平面向量及其加减运算(教师版)

第1讲 平面向量的概念及加减运算一、考点梳理考点1 基本概念既有大小，又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.|AB →|叫AB →的模或AB →的绝对值，表示向量AB →的长度.(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a∥b . ①规定：零向量与任一向量平行． 例1．（1）下列物理量中不是向量的有( )①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度． A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．（2）一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，①在四边形ABCD 中，AB ∥CD .①四边形ABCD 为平行四边形． ①AD →＝BC →，①|AD →|＝|BC →|＝200 km.（3）判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (4)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反； (5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．解析：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系． (3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(4)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．【变式训练1】．在下列命题中，真命题为( )A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量AB →与向量BA →的长度相等 C ．向量就是有向线段 D ．零向量是没有方向的解析：由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A 错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D 错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C 错误，故选B.【变式训练2】．在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2) 在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(图略)． 【变式训练3】．如图所示，①ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解析：(1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF =12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.考点2 向量的加法 三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a .平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．例2．（1）如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .解析：在平面内任取一点O (如下图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边做①OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .2（2）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________. 解析： (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0（1）BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解析：(1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. 【变式训练1】．(1)如图①所示，求作向量和a ＋b .(2)如图①所示，求作向量和a ＋b ＋c .解析：(1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图①所示．(2)方法一(三角形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．方法二(平行四边形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▭OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，再以OD ，OC 为邻边作①ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．【变式训练2】．(1)化简：①BC →＋AB →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.(2)如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量： ①OA →＋OE →； ①AO →＋AB →； ①AE →＋AB →.解析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．(1)①BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.(2)①由题图知，OAFE 为平行四边形，①OA →＋OE →＝OF →； ①由题图知，OABC 为平行四边形，①AO →＋AB →＝AC →； ①由题图知，AEDB 为平行四边形，①AE →＋AB →＝AD →.【变式训练3】．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)． (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →. 解析：(1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →)＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.考点3 向量的减法 相反向量(1)我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . (2)－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 向量减法的定义求两个向量差的运算叫做向量的减法．我们定义，a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量减法的几何意义 (1)三角形法则如图，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．(2)平行四边形法则如图①，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义， 知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .如图①，理解向量加、减法的平行四边形法则：在①ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .例3．（1）在①ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A ．FD →B ．FC → C ．FE →D ．BE →解析：由题意可知AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →．答案：D（2）化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB →B ．AD →C ．BC →D ．0解析：答案：D解法一：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →－BD →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(BA →－BD →)＝AD →＋DA →＝0． 解法二：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋DB →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(DB →＋BA →)＝AD →＋DA →＝0．【变式训练1】．如图，设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，OD →＝c ，则OB →＝解析：由于OB ＝DB －DO →，而DB →＝AB →－AD →＝a －b ，DO →＝－OD →＝－c ， 所以OB →＝a －b ＋c .【变式训练2】．化简：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 解析：解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．(1)解法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.解法二：原式＝AB →＋MB →－OB →－MO →＝AB →＋(MB →－MO →)－OB →＝AB →＋(OB →－OB →)＝AB →＋0＝AB →. (2)解法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.解法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.二、课堂检测1．下列物理量：①质量；①速度；①位移；①力；①加速度；①路程．其中是向量的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案 C 解析 ①①①①是向量． 2．下列说法中正确的个数是( )①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D3. 下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A 不正确；由A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B 不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C 不正确；D 中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D 正确． 4. 设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 5. 下列等式不成立的是( )A ．0＋a ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA → D.AB →＋BC →＝AC →答案C 解析：对于C ，①AB →与BA →方向相反，①AB →＋BA →＝0.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C7. a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 答案 C 解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →. 9. 在①ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( )A ．a ＋bB ．－a ＋(－b )C ．a －bD ．b －a 答案B ①BA →＝BC →＋CA →＝a ＋b ，①AB →＝－BA →＝－a －b . 10. (多选)若a ，b 为非零向量，则下列命题正确的是( )A ．若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同B ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反C ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则|a |＝|b |D ．若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同答案ABD 当a ，b 方向相同时，有|a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |；当a ，b 方向相反时，有|a |＋|b |＝|a －b |，||a |－|b ||＝|a ＋b |，故A ，B ，D 均正确．10. 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.12. 如图，在①ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________.11 答案0 因为D 是边BC 的中点，所以BE →－DC →＋ED →＝BE →＋ED →－DC →＝BD →－DC →＝0.13. 设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4 解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 14. 已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是________． 答案 [2,6) 根据题意得||a |－|b ||≤|a －b |＜|a |＋|b |，即2≤|a －b |＜6.15. 如图所示，P ，Q 是①ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ①AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →.又①BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，①BP →＋CQ →＝0，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。

注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。

平面向量的加减教案引言：平面向量的加减是数学中重要的概念之一。

通过掌握平面向量的加减法则，我们能够更好地理解和运用向量的性质，解决与向量相关的数学问题。

本教案将介绍平面向量的加减法则及其应用，以帮助学生深入理解和掌握这一知识点。

一、平面向量的定义和表示1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

例如，向右箭头表示正东方向的向量，向上箭头表示正北方向的向量。

2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，也可以用字母表示。

例如，向量AB可以记作→AB或A B，其中→表示向量，A B表示向量的长度。

二、平面向量的加法1. 平面向量的加法定义：若有向量→A和→B，它们的和记作→A + →B，表示从→A出发，沿着→B的方向走到最后的位置。

2. 平面向量的加法法则：向量的加法满足"三角形法则"。

即将两个向量的起点相连，以第一个向量的方向作为起始方向，以第二个向量的方向作为终止方向，则连接起始点和终止点的向量为和向量。

例如：→A + →B = →CA B + B C = A C3. 平面向量的加法性质：- 交换律：→A + →B = →B + →A- 结合律：(→A + →B) + →C = →A + (→B + →C)三、平面向量的减法1. 平面向量的减法定义：若有向量→A和→B，它们的差记作→A - →B，表示从→B的终止点回到→A的终止点的向量。

2. 平面向量的减法法则：向量的减法满足"平行四边形法则"。

即将两个向量的起点相连，以第二个向量的方向作为终止方向，以第一个向量的方向反向作为起始方向，则连接起始点和终止点的向量为差向量。

例如：→A - →B = →CA B - B C = A C3. 平面向量的减法性质：- 减去一个向量等于加上其负向量：→A - →B = →A + (-→B)四、平面向量的应用1. 位移向量：在平面向量的应用中，位移向量被广泛用于描述物体在平面内的移动。

平面向量的加法与减法运算平面向量是描述平面上一个点到另一个点的位移关系。

在数学中，我们可以通过向量的加法与减法运算来进行向量的组合与分解，使得向量运算更加灵活和方便。

本文将介绍平面向量的加法与减法运算的概念、性质以及应用。

一、平面向量的概念与表示平面向量可以用有序数对或矩阵表示。

例如，向量AB可以表示为(AB)或列矩阵[a, b]。

其中，a为x轴的分量，b为y轴的分量。

二、平面向量的加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加，得到它们的和向量。

设有向量AB和向量CD，向量AB的分量为(a₁, b₁)，向量CD的分量为(a₂, b₂)。

则AB + CD的分量为(a₁ + a₂, b₁ + b₂)。

三、平面向量的减法运算平面向量的减法运算是指将两个向量相减，得到它们的差向量。

设有向量AB和向量CD，向量AB的分量为(a₁, b₁)，向量CD的分量为(a₂, b₂)。

则AB - CD的分量为(a₁ - a₂, b₁ - b₂)。

四、平面向量的性质1. 加法交换律：对于任意两个平面向量AB和CD，有AB + CD = CD + AB。

2. 加法结合律：对于任意三个平面向量AB、CD和EF，有(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)。

3. 减法定义：对于任意两个平面向量AB和CD，有AB - CD = AB+ (-CD)，其中-CD表示向量CD的反向量。

4. 零向量的性质：对于任意平面向量AB，有AB + 0 = AB和AB - AB = 0，其中0表示零向量。

5. 向量的倍数：对于任意平面向量AB和实数k，有k(AB) = (k·a, k·b)，其中k·a和k·b分别为a和b的k倍。

6. 减法性质：对于任意三个平面向量AB、CD和EF，有AB + CD= EF，则AB = EF - CD。

五、平面向量的应用1. 平面向量的运动学应用：平面向量可以用于描述物体在平面上的运动情况，如速度、加速度等。

专题二 第1讲 平面向量【要点提炼】考点一 平面向量的线性运算1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【热点突破】【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14【答案】 A【解析】 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn ＝________.【答案】 －2【解析】 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴mn＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】 由题意可得，OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k<1)，又A ，D ，B 三点共线，所以k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G.若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.【答案】 12【解析】 由题意可设CG →＝xCE →(0<x<1)， 则CG →＝x(CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线， 所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．【答案】 [1,3]【解析】 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C(cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3. 则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g(θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g(θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g(θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【要点提炼】考点二 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点突破】【典例】2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935【答案】 D【解析】 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 【答案】 C【解析】 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．【拓展训练】2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 【答案】 B【解析】 方法一 设a 与b 的夹角为θ， 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B.方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3， 即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)【答案】 A【解析】 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)． 设P(x ，y)，则AP →＝(x ，y)，AB →＝(2,0)，且－1<x<3. 所以AP →·AB →＝(x ，y)·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2B ．1－ 2C.2－1 D ．1【答案】 A【解析】 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题训练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( ) A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →【答案】 A【解析】 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 【答案】 B【解析】 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69 kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D.12【答案】 A【解析】 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P(3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 【答案】 D【解析】 由P(3，1)，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6， ∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q(－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C【解析】 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23 B.34 C.56 D ．1 【答案】 A【解析】 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC→＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】 C【解析】 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3 【答案】 D【解析】 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →. 又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO→·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2 【答案】 C【解析】 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r)，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r＝1.易得B(－3，0)，C(3，0)，A(0,3)，D(0,0)， 设M(cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y,3x)，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y)2－2xy]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y)2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 【答案】 BC【解析】 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a－b 的夹角为π4，故C 正确．11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A ．若k<－2，则a 与b 的夹角为钝角 B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 【答案】 CD【解析】 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k<2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b|b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76【答案】 BCD【解析】 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形， 所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，设O(0，y)，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y)，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确； |OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________.【答案】22【解析】 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.【答案】 5【解析】 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C(a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4.∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ， ∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC→ ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36.∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5.15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．【答案】 19【解析】 ∵△ABC 是锐角三角形， ∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2 ＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|.∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ， ∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．【答案】2829【解析】 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y)， 则a ＝(x ＋1，y)，b ＝(x ＋3，y)． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y)， 故|2e 1－e 2|＝2－x2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤ 1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y2x ＋32＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5 ＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋13×34＋5＝2829.。

平面向量的加法和减法平面向量是研究平面内物体运动和力的重要工具，而平面向量的加法和减法是计算和描述物体在平面上移动的基本操作。

本文将详细介绍平面向量的加法和减法，并给出相应的计算方法和示例。

一、平面向量的定义在平面直角坐标系中，一个向量由其起点和终点确定，方向由起点指向终点，长度由起点和终点的距离表示。

平面向量常用加粗的小写字母表示，如a、b、c等。

二、平面向量的表示1. 坐标表示法：平面向量可用坐标表示法表示。

设向量a的起点为点A(x1, y1)，终点为点B(x2, y2)，则向量a可以表示为a = (x2 - x1, y2 - y1)。

2. 分量表示法：平面向量也可用分量表示法表示。

设向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点P(x, y)，则向量a可以表示为a = x * i + y * j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设向量a的起点为点A，终点为点B，向量b的起点为点B，终点为点C，所求的向量为向量c，起点为点A，终点为点C。

则向量c = a + b。

计算向量c的坐标表示法：y1 + y2)。

计算向量c的分量表示法：设向量a = x1 * i + y1 * j，向量b = x2 * i + y2 * j，则向量c = a + b = (x1 + x2) * i + (y1 + y2) * j。

示例：已知向量a = (3, 4)，向量b = (-2, 1)，求向量c = a + b的坐标表示法和分量表示法。

解：根据坐标表示法的计算公式，向量c的坐标表示法为：c = a + b = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)。

根据分量表示法的计算公式，向量c的分量表示法为：c = a + b = (3 - 2) * i + (4 + 1) * j = i + 5 * j。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。

第02讲平面向量的加、减法运算目标导航课程标准课标解读1．理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和．2．掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．3．掌握向量减法的概念．理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的．4．掌握相反向量．5.掌握向量加、减法的几何意义．通过本节课的学习，要求掌握现面向量的加法与减法的运算法则及相关的运算定律，掌握两种运算的几何意义，会进行平面向量的相关运算，注意两种运算的条件.知识精讲知识点1．向量的加法（1）向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法．（2）向量加法的三角形法则如图，已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB = a ，BC = b ，则向量AC叫做a 与的b 和，记作+a b ，即AB BC AC +=+=a b ，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．【微点拨】当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形．（3）向量加法的平行四边形法则如图，已知两个不共线的向量a 和b ，作OA = a ，OB =b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则对角线上的向量OC OA OB =+，此种作法称为向量加法的平行四边形法则．【微点拨】若n 个向量顺次首尾相接，则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和，即1112233411n n n n n A A A A A A A A A A A A +-+=+++⋅⋅⋅+，如图．（4）和向量的模与原向量之间的关系一般地，我们有+≤+a b a b ．当a 与b 共线且同向时，+=+a b a b ；当a 与b 共线且异向时，+=-a b a b ；当a 与b 不共线时，+<+a b a b ．（5）向量加法的运算律交换律：+=+a b b a ；结合律：()()++=++a b c a b c ．注意：①当a 、b 至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立；②当a 、b 共线时，交换律和结合律也成立．（6）向量求和的多边形法则由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量a ，b ，c ，d ，在平面上任选一点O ，作OA = a ，AB = b ，BC = c ，CD = d ，则OD OA AB BC CD =+++=+++a b c d ．已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．（7）向量加法的实际应用向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用．2．向量的减法（1）相反向量我们把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a ．规定零向量的相反向量仍为零向量，且①()--=a a ；②()()0+-=-+=a a a a ；若a ，b 互为相反向量，则=-a b ，=-b a ，0+=a b ．（2）向量减法的定义向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()-=+-a b a b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．3．向量减法的几何意义（1）非零共线向量a ，b 的差-a b ；①若a ，b 反向，则-a b 与a 同向，且-=+a b a b ．②若a ，b 同向，（ⅰ）若>a b ，则-a b 与a 同向，且-=-a b a b ；（ⅱ）若<a b ，则-a b 与a 反向，且-=-a b b a ；（ⅲ）若=a b ，则0-=a b ．其几何意义分别如图（1）（2）（3）（4）．（2）非零不共线向量a ，b 的差-a b ：①如图，在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB = b ，则向量BA为所求，即BA OA OB =-=-a b ．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．②如图，在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB =b ，分别以OA ，OB 为边作平行四边形OACB ，连接BA ，则BA BC CA =+=-a b ，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．4．向量减法的三角形法则和平行四边形法则-a b 从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则．减法的三角形法则的作法：在平面内取一点O ，作OA = a ，OB = b ，则BA =-a b ，即-a b 可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（注意：差向量的“箭头”指向被减向量）．具体作法如图（1）（a ，b 不共线）和图（2）、（3）（a ，b 共线）所示．减法的平行四边形法则的作法：当a ，b 不共线时．如图（1），在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB =-b ，则由向量加法的平行四边形法则可得()OC =+-=- a b a b ，这是向量减法的平行四边形法则．若a ，b 同向共线，如图（2）所示；若a ，b 异向共线．如图（3）所示．5．向量的加法和减法的运算问题关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“AB - ”改为“BA +”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．【微点拨】向量减法运算是加法的逆运算．在理解相反向量的基础上，结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．【即学即练1】在△ABC 中，BC = a ，CA = b ，则AB等于（）A ．+a bB ．--a bC ．-a bD ．-b a【答案】B【解析】AB CB CA =- =–BC CA -=--a b ，故选B ．【即学即练2】如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++=（）A ．ABB ．ACC ．ADD ．BD【答案】B【解析】在矩形ABCD 中，AD BC = ，则AO OB AD AO ++= +OB +BC AC =，故选B ．【名师点睛】（1）向量加法的多边形法则：n 个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成组向量折线，这n 个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用．（2）|a +b |≤|a |+|b |．【即学即练3】向量()()AB MB BO BC OM ++++ 化简后等于（）A ．BCB ．ABC ．ACD ．AM【答案】C【解析】()()AB MB BO BC OM AB ++++= +BO +OM +MB +BC AO = +OM +MB +BC =AM+MB +BC AB = +BC AC =．故选C ．【名师点睛】（1）首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则求解．（2）此类问题应根据三角形法则或平行四边形形法则，观察是否具备应用法则的条件，若不具备，应改变条件，以便使用法则求解．【即学即练4】在△ABC 中，BC = a ，CA = b ，则AB等于（）A ．+a bB ．--a bC ．-a bD ．-b a【答案】B【解析】AB CB CA =- =–BC CA -=--a b ，故选B ．【即学即练5】下列四式不能化简为PQ的是（）A ．()AB PA BQ ++B．()()AB PC BA QC ++- C ．QC CQ QP+- D ．PA AB BQ+- 【答案】D 【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．【详解A 项中，()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=；B 项中，()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++= ；C 项中，QC CQ QP QP PQ +-=-=；D 项中，PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠.故选：D.【即学即练6】已知非零向量a 与b方向相反，则下列等式中成立的是（）A ．a b a b -=-B ．a b a b+=- C ．a b a b+=- D ．a b a b+=+ 【答案】C 【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.a b -可能等于零，大于零，小于零，0a b a b -=+> ，A 不成立B.a b a b +=-r r r r ，a b a b -=+，B 不成立C.a b a b -=+，C 成立D.a b a b a b +=-≠+，D 不成立.故选：C.【即学即练7】在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+等于（）A ．BCB ．DAC ．ABD ．AC【答案】A【解析】∵在平行四边形ABCD 中，DC 与BA 是一对相反向量，∴DC BA =-，∴–BC CD BA BC -+= BA +BA BC =，故选A ．【名师点睛】注意向量几何意义的应用，利用数形结合的思想解题．能力拓展考法011．向量加法运算及其几何意义（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．（2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则是向量加法的几何意义．【典例1】如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于（）A ．0B ．BEC ．AD D ．CF【答案】A 【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】CD AF = ，∴0BA CD FB BA AF FB ++==++ .故选：A.考法022．向量加法的运算律（1）向量的加法与实数加法类似，都满足交换律和结合律．（2）由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行．例如，（a +b ）+（c +d ）=（b +d ）+（a +c ），a +b +c +d +e =[d +（a +c ）]+（b +e ）．【典例2】化简下列各式：①AB BC CA ++ ；②()AB MB BO OM +++uu u r uuu r uu u r uuu r ；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++．其中结果为0 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：0AB BC CA AC CA ++=+=，对于②：()AB MB BO OM AB BO OM MB AM MB AB +++=+++=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r，对于③：()()0OA OC BO CO BO OA CO OC BA BA +++=+++=+=，对于④：()()0AB CA BD DC AB BD DC CA AD DA +++=+++=+= ，所以结果为0的个数是2，故选：B考法033．向量的減法运算及其几何意义（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．（2）以向量AB =a ，A 6=b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC =a +b ，BD =b –a ，DB =a –b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该牢记并加强理解．【典例3】已知85AB AC == ，，则BC的取值范围是__________．【答案】[3，13]【解析】∵–BC AC AB = ，∴BC =|–AC AB|，∴AB AC - ≤BC ≤AB AC + ，即3≤BC≤13．故答案为：[3，13]．【名师点睛】本题考查的知识点是两向量的和或差的模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反向，差的模有最小值是解答本题的关键．|a –b |、|a |–|b |、|a |+|b |三者的大小关系（1）当向量a 与b 共线时，当两非零向量a 与b 同向时，|a –b |=|a |–|b |<|a |+|b |；当两非零向量a 与b 反向时，|a –b |=|a |+|b |>|a |–|b |；当a 与b 中至少有一个为零向量时，|a –b |=|a |–|b |=|a |+|b |．（2）当两非零向量a 与b 不共线时，如在△ABC 中，AC =a ，AB =b ，则BC =AC –AB =a –b ，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a |–|b ||<|a –b |<|a |+|b |．综合可知，对任意的向量a 与b 都有||a |–|b ||≤|a –b |≤|a |+|b |．只当a 与b 同向或a 与b 中至少有一个为零向量时||a |–|b ||≤|a –b |中的等号成立；当a 与b 反向或a 与b 中至少有一个为零向量时|a –b |≤|a |+|b |中的等号成立．考法044．向量加、减法的综合应用向量的几何意义及加、减法运算常用来解决平面几何问题，解题时要将所给向量式中各向量进行移项或重新组合，并灵活运用相反向量，把向量相等、平行、模的关系进行转化．【典例4】化简（1）()()AB CD AC BD --- （2）OA OD AD -+ ；（3）AB DA + ＋BD BC CA --．【答案】（1）0 ；（2）0 ；（3）AB.【分析】（1）方法一：将CD - 转化为DC，将AC - 转化为CA ，利用向量的加法法则，即可求得答案.方法二：利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.（2）利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.（3）根据向量的线性运算法则，即可求得答案.【详解】（1）方法一(统一成加法)：()()AB CD AC BD AB AC CD BD ---=--+AB BD DC CA AD DA =+++=+= 方法二(利用OA OB BA -=uu r uu u r uu r)：()()AB CD AC BD AB CD AC BD ---=--+ 0AB AC CD BD CB CD BD DB BD =--+=-+=+= （2）0OA OD AD DA AD -+=+=uu r uuu r uuu r uu u r uuu r r ．（3）AB DA BD BC CA AB DA AC BD BC ++--=+++- AB DC CD AB=++= 【典例5】如图，M 、N 在线段BC 上，且BM CN =，试探求AB AC + 与AM AN +的关系，并证明之.【答案】相等，证明见解析【分析】求AB AC + 与AM AN +的关系为相等，利用向量加法的三角形法则即可证明.【详解】A A M C ANB A =++ 证明：由向量加法三角形法则知：,AB AM MB AC AN NC =+=+，所以AB AC AM MB AN NC +=+++ ，因为BM CN =，所以MB NC =- ，所以AB AC AM MB AN NC AM AN NC NC AM AN +=+++=++-=+ 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则，相反向量，属于中档题.【典例6】如图所示，已知在矩形ABCD 中，3AD = ，8AB = .设,,AB a BC b BD c ===，求a b c -- .【答案】87a b c --=r r r【分析】延长直线AB ,使得直线AB 上一点B '满足AB BB '=,同理,延长直线AD ,使得直线AD 上一点D ¢满足AD DD '=,画出图形,则''a b c D B --=,进而求解即可【详解】延长直线AB ,使得直线AB 上一点B '满足AB BB '=,同理,延长直线AD ,使得直线AD 上一点D ¢满足AD DD '=,如图所示,则'b c BD += ,()'''''a b c a b c a BD BB BD D B --=-+=-=-=,则()()22''2432887a b c D B --==⨯+⨯=【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模.分层提分题组A 基础过关练1．向量AB CB BD BE DC ++++化简后等于（）A ．A EB ．AC C ．ADD ．AB【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由AB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++= ,故选：A2.如图，向量AB a =，AC b = ，CD c = ，则向量BD 可以表示为（）A ．a b c ++B ．a b c-+ C ．b a c-+D ．b a c-- 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】AD AB AC CD AB BD b a c=-=-+-=+ 故选：C.3..设D 为∆ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（）A.5166BO AB AC=-+B.1162BO AB AC=-C.5166BO AB AC=- D.1162BO AB AC=-+【答案】A【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO 中：()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+，故选A.4.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=()．A ．ADB ．12ADC ．BCD ．12BC【答案】A【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角形中线的性质要引起重视，由题意可知D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以有以下结论：()()1122EB FC BA BC CA CB+=-+-+()()1112222BA CA AB AC AD AD =-+=+==，故选A.5.已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D 【分析】由题易得GA GB CG +=，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得CG GD =，进而可得13GO CO = ，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为0GA GB GC ++= ，所以GA GB GC CG +=-= ，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则CG GD =，所以13GO CO = ，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .6.如图，D ，E ，F 分别为ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++= B ．0++= BD CF DF C ．0++= AD CE CF D ．0++= BD BE FC 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：D Q ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴12AD AB = ，12BE BC = ，12CF CA =，则1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=，故A 正确；()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=，故B 错误；()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=，故C 错误；()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=，故D 错误；故选：A ．7.在ABC 中，点P 满足2AP AB AC =-，则（）A ．点P 不在直线BC 上B ．点P 在CB 的延长线上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在BC 的延长线上【答案】B 【分析】由已知条件可得BP CB = ，从而可得BP 与CB共线，进而可得结论【详解】因为2AP AB AC =-，得AP AB AB AC =-- ，所以BP CB = ，所以,,B P C 三点共线，且点P 在CB 的延长线上，故选：B8.五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（）A ．0CH ID += B ．AB FE∥ C ．2AF FG HG+= D ．AF AB AJ=+ 【答案】D 【分析】利用相反向量可判断A ；利用向量共线可判断B ，利用向量的加法可判断C 、D.【详解】A ，由图可知CH 与ID 相交，所以CH 与ID不是相反向量，故A 错误；B ，AB 与DE 共线，所以DE 与FE 不共线，所以AB 与FE不共线，故B 错误；C ，2AF FG AG HG +=≠，故C 错误；D ，连接,BF JF ，由五角星的性质可得ABJF 为平行四边形，根据平行四边形法则可得AF AB AJ =+，故D 正确.故选：D9.已知A ，B ，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若PA PB PC AB +=+，则下列结论正确的是（）A ．点P 在△ABC 内部B ．点P 在△ABC 外部C ．点P 在直线AB 上D ．点P 在直线AC 上【答案】D 【分析】由向量的运算可得CA AP =，进而可得解.【详解】∵PA PB PC AB +=+ ，∴PB PC AB PA -=- ，∴CB AB AP CB AB AP =+-= ，，即CA AP = .故点P 在边AC 所在的直线上.故选：D.10.平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+ ，n AB BC =-，若,m n 的长度恰好相等，则有（）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ． ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ． ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ． ABC 必为等腰直角三角形【答案】C【分析】根据,m n 的长度相等，由|AC |=|BD|得到ABCD 是矩形判断.【详解】如图：因为,m n的长度相等，所以|AB BC + |=|AB BC - |，即|AC |=|BD |，所以ABCD 是矩形，故 ABC 是直角三角形，且∠B=90°.故选：C11.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，AB a = ，AD b = ，则向量NM =（）A ．1132a b+B ．2132a b+C ．1132a b-D ．2132a b-【答案】B【分析】根据题意作出图形，将AM 用a 、b的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形ABCD 中， M 为BC 的中点，则12AM AB BM a b =+=+又 N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则1133AN AB ==11212332NM AM AN a b a a b∴=-=+-=+故选：B12.若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CAλ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【分析】由()OP OC CB CA λ=++ （R λ∈），得到()CP CB CA λ=+ ，再根据CB CA +经过在ABC 的重心判断.【详解】因为()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），所以()CP CB CA λ=+，所以CB CA +在ABC 的边AB 上的中线所在直线上，则()CB CA λ+ 在ABC 的中线所在直线上，所以P 点的轨迹一定过ABC 的重心，故选：C13.下列命题中正确的是（）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b + 的方向必与a ，b之一的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若a ，b均为非零向量，则||a b + 与||||a b + 一定相等【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当a 与b 为相反向量时，0a b +=，方向任意，故A 错误；对于B ：在ABC 中，0AB BC CA ++=，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足0AB BC CA ++=，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若a ，b 均为非零向量，则a b a b +≤+ ，当且仅当a 与b同向时等号成立，故D错误.故选：B14.如右图，D ，E ，P 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=uu u r uu u r uuu r r C ．0AD CE CF +-=uuu r uur uu u r r D ．0BD BE FC --= 【答案】A 【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=，故A 正确；BD CF DF BD FC DF BC -+=++=，故B 错误；AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=，故C 错误；2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=，故D 错误.故选：A.15.如图，在ABC 中，3BC BD →→=，23AE AD →→=，则CE →=（）A ．4599AB AC→→+B ．4799AB AC→→-C ．4133AB AC→→-D ．4799AB AC→→-+【答案】B 【分析】利用向量定义，22()33CE AE AC AD AC AB BD AC →→→→→→→→=-=-=+-，最后化简为,AB AC →→来表示向量即可.【详解】22()33CE AE AC AD AC AB BD AC→→→→→→→→=-=-=+-2122()()3339AB BC AC AB AC AB AC →→→→→→→=+-=+--4799AB AC →→=-故选：B题组B 能力提升练1.在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（）A ．3142AE AB AD→→→=+B ．3122AE AB AD→→→=+C ．1142AE AB AD →→→=+D ．3144AE AB AD →→→=+【答案】A 【分析】作出示意图，利用数形结合，在梯形ABCD 中，利用三角形法则即可求解.【详解】如图所示：在三角形ABE 中，12AE AB BE AB BC→→→→→=+=+12AB BA AD DC →→→→⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD AB →→→→⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD →→→⎛⎫ ⎪=+-+ ⎪⎝⎭3142AB AD →→=+.故选：A.2.已知O 是三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC 的面积与OAB 的面积之比是（）A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B 【分析】取D 、E 分别是BC 、AC 中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得2OE OD =，再由三角形的相似比即可求解.【详解】如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+ 即2OE OD =- ，所以2OE OD =，由COE AOE S S = ，COD BOD S S =△△，设1AOC S S = ，2BOC S S = ，则12COE AOE S S S ==，22COD BOD SS S == ，由三角形相似比可得1212122322AOB S S S S S +=++ ，解得12AOB S S S += ，因为:2:1AOE BOD S S = ，所以12:2:1S S =，即122S S =，所以112AOB S S S += ，所以123AOB S S = ，即OAC 的面积与OAB 的面积之比是23故选：B.3.已知平面向量a ，b ，c满足222a c a b b c ==-=-= ，则b 的取值范围为（）A ．[]1,3B ．7⎡⎣C ．[]2,3D ．7⎡⎣【答案】C 【分析】由复数的几何意义画出简图，数形结合可得结果.【详解】令a OA =，由2a = 知点A 在以O 为圆心，2为半径的圆上；令2a OD =，由2a = 知点D 在以O 为圆心，4为半径的圆上；令c OC =，由2c = 知点C 在以O 为圆心，2为半径的圆上；令b OB =，由22a b -= 知点B 在以D 为圆心，2为半径的圆上，由1b c -= 知点B 也在以C为圆心，1为半径的圆上，所以点B 在以O 为圆心，内径为2，外径为3的圆环上，如图阴影部分，从而[]2,3b ∈.故选：C.4.在平行四边形ABCD 中，设CB a = ，CD b =，E 为AD 的靠近D 的三等分点，CE 与BD交于F ，则AF =（）A ．3144a b--B ．3144a b-+C ．1344a b--D ．1344a b-【答案】A 【分析】找到AD 、BC 上的三等分点，则////AK GH EC ，结合图形易得4DBDF =，由AF AD DF =+ 即可知正确选项.【详解】如图，在AD 上取G 点，使得AG GE ED ==，在BC 上由左到右取K ，H ，使得BK KH HC ==，连接AK ，GH ，则////AK GH EC ，∵//DE BC 且13DE BC =，∴由相似比可知：4DBDF =，∴()131444AF AD DF a a b a b =+=-+-=-- .故选：A5.在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =- ；②1122BE AB BC =-+ ；③AD BE FC += ；④0GA GB GC ++= ．上述结论中，正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】C 【分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误.【详解】如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误；对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，1122AD AB AC ∴=+ ，同理可得1122CF CA CB =+ ，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=，AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =- ，23GB BE =- ，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C.【点睛】本题考查平面向量加法运算的相关判断，考查平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.6.八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+= ；②2OA OC OF +=- ；③AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算，由此确定出正确选项.【详解】对于①：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故①错误；对于②：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC +=-，故②正确；对于③：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+ ，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故③正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键利用合适的转化对向量的减法运算进行化简，由此验证关于向量的等式是否正确.7.ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+ ，则实数t 的值为（）A ．67B ．47C ．27D ．59【答案】C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+ ，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可．【详解】如图，因为AD DC =，所以12AD AC= 则12AM AD DM AC DM =+=+ ，因为M 在BD 上，不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=- ，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+ ，因为37AM AB t AC =+，所以371(1)2⎧⎪⎪⎨⎪⎩=-=⎪k k t ，解得27t =，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8.（多选题）下列各式结果为零向量的有（）A ．AB CA BC→→→++B ．AB AC BD CD+++ C ．OA OD AD-+ D ．NQ QP MN MP++- 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=，故A 正确；对B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，故B 错误；对C ，0OA OD AD DA AD -+=+=，故C 正确；对D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，故D 正确；故选：ACD 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算9.（多选题）在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC 和DC 的中点，P 是DE 与BF 的交点，则有（）A ．12AE AB AD=+uu u r uu u r uuu rB ．1122AF AB AD=+ C ．2233AP AB AD=+ D ．1122CP CD CB=+【答案】AC 【分析】对A ，B ，由向量的加法法则即可判断；对C ，D ，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.【详解】解：如图所示：对A ，12AE AB BE AB BC =+=+，又BC AD = ，即12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r，故A 正确；对B ，1122AF AD DC AB AD =+=+，故B 错误；对C ，设O 为AC 与BD 的交点，由题意可得：P 是CBD 的重心，故2CP PO = ，222333AP AO OP AC AB AD =+==+，故C 正确；对D ，221111332233CP CO CB CD CB CD ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.10.（多选题）设P 是OAB 内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（）A ．2155OP OA OB =+B ．2455OP OA OB =+C ．2155OP OA AB=+ D ．2455OP OA AB=+【答案】AC 【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A ：如下图所示，可知P 在OAB 内部，故成立；对于B ：如下图所示，可知P 在OAB 外部，故不成立；对于C ：因为21211115555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=+，如下图所示，可知P 在OAB 内部，故成立；对于D ：因为24244245555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=-+ ，如下图所示，可知P 在OAB 外部，故不成立；故选：AC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD 选项中的向量关系式要根据AB AO OB =+进行化简.11.（多选题）设点D 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的有（）A ．若()12AD AB AC =+，则点D 是边BC 的中点B ．若()13AD AB AC =+，则点D 是ABC 的重心C ．若2AD AB AC =-，则点D 在边BC 的延长线上D ．若AD xAB y AC =+ ，且12x y +=，则BCD △是ABC 面积的一半【答案】ABD 【分析】对A ，根据中点的性质即可判断；对B ，根据重心的性质即可判断；对C ，根据向量的运算得到BD CB =，即可判断；对D ，根据三点共线的性质即可求解.【详解】解：对A ，()12AD AB AC =+，即11112222AD AB AC AD -=-，即BD DC = ，即点D 是边BC 的中点，故A 正确；对B ，设BC 的中点为M ，()1122333AD AB AC AM AM =+=⨯= ，即点D 是ABC 的重心，故B 正确；对C ，2AD AB AC =-，即AD AB AB AC -=- ，即BD CB = ，即点D 在边CB 的延长线上，故C 错误；对D ，AD xAB y AC =+，且12x y +=，故222AD xAB y AC =+，且221x y +=，设2AM AD =，则22AM xAB y AC =+，且221x y +=，故,,M B C 三点共线，且2AM AD =，即BCD △是ABC 面积的一半，故D 正确.故选：ABD.12.对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（）A ．AB BC =B ．AB BC = C ．AB CD AD BC-=+D ．AD CD CD CB+=- 【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+= ，2AD BC BC +=，且AB BC = ，所以AB CD AD BC -=+ ，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+= ，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.13.．四边形ABCD 中，若BD BC BA =+，则四边形ABCD 的形状为_____.【答案】平行四边形【分析】由平面向量的加法法则直接可得答案【详解】解：因为四边形ABCD 中，BD BC BA =+，所以BC CD BC BA +=+ ，所以CD BA = ，所以CD BA = ，且CD ‖BA ，所以四边形ABCD 为平行四边形，故答案为：平行四边形。

一、平面向量的相关概念1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；2、向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；3、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；5、互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；6、 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 二、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka ． 1、 如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当k > 0时ka 与a 同方向；当k < 0时ka 与a 反方向．2、 如果k = 0或0a =，那么0ka =． 三、实数与向量相乘的运算律 设m 、n 为实数，则（1） ()()m na mn a =；（2）()m n a ma na +=+； （3）()m a b ma mb +=+．平面向量知识结构模块一：向量的概念及计算知识精讲四、平行向量定理如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使b ma=．五、单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e为单位向量，则1e=．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量a，与它同方向的单位向量记作0a．由实数与向量的乘积可知：0a a a=，01a aa=．【例1】向量是既有______又有______的量，它的______也叫向量的长度．【难度】★【答案】大小，方向，大小．【解析】根据向量的定义，可知向量是既有大小又有方向的量．【总结】考查向量的基本概念．【例2】有下列说法：①互相平行且长度相等的两个向量是相等的向量；②方向相同且长度相等的两个向量是相等的向量；③方向相反且长度相等的两个向量是相反的向量．其中正确的说法的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★【答案】C【解析】根据相等向量和相反向量的概念，可知②③正确，①错误，故选C．【总结】考查相等向量和相反向量的概念．例题解析【例3】计算：AB BA+=______．【难度】★【答案】0．【解析】根据向量的概念，可知AB和BA是相反向量，则有0+=．AB BA【总结】考查向量的加法计算，注意结果是0，不是常数0．【例4】如果非零向量a、b满足3=-，那么a与b的方向______，a、b满足的关系a b式是______．【难度】★【答案】相反，3=．a b【解析】根据3=-，可知两向量是平行向量，“-”号表示两方向方向相反，同时根据相a b应的模长关系，可知3=．a b【总结】考查反向向量的关系，“-”号只表示方向．【例5】下列命题中的假命题是（）A．向量AB与BA的长度相等B．只有零向量的长度等于0C．平行的单位向量方向都相同D．两个相等向量若起点相同，则终点必相同【难度】★【答案】C【解析】根据平行向量的概念，可知方向相同或相反的向量都是平行向量，平行的单位向量方向可能相同，也可能相反，可知C选项错误，故选C．【总结】考查平行向量的基本概念，注意区别平行向量和相等向量、相反向量的关系．【例6】如果向量e是单位向量，设5=-，那么PQ =______．PQ e【难度】★【答案】5．【解析】根据5=-，可知PQ 和e是平行向量，则有55PQ e==．PQ e【总结】考查单位向量模长为1．【例7】（2015学年·松江区二模·第9题）计算：()a b b-+=______．23【难度】★【答案】2a b+．【解析】()a b b a b b a b-+=-+=+．232232【总结】考查向量的加减计算．【例8】（2015学年·浦东新区二模·第10题）计算：()()a b b a-+-=______．322【难度】★【答案】a b--．【解析】()()-+-=-+-=--．a b b a a b b a a b3223324【总结】考查向量的加减计算．【例9】下列说法中，正确的是（）A．一个向量与零相乘，乘积为零B．向量不能与无理数相乘C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【难度】★★【答案】D【解析】向量前面的正负号只表示方向，不表示大小，可知C错误，D正确．【总结】考查向量前面正负号的意义．【例10】 已知非零向量a ，求作2a ，a -． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】2a 是a 长度的2倍，反向相同；a -和a 长度相同，反向相反． 【总结】考查向量的倍数关系和相应的画法．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第13题）已知b ka =，如果2a =，6b =，那么实数k=______．【难度】★★ 【答案】3±．【解析】由b ka =，则有b ka k a ==⋅，由2a =，6b =，即26k =，得3k =±． 【总结】考查平行向量的相互关系，注意平行向量方向可能相同，也可能相反．【例12】5m n a +=，2m n a -=-，那么m 与n 是平行向量吗？ 【难度】★★★ 【答案】平行．【解析】根据52m n a m n a +=⎧⎨-=-⎩，解得：3272m a n a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此可得：37m n =，由此可知m 与n 是平行向量． 【总结】考查平行向量的判定．一、 平面向量的加减法则1、几个向量相加的多边形法则；2、向量减法的三角形法则；3、向量加法的平行四边形法则． 二、 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如25a b +、3a b -、()23a b +、3553a a b ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等，都是向量的线性运算．一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成c xa yb =+的形式，其中x 、y 是实数．三、 向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【例13】 如图，已知a 、b ，求作向量：12a b -，2a b +．【难度】★★ 【答案】略【解析】考查应用向量的“三角形法则”或“平行四边形法则” 进行向量的合成作图．模块二：向量的线性运算例题解析ab知识精讲【例14】 如图，已知向量OA 、OB 和a 、b ，求作：（1）向量a 分别在OA 、OB 方向上的分向量； （2）向量b 分别在OA 、OB 方向上的分向量． 【难度】★★ 【答案】略【解析】考查应用向量的“三角形法则”或“平行四边形法则”进行向量的合成作图，注意 作图时把向量移到相同的起点．【例15】 已知向量a 、b 不平行，x 、y 是实数，且()231xa yb ya x b +=--，求x 、y 的值． 【难度】★★【答案】3x =，1y =．【解析】由()231xa yb ya x b +=--，整理得()()312x y a x y b -=--，a 、b 不平行，则应 有()()3120x y a x y b -=--=，得30120x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得：31x y =⎧⎨=⎩．【总结】考查向量的平行性质定理的应用．【例16】 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB = 2CD ，点M 是AB 的中点．在以点A 、B 、C 、D 、M 中的两点为起点和终点的向量中， （1）写出所有与向量AB 平行的向量；（2）设3CD =，写出向量AB 的长度以及所有与向量CD 互为相反向量的向量； （3）设AD a =，CD b =，分别将向量DM 、BC 、BD 用向量a 、b 表示出来． 【难度】★★【答案】（1）BA ，AM ，MA ，MB ，BM ，DC ，CD （2）23AB =；DC ，MB ，AM ；（3）DM a b =--，BC a b =+，2BD a b =+．ACDM【解析】（1）根据平行向量的基本定义，方向相同或相反的向量都是平行向量，由//AB CD ， 可知相应的向量为以上几个，注意不要遗漏本身的相反向量；（2）由AB = 2CD ，//AB CD ，可得223AB CD == 可知为以上几个；（3）根据向量加减的“三角形法则”，可知DM AM AD DC AD a b =-=-=--， BC DM a b =-=+，22BD AD AB AD DC a b =-=-=+．【总结】考查图形中平行向量和相反向量的确定，以及三角形法则的应用．【例17】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第14题）已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，如果AB a =，AD b =，那么向量MN =______（结果用a 、b 表示）．【难度】★★【答案】1122a b +．【解析】MN 为ABC ∆的一条中位线，可知()11112222MN AC AB AD a b ==+=+． 【总结】考查向量“平行四边形法则”的应用．【例18】 （2015学年·崇明县二模·第16题）如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =，AD b =，如果用向量a 、b 表示向量BC ，那么BC = ．【难度】★★ 【答案】22b a -．【解析】AD 是中线，可知()2222BC BD AD AB b a ==-=-．【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【例19】 （2015学年·闸北区二模·第16题）如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且AD :DC = 1 : 2，若AB m =，BD n =，那么DC =______（用向量m 、n 表示）．【难度】★★ 【答案】22m n +．【解析】由AD : DC = 1 : 2，根据向量计算的“三角形法则”， 可知()2222DC AD AB BD m n ==+=+．【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【例20】 （2015学年·金山区二模·第16题）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD = BD ，AE = 2EC ．设AB a =，AC b =，那么DE =______．【难度】★★【答案】2132b a -．【解析】由AD = BD ，AE = 2EC ，可知12AD AB =，23AE AC =，根据向量加减的“三角形 法则”，则有21213232DE AE AD AC AB b a =-=-=-． 【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【例21】 （2015学年·静安区二模·第16题）如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别是OA 、OD 的中点，如果AB a =，BO b =，那么EF =______．【难度】★★【答案】12a b +．【解析】EF 是AOD ∆的中位线，则有1122EF AD BC ==，因为四边形ABCD 是平行四边形，则有2BD BO =，DC AB =，根据向量的“三角形法则”，可得：()()111122222EF BC BD DC BO AB a b ==+=+=+．【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．A BCDEOFABCDPNMABCD E F 【例22】 （2015学年·普陀区二模·第14题）如图，在四边形ABCD 中， 点M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点， 如果BA a =，DC b =，那么MN =______（用a 、b 表示）．【难度】★★【答案】1122b a -．【解析】因为PM 是ABD ∆的中位线，PN 是BCD ∆的中位线，则有12PM AB =，12PN CD =，根据向量计算的“三角形法则”，即可得11112222MN PN PM DC BA b a =-=-=-． 【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【例23】 （2015学年·黄浦区二模·第16题）已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE // BC ，且13AD DB =，若AB a =，AC b =，则DE =______．【难度】★★【答案】1144b a -．【解析】由DE // BC ，可得：14DE AD BC AB ==，则有()11114444DE BC AC AB b a ==-=-． 【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【例24】 （2015学年·虹口区二模·第15题）如图，在梯形ABCD 中，E 、F 分别为腰AD 、BC 的中点，若3DC m =，5EF m =，则向量AB = ．（结果用m 表示）【难度】★★ 【答案】7m ．【解析】因为EF 是梯形的中位线，则有////DC EF AB ，且有()12EF AB CD =+，又平行，则有27AB EF DC m =-=． 【总结】考查与梯形相关的向量计算，也可通过移腰进行计算．FABC E GHABCD EFM【例25】 如图，点M 是的重心，则MA MB MC +-为（ ）A ．0B ．4MEC ．4MDD ．4MF【难度】★★★ 【答案】D【解析】根据向量的“平行四边形法则”，可得：2MA MB MF +=，根据重心的性质，则有2MC MF =，由此可得：()224MA MB MC MF MF MF +-=--=， 故选D ．【总结】考查向量“平行四边形法则”和重心性质的结合应用．【例26】 如图，在ABC ∆中，G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，CA a =，BC b =，写出AB 、EF 、GH 关于a 、b 的线性组合，并通过向量证明EF 、GH 、AB 之间的位置关系．【难度】★★★【答案】AB a b =--，1133EF a b =--，2233GH a b =--，////A B C D E F ．【解析】因为G 、E 是AC 的三等分点，F 、H 是BC 的三等分点，则有13CE CA =，23CG CA =，13CF CB =，23CH CB =，由此可得：AB CB CA a b =-=--，11113333EF CF CE CB CA a b =-=-=--，22223333G H C H C G C B C A a b =-=-=--， 综上可得：13EF AB =，23GH AB =， 即得//EF AB ，//GH AB ，由此即证////AB CD EF ．【总结】考查向量的线性算和向量的平行判定．【习题1】 在ABC ∆中，可知AB BC CA ++=______． 【难度】★ 【答案】0．【解析】根据向量计算的“多边形法则”可知首尾相连，即为0．【习题2】 化简：()()3245a b a b --+=______． 【难度】★ 【答案】17a b -．【解析】()()32456125517a b a b a b a b a b --+=---=-． 【总结】考查向量的加减计算法则．【习题3】 已知非零向量k ，2a k =-，5b k =，用a 表示b ，其结果是．【难度】★【答案】52b a =-．【解析】k 为非零向量，根据题意可得()555222b k k a ==--=-． 【总结】考查向量平行的计算和相关的表示方法．【习题4】 下列命题中个，错误的个数是（ ）① 若a 、b 都是单位向量，则a b =； ② 若m = 0或0a =，则0ma =；③ 设m 、n 为实数，则()m n a ma na +=+；④ 任意非零向量a ，与a 同方向的单位向量是0a ，则0a a =．随堂检测A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】C【解析】单位向量是针对每个向量而言的，有无数个，方向不一定相同，①错误；②的结果 应为0，②错误；③是向量的一条计算法则，③正确；④要注意向量的模长不一定为1， ④错误，故选C ．【总结】考查向量的相关概念和计算应用．【习题5】 已知，在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB AD =，那么四边形ABCD 是． 【难度】★★ 【答案】菱形．【解析】由AB DC =，可知//AB CD 且AB CD =，得ABCD 四边形是平行四边形， 由AB AD =，平行四边形一组邻边相等，可知为菱形． 【总结】考查利用向量的相等关系判定几何图形的形状．【习题6】 （2015学年·金山区二模·第14题）在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，设AB m =，AD n =，如果用向量m 、n 表示向量AO ，那么AO =______．【难度】★★【答案】1122m n +．【解析】根据平行四边形的性质，可得12AO AC =，根据向量的“平行四边形法则”， 可得：()11112222AO AC AB AD m n ==+=+． 【总结】考查向量的“平行四边形法则”的计算应用．BC = 3AD ，点E 是边DC 的中点．设AB a =，AD b =，那么AE =______．（用a r、b r的式子表示）【难度】★★【答案】122a b +．【解析】由AD // BC ，BC = 3AD ，可得：33BC AD b ==，根据向量计算的“多边形法则”， 可得：32DC DA AB BC b a b a b =++=-++=+，根据向量计算的“三角形法则”，即得：()11122222AE AD DE AD DC b a b a b =+=+=++=+．【总结】考查向量的计算法则的综合应用．【习题8】 （2014学年·崇明县二模·第14题）如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =，AD b =，如果用向量a ，b 表示向量BC ，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】22b a -．【解析】因为AD 是中线，可知()2222BC BD AD AB b a ==-=-．【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【习题9】 （2014学年·奉贤区二模·第15题）已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，且BD =2DC ．设AB a =，BC b =，那么AD 等于__________（结果用a r 、b r表示）． 【难度】★★【答案】23a b +．【解析】由BD = 2DC ，可得：23BD BC =，根据向量计算的“三角形法则”， 即可得：2233AD AB BD AB BC a b =+=+=+．【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．A B DCEABCDAB = 3CD ．设AB a =，AD b =，那么AO =______．【难度】★★【答案】1344a b +．【解析】由AB // CD ，可得：3BO AB DO CD ==，则有34BO BD =，由此即得()331313444444AO AB BO AB BD AB AD AB AB AD a b =+=+=+-=+=+．【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【习题11】 已知向量a 、b 不平行，点A 、B 、C 共线，且2AB a kb =+，4AC a b =-，求实数k 的值．【难度】★★★ 【答案】8k =-．【解析】A 、B 、C 三点共线，可令AB AC λ=，即()24a kb a b λ+=-，则有 ()()24a k b λλ-=+，a 、b 不平行，则应有2040k λλ-=⎧⎨+=⎩，解得：28k λ=⎧⎨=-⎩．【总结】共线即为平行向量，注意进行相互转化，综合性较强，注意总结方法．【习题12】 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--． 求证：四边形ABCD 为梯形． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：因为()()()2453822AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=++--+--=--=， 所以//AD BC 且AD BC ≠，即证四边形ABCD 为梯形．【总结】考查利用向量证梯形，证明有一组平行且不相等的对边即可．A BCDO课后作业【作业1】已知，向量AB的方向是东南方向，且5-的方向是AB=，那么向量2AB；2BA-=．【难度】★【答案】西北方向，10．【解析】AB 是东南方向，则2AB-与其方向相反，即为西北方向；2210BA AB-==．【总结】考查相反向量的意义，大小和方向的确定．【作业2】下列说法正确的有（）个（1）零向量是没有方向的向量；（2）零向量的方向是任意的；（3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线．A．1 B．2 C．3 D．以上都不对【难度】★【答案】B【解析】零向量的方向是任意的，与任意向量平行，即与任意向量共线，可知（2）、（3）正确，（1）、（4）错误，故选B．【总结】考查零向量的性质．【作业3】化简：AB BD AC+-=__________．【难度】★【答案】CD．【解析】AB BD AC AD AC CD+-=-=．【总结】考查向量的加减计算．【作业4】 已知向量e 是单位向量，那么3e 与e 方向______，5e -的长度为______． 【难度】★ 【答案】相同，5．【解析】根据平行向量的定义可知．【作业5】 设a 、b 、c 是向量，m 、n 是实数，化简：（1）()()()()m na b c n ma b c n m b c +--+-+--； （2）()()2222mna mb nc m na b nc +--++． 【难度】★★【答案】（1）0；（2）0．【解析】（1）原式0mna mb mc mna nb nc nb nc mb mc =+---++--+=；（2）原式2222220mna mb nc mna mb nc =+---+=． 【总结】考查向量的计算，注意结果是0不是常数0．【作业6】 （2015学年·徐汇区二模·第11题）点E 是ABC ∆的重心，AB a =，BD b =，那么BE =______（用a 、b 表示）．【难度】★★【答案】2133b a -．【解析】根据向量计算的“三角形法则”，可得AD AB BD a b =+=+，根据重心的性质， 可得：23AE AD =，则有()22213333BE AE AB AD AB a b a b a =-=-=+-=-． 【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【作业7】 （2015学年·杨浦区二模·第13题）在ABC ∆中，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且::1:2AM MB CN NA ==，如果AB a =，AC b =，那么MN =______（用a 、b 表示）． 【难度】★★【答案】2133b a -．【解析】由::1:2AM MB CN NA ==，可得：13AM AB =，23AN AC =， 根据向量的“三角形法则”，即得21213333MN AN AM AC AB b a =-=-=-． 【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【作业8】 （2015学年·奉贤区二模·第15题）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且DC = 2BD ，点E 是边AC 的中点，设BC a =，AC b =，那么DE =______．（用a 、b 的线性组合表示）． 【难度】★★【答案】2132a b -．【解析】由DC = 2BD ，可得：23DC BC =，E 是AC 中点，可得：12CE AC =， 根据向量的“三角形法则”，即得：21213232DE DC EC BC AC a b =-=-=-．【总结】考查向量“三角形法则”的应用，注意转化为已知向量的加减进行计算．【作业9】 （2014学年·静安区、青浦区二模·第15题）如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，如果BA a =，BC b =，那么AE =______．【难度】★★【答案】3144b a -．【解析】根据平行四边形的性质，可得则有1124ED OD BD ==，即得()()1113144444AE AD ED BC BD BC BA BC b a b b a =-=-=-+=-+=-．【总结】考查向量的“平行四边形法则”的应用．AEA BCDE OFE DCBA GFE DCBA【作业10】 （2014学年·闸北区二模·第15题）如图，在正方形ABCD 中，如果AC =AB a =，AC b =，那么a b -=______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】由AC =3AB BC ==，即得3a b CB -==． 【总结】考查向量的模的计算．【作业11】 已知梯形ABCD 中，AD //BC ，且AD = 2AB = 2CD ，60B ∠=︒．（1）若AD kBC =，求实数k 的值；（2）若0xAB BC yDC ++=，求实数x 、y 的值． 【难度】★★★ 【答案】（1）23k =；（2）3x =，3y =-． 【解析】（1）如图，过点A 、D 分别作梯形的高AE 、DF ，设AB ＝CD ＝a ，则2AD EF a ==， ∵∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴2aBE =， 同理2a CF =，可得:3BC a =，∵AD BC ，∴23AD BC =， 即得23k =． （2）延长BA 、CD 相交于点G ， 易得BCG 、ADG 是等边三角形，所以3GB GC a ==，根据三角形法则，0GB BC CG ++=， 又∵33GB AB CG DC ==-，，∴330AB BC DC +-=， 即得：3x =，3y =-．【总结】考查向量的线性运算与几何图形性质的综合应用．ADE F ONM【作业12】 已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点D 、E 、F 在射线ON 上，1OB OEk OA OD==，2O C O Fk O A O D==．设OA a =，OD b =． （1）分别求向量AD 、BE 、CF 关于a 、b 的分解式； （2）判断直线AD 、BE 、CF 是否平行．【难度】★★★【答案】（1）AD a b =-+，11BE k b k a =-， 22CF k b k a =-；（2）平行． 【解析】（1）AD AO OD a b =+=-+； ∵1OB OE k OA OD ==，2OC OFk OA OD==，∴1122OB k OA OE k OD OC k OA OF k OD ====，，，． ∴111()BE BO OE k OA k OD k b a =+=-+=-，同理2()CF k b a =-； （2）∵12;BE k AD CF k AD ==， ∴直线AD BE CF 、、两两平行． 【总结】本题考查利用向量证明直线平行位置关系．。

平面向量的加法和减法在平面几何中，平面向量是研究问题的有力工具。

平面向量的加法和减法是其中最基本和常用的运算，它们在求解平面几何问题中起着重要的作用。

本文将详细介绍平面向量的加法和减法。

一、平面向量的表示方法平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

平面向量通常用大写字母加箭头符号来表示，例如`AB→`表示从点A到点B的向量。

向量的起点称为原点，终点则表示向量所在的位置。

向量也可以用坐标表示，其中横坐标和纵坐标分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。

二、平面向量的加法向量的加法即将两个向量相加得到一个新的向量。

给定向量`AB→`和`CD→`，它们的加法可以通过将向量的起点与终点相连来实现。

连接起点A和终点D可以得到向量`AD→`，它就是向量`AB→`与`CD→`的和，即`AB→`+`CD→`= `AD→`。

三、平面向量的减法向量的减法即将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

给定向量`AB→`和`CD→`，它们的减法可以通过将向量的起点与起点、终点与终点相连来实现。

连接起点A和起点D可以得到向量`AD→`，它就是向量`AB→`与`CD→`的差，即`AB→`-`CD→`= `AD→`。

四、平面向量的运算性质平面向量的加法和减法满足以下性质：1. 交换律：`AB→`+`CD→`= `CD→`+`AB→`2. 结合律：`AB→`+(`CD→`+`EF→`) = (`AB→`+`CD→`)+`EF→`3. 零向量：对于任意向量`AB→`，都有`AB→`+`0→`= `AB→`4. 负向量：对于任意向量`AB→`，存在一个向量`BA→`，使得`AB→`+`BA→`=`0→`五、平面向量的应用举例平面向量的加法和减法在求解平面几何问题中有广泛的应用。

以下是一些实际问题的例子：1. 三角形求面积：已知三角形的两条边向量`AB→`和`AC→`，可以通过向量的叉积求得三角形的面积。