量的表示方法平面向量的表示方法有多种，如AB、(AB)、A B⃗等。

其中，AB 表示由点A指向点B的有向线段，(AB)表示线段的名字，A B⃗表示向量的名字。

在本文中，我们将使用A B⃗来表示平面向量。

二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的加法运算可以表示为A B⃗+C D⃗=E F⃗。

其中，E F⃗是向量A B⃗和向量C D⃗的和向量。

平面向量的加法运算有以下几个性质：1. 交换律：A B⃗+C D⃗=C D⃗+A B⃗，即向量的加法满足顺序交换的性质。

2. 结合律：(A B⃗+C D⃗)+E F⃗=A B⃗+(C D⃗+E F⃗)，即向量的加法满足结合的性质。

3. 对于向量A B⃗，存在一个特殊向量0⃗，使得A B⃗+0⃗=A B⃗。

其中，0⃗表示零向量，它的长度为0且方向任意。

三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的减法运算可以表示为A B⃗-C D⃗=G H⃗。

其中，G H⃗是向量A B⃗减去向量C D⃗的差向量。

平面向量的减法运算可以通过加法运算来实现：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)，其中，-C D⃗表示向量C D⃗的相反向量，它的长度与方向与向量C D⃗相同，但方向相反。

平面向量的减法运算有以下几个性质：1. 减法的定义：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)。

2. A B⃗-A B⃗=0⃗，即一个向量减去它本身得到零向量。

四、平面向量的加减运算的应用平面向量的加减运算在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用案例：1. 平移变换：可以通过向量的加法实现平面上的点的平移变换。

在物理学中的应用
01
平面向量加减法在物理学中的性质和定理
02
向量的加法满足平行四边形定则
向量的减法满足三角形定则
03
在物理学中的应用
向量的数乘满足标量积定理
1
2
平面向量加减法在物理学中的实际应用
确定力的合成与分解
3
在物理学中的应用
计算物体的运动轨迹和速度
解决物理问题，如力学、电磁学等
05
平面向量加减法的练习 与巩固
平行法则适用于任何两个相同的向量 。通过将一个向量分解成两个相同的 子向量，可以找到原始向量的和。这 个法则也可以用于任何数量的相同向 量。
04
平面向量加减法的应用
解向量方程
求解向量方程的解 根据给定的向量方程，确定未知量
通过加减法运算，解出未知量的值
解向量方程
检验解的正确性，确 保解符合原始向量方 程
向量减法的几何意义
两个向量相减，得到的新的向量的方向和大小与原来的两个向量有关系。
02
平面向量加减法的运算 性质
向量的加法交换律
总结词
向量加法满足交换律
详细描述
设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是平面向量，则有$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$，即向量加法满足交换律。ຫໍສະໝຸດ 练习题一：判断题总结词
掌握平面向量加减法的基本概念
判断下列说法是否正确
向量a+向量b的和向量等于向量a与 向量b之和。（×）
判断下列说法是否正确
向量a与向量b的和向量等于向量a+ 向量b。（×）
判断下列说法是否正确

平面向量的加减运算平面向量是表示平面上的有向线段的数学工具，常用于描述位移、速度、力等物理量。

在平面向量的运算中，加法和减法是最基本的操作。

1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。

设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的和为向量A(A₁,A₂)，即：A = A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的差为向量A(A₁, A₂)，即：A = A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)在进行平面向量的加减运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。

具体操作如下：1. 给出需要进行加减运算的向量A和向量A的坐标表示。

2. 将两个向量的对应坐标进行相加（或相减），得到新的坐标。

3. 根据得到的新坐标，构造新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）。

4. 最后，将新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）的坐标表示写出，即完成了平面向量的加减运算。

补充说明：1. 在计算过程中，要注意坐标的顺序，确保符号对应正确。

2. 加法运算和减法运算可以通过相互转化来进行，即：A + A = A - ( - A)3. 若有多个向量进行加减运算，可以采用逐步进行的方法，先进行第一对向量的运算，然后将得到的结果与下一个向量进行运算，依次类推。

4. 在实际问题中，应用到向量加减运算时，可以结合图像进行解释和计算，更直观地理解向量的运算规律。

通过以上步骤，我们可以完成平面向量的加减运算。

在实际应用中，平面向量的加减运算常常用于解决平面几何和物理学中的问题，如位移、速度、力的合成分解等。

总结：平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。

通过计算向量的各个坐标，然后进行相应的加减操作，我们可以得到最终的结果。

数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向

平面向量的加减法一、引言在数学中，向量是一个朝着特定方向的量，它有大小和方向两个属性。

平面向量可以按照特定的法则进行加减运算，这使得我们可以方便地处理平面上的各种几何问题。

本文将详细介绍平面向量的加减法，在探讨其原理和应用的基础上，给出一些实例进行解析。

二、平面向量的定义平面向量是指在平面上的一个有方向的线段，可以用一个箭头来表示。

平面向量通常用字母加上一个箭头表示，如a→和b→。

其中，线段的起点称为向量的起点，线段的终点称为向量的终点。

平面向量还可以用坐标表示，如向量a→可以表示为(a₁, a₂)。

三、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量按照一定的法则相加得到一个新的向量。

对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的加法定义如下：a→ + b→ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)换句话说，平面向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

这一法则也可以简单归纳为平行四边形法则。

1. 加法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的和可以计算如下：a→ + b→ = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)四、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的减法定义如下：a→ - b→ = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)换句话说，平面向量的减法就是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

1. 减法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的差可以计算如下：a→ - b→ = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4)五、平面向量的性质平面向量的加法和减法满足一些性质，下面列举几个重要的性质：1.交换律：a→ + b→ = b→ + a→2.结合律：a→ + (b→ + c→) = (a→ + b→) + c→3.零向量：对于任意向量a→，都有a→ + 0→ = a→4.反向量：对于任意向量a→，都有a→ + (-a→) = 0→这些性质对于解题和简化计算过程是非常有用的。

平面向量的加减运算平面向量在数学中是一个重要的概念，它可以表示二维平面上的位移或力的作用方向和大小。

平面向量可以进行加减运算，下面将详细介绍平面向量的加减运算及其相关性质。

一、平面向量的定义与表示方式平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。

在平面直角坐标系中，平面向量通常用坐标表示。

设A和B是平面上的两点，则向量AB记作→AB（小箭头在AB上方）。

向量AB的大小记作|→AB|，方向从A指向B。

二、平面向量的加法运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，形成一个平行四边形，新向量的起点是原来两个向量的起点，终点是平行四边形的对角线的交点。

假设有两个向量→AB和→CD，要求它们相加得到新向量。

步骤如下：1. 将AB放在平面坐标系中，使A点为原点，AB的方向与x轴平行。

2. 将CD放在平面坐标系中，使C点对应上一步中的A点，CD的方向与y轴平行。

3. 以D为起点，画一条⇒DE平行于AB，E是DE与AB的交点。

4. 向量→AD即为向量→AB与→CD的和，可以用坐标表示。

三、平面向量的减法运算平面向量的减法可以通过加法的逆运算实现。

即将被减向量取反，然后与减向量进行加法运算。

设有两个向量→AB和→CD，要求求其差向量。

步骤如下：1. 将CD取反，即→CD变为→DC。

2. 对向量→AB和→DC进行加法运算，得到新的向量→AD。

3. 向量→AD即为向量→AB与→CD的差向量。

四、平面向量加减运算的性质1. 交换律：平面向量的加法运算满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。

2. 结合律：平面向量的加法运算满足结合律，即(→AB+→CD)+→EF=→AB+(→CD+→EF)。

3. 减法与加法的关系：向量减法可以通过加法和取反来表示，即→AB-→CD=→AB+(-→CD)。

4. 减法的性质：两个向量的差向量的起点为被减向量的起点，终点为减向量的终点。

五、平面向量加减运算的应用平面向量的加减运算在几何学和物理学中有广泛的应用。

交换律：向量加法满足交换律，即a+b=b+a
向量加法的几何意义：表示平行四边形的对角线
向量加法的代数表示：表示两个向量的坐标之和
结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)
02
平面向量的减法运算
向量减法的定义
向量减法满足三角形法则，即任意两个向量的差等于第三个向量加上与第三个向量共线的向量
在物理中的应用
力的合成与分解
电磁学中的洛伦兹力
速度与加速度的合成与分解
力的平衡与扭矩
在解析几何中的应用
平面向量加法和减法在解析几何中用于表示点的移动和变化
平面向量加法和减法可以用于表示和解决一些几何变换问题，如平移、旋转等
平面向量加法和减法可以用于解决解析几何中的一些问题，如求交点、求轨迹等
平面向量加法和减法可以用于计算两点之间的距离和方向
在日常生活中的应用
物理中的向量加法和减法：解释力和运动的合成与分解
经济学中的成本和收益分析：通过向量加法和减法进行优化
地理学中的风向和风速测量：利用向量加法和减法计算风向角和风速大小
生物学中的遗传和变异研究：通过向量加法和减法分析基因型和表现型之间的关系
汇报人：XX
感谢观看
向量减法可以表示为连接起点和终点的有向线段
向量减法的结果与减数的方向有关
向量减法的运算律
பைடு நூலகம்
向量减法满足结合律：a-b-c=a-(b+c)
向量减法满足数乘分配律：λ(a-b)=λa-λb
向量减法满足向量的模运算律：|a-b|≤|a|+|b|
向量减法满足交换律：a-b=-b+a
03

50
分析思考
1．若λa＝0，则λ＝0对吗？ 提示：不对．当λa＝0时，λ＝0或a＝0. 2．共线向量定理中b＝λa，a若为0如何？ 提示：当a＝0时，则λ不存在(b≠0时)或者不唯一(b＝0时 )． 3．已知向量a，b不共线，则m＝a－3b与n＝－2a＋6b 共线吗？ 提示：n＝－2m，故m与n共线． 4．与非零向量a共线的单位向量是什么？
新课讲解
问题1：一个数a的相反数是什么？ 提示：－a. 问题2：一个向量有相反向量吗？ 提示：有，向量a的相反向量是－a.
相反向量
与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量， 记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量 仍是零向量 ； (2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝－a ， a＋b＝ 0 .
提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量． 问题2：根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方 向有何关系． 提示：相同或相反． 问题3：向量a与λa(λ为常数)共线吗？ 提示：共线．
49
1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有 唯一一个实数λ，使 b＝λ a. 2．向量的线性运算 向量的 加 ， 减 ， 数乘 运算统称为向量的线性运 算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.
51
深化理解
52
53
例题讲解
54
55
跟踪练习
答案：B
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57
例题讲解
58
59
60
跟踪练习
答案：C
61
62
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋ e2.若a与b是共线向量，求实数k的值．

平面向量的加减平面向量是指在二维平面上具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

在平面向量的运算中，加法和减法是最基本且常见的操作。

本文将主要介绍平面向量的加法和减法，并提供相关的例题进行讲解。

一、平面向量的加法平面向量的加法可以理解为将两个向量按照一定规律进行合并的过程。

具体来说，对于两个平面向量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C为两个向量相加得到的结果。

在平面向量的加法中，可以利用平行四边形法则或三角形法则来进行计算。

下面我们以平行四边形法则为例进行说明。

1. 平行四边形法则平行四边形法则是指将两个向量的起点放在同一点，然后将它们的向量箭头相连，形成一个平行四边形。

向量C的起点为平行四边形的共同起点，终点为与该点对应的平行四边形对角线的另一个端点。

图示如下：（插入平行四边形示意图）2. 平面向量的加法性质在平面向量的加法中，有以下几个性质：- 交换律：对于任意平面向量A和B，有A + B = B + A。

- 结合律：对于任意平面向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。

- 零向量：平面上的零向量O满足A + O = A，对于任意平面向量A。

二、平面向量的减法平面向量的减法可以理解为通过改变向量的方向和大小，使得两个向量相减得到一个新的向量。

具体来说，对于两个平面向量A和B，它们的减法运算可以表示为A - B = D，其中D为两个向量相减得到的结果。

在平面向量的减法中，可以利用向量加法的性质进行计算。

具体做法是将B取负后与A相加，即A - B = A + (-B)。

下面我们通过一个例题来进行说明。

例题：已知向量A = 3i + 2j，向量B = 5i - 4j，求向量C = A - B的结果。

解：首先将向量B取负得到-B = -5i + 4j，然后利用向量加法进行计算，有：C = A + (-B)= (3i + 2j) + (-5i + 4j)= (3i + (-5i)) + (2j + 4j)= -2i + 6j因此，向量C的结果为-2i + 6j。

平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算平面向量是描述平面上的有向线段的数学工具，具有大小和方向。

在平面向量的运算中，常见的操作包括向量的加法、减法、数量乘法和除法。

下面将详细介绍平面向量的运算方法。

一、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量的对应元素进行相加的运算。

设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的和为向量C = (x1 + x2, y1 + y2)。

例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的和。

解：向量A和向量B的和为向量C = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)。

二、平面向量的减法平面向量的减法是将两个向量的对应元素进行相减的运算。

设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的差为向量C = (x1 - x2, y1 - y2)。

例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的差。

解：向量A和向量B的差为向量C = (1 - 3, 2 - 4) = (-2, -2)。

三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘法运算。

设有向量A = (x, y)和实数k，则向量A乘以实数k的结果为向量B = (kx, ky)，即向量A的每个元素分别乘以实数k。

例子：已知向量A = (3, 4)，求向量A乘以实数2的结果。

解：向量A乘以实数2的结果为向量B = (2 × 3, 2 × 4) = (6, 8)。

四、平面向量的除法平面向量的除法并没有直接定义，因为除法运算在平面向量中没有明确的意义。

平面向量的运算主要是通过加法、减法和数量乘法来实现。

如果需要进行向量的除法运算，一般可以通过乘以倒数的方式来实现。

即将除法转化为乘法运算。

例子：已知向量A = (4, 6)，求向量A除以实数2的结果。

解：向量A除以实数2的结果可以通过将实数2转化为倒数的方式来实现，即向量A除以实数2可以表示为向量A乘以实数1/2。

三角形法则：将 两个向量首尾相 接，构成一个三 角形，则其对角 线就是两个向量 的和。
平行四边形法则 和三角形法则的 适用范围：适用 于任意两个向量 的加法运算。
平行四边形法则 和三角形法则的 优缺点：平行四 边形法则直观易 懂，但计算量较 大；三角形法则 计算量较小，但 需要一定的几何 知识。
向量减法的平行四边形法则和三角形法则
几何意义：向量减法的几何意义是表示两个向量的差向量，即从第一个向 量的终点指向第二个向量的终点的向量。
应用：向量减法在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、 速度的合成与分解等。
注意事项：在进行向量减法时，需要注意两个向量的起点必须重合，否则 得到的差向量可能不是正确的。
向量加减法的应用实例
向量减法的定义
向量减法是向量加法的逆运算
向量减法的定义式为：A-B=C，其中A、B、C都是向量
向量减法的运算法则为：A-B=C，其中A、B、C都是向量，且A、B、 C的起点相同 向量减法的运算结果为一个新的向量，其方向与A、B的差方向相同， 其大小为A、B的差大小
03
向量加减法的几何 意义
向量加法的几何意义
向量加法是将两个向量首尾相接， 得到一个新的向量
新的向量的方向由两个向量的方 向决定
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
新的向量的长度等于两个向量长 度之和
新的向量的起点和终点分别对应 两个向量的起点和终点
向量减法的几何意义
向量减法：将两个向量的起点重合，然后从第一个向量的终点指向第二个 向量的终点，得到的向量就是两个向量的差向量。
向量加法的结合 律： (a+b)+c=a+(b+ c)

待提升的知识点/题型…知识点一：向量的加法1:向量的加法(1) 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

(2)已知向量a,b，在平面内任取一点A,作AB a, BC b，则向量AC叫做向量a,b的和。

记作：a b，即a b AB BC AC2 :向量的加法法则(1)三角形法则：两个向量“首尾”相接(2) 平行四边形法则:由同一点A为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量AC就是向量a,b 的和。

这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则3:向量和的特点(1)两相向量的和仍是一个向量；r r r r r r r「r「(2)当向量a与b不平行时，a +b与a,b的方向不同向，且|a + b |<|a|+|b |；(3)当向量a,b同向时，a b的方向与a,b同向，且|a b | | a | | b |当向量a,b反向时，若|a| |b|，则a b的方向与a,b同向，且|a b | |a | |b | ；若| a | | b |，则a b的方向与a,b反向，且|a b | |b | |a | ；4:向量的运算律(1)交换律：abb a ；( 2)结合律：(a b) c a (b c)说明：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了如：(a b) (c d) (b d) (a c)；abcd e[d (ac)] (b e)(3) 实数的运算律与向量运算律比较丄…知识点二：向量的减法1向量的减法(1)用"相反向量”定义向量的减法①与a长度相同、方向相反的向量•叫做a的相反向量，记作a。

②规定：零向量的相反向量仍是零向量r r r r r r r③性质：(a) a ；a ( a) ( a) a 0如果a、b互为相反向量，则a= b，b = a，a+b = 0④向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.r r r r即: a b a ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.(2)用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x = a，则x叫做a与b的差，记作a2:向量的减法法则 已知如图有a , b ，求作a(1)三角形法在平面内任取一点 uuu O ，作 OA r uuu r mu a ，OB b ，贝U BA(2)平行四边形: 在平面内任取一点uuu O ，作 OA r uuura , BOuuu uuw uuu r r则 BA BO OA a b . 知识精析、向量的加法 uuu uuruuu umr r r r r r (1) 如果 AB CD , 则 AB CD 5 (2) a (b c) (a b) cuuur uuur uuur uuuuuur AC uur uuu(3) AC CD DE AE (4) CD DA 0A . 1个B . 2个C . 3个D 4个uuu r uuur r r r r r 1-2 已知正万形 ABCD 的边长为 1, AB =a , AC =c , BC = b ,则 | a + b + c A.0 B.3 C. 72 D.2 72(一)典例分析、学一学例1-1下列各式中正确的有 ( )例 I 为()a例1-3已知正六边形 ABCDEF , O 为它的中心，若 BA a , BC b ，试用a , b 来表示向量 OE, BF,BD.（二）限时巩固，练一练1. (1) umr uuu uuu 在四边形 ABCD 中，向量 AB 、BC 、CD 的和向量是3. (2) (3) 向量(AB + MB )+( BO + BC )+ OM 化简后等于a ="向东走 4km ”，b ="向南走 3km ”，则 | a + b | == c ,DE=d ,AE3, AOB 60，则 a b且有 EB=DF 中，设 uuur r uur EC a,EA uuur r ,AD c ，则:r c 、向量的减法（一）典例分析、学一学uuu r uuu r uiur r uuu ur 例2-1如图，已知 AB a, BC b,CD c, DE d ，在图中标出已知的4个向量，并用向量r r r u uuu uuu uuu(2) AB AE a, b, c, d 表示卜列向量 (1) AD例2-2已知平行四边形 ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列等式成立的是（2. 如图，B 、D 在口AECF 的对角线上,UJ UUT uuur JUU UU UJU uuur UJ A. AB CD AC BD B. AB CD AC BD UU J UUT ULUT uuu UU J uuur UUT uu ur C. AB CD AC BD D. AB CD AC BD例2-3化简下列各式：① AB + BC + CA ；② AB — AC + BD — CD ；③ OA — OD + AD ； A 、1 B 、2 (二) 限时巩固、 练一练如图， 已知向量uuu r AB a 、 uuu BC r b 、 uuu CD UUJ uuuruuu uuu（ 1)AB AC ； （2） A B AE ④ NQ + QP + MN — MP C 、3 D 、4 r uuu J r r r u c 、 DEd ；试用a 、b 、c 、d 表示下列向量 E结果为零向量的个数是（ )D C B 三、向量的画法（一）典例分析，学一学例3-1已知向量a, b,c ；r cr r c 例3-2如图，已知向量 r r r u a 、b 、c 、d ，分别画出下列向量:1.在平行四边形ABCD中，若uuu r uuu r uuurAD a, AB b,贝U DB （用a和b表示）2. 已知向量a、b的模分别为3, 4,则| a —b |的取值范围为3. 已知I OA | =4, |OB | =8, / AOB=60 ,则 | AB | =4.uu已知OA a ,uurOBuuub ,若OA 12 ,5，且AOB 90°,则a b5•如图，在平行四边形ABCD中，已知AC BD交于点uuu O,ABr ujura, ADuur 则AO uur DO6.平行四边形ABCD中，M为DC中点, N为BC的中点. uunAB,AD b,7 .8.9. …uuuu则MN （用a , b表示）.F列等式中，正确的个数是（① abba ② abbauurF列四式不能化简为AD的是（uuu uuu uuu A.( AB + CD )+ BCuuu uur uuuuC. AD + AD - BMa ④（a）C. 3a) 0uur uurB. (AD + MB)+(uuir uuu uuu D.OC -OA + CD已知AD是厶ABC的中线，试用第二部分1 .已知正方形ABCD的边长为1 ,uuiu uuuuBC +CM )uuiruuu uurAB, AD, AC表示向量uuurBD, DCuuiruuuABr uuu r a , BC b,则 a b为.uuu r uuu r 2 .在口ABCD中 , AC = a , AB = b , uuu BC =uuu uuu uuu 3.在四边形ABCD中，若AC AB ADuuu,且ABuurAD ,那么四边形ABCD为（7.如图，点 E 、 F 在平行四边形 ABCD 的对角线 uuu uurULU UUU (1)填空: BC BA =BA AF =BC AF6.如图，已知在梯形 ABCD 中，AD // BC ,点E 在边BC 上，联结 DE , AC .「士宀 uuir uuur uuu uuu(1) 填空：CD DE ______________ ; BC BA _______________ ;(2)如果把图中线段都画成有向线段 ，那么在这些有向线段所表示的向量中，试写出四个与向量 uuuBE 平行的向量是 __________________ ;uuu uur(3) 求作：AB AD .(请说明哪个向量是所求作的向量)8.已知口 ABCD 点E 是BC 边的中点，请回答下列问题：uuir ULUT ULUT uuir(1)在图中求作 AD 与DC 的和向量：AD DC = ______________ A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、不是矩形、菱形的四边形4.已知平行四边形 ABCD , O 为平面上任意一点 UJU r uun •设 OA a ,0B r uuu r uuur u b ，OC c ，OD d ，则（ r o r o 出d In d M dr 出d r uuu uuur 5.化简：（1） AB CD uuu uuir BE DE uur uuu uuur_________ ； （2） BC DA MBuuu u CMA nBD 上，且 EB = DF . uuu ULUT______ ； BC AF _________1. __________________ (1) 既有 __________ 、又有的量，叫做向量.(2) _________________ 向量的--------------------------- 也叫向量的模(或向量的长度) ______________________ 它是一个--------------------------(3)零向量：大小为 ______ ，方向_________ 的向量；记作_________.2. __________________ (1)方向 ______ 且大小的两个向量叫做相等向量.(2) ____________ 方向___________ 且大小的两个向量叫做相反向量.(3) _____________________方向的两个向量叫做平行向量.(1) 向量加法、减法的三角形法则：uuu uuu ujur ujuAB BC;AC BC(2) 向量加法、减法的平行四边形法则：uuu uuur uuu uuuAB AD;AB AD3. 向量的运算(3)向量的加法运算律：向量加法满足交换律，即：_________________________向量加法满足结合律，即：_________________________1.如图，梯形ABCD中，AD//BC , AB=CD, O为对角线AC与BD的交点，那么下列结论正确的B第6题图C . AB AD BD2•下列关于向量的运算，正确的是（（A ） AB BC CA 0;(C ) AB AC CB ；D . ABAD BD)(B ) AB CB CA ；匚(D ) AB AD BD 。

平面向量的加减在几何学中，平面向量是一种用箭头来表示的量，具有大小和方向。

平面向量可以进行加减运算，用于描述物体在平面上的位移、速度、力等。

本文将详细介绍平面向量的加减运算及其相关性质。

一、平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示。

设有一点A(x₁, y₁)和原点O(0, 0)，则点O到点A的位移向量可以表示为：→OA = (x₁, y₁)其中，(x₁, y₁)是向量的坐标表示形式。

二、平面向量的加法对于两个平面向量→OA = (x₁, y₁)和→OB = (x₂, y₂)，它们的加法可表示为：→OA + →OB = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)即将两个向量的横坐标分量相加，纵坐标分量相加。

三、平面向量的减法对于两个平面向量→OA = (x₁, y₁)和→OB = (x₂, y₂)，它们的减法可表示为：→OA - →OB = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)即将第二个向量的横坐标分量取相反数，然后与第一个向量的横坐标分量相加；纵坐标分量同理。

四、平面向量的性质1. 交换律：平面向量的加法满足交换律，即→OA + →OB = →OB + →OA。

2. 结合律：平面向量的加法满足结合律，即(→OA + →OB) + →OC = →OA + (→OB + →OC)。

3. 零向量：零向量的坐标表示为(0, 0)，对于任意平面向量→OA，有→OA + (0, 0) = →OA。

4. 负向量：对于平面向量→OA，它的负向量表示为-→OA，满足→OA + (-→OA) = (0, 0)。

五、平面向量的图示表示通过箭头在平面上的长度和方向来表示平面向量。

长度代表向量的大小，箭头方向代表向量的方向。

可以利用向量的图示来计算和表示平面向量的加减运算。

六、平面向量的应用平面向量的加减运算在物理学、工程学等应用中有着广泛的应用。

例如，速度可用平面向量表示，速度的加减运算可以通过平面向量的加减运算来实现。

七、小结本文介绍了平面向量的加减运算及其相关性质。

初二数学平面向量及其加减运算试题答案及解析1.如图，在平行四边形ABCD中，如果，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，则可得，然后由三角形法则，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵，∴，∵，∴=+=．故选B．2.下列关于向量的说法中，不正确的是（）A．B．C．若，则或D．【答案】C【解析】由平面向量的定义与运算，可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．解：A、，故本选项正确；B、，故本选项正确；C、若，无法判定与的关系，因为向量有方向性；故本选项错误；D、，故本选项正确．故选C．3.下列命题中，正确的是（）A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个D．相似三角形的中线的比等于相似比【答案】C【解析】定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同；一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；相似三角形的对应中线的比等于相似比．解：A、如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，故本选项错误．B、不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同，故本选项错误．C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，正确．D、相似三角形的对应中线的比等于相似比，故本选项错误．故选C．4.已知矩形的对角线AC、BD相交于点O，若，，则（）A． B．B．C． D．【答案】B【解析】首先由矩形的性质，即可求得=，然后根据三角形法则，即可求得=+=﹣，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴=，∵，，∴=﹣，∴=+=﹣，∴=（﹣）．故选B．5.下列关于向量的说法中，不正确的是（）A．B．C．若（k为实数），则∥D．若，则或【答案】D【解析】根据平面向量的性质分别进行解答，即可判断出正确答案．解：A、根据数与向量的乘积的模等于该数与向量的模的乘积，即，故本选项正确；B、根据数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，即，故本选项正确；C、若（k为实数），可得与的方向相同或相反，均有∥，故本选项正确；D、向量既有大小又有方向，假如且，则或且，故本选项错误；故选D．6.如图，在△ABC中，点E、F分别是边AC、BC的中点，设=，=，用、表示，下列结果中正确的是（）A． B．﹣ C． D．【答案】B【解析】此题主要用到了三角形中位线定理，在向量CA、BC已知的情况下，可求出向量AB，又知题中EF为中线，所以只要准确把AB表示出来，向量EF即可解决．解：∵=、，∴==，∴．故选B．7.下列四个命题中，错误的是（）A．对于实数m和向量，，则有m（﹣）=m﹣mB．对于实数m、n和向量，则有（m﹣n）=m﹣nC．如果向量和非零向量平行，那么存在唯一实数m，使得=mD．如果m=0或者=，那么m=0【答案】D【解析】分别根据平面向量的运算法则及平面向量的概念判断各选项即可．解：A、对于实数m和向量，，则有m（﹣）=m﹣m，本选项正确；B、对于实数m、n和向量，则有（m﹣n）=m﹣n，本选项正确；C、如果向量和非零向量平行，那么存在唯一实数m，使得=m，本选项正确；D、如果m=0或者=，那么m=，故本选项错误．故选D．8.已知在△ABC中，点D、点E分别在边AB和边AC上，且AD=2DB，AE=2EC，，，用、表示向量正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先根据题意画出图形，由AD=2DB，AE=2EC，可得DE∥BC，△ADE∽△ABC，则可知DE=BC，又由，，求得的值，则问题得解．解：∵AD=2DB，AE=2EC，∴，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=2：3，∴DE=BC，∵，，∴=﹣=﹣，∴=（﹣）=﹣．故选D．9.下列关于向量的等式中，正确的是（）A．B．C．2（）=2D．【答案】A【解析】根据平面向量的加减法运算、乘法运算法则进行解答．解：A、根据向量加法﹣交换律运算法则知，故本选项正确；B、根据向量的加法计算法则知，，故本选项错误；C、由数乘向量的运算法则知，2（）=2，故本选项错误；D、由向量的三角形法则，知，故本选项错误．故选A．10.已知向量，，满足，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将原方程去分母、去括号、移项即可求解．解：去分母，得﹣=4（+），去括号，得﹣=4+3，移项，得=4+4．故选B．11.已知C是直线AB上一点，且，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据C是直线AB上一点，且，可知与方向相同，但长度是其的一半，故可判断与的关系．解：∵C是直线AB上一点，且，∴与方向相同，||=||，又点A、B和C在同一直线上，∴=﹣．故选A．12.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．【答案】【解析】由梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，根据平行向量的性质，即可求得的值，又由=+，即可求得答案．解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为：2+．13.已知在△ABC中，=，=，M是边BC上的一点，BM：CM=1：2，用向量、表示=．【答案】+【解析】根据三角形法则表示出，再表示出，然后根据三角形法则表示出即可．解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵BM：CM=1：2，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=+﹣=+．故答案为：+．14.已知：=3﹣，=+，则﹣4=．【答案】2﹣【解析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号时的符号变化．解：∵=3﹣，=+，∴﹣4=（3﹣）﹣4（+）=3﹣﹣2﹣=2﹣．故答案为：2﹣．15.如图，△ABC中，D为边AC的中点，设BD=，BC=，那么用、可表示为．【答案】2﹣2【解析】根据三角形法则表示出，再根据D为AC的中点可得=2．解：∵BD=，BC=，∴=﹣，∵D为边AC的中点，∴=2=2（﹣）=2﹣2．故答案为：2﹣2．16.如图，在△ABC中，D是边BC上的点，，设向量，，如果用向量，的线性组合来表示向量，那么=．【答案】【解析】由向量，，可求得的长，又由，即可求得，然后由三角形法则，求得．解：∵向量，，∴=﹣=﹣，∵，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=．故答案为：．17.如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD=2CD，如果=，=，那么=．【答案】﹣【解析】由=，=，利用三角形法则，可求得的长，又由在△ABC中，点D在边AC上，AD=2CD，即可求得的长，再利用三角形法则求解即可求得答案．解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵AD=2CD，∴==（﹣），∴=+=+（﹣）=﹣．故答案为：﹣．18.在矩形ABCD中，|AB|=，|BC|=1，则向量（AB+BC+AC）的长度为（）A．4 B． C．或 D．【答案】A【解析】首先求得的模，然后由：向量（AB+BC+AC）的长度=2||，即可求得向量（AB+BC+AC）的长度．解：∵在矩形ABCD中，|AB|=，|BC|=1，∴||==2，∴向量（AB+BC+AC）的长度=2||=4．故选A．19.下列判断中，不正确的是（）A．B．如果，则C．D．【答案】A【解析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、应为，故本选项错误；B、，则向量与的方向相同，大小相等，∴，故本选项正确；根据向量的加法满足所有的加法运算定律，C、是向量的加法交换律，故本选项正确；D、是向量的加法结合律，故本选项正确．故选A．20.如果平行四边形ABCD对角线AC与BD交于O，，，那么下列向量中与向量相等的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据平行四边形的性质可知，则，则，依此即可作答．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴．∴．故选D．21.如图，点G是△ABC的重心，GF∥BC，，，用、表示= ．【答案】【解析】根据图示知．然后根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1），求得||与||的数量关系，然后再根据平面向量与的方向来确定它们之间的关系．解：如图，，即．∵GF∥BC，∴AG：AD=GF：BC；又∵点G是△ABC的重心，∴AG：AD=2：3，∴GF：DC=2：3；即：=2：3；∵，∴．故答案是：．22.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD=2AD，点E是AC的中点，，，试用向量，表示向量，那么= ．【答案】【解析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．解：∵在△ABC中，点D在边AB上，且BD=2AD，点E是AC的中点，，，∴，，∴．故答案为：．23.已知非零向量、、，其中=2+．下列各向量中与是平行向量的是（）A．=﹣2B．=﹣2C．=4+2D．=2+4【答案】C【解析】由=4+2=2（2+）=2，根据平行向量的定义，可求得答案．解：∵=4+2=2（2+）=2，∴与是平行向量．故选C．24.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=2DC，，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由BD=2DC，，可求得，又由三角形法则，即可求得．解：∵，BD=2DC，∴==，∵，∴=﹣=．故选C．25.若、均为非零向量，且∥，则在下列结论中，一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由、均为非零向量，且∥，即可得与方向相同，但大小不一定相等，继而可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解：∵、均为非零向量，且∥，∴与方向相同，但大小不一定相等，∴=m（m≠0）．故选A．26.下列说法中不正确的是（）A．如果m、n为实数，那么B．如果k=0或=0，那么C．长度为1的向量叫做单位向量D．如果m为实数，那么【答案】B【解析】由平面向量的性质，即可得A与D正确，又由长度为1的向量叫做单位向量，可得C 正确，注意向量是有方向性的，所以B错误．解：A、∵m、n为实数，∴（m+n）=m+n，故本选项正确；B、∵如果k=0或=0，那么k=，故本选项错误；C、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项正确；D、∵如果m为实数，那么m（+）=m+m，故本选项正确．故选B．27.计算：=．【答案】5﹣【解析】直接利用整式加减的运算法则求解可求得答案．解：=2+2+3﹣3=5﹣．故答案为：5﹣．28.化简：=．【答案】【解析】直接利用三角形法则求解，即可求得答案．解：=+=．故答案为：．29.如图，在△ABC中，D是BC的中点，设，，则=．【答案】﹣【解析】由，，利用三角形法则可求得，又由在△ABC中，D是BC的中点，即可求得答案．解：∵，，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中，D是BC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．30.已知点A、B、C是直线l上不同的三点，点O是直线外一点，若m+n，则m+n=．【答案】1【解析】根据平面向量三点共线的定理解答即可．解：∵m+n，∴m+n=1．故答案为：1．。