上海市闵行区2011届高三第二学期4月质量调研考试 数学理

闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、（第1题至第14题） 1．[]0,3；2．12； 3．23； 4．13； 5．3； 6．12-； 7．文16，理4； 8（或b ）；9．文1P -，理30；10．文92；11．文212．9； 13．文3x <-，理1x <-或3x >； 14．2012．二、（第15题至第18题） 15．A ； 16．C ； 17．D ； 18．D ． 三、（第19题至第23题） 19.解：由p 得22(1)42524x x -+≤⇒-≤≤， （4分）由q 得322310xxx -<2230x x ⇒--≤13x ⇒-≤≤， （8分） 由[2 4][1 3]--，，Ý，即p q ⇒，但q p ⇒，∴命题“若p 则q ”是假命题（10分） 而其逆命题“若q 则p ”是真命题. （12分） 20. [解]（文） (1) 依题意，P A ⊥平面A B C D ，底面A B C D是矩形，高2PA =，2BC AD ==,1AB = （2分）∴12112A B C S =⋅⋅=△ （4分）故121233P ABC V -=⨯⨯=. （7分） (2)∵//B C A D ,所以E C B ∠或其补角为异面直线E C 和A D 所成的角θ，（2分） 又∵P A ⊥平面A B C D ，∴P A B C ⊥，又B C A B ⊥，∴BC PAB ⊥面，∴B C P B ⊥,于是在R t C E B ∆中，2B C =，12BE PB === （4分）tan BE BC θ=== （6分） ∴异面直线E C 和A D所成的角是arctanarccos . （7分） E DBCA P（理）(1) 解法一：分别以A B A D A P 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意，42A D A B ==，，则各点坐标分别是 (0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，， (0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 4 1)EC =-，，, 又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n A B ==， （2分）设直线E C 与平面PAD 所成的角为α，则sin ||||EC n EC n α⋅===⋅ （6分） ∴直线E C 与平面PAD所成的角为arcsin. （7分） 解法二：∵P A ⊥平面A B C D ，∴C D P A ⊥，又C D A D ⊥,∴C D ⊥平面PAD ，取P A中点G ，C D 中点H ，联结E G G H G D 、、，则E G A B C D ////且1=12E G A B =，E G H C ∴是平行四边形，∴H G D ∠即为直线E C 与平面PAD 所成的角. （2分） 在R t G A D ∆中，GD =在R t G H D ∆中，tan HD HGD GD ∠===，（6分）∴直线E C 与平面PAD所成的角为arctan . （7分）(2)解法一：由（1）解法一的建系得，(1 2 1)AF = ，，,(0 4 0)AD =，，，设平面AFD 的法向量为(,,)n x y z = ，点P 到平面AFD 的距离为d ，由0AF n ⋅= ，0AD n ⋅=得20x y z ++=且40y =，取1x =得(1,0,1)n =-，∴AP n d n⋅===，（2分）又AF FD ==2AFD S =⨯=△（4分）∴1433P AFD V -=⨯=. （7分） 解法二：易证P E 即为三棱锥P AFD -底面上的高，且PE = （2分）底面A F D △边A D 上的高等于A E，且AE =，∴AFD S =△（4分）1144323P AFD V -=⨯⨯⨯=. （7分） 解法三：依题意，//E F 平面PAD ，∴P AFD F PAD E PAD D PAE V V V V ----===（4分） 11114224322123D PAE V PA AB AD -=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. （7分） 21. [解]（1）设两车距离为d ，则22222100(100)(50)(2500)20010000(0)d vt t v t vt t v=-+=+-+≤≤ （3分）210010002500v v v <<+，∴当21002500vt v =+时，min d =千米； （7分）F E D B CA PH G（2）当两车相距最近时，02100100125002500vt v v v==≤++， （3分） 此时50v =千米/小时. （5分）即当车速50v =千米/小时，两车相距最近所用时间0t 最大，最大值是1小时.（7分）22. [解]（1）由题可得1(0)F，20)F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P则100(,)PF x y =-，200,)PF x y =- ，∴22120021PF PF x y ⋅=+-=，（1分）∵点),(00y x P 在曲线上，则22142x y +=，（2分）解得点P的坐标为. （4分） （2）当直线P A经过点(1时，则P A 的斜率为1-，因两条直线P A P B 、的倾斜角互补，故P B 的斜率为1，由222131)20142y x x x y x -=-+⎧⎪⇒-++=⎨+=⎪⎩得，12x x ==即A x =，故A y =（2分）同理得B x =，B y =-（4分）∴直线A B的方程为23y =- （6分）(3) 依题意，直线P A P B 、的斜率必存在，不妨设B P 的方程为：1(0)y k x k -=->.由221(142y k x y x -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)41)420k x k x k +--+--=，（2分）设),(B B y x B ，则221B x k =+，221B x k =+，同理221A x k =+，则2821A B k x x k -=+，同理2(21A B A B y y k x x k -=-+-=+.（4分）所以：A B的斜率2A B AB A By y k x x -==-为定值. （6分）23. [解]（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且， （2分）311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A （4分）（2）由（1）的结论可得12231||||||n n A A A A A A -+++ 4412711931()()3223n n --=++++=- （2分） n A 点∴的坐标42911(0,())223n --， （3分）1||||n n OB OB --= （2,3,n =）且1||O B ={||}n O B ∴是以23为首项，22为公差的等差数列 （5分）||((2n OB n n ∴=-=+n B 的坐标为(21,21)n n ++.（6分）（3）（文）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ， 则111nn n n n n n AA B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 由1S ，n S ，k S (1,)n k n k <<∈N 、成等差数列，332929292()(9)()23223n k n k--+=+++ 即123()36k n n k =⋅-，①（4分）∵111120333n nn n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139nn ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）当2n =时，得23k k -=，易知3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列. 即当3n ≥时，{}n S 中不存在1S ，n S ，k S 三项成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有1S ，2S ，3S 成等差数列. （8分） （理）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ，则111nn n n n n n A AB B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 不妨设 (1 )m n k S S S m n k m n k ≤<<∈N ，，，、、成等差数列， 又12120,3n n n n S S +---=< ,1n n S S <+即}{n S ∴是单调递减数列.n S ∴是等差中项，即2n m k S S S =+，∴3332929292()()()232323n m k n m k ---+=+++，即2333nmkn m k =+1）当1m =,2n =时，得23k k -=,3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列（4分）2）当1m =，3n ≥时，即123()36knn k =⋅-，① ∵111120333n nn n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139nn ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）3）当2m ≥时，2n m k S S S =+不可能成立.∵111120333n n n n n n +++--=<，∴数列{}3n n是递减数列， 当2m ≥时，32(1)m m ≥+，由2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）知，1n m ≥+∴112(1)323333m m m n m m mn +++=≥≥（当且仅当23m n ==，时等号成立） ∴2333m k n m k n+>对任意2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）恒成立， 即当2m ≥时，{}n S 中不存在不同的三项恰好成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有123S S S ，，成等差数列. （8分）。

闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合{}11M x x =+≤，{}1,0,1N =-，那么M N = .2．线性方程组的{32521x y x y +=+=-增广矩阵为 . 3．已知1cos()43πα-=，则sin()4πα+= . 4．2221lim 1n n n n →∞-=++ . 5．若13z a i =+，234z i =+，且12z z 为纯虚数，则实数a = . 6．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm ，则该圆锥的体积为 3cm .7．经过点(2,0)A 且与极轴夹角为2π的直线l 的极坐标方程为 . 8．已知数列{}n a 是以15-为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第 项.9则ξ的方差D ξ= .10．若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则12a b+的最小值为 . 11．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M N 、 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，PON α∠=,[]0απ∈，,()f OM ON α=+，则()αf 的范围为 .12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为 .13．已知双曲线22221x y a b-=与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双 曲线的两条渐近线方程为 .14．已知等差数列{}n a ，对于函数()f x 满足：53222(2)(2)(2)6f a a a -=-+-=，53201020102010(4)(4)(4)6f a a a -=-+-=-，n S 是其前n 项和，则2011S = .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得5分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的 [答]（ ） (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.16．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 [答]（ ）(A)16. (B)18. (C)27. (D)36.17．设函数141()log ()4xf x x =-、2141()log ()4xf x x =-的零点分别为12x x 、，则[答]（ ）EBCDA 1P B 1C 1D 1.A(A) 1201x x <<. (B) 121x x =. (C) 1212x x <<. (D) 122x x ≥.18．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数22()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，都使12()()f x f x <成立的条件序号是[答]（ ）(A) ①③. (B) ②④. (C) ③④. (D) ④.三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=o ，14AD =，点P 是1AD 的中点，求 异面直线1AA 与1B P 所成的角（结果用反三角函数表示）．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表:污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：()204(1)f x x x =-≥，220()(4)(1)3g x x x =-≥，224017()log (1)114h x x x x =--≥，其中x 表示月数，()()()f x g x h x 、、分别表示污染度.（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =.（1）设点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，1OAA △、12OA A △及2OA B △的重心依次为123G G G 、、，试用向量a 、b 表示123OG OG OG ++；（2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分、第3小题满分7分．已知椭圆2214x y +=中心为O ，右顶点为M ，过定点(,0)(2)D t t ≠±作直线l 交椭圆于A 、B 两点.（1）若直线l 与x 轴垂直，求三角形OAB 面积的最大值； （2）若65t =，直线l 的斜率为1，求证：90AMB ∠=o； （3）在x 轴上，是否存在一点E ，使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E 的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（3）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由． ○我 ○爱 △李○春 ◇衡闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试EPD 1C 1B 1A 1DC BA数学试卷参考答案与评分标准一.填空题 1.{}1,0-； 2.325121⎛⎫⎪-⎝⎭； 3.13； 4.2； 5. 4-； 6.3π； 7.理cos 2ρθ=，文220x y --=；8.8； 9. 理4.3,文 10.理3+，文4； 11. 理[]1,2，文215； 12. 32；13.0y ±=，文29arccos35； 14. 6033. 二.选择题 15. A ； 16.B ； 17.A ； 18.D.三.解答题 19.解：（1）解法一：过点P 作11PE A D ⊥，垂足为E ，连结1B E （如图），则1PE AA ∥，1B PE ∴∠是异面直线1AA 与1B P 所成的角． （3分）在11Rt AA D △中 ∵1160AD A ∠= ∴1130A AD ∠=11111122A B A D AD ===,111112A E A D ==，1B E ∴==112PE AA ==（8分） ∴在1Rt B PE △中，11tan B E B PE PE ∠===（10分） ∴异面直线1AA 与1B P所成的角为arctan3． （12分） 解法二：以1A 为原点，11A B 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标 系如图所示，则1(000)A ，，，(00A ，，1(200)B ，，，P （4分）1(00A A ∴=，，1(B P =-（8分）∴111111cos ||||AA B P A A BP A A B P ⋅<>=⋅，==．（10分）∴异面直线1AA 与1B P所成的角为 （12分） 20.解：（理）（1）(2)40,(2)26.7,(2)27.3f g h =≈≈ （3分） (3)20,(3) 6.7,(3)10.9f g h =≈≈ （6分）由此可得()h x 更接近实际值，所以用()h x 模拟比较合理. （7分）（2）因224017()log (1)114h x x x x =--≥在4x ≥上是增函数， 又因为(23)59.6,(24)60.9h h ≈≈ （12分） 故整治后有23个月的污染度不超过60. （14分） （文）（1）(2)40,(2)26.7,(2)30f g h =≈= （3分） (3)20,(3) 6.7,(3)12.5f g h =≈≈ （6分）由此可得()h x 更接近实际值，所以用()h x 模拟比较合理. （7分） （2）因2()30log 2h x x =-在4x ≥上是增函数，又因为(16)60h = （12分）故整治后有16个月的污染度不超过60. （14分）21. 解：（理）（1）如图：点1A 、2A 是线段AB 的三等分点， 111211()()323OG OA OA OA OA ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦，同理可得：2121()3OG OA OA =+，321()3OG OA OB =+，（2分）则1231212()()33OG OG OG a b OA OA ++=+++1212()()()3333a b a b a a b a ⎡⎤=+++-++-⎢⎥⎣⎦()a b =+（4分） （2）层次1：设1A 是AB 的二等分点，则12a bOA +=；122()3OG OG a b +=+；设123A A A 、、是AB 的四等分点，则()12332a b OA OA OA +++=；或设121,,,n A A A -是AB的n 等分点，则OA OA OA OB k n k +=+-等等（结论2分，证明2分） 层次2：设12,,,n A A A-是AB的n等分点，12321()2n n n a b OA OA OA OA OA --++++++=（结论2分，证明4分） 层次3：设121,,,n A A A -是AB 的n 等分点，则12321()3n n n a b OG OG OG OG OG --++++++=； （结论3分，证明7分） 证：12112112()()33n n OG OG OG a b OA OA OA --+++=+++++12121()()()()33n a b a b a a b a a b a n n n -⎡⎤=+++-++-+++-⎢⎥⎣⎦12121121()(1)()()33n n a b n a b a n nn n nn --⎡⎤=++-++++-+++⎢⎥⎣⎦12(1)()()()3323n na b a b a b -=++⋅+=+ （文）（1）如图：点P 、Q 是线段AB 的三等分点OP OA AP =+1()3OA OB OA =+-，则2133OP a b =+，同理1233OQ a b =+， （2分）所以 OP OQ a b +=+ （4分）（2）层次1：设1A 是AB 的二等分点，则12a bOA +=设123A A A 、、是AB 的四等分点，则 ()12332a b OA OA OA +++=等等（结论2分,证明2层次2：设121,,,n A A A -是AB 的n 等分点，则OA OA OA OB k n k +=+-等；（结论2分，证明4分） 层次3：设121,,,n A A A -是AB 的n 等分点，则1211()2n n OA OA OA a b --∴+++=+； （结论3分，证明7分） 证：121,,,n A A A -是线段AB 的)3(≥n n 等分点，先证明这样一个基本结论:k n k OA OA OA OB -+=+*(11,)k n n k ≤≤-∈N 、.[来源:学科网ZXXK]由=k k OA OA AA +,=n k n k OA OB BA --+,因为k AA 和n k BA -是相反向量， 则0k n k AA BA -+=, 所以 k n k OA OA OA OB -+=+. 记12321n n S OA OA OA OA OA --=+++++，1221n n S OA OA OA OA --=++++相加得1122112()()()(1)()n n n S OA OA OA OA OA OA n OA OB ---=++++++=-+[来源:学.科.网]1211()2n n OA OA OA a b --∴+++=+ 22.解：设直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,)(,)A x yB x y 、.（1）把x t =代入2214x y +=可得：y = （2分）则112OAB S OD AD t ∆=⋅=⋅≤，当且仅当t = （4分） （2）由226514y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2125240440x x -+=，1244125x x =，124825x x +=（6分）所以 ()()()()1212121266552222AM BMx x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==----()()1212121263652524x x x x x x x x -++=-++ 4464836125525254448241255-⋅+=-⋅+64164-==-⇒90AMB ∠=o （9分）[来源:学科网ZXXK][来源:学#科#网]（3）（理）当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-，由22()14y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222(41)8440k x k tx k t +-+-= 则21222212208414441k t x x k k t x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① 又 1122()()y k x t y k x t =-⎧⎨=-⎩ ② 若存在定点(,0)E m 符合题意，且则为非零常数),(s s k k BE AE =⨯221212122121212(())()()()AE BEy y k x x t x x t k k s x m x m x x m x x m -++===---++ （11分） 把①、②式代入上式整理得22224()(4)(4)0k s t m t s m ---+-=⎡⎤⎣⎦(其中m t s 、、都是常数) 要使得上式对变量(0)k k ≠恒成立，当且仅当2224()(4)0(4)0(0)s t m t s m s ⎧---=⎪⎨-=≠⎪⎩，解得2±=m （13分） 当2=m 时，定点E 就是椭圆的右顶点(2,0)，此时，24(2)t s t +=-；当2m =-时，定点E 就是椭圆的左顶点(-2,0)，此时，24(2)t s t -=+； （15分）当直线l 与x 轴垂直时，由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得两交点坐标为((,A t B t ，可验证：24(2)AE BE t k k t +=-或24(2)t t -+ 所以，存在一点E (2,0)（或(-2,0)），使直线AE 和BE 的斜率的乘积为非零常数24(2)t t +-（或24(2)t t -+）. （16分）（文）直线AM 和BM 的斜率的乘积是一个非零常数. （11分）当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线方程为：()y k x t =-， 由22()14y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22222(41)8440k x k tx k t +-+-= 则21222212208414441k t x x k k t x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩① 又 1122()()y k x t y k x t =-⎧⎨=-⎩ ② （13分） 所以22121212121212(())2()(2)(2)2()44(2)AM BM y y k x x t x x t t k k x x x x x x t -+++===---++-常数（15分） 当直线l 与x 轴垂直时，由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得两交点((,A t B t ，[来源:学科网ZXXK] 显然24(2)AM BM t k k t +=-.所以直线AM 和BM 的斜率的乘积是一个非零常数.（16分） 23. 理：(1) 由29n a n n =-+，得2)1(18)1(2)2(9)2(9222212-=+-+++++-+-=-+++n n n n n n a a a n n n 所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. （2分） 又298124n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当n =4或5时，n a 取得最大值20，即n a ≤20. 综上，数列{}n a 是T 数列. （4分）(2)因为11331350(1)50502222n n n n n b b n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以当1350022n ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即11n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增（6分） 当12n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；故数列{}n b 的最大项是12b ，所以，M 的取值范围是 1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（9分） （3）①当12p <≤时， 当1n =时1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由13252203p c c c +-=-≤得65p ≤， 即当615p <≤时符合122++≤+n n n c c c 条件. （11分） 若2n ≥，则1≤n p ,此时1n p c n=- 于是 2122(1)(1)2(1)021(1)(2)n n n p p p p c c c n n n n n n ++-+-=-+---=<++++ 又对于*n ∈N 有11n p c n=-<，所以当615p <≤时数列{}n c 是T 数列； （13分） ②当23p <≤时， [来源:学科网ZXXK]取1n =则：1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由0322231>-=-+p c c c ，所以23p <≤时数列{}n c 不是T 数列. （15分） ③当3p >时，取1n =则1231,1,1,23p p c p c c =-=-=- 由1325206p c c c +-=>，所以3p >时数列{}n c 不是T 数列. （17分） 综上：当615p <≤时数列{}n c 是T 数列；当65p >时数列{}n c 不是T 数列.（18分） （文）：(1) 由2n a n =-得222212(2)2(1)20n n n a a a n n n +++-=--+++=-< 所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. （2分） 2n a n =-(*n ∈N )单调递减,所以当n =1时，n a 取得最大值-1，即1n a ≤-. 所以，数列{}n a 是T 数列. （4分）(2) 由243n n b n =-得()1124132432423n n n n n b b n n ++-=+--+=-⋅，当24230n -⋅≥,即2n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增； （6分） 而当3n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；因此数列{}n b 中的最大项是3b ，所以，M 的取值范围是 3494M b ≥=. （9分） （3）假设数列{}n c 是T 数列，依题意有： 2111222(2)(1)()(1)(2)n n n c c c p n p n p n p n p n p n +++-=+-=--+-+-----(11分） 因为*n ∈N ,所以当且仅当p 小于n 的最小值时,2102n n n c c c +++-≤对任意n 恒成立， 即可得1p <. （14分） 又当1p <时，0n p ->,1n c q q n p=-<-，故M q ≥ （16分） 综上所述：当1p <且M q ≥时，数列{}n c 是T 数列． （18分）我 爱 李 春 衡❤薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

（闵行区 2011 学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）说明：本试卷共有 23 道题，共 4 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．一、填空题： 本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．不等式1 ≤ 2x ≤ 8 的解是 ．2．计算 limn →∞2 +3 + + n n (n + 2)= ．3．在等差数列{a}中， an 3= 3 ， a = 5 ，则 a = ．4 134．已知复数 z =i 2 + i（ i 为虚数单位），则 z ⋅ z = ．5．已知两条直线 l ： ax - 2 y - 3 = 0 ， l ： 4 x + 6 y - 1 = 0 ．若 l 的一个法向量恰为 l 的一个方向向量， 1 212则 a =．6．函数 y = cos 2 x + 3 sin x c os x 的最小值为．7．二项式 (3 3x + 1 )4的展开式的各项系数的和为 p ，所有二项式系数的和为 q ，则 p : q 的值为．x8．如右图，若输入的 a = -5.5，b = 2，c = -4 ，则执行该程序框图所得的结果是．9．已知大小、形状、颜色完全相同的 n （ n ∈ N * ）个乒乓球中有 5 个是次品，从中随机抽取 5 个加以检验，若 至 少 抽 到 3 个 次 品 的 概 率 是 P(0 < P < 1) ， 则 至 多 抽 到 2 个 次 品 的 概 率 是 ( 用 含 P 的 式 子 表⎧⎪x ≤ 313．问题“求不等式 3x + 4x ≤ 5x 的解”有如下的思路：不等式3x + 4x ≤ 5x 可变为 ( ) x + ( ) x ≤ 1 ，考察函数 f (x) = ( ) x + ( ) x可知，函数 f (x) 在 R 上单调递减，且 f (2) = 1 ，∴原不等式的解是 x ≥ 2 ．仿照此解( A ．| x | y | y |B ．C ．D ．+ = -1 的曲线即为函数 y = f ( x ) 的图像，对于函数 y = f ( x ) ，有如下结论：① f ( x ) 在 16 9 + = 1 确定．其中所有正确的命题序号是（ ）示)．10．已知实数 x ，y 满足 ⎨x + y - 3 ≥ 0 ，则 x 2 + y 2 的最小值是．⎪⎩x - y + 1 ≥ 0x 2 11．设 P 为双曲线- y 2 = 1虚轴的一个端点，Q 为双曲线上的一个动点，则 PQ 的最小值为．312．已知曲线 C ： x 2 + y 2 = 9 ( x ≥ 0, y ≥ 0) 与直线 x + y = 4 相交于点 A( x ，y )，B( x ，y ) ，则1 12 2x y + x y 的值为．1 2 2 13 45 53 4 5 5法可得到不等式： x 3 - (2 x + 3) > (2 x + 3)3 - x 的解是 ．14．若 f ( x ) =x x + 1， f ( x ) = f ( x ) ， f (x) = f 1 n n -1 [ f (x )](n ≥ 2，n ∈ N * ) ,则 f 1)+ f (2)+ … + f (2012 ) + f (1) + f (1) + + f 122012 (1) = ．二、选择题：（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案．考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．15．已知向量 a 、b 都是非零向量，“ a ⋅ b =| a | ⋅ | b | ”是“ a // b ”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件．16．将 y = sin 2 x 的图像向右平移π个单位，即得到 y = f ( x ) 的图像,则（6）ππA ． f ( x ) = sin(2 x - ) ．B ． f ( x ) = sin(2 x + ) ．6 6 ππC ． f ( x ) = sin(2 x - ) ．D ． f ( x ) = sin(2 x + ) ．3317．如图几何体由前 向后方向的正投影面是平面 EFGH ，则该几何体的主视图是（） EFx18．方程R 上单调递减；②函数 F(x) = 4 f (x) + 3x 不存在零点；③函数 y = f ( x ) 的值域是 R ；④若函数 g (x) 和 f ( x )HG的图像关于原点对称，则 y = g (x) 由方程y | y | x | x |16 9z+ = 1 的两焦点分别为 F 、F ， P 是椭圆在第一象限内的一点，并满足PF ⋅ PF = 1 ，4 2A ．①③．B ． ①④．C ．①③④．D ．①②③．三 、解答题：（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分 12 分）-3 x 2已知 p ： = (x - 1) + 4i (其中 x ∈ R ， i 是虚数单位 )的模不大于 5 ，和 q ： 2 x x < 3 ，若利用 1 0 0p 、q 构造一个命题“若 p ，则 q ”，试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由．20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 7 分．如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， P A ⊥ 平面 ABCD ， P A = AD = 2AB = 2 ， E 是 PB 的中点． P （1）求三棱锥 P - ABC 的体积；（2）求异面直线 EC 和 AD 所成的角(结果用反三角函数值表示)．EAD21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 7 分．如图，两铁路线垂直相交于站 A ，若已知 AB =100 千米，甲火车从 A 站出BC发，沿 AC 方向以 50 千米/小时的速度行驶，同时乙火车从 B 站出发，沿 BA 方向以 v 千米/小时的速度行 驶，至 A 站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）． （1）求甲、乙两车的最近距离（用含v 的式子表示）；（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为t 小时，问 v 为何值时 t 最大？BA22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分，第（3）小题 满分 6 分．C已知椭圆 x 2 y 21 2 1 2过 P 作倾斜角互补的两条直线 P A 、PB 分别交椭圆于 A 、B 两点．（1）求 P 点坐标 ；（2）当直线 P A 经 过点 (1， 2) 时，求直线 AB 的方程； （3）求证直线 AB 的斜率为定值．23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．如 图 ， 在 y 轴 的 正 半 轴 上 依 次 有 点 A 、A 、 、A 、 ， 其 中 点 A (0, 1) 、 A (0, 10) ， 且1 2 n 1 2| A A |= 3 | A A| (n = 2,3,4, ) ，在射线 y = x( x ≥ 0) 上依次有点 B 、B 、 、B 、 ,点 B 的坐标n -1 nnn +11 2 n1为（3，3），且 | OB |=| OB | +2 2 (n = 2,3,4, ) ．nn -1（1）求 | A A| （用含 n 的式子表示）；nn +1（2）求点 A 、 B 的坐标（用含 n 的式子表示）；nn（3）设四边形 A B Bn n n +1A n +1面积为 S ，问 { S } 中是否存在两项 S ，S (1< n < k , n 、k ∈ N) ，使得 S ，n n n k 1S ， S 成等差数列？若存在，求出所有这样的两项，若不存在，请说明理由．n kA n +1 A n yA 2B nB n+1B 2A 1B 1Ox闵行区 2011 学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．14．；6．-110．文92，理a2+1-1学习必备欢迎下载2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、1．[0,3]；2；3．23；135．3；2；7．文16，理4；8．2（或b）；9．文1-P，理30；2，理2；11．文151a2+1；12．9；13．文x<-3，理x<-1或x>3；14．2012．二、15．A；16．C；17．D；18．D．三、19．解：由p得(x-1)2+42≤25⇒-2≤x≤4，-3x2由q得2x x<3⇒x2-2x-3≤0⇒-1≤x≤3，100由[-2，4][-，3]，即p⇒q，但q⇒p，∴命题“若p则q”是假命题而其逆命题“若q则p”是真命题．20．解：（文）（1）依题意，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高P A=2，BC=AD=2,AB=1（4分）（8分）（10分）（12分）（2分）∴S△ABC =12⋅2⋅1=1（4分）PEA DB C= 1 ⨯1⨯ 2 = 2 ． 于是在 Rt ∆CEB 中， BC = 2 ， BE = 1 PB = 1 1 + 2 = 5 2 2 2 ， tan θ = BE = 5 = 5 ∴异面直线 EC 和 AD 所成的角是 arctan 5 （或 arccos 4 21 0 0 0 = 2 = 2 , （6 分） sin α =0 2 4 ∴直线 EC 与平面 P AD 所成的角为 arcsin 6 ．1 GD 17 17 ，∴直线 EC 与平面 P AD 所成的角为 arctan 17 ．2学习必备欢迎下载故 V P - ABC3 3 （7 分）（2）∵ BC / / A D ,所以 ∠ECB 或其补角为异面直线 EC 和 AD 所成的角θ ， （2 分） 又∵ P A ⊥ 平面 ABCD ，∴ P A ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 面P AB ，∴ BC ⊥ PB ,2 2BC 2 ⨯ 2 4 ，4 21 ）．解：（理）（1）【解法一】分别以 AB 、AD 、AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立 空间直角坐标系，（4 分）（6 分）（7 分）依题意， AD = 4，AB = 2 ，则各点坐标分别是 A(0，，0) ， B(2，，0) ， C(2，4，0) ， D(0，4，0) ， P(0，，2) ，Pz∴ E(1，，1) ， F(1，，1) ， EC = (1， ，- 1) , 又∵ AB ⊥ 平面 P AD ，∴平面 P AD 的法向量为 n = AB = (2,0,0) ， （2 分） 设直线 EC 与平面 P AD 所成的角为 α ，则B yEC ⋅ n | EC | ⋅ | n | 18 ⋅ 2 6EAFCD x2 （7 分）【解法二】∵ P A ⊥ 平面 ABCD ，∴ CD ⊥ P A ，又 CD ⊥ AD ,P ∴ CD ⊥ 平面 P AD ，取 P A 中点 G ， CD 中点 H ，联结 EG 、GH 、GD ， G EF则 EG / / AB / /CD 且 EG =AB =1，2A∴ EGHC 是平行四边形，∴ ∠HGD 即为直线 EC 与平面 P AD 所成的角．（2 分）BC在 Rt ∆GAD 中， GD = 12+42= 17 ，HD在 Rt ∆GHD 中， tan ∠HGD =HD = 1 = 17（6 分）17 解：（2）【解法一】由（1）解法一的建系得， AF = (1， ，1) , AD = (0，4，0) ，设平面 AFD 的法向量为 n = ( x , y , z) ，点 P 到平面 AFD 的距离为 d ， 由 AF ⋅ n = 0 ， AD ⋅ n = 0 得 x + 2 y + z = 0 且 4 y = 0 ，取 x = 1 得 n = (1,0, -1) ，（7 分）AP ⋅ n = 2= 2 ，（2 分）= 1 ⨯ 2 2 ⨯ 2 = 4 ． （7 分） V = 1 ⨯ 1 ⨯ 4 ⨯ 2 ⨯ 2 = 4 ． （7 分） =1⨯1⨯1⨯P A ⨯AB ⨯AD =1⨯2⨯2⨯4=43 2 2 12则 d 2 = (100 - vt)2 + (50t)2 = (v 2 + 2500)t 2 - 200vt + 10000(0 ≤ t ≤ 100)100v < 100 ，v 2 + 2500 时， d v 2 + 即两车的最近距离是5000 v 2 + 2500 = 100 v + 2500 即当车速 v = 50 千米/小时，两车相距最近所用时间t 最大，最大值是1小时． 4 + 0 = 1 ， ⎪⎩ 4 + 2 = 1 ⇒ 3x 2 - 4( 2 + 1)x + 2 + 4 2 = 0 得， x = 2, x = 2 + 4即 x = 2 + 4 ，故 y = 2 2 - 1∴ d =n 2又 AF = FD = 6 ，∴ S△ AFD ∴ VP - AFD= 2 ⨯ 6 - 4 = 2 2 , （4 分）3 3 【解法二】易证 PE 即为三棱锥 P - AFD 底面上的高，且 PE = 2 ， （2 分） 底面 △AFD 边 AD 上的高等于 AE ，且 AE = 2 ， ∴ S = 2 2 （4 分）△ AFDP - AFD 3 2 3【解法三】依题意， EF // 平面 P AD ，∴ V = V = V = V P - AFDF -P ADE -P ADD -PAEV21． 解：（1）设两车距离为 d ，v（4 分）（7 分）（3 分）0 <v 2 + 2500 v∴当 t = 100v min = 50002500v 2 + 2500 千米；（7 分）（2）当两车相距最近时， t = 0100vv≤ 1 ，（3 分） 此时 v = 50 千米/小时．22． 解：（1）由题可得 F (- 2,0) ， F ( 2,0) ，12设 P ( x , y ) ( x > 0, y > 0)则 PF = (- 2 - x , - y ) ， PF = ( 2 - x , - y ) ，（5 分） （7 分）12∴ PF ⋅ PF = x 2 + y 2 - 2 = 1 ，（1 分）1 2 0 0∵点 P( x , y ) 在曲线上，则 0 0 x 2y 2 02（2 分）解得点 P 的坐标为 ( 2,1) ．解：（2）当直线 P A 经过点 (1， 2) 时，则 P A 的斜率为 -1，因两条直线 P A 、PB 的倾斜角互补，故 PB 的斜率为1，（4 分）⎧⎪ y - 1 = -x + 2 由 ⎨ x 2 y 2 1 2 3A3A3， （2 分）， y =- 2 2 + 1（4 分） B 2 x - 2 （6 分） 由 ⎨ x 2 y + 2= 1 2k 2 + 1 2k 2 + 1 2k 2 + 1 2k 2 + 12k 2 + 1B = 解：（1）| A A= , 且 | A A |= 10 - 1 = 9 ， （2 分）| A A | 33 3 3 |2 23 - |n +1 ，设四边形 A B B A ∆A n A n +1B n +1∆B n B n +1An由 S ， S ， S (1< n < k , n 、k ∈ N ) 成等差数列， 2( + 2 3 2 2 3同理得 x =B2 - 43 3∴直线 AB 的方程为 y =2 3解：（3）依题意，直线 P A 、PB 的斜率必存在，不妨设 BP 的方程为：y - 1 = k(x - 2)(k > 0) ．⎧⎪ y - 1 = k(x - 2)⎪⎩ 4 2得 (2 k 2 + 1)x 2 - 4k ( 2k - 1)x + 4k 2 - 4 2k - 2 = 0 ， （2 分）4k ( 2k - 1) 2 2k 2 - 4k - 2设 B( x , y ) ，则 2 + x = ， x = ，B B B B2 2k 2 + 4k - 2 8k同理 x = ，则 x - x =A AB ，4 2k同理 y - y = -k ( x + x - 2 2) = ． （4 分）A B A B所以： AB 的斜率 k AB y - y 2= A 为定值． （6 分）x - x 2AB23．| 1 n n +1 1 2n -1n1 1 1∴ A A|=| A A | ( ) n -1 = 9( ) n -1 = () n -3 （4 分）n n +11 2解：（2）由（1）的结论可得| A A | + | A A | ++ | A A | = 9 + 3 + 1 +1 223n -1n1 27 1 1+ ( )n -4 = - ( )n -43 2 2 3（2 分）∴ 点A 的坐标 (0, 29 1 ( 1 )n -4) ， （3 分）n| OB | - | OB |= 2 2 （ n = 2,3,）且 | OB |= 3 2nn -11∴{| OB |} 是以 3 2 为首项， 2 2 为公差的等差数列（5 分） n ∴ OB |= 3 2 + (n -1)2 2 = (2n + 1) 2 ∴ B 的坐标为 (2n + 1,2n + 1) ．（6 分）n解：（3）（文）连接 A Bnn n n +1 n +1则 S = S+ Snn的面积为 S ， n1 1 1 29 1 1 2= [( )n -3 ] ⋅ (2n + 3) + ⋅ 2 2 ⋅[ - ( )n -4 ]2 3 2 2 2 3 2 29 n = + 2 3n -3（2 分）1nkn -3k -329n 29 29 k ) = ( + 9) + (+) 即 k = 2 ⋅ 3k (n 3n 1- ) ，①（4 分）6∵ n + 1 n 1 - 2n - =3n +1 3n 3n +1< 0 ，⎧ n ⎫∴ ⎨ ⎬ 是单调递减数列．⎩ 3n ⎭∆A n A n +1B n +1 + S ∆B n B n +1A n< 0, 即S 3 S S ⎬ 是单调递减数列．当 n ≥ 3 时， ∵ n + 1 - n = 1 -2n < 0 ， ∴数列{ } 是递减数列，m = 3m ≥ 2(m + 1) ≥ 2n综上所述，在数列{S } 中，有且仅有 S ， S ， S 成等差数列． （8 分）当 n ≥ 3 时， n 1≤ ，①式右边小于 0，矛盾， （6 分）3n 9当 n = 2 时，得 k = 3k -2 ，易知 k = 3 是唯一解，∴ S ， S ， S 成等差数列．1 2 3即当 n ≥ 3 时，{S } 中不存在 S ， S ， S 三项成等差数列．n 1 n k综上所述，在数列{S } 中，有且仅有 S ， S ， S 成等差数列． （8 分）n1 2 3（理）连接 A B，设四边形 A B BA 的面积为 S ，nn +1 n n n +1 n +1n则 S = Sn1 1 1 29 1 12 29 n = [( )n -3 ] ⋅ (2n + 3) + ⋅ 2 2 ⋅[ - ( )n -4 ] = + 2 3 2 2 2 3 2 2 3n -3（2 分）不妨设 S ， ， (1≤ m < n < k ，m 、n 、k ∈ N) 成等差 数列，m n k1 - 2n又 S - S =< S , n +1 n n -2n +1 n ∴ {S } 是单调递减数列．n∴ S 是等差中项，即 2S = S + S ，n n m k 29 n 29 m 29 k 2n m k∴ 2( + ) = ( + ) + ( + ) ，即 = +2 3n -3 2 3m -3 2 3k -3 3n 3m 3k①当 m = 1, n = 2 时，得 k = 3k -2 , k = 3 是唯一解， ∴ S ， S ， S 成等差数列（4 分）1 2 3n 1 ②当 m = 1， n ≥ 3 时，即 k = 2 ⋅ 3k ( - ) ，①3n 6 ∵ n + 1 n 1 - 2n - =3n +1 3n 3n +1< 0 ，⎧ n ⎫∴ ⎨ ⎩ 3n ⎭n 1 ≤ ，3n 9①式右 边小于 0，矛盾，（6 分）③当 m ≥ 2 时， 2S = S + S 不可能成立． n mk3n +1 3n 3n +1n3n当 m ≥ 2 时， 3m ≥ 2(m + 1) ，由 2 ≤ m < n < k （ m 、n 、k ∈ N ）知， n ≥ m + 1 ∴ 3m 3m +1 3m +1 3n （当且仅当 m = 2，n = 3 时等号成立）∴ m k 2n + >3m 3k 3n对任意 2 ≤ m < n < k （ m 、n 、k ∈ N ）恒成立，即当 m ≥ 2 时，{S } 中不存在不同的三项恰好成等差数列．nn12 3。

上海市闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意： 编辑：刘彦利 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若2ia bi i+=+（i 为虚数单位，a b ∈R 、），则a b += . 2．A 、B 是两个随机事件，()0.34P A =，()0.32P B =，()0.31P AB =，则()P A B = .3．方程1111900193xx=-的解为 . 4．6(21)x +展开式中2x 的系数为 .5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：）.6．已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4π，球心 O 的体积等于 . 7．根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： . 8．已知函数()200.618x f x x =⨯-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ， 则k = .9．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足40510=-S S ， 那么 =8a .ABCD EF10．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==ty tx 2（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+，则圆C 的圆心到直线l 的距离是 .11．定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 11，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ .12．已知5是方程()f x x k +=（k 是实常数）的一个根，1()fx -是()f x 的反函数，则方程1()f x x k -+=必有一根是 .13．函数()x bf x x a+=-在()2,-+∞上是增函数的一个充分非必要条件是 . 14．对于自然数n (2)n ≥的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：23423417251372,2,2,,33,39,327,35951129⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩231355,579⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩仿此，3k *(,2)k k ∈≥N 的分解中的最大数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．如图，已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积中最大的是 [答]（ ）(A) AB AC ⋅.(B) AB AD ⋅. (C) AB AE ⋅. (D) AB AF ⋅.16．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 [答]（ ）(A),63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (C) ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. (D) 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 17．数列{}n a 中，已知12a =-，21a =-，31a =，若对任意正整数n ，有321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，且1321≠+++n n n a a a ，则该数列的前2010 项和2010S = [答]（ ）(A) 2010. (B) 2011-. (C) 2010-. (D) 2008-.18．设点()y x P ,是曲线11692522=+y x 上的点，又点)12,0(),12,0(21F F -，下列结论正确的是 [答]（ ） (A) 2621=+PF PF . (B) 2621<+PF PF . (C) 2621≤+PF PF . (D) 2621>+PF PF .三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图,在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M N 、分别为PC PB 、的中点. （1）求证：AM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.A BC DN MP21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(1)n -米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．设12x x ∈R 、，常数0a >，定义运算“⊕”：21212()x x x x ⊕=+，定义运算“⊗”：21212()x x x x ⊗=- ；对于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义()d AB =(1)若0x ≥，求动点(,P x 的轨迹C ； (2)已知直线11:12l y x =+与(1)中轨迹C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，若，试求a 的值；(3)在(2)中条件下，若直线2l 不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且与(1)中轨迹C 交于不同两点P 、Q , 试求|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围．23.（本题满分18分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数()31122log ,(,),(,)1f x M x y N x y x =-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2OP OM ON =+（O 为坐标原点）. （1）求证：12y y +为定值； （2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭*(2)n n ∈≥N ，，求1149lim 49n n n n S S S S n ++→∞-+的值； （3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64； 6.36π； 7.2221352009++++； 8.3； 9.8； 10.理22；文（0，2）11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29.二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分）x xx x f cos 2cos21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）3cos 5x x -= （8分） （2）⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分） 文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分)所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分） 故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02PB AM ⋅=-⋅= （5分） 所以AM PB ⊥. （7分） （2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥， 故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量.（9分） 设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-,设BD 与PB 夹角为α， 则1sin cos 28BD PB BD PBθα⋅-====⋅， （12分） 又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故BD 与平面ADMN 所成的角是6π. （14分） 解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =， 所以PB AN ⊥ （2分）由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，又90BAD ︒∠=，即BA AD ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面ADMN ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结DN ,BP ⊥平面ADMN，故BDN ∠为BD 与面ADMN 所成角（9分）在Rt ABD ∆中，BD==， 在Rt PAB ∆中，PB ==12BN PB == 在Rt BDN ∆中, 21sin ==∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0， （12分） 故BD 与平面ADMN 所成的角是6π（14分）文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分） 第1225米位于第25区， （4分） 242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩， （13分）解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分） 22.（本题满分16分）（理）(1)设y ,则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分）又由y ≥0可得P (x)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 （4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥ （6分）=====（8分） 解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分） (3)∵12()||d AB y y ==-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P QOT OT c c PP QQ x x +=+．由28y x x my c⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==． （14分） ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立 ∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）． （16分）（文）解：（1）设AB 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=． （2分） 因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m 设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P 则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(32y x x x =-<<≠-）（4分） （2）AB l //，且AB 边通过点(00)，，故AB 所在直线的方程为y x =． 此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12AB x =-= （6分） 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离，所以h =（8分）122ABC S AB h =⋅=△． （10分） （3）由（1）得1232mx x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=． （12分）又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =（14分）所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． （16分） 23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2OP OM ON =+，所以P 是MN 的中点，有 121x x +=,12123312log log 11y y x x ∴+=+--12312123log 11()x x x x x x ==-++（4分） （2）由（1）知当121x x +=时，1212()() 1.y y f x f x +=+= 121()()()n n S f f f n nn -=++① 121()()()n n S f f f n n n-=+++ ②①+②得12n n S -=（6分） 111149231lim lim 49233n n n n S S n n S S n n n n ++--→∞→∞--==-++ （10分）（3）当2n ≥时， 111.1212422n a n n n n ==-++++⨯⋅又当1n =时，11,6a =所以1112n a n n =-++ （12分） 故111111()()()2334122(2)n nT n n n =-+-++-=+++ （14分） 1(1)n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，即211(2)n n T nm S n +>=++恒成立（16分）又2114(2)84n n n n=≤+++，所以m 的取值范围是1(,)8+∞ （18分） （文）（1）122nn n a a +=+，11122n nn n a a +-=+， （2分） 11n n b b +=+， 故{}n b 为等差数列，11b =，n b n =. （4分）（2）由（1）可得12n n a n -=（6分） 12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得nn n n n n n S 212222221210⋅--=⋅-+++=-- ，即12)1(+-=nn n S （8分） 11(1)211lim lim 222n n n n n n S n n n ++→∞→∞-+∴==⋅⋅ （10分）（3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n n n n T d a T ==--， 1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++单调递增，即123113n d d d d d ++++≥=， （14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[1 2]m ∈，恒成立. （16分） ∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾.∴满足条件的实数t 不存在. （18分）（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

闵行区2010学年第二学期高三年级质量调研考试历史试卷考生注意：1、 答题前，考生先将自己的姓名、学校填写清楚，并填涂准考证号，请仔细核 对。

答题时客观题用2 B 铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写。

2、 本试卷共有 37题，共8页。

满分150分，考试时间120分钟。

3、 考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留。

一、选择题（共 60分，每小题2分，每题只有一个正确选项）1. 一个考古队从非洲出发，从西向东去考察四大文明古国的发源地，其考察顺序是 ① 尼罗河流域 ②印度河流域 ③黄河流域 ④两河流域A.①②④③ B.①③④②C .①④②③D .③②①④2. 某同学在图书馆借了一本书，书中有很多神话和历史传说，它是欧洲最著名的长 篇史诗作品之一。

该书应该是A.《吉尔伽美什》B •《荷马史诗》C .《罗摩衍那》D •《摩诃婆罗多》3. 罗马法是古代世界最完备的法律体系，下列有关罗马法的叙述不确切的是 A. 罗马法成为近现代西方法律制度的基础 B. 《十二铜表法》是罗马法体系的起源 C. 罗马法揭露和批判了私有制的罪恶D. 罗马法体现了罗马人的法治精神和法律意识4. 西方学者认为，公元前6世纪至公元前3世纪是人类文明的 轴心时代”人类首次 觉醒，理性思维所创造的精神文化决定着其后诸民族的文化走向。

在这一时期欧亚大陆 出现许多影响时代的伟人，与中国孔子同一时代的人物是A. 屋大维B •悉达多C •耶稣D •穆罕默德5.欧洲中世纪最重要人物之一，其功绩包括奠定卡洛林王朝的基础，确立了采邑制，巩 固与发扬当时的封建社会制度”上述材料评价的历史人物是C.查理.马特D.格列高利七世“独尊儒术”的转变中，我们能够看到二-二线 O 二二二【二二二二 O 封---------------O密 一一二名姓一二一二一二号证考准 一一二一二一二级班一二一二二一二一二一二一二一二校学A.克洛维 B .亨利四世6.从战国时期“百家争鸣”到西汉时期 ①大一统局面的形成③中国传统文化主流思想的确立 A.①②③B.②③④②古代学术思想的自由发展受到扼制④中央集权的加强和自然经济的鼎盛C .①②④D .①③④7. 某班要举行关于“贞观之治”盛况的故事会，同学们准备到图书馆去查找资料。

闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写． 2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式128x ≤≤的解是 ． 2．计算23lim(2)n nn n →∞+++=+L ．3．在等差数列{}n a 中，33a =，45a =，则13a = ． 4．已知复数z =（i为虚数单位），则z z ⋅= ． 5．已知两条直线1l ：230ax y --=，2l ：0164=-+y x ． 若1l 的一个法向量恰为2l 的一个方向向量，则=a ． 6．函数2cos cos y x x x =的最小值为 ． 7．设二项式1)nx的展开式的各项系数的和为p ，所 有二项式系数的和为q ，且272p q +=，则n 的值为 ．8．如右图，若输入的 5.54a b c =-==-，，则执行该 程序框图所得的结果是 ． 9．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随 机变量101ξ+的均值是 ．10．极坐标系中，点(1,)A π到曲线cos sin 10ρθρθ+-=上的点的最短距离是 ．11．设P 为双曲线2221x y a-=虚轴的一个端点，Q 为双曲线上的一个动点，则PQ 的最小值为 ．12．已知曲线C ：922=+y x )0,0(≥≥y x 与函数ln y x =及函数xy e =的图像分别交于点1122()()A x y B x y ，，，，则2221x x +的值为 ．13．问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为34()()155x x +=，考察函数34()()()55x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：632(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ． 14．若1)(+=x xx f ，)()(1x f x f =，()[]()*1()2n n f x f f x n n -=≥∈N ，,则()()++21f f …()()()()1220122012111f f f f +++++L = ．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知向量a b r r 、都是非零向量，“||||a b a b ⋅=⋅r r r r”是“//a b r r ”的 [答]（ ）（A ）充分非必要条件． (B) 必要非充分条件．（C ）充要条件． （D ）既非充分也非必要条件． 16．要得到sin(2)3y x π=-的图像,只需将sin 2y x =的图像 [答]（ ）(A) 向右平移3π个单位． (B) 向左平移3π个单位． (C) 向右平移6π个单位． (D) 向左平移6π个单位．17．如图，三棱锥的四个顶点 P A B C 、、、在同一个球面上， 顶点P 在平面ABC 内的射影是H ，若球心在直线PH上，则点H 一定是ABC ∆的 [答]（ ）(A) 重心． (B) 垂心． (C) 内心． (D) 外心． 18．方程||||1169y y x x +=-的曲线即为函数)(x f y =的图像，对于函数)(x f y =，有如下结论：①)(x f 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③(||)y f x =的最大值为3；④若函数()g x 和)(x f 的图像关于原点对称，则()y g x =由方程||||1169y y x x +=确定．其中所有正确的命题序号是 [答]（ ） (A) ③④． (B) ②③． (C) ①④． (D) ①②．AC BHP三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）已知p ：(1)4z x i =-+ (其中x ∈R ，i 是虚数单位)的模不大于5，和3223100x q x x -<：，若利用p q 、构造一个命题“若p ，则q ”，试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB PD 、与平面ABCD 所成的角依次是45︒和1arctan2，2AP =，E F 、依次是PB PC 、的中点. （1）求直线EC 与平面PAD 所成的角(结果用反三角函数值表示)；（2）求三棱锥P AFD -的体积.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，两铁路线垂直相交于站A ，若已知AB =100千米，甲火车从A 站出发，沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车从B 站出发，沿BA 方向以v 千米/小时的速度行驶，至A 站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）. （1）求甲、乙两车的最近距离（用含v 的式子表示）； （2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为0t 小时，问v 为何值时0t 最大？AB CFED B C A P22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知椭圆22142x y +=的两焦点分别为12F F 、，P 是椭圆在第一象限内的一点，并满足121PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA PB 、分别交椭圆于A B 、两点. （1）求P 点坐标；（2）当直线PA 经过点(12)，时，求直线AB 的方程； （3）求证直线AB 的斜率为定值.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．如图，在y 轴的正半轴上依次有点12n A A A L L 、、、、，其中点1(0,1)A 、2(0,10)A ，且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2(Λ=n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点12n B B B L L 、、、、,点1B 的坐标为（3，3），且22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2(Λ=n .（1）求||1+n n A A （用含n 的式子表示）； （2）求点n A 、n B 的坐标（用含n 的式子表示）； （3）设四边形11n n n n A B B A ++面积为n S ，问{}n S 中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由.B n+1 B nB 2B 1A +1 A n A 2A 1 Oy闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、（第1题至第14题） 1．[]0,3；2．12； 3．23； 4．13； 5．3； 6．12-； 7．文16，理4； 8b ）； 9．文1P -，理30；10．文921112．9；13．文3x <-，理1x <-或3x >； 14．2012．二、（第15题至第18题） 15．A ； 16．C ； 17．D ； 18．D ． 三、（第19题至第23题） 19.解：由p 得22(1)42524x x -+≤⇒-≤≤， （4分）由q 得3223100x x x -<2230x x ⇒--≤13x ⇒-≤≤， （8分）由[24][ 1 3]--，，Ý，即p q ⇒，但q p ⇒，∴命题“若p 则q ”是假命题（10分） 而其逆命题“若q 则p ”是真命题. （12分） 20. [解]（文） (1) 依题意，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，高2PA =，2BC AD ==,1AB = （2分）∴12112ABC S =⋅⋅=△ （4分） 故121233P ABC V -=⨯⨯=. （7分） (2)∵//BC AD ,所以ECB ∠或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，（2分）又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，∴BC PAB ⊥面，∴BC PB ⊥,于是在Rt CEB ∆中，2BC =，12BE PB ===， （4分）tan BE BC θ===， （6分）∴异面直线EC 和AD所成的角是arctan（或. （7分） EDB CAP（理）(1) 解法一：分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意，42AD AB ==，，则各点坐标分别是 (0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，，(0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 41)EC =-u u u r，，, 又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==r u u u r ， （2分）设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则sin ||||EC n EC n α⋅===⋅u u u r ru u u r r （6分） ∴直线EC 与平面PAD所成的角为. （7分）解法二：∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD PA ⊥，又CD AD ⊥,∴CD ⊥平面PAD ，取PA 中点G ，CD 中点H ，联结EG GH GD 、、，则EG AB CD ////且1=12EG AB =，EGHC ∴是平行四边形，∴HGD ∠即为直线EC 与平面PAD 所成的角. （2分） 在Rt GAD ∆中，GD =在Rt GHD ∆中，tanHD HGD GD ∠===，（6分） ∴直线EC 与平面PAD 所成的角为arctan . （7分） (2)解法一：由（1）解法一的建系得，(1 21)AF =u u u r ，，,(0 4 0)AD =u u u r ，，，设平面AFD 的法向量为(,,)n x y z =r ，点P 到平面AFD 的距离为d ，由0AF n ⋅=u u u r r ，0AD n ⋅=u u u r r 得20x y z ++=且40y =，取1x =得(1,0,1)n =-r ，∴AP n d n⋅===u u u r r r （2分）又AF FD ==u u u r u u u r2AFD S ==△（4分）∴1433P AFD V-=⨯=. （7分） 解法二：易证PE 即为三棱锥P AFD -底面上的高，且PE = （2分）底面AFD △边AD 上的高等于AE ，且AE=AFD S =△（4分） 1144323P AFD V -=⨯⨯=. （7分）解法三：依题意，//EF 平面PAD ，∴P AFD F PAD E PAD D PAE V V V V ----===（4分） 11114224322123D PAE V PA AB AD -=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. （7分）21. [解]（1）设两车距离为d ，则22222100(100)(50)(2500)20010000(0)d vt t v t vt t v=-+=+-+≤≤ （3分）210010002500v v v <<+，∴当21002500v t v=+时，min d = （7分）F ED B CA PH G（2）当两车相距最近时，02100100125002500v t v v v==≤++， （3分） 此时50v =千米/小时. （5分）即当车速50v =千米/小时，两车相距最近所用时间0t 最大，最大值是1小时.（7分） 22. [解]（1）由题可得1(F，2F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P则100(,)PF x y =-u u u r，200,)PF x y =-u u u r ，∴22120021PF PF x y ⋅=+-=u u u r u u u r，（1分）∵点),(00y x P 在曲线上，则220012x y +=，（2分）解得点P 的坐标为. （4分） （2）当直线PA经过点(时，则PA 的斜率为1-，因两条直线PA PB 、的倾斜角互补，故PB 的斜率为1， 由222131)20142y x x x y x -=-+⎧⎪-+++=⎨+=⎪⎩得，12x x ==即A x =，故A y =（2分）同理得B x =，By =4分）∴直线AB的方程为23y x =- （6分）(3) 依题意，直线PA PB 、的斜率必存在，不妨设BP 的方程为：1(0)y k x k -=>.由221(142y k x y x -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)41)420k x kx k +--+--=，（2分）设),(B B y x B ，则241)21B k x k -+=+，22421B k x k --=+，同理22421A kx k +=+， 则2821A B kx x k -=+，同理2(21A B A B y y k x x k -=-+-=+.（4分） 所以：AB 的斜率2A B AB A B y y k x x -==-为定值. （6分） 23. [解]（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且Θ， （2分） 311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A （4分）（2）由（1）的结论可得12231||||||n n A A A A A A -+++L 4412711931()()3223n n --=++++=-L （2分）n A 点∴的坐标42911(0,())23n --， （3分）1||||n n OB OB --=Q 2,3,n =L ）且1||OB ={||}n OB ∴是以23为首项，22为公差的等差数列 （5分）||((2n OB n n ∴=-=+n B 的坐标为(21,21)n n ++.（6分） （3）（文）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ， 则111n n n n n nn A A B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 由1S ，n S ，k S (1,)n k n k <<∈N 、成等差数列，332929292()(9)()23223n k n k--+=+++即123()36k n n k =⋅-，①（4分） ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139n n ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）当2n =时，得23k k -=，易知3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列. 即当3n ≥时，{}n S 中不存在1S ，n S ，k S 三项成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有1S ，2S ，3S 成等差数列. （8分） （理）连接1+n n B A ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S ，则111n n n n n n n A A B B B A S S S +++∆∆=+341112911[()](23)[()]2322232n n n --=⋅++⋅-32923n n -=+ （2分） 不妨设 (1 )m n k S S S m n k m n k ≤<<∈N ，，，、、成等差数列， 又12120,3n n n nS S +---=<Q ,1n n S S <+即}{n S ∴是单调递减数列.n S ∴是等差中项，即2n m k S S S =+，∴3332929292()()()232323n m k n m k ---+=+++，即2333n m k n m k=+1）当1m =,2n =时，得23k k -=,3k =是唯一解，∴1S ，2S ，3S 成等差数列（4分）2）当1m =，3n ≥时，即123()36k n n k =⋅-，① ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴3n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递减数列.当3n ≥时，139n n ≤，①式右边小于0，矛盾， （6分）3）当2m ≥时，2n m k S S S =+不可能成立. ∵111120333n n n n n n +++--=<，∴数列{}3n n 是递减数列， 当2m ≥时，32(1)m m ≥+，由2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）知，1n m ≥+ ∴112(1)323333m m m n m m m n +++=≥≥（当且仅当23m n ==，时等号成立） ∴2333m k n m k n+>对任意2m n k ≤<<（m n k ∈N 、、）恒成立， 即当2m ≥时，{}n S 中不存在不同的三项恰好成等差数列.综上所述，在数列{}n S 中，有且仅有123S S S ，，成等差数列. （8分）。

上海市闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试高三数学试卷（理科）说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.所有题目均做在答题卷上。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 1．满足条件{1，2}⋃M =}{3,2,1的所有集合M的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 2．如果复数)(12R b ibi ∈+-的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于A ．0B ．1C ．2D ．3 3．若条件41:≤+x p ，条件65:2-<x x q ，则p ⌝是q ⌝的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．已知函数)(x f y =的反函数)21(log)(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解集是A ．{1}B ．｛２｝ Ｃ．｛3｝ Ｄ．｛４｝5．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S SA ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:36．在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为A ．80-B ．76-C ．75-D ．74-7．已知22=3=，a 与b 的夹角为4π，如果b a p 2+=，b a q -=2，则-等于A ．132B ．53C ．63D ．2249+ 8．已知,0)4()4(),1,0(||log )(,)(2<-≠>==-g f a a x x g a x f a x 若则)(),(x g y x f y ==在同一坐标系内的图象大致是9．设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若0≤θ≤2π时，f （m sin θ）＋f （1—m ）＞0恒成立，则实数m 的取值范围是A ．（0，1）B ．（－∞，0）C ．（－∞，1）D ．)21,(-∞10．关于函数xx x f +-=11lg )(，有下列三个命题：①对于任意)1,1(-∈x ，都有0)()(=-+x f x f ； ②)(x f 在)1,1(-上是减函数；③对于任意)1,1(,21-∈x x ，都有)1()()(212121x x x x f x f x f ++=+；其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）11．等差数列}{n a 中，2,851==a a ，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是 。

2023学年第二学期高三年级学业质量调研数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷共21题，答题纸共2页．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．3．用2B 铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果．1. 集合，，则________.【答案】【解析】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】，所以.故答案为：.2. 已知复数满足（为虚数单位），则______．【解析】【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.【详解】由得，所以故答案为:{|210}A x x =+≤{2,1,0}B =--A B = {}2,1--{}12102A x x x x ⎧⎫=+≤=≤-⎨⎬⎩⎭{}2,1A B =-- {}2,1--z (2i)34i z +=+i z =(2i)34i z +=+()()()()34i 2i 34i 105i2i 2i 2i 2i 5z +-++====+++-z ==3. 始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则=_________.【答案】##【解析】【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．【详解】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则，故．故答案为：．4. 在的二项展开式中，项的系数为_________.【答案】【解析】【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为3求得值，则答案可求．【详解】的二项展开式的通项为:．由，得．的二项展开式中，项的系数是．故答案为：．5. 已知正实数、满足，则的最大值为______．【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为正实数、满足，则，x α(3,4)-sin(π)α+450.8x α(3,4)-4sin 5α==-4sin(π)sin 5αα+=-=456(21)x -3x 160-x r 6(21)x -()()()()666166C 2112C 0,1,,6rrrrr rr r T x x r ---+=-=-⋅⋅⋅= 6r 3-=3r =∴6(21)x -3x 3362C 160-⨯=-160-a b 21a b +=ab 180.125ab a b 21a b +=2112122228a b ab a b +⎛⎫=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.6. 已知等比数列的前n 项和为，且，，则______．【答案】121【解析】【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.【详解】设公比为，故，解得，所以，故.故答案为：1217. 五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有_____种.【答案】【解析】【分析】完成承建任务可分五步，由分步乘法计数原理可得结果.【详解】完成承建任务可分五步:第一步,安排1号有4种;第二步,安排2号有4种;第三步,安排3号有3种;第四步,安排4号有2种;第五步,安排5号有1种.由分步乘法计数原理知,共有4×4×3×2×1=96种.故答案为96【点睛】本题考查分步乘法计数原理，正确分步是解题的关键，属于基础题.221a b a b =⎧⎨+=⎩1214a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ab 1818{}n a n S 23a =581a =5S =q 35281273a q a ===3q =211a a q==()5515113121113a q S q--===--968. 函数在处的切线方程为_________.【答案】【解析】【分析】切线的斜率是在处的导数，切线过，由直线的点斜式方程可以求出切线方程.【详解】，，所以，所以在处的切线方程为，即，故答案为：.9. 已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为_________.【解析】【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可.【详解】因为，，，，所以，所以当时，的最小值为，.10. 双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则_________.【答案】4【解析】【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可.2=-y x x1x =340x y +-=1x =()()1,1f ()2f x x x =-()'221f x x=--()()'11,13f f ==-1x =()131y x -=--340x y +-=340x y +-=a bc 3c = 1c a c b ⋅=⋅= λ()c a b λ-+1a b == 0a b ⋅= 3c = 1c a c b ⋅=⋅=222222()222c a b c a b a c b c a bλλλλλλ-+=++-⋅-⋅+⋅ ()22249217λλλ=-+=-+1λ=()c a b λ-+ 22:16y x Γ-=12F F 、ΓA B 、112F B F A =22F A F B ⋅=12AF BF 112F B F A =122F A F B ==124F B F A ==12BF F △211cos 2F BF ∠=-()222222221cos cos πF A F B F A F B AF B F A F B F BF ⋅=⋅∠=⋅-∠【详解】双曲线，实半轴长为1，焦距，由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，.故答案为：4.11. 对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】通过构造函数，利用导数分别求和的最小值即可.【详解】设函数，定义域为R ，则，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为，所以当时，有最小值1；22:16y x Γ-=12F F =1212,F B F A F A F B ==12AF BF 12F A F B m ==122F B F A m ==212F A F A -=22m m -=2m =122F A F B m ===124F B F A ==12BF F △222121212212cos F F F B F B F B F B F BF =+-⋅∠212816416cos F BF =+-∠211cos 2F BF ∠=-()2222222211cos cos π2442F A F B F A F B AF B F A F B F BF ⋅=⋅∠=⋅-∠=⨯⨯= 12x x ∈R 、20x >1122e ln xx x x a -+->a (),2-∞11e xx -22ln x x -()e xf x x =-()e 1xf x '=-0x <()0f x '<0x >()0f x ¢>()f x (),0∞-()0,∞+()f x ()01f =10x =11e xx -设函数，定义域为，则， 当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为，所以当时，有最小值1，不等式恒成立，则有，所以实数取值范围为.故答案为：.12. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形.【答案】20.【解析】【分析】结合正四面体的结构特征，判断求解空间中这8个点最多可连接成等边三角形的个数.【详解】空间中4个点最多可连接成4个等边三角形，构成正四面体，正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，新增加的4个点，又构成1个正四面体，所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.故答案为：20.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.的()ln g x x x =-()0,∞+()111x g x x x-'=-=01x <<()0g x '<1x >()0g x '>()g x ()0,1()1,+∞()g x ()11g =21x =22ln x x -1122e ln xx x x a -+->2a >a (),2-∞(),2-∞434420+⨯+=R a ∈21a >31a >21a >31a >【详解】当时，或，不能推出有成立；当时，则，必有成立，故“”是“”的必要非充分条件，故选：B14. 已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】利用函数奇偶性可得不等式等价于，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【详解】因为为奇函数，所以等价于，即；当时，，即，解得；当时，，可得，所以，解不等式，可得，综上可得集合可表示为.故选：D15. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据21a >1a >1a <-31a >31a >1a >21a >21a >31a >()y f x =x ∈R 0x >2()log 1f x x =-{|()()0}x f x f x --<(2,)+∞(,2)-∞-(,2)(2,)-∞-+∞ (2,0)(2,)-+∞ ()()0f x f x --<()0f x >()y f x =()()0f x f x --<2()0f x -<()0f x >0x >2()log 1f x x =-20()log 1f x x =->2x >0x <0x ->()()2()log 1f x f x x -=-=--()()21log f x x =--()()21log 0f x x =-->20x -<<{|()()0}x f x f x --<(2,0)(2,)-+∞ 0H 2χ27.468χ≈分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ）①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.A. 个 B. 个C. 个D. 个【答案】D 【解析】【分析】根据，与临界值表对照判断.【详解】解：因为，且，所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，故①②正确；分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.故③正确；故选：D 16.已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.A ①真命题；②假命题B. ①假命题；②真命题C. ①真命题；②真命题D. ①假命题；②假命题【答案】A 【解析】【分析】根据是奇函数，可以分析出当时，所以集合表示的平面图.2χ2( 6.635)0.01P χ≥≈2( 5.024)0.025P χ≥≈2( 3.841)0.05P χ≥≈2( 2.706)0.1P χ≥≈5%99%2χ0.050.01012327.468χ≈27.468χ≈2 6.635χ≥99%5%2χ0.050.01()sin f x x =[,22D ππ=-()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈ΓΩ2512π()sin f x x =(),Γx y ∈(),Γx y --∈Γ形是中心对称图形；结合集合代表的曲线及不等式的范围可以确定集合表示的平面图形，从而求得面积，与进行比较.【详解】对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数，若则则，即若则，即集合表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；对于，由即知，设，则与一一对应且随的增大而增大，，又由知，结合知在范围内，与一一对应且随的增大而减小，所以在范围内，与一一对应且是关于的减函数，由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在的图象，如图代入点可得，所以的区域是右半部分，ΓΩ2512π()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈[,22D ππ=-()sin f x x =(),Γx y ∈()()20f x f y +=()()()()()()2220f x f y f x f y f x f y ⎡⎤-+-=--=-+=⎣⎦(),Γx y ∈(),Γx y --∈Γ()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈()()20f x f y +=2sin sin 0x y +=sin 2sin y x =-sin ,,22t y y ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦t y t y []11t ,∈-2sin t x =-[]112sin 1,1,sin ,22x x ⎡⎤-∈-∈-⎢⎥⎣⎦,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦t x t x ,,,6622x y ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y y x 2sin sin 0x y +=2sin sin 0x y +=,,,6622x y ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭2sin sin 3022ππ+=>2sin sin 0x y +≥面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题.故选：A .【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围第一步：得到等式对应的曲线；第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式；第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. 在锐角中，角所对边的边长分别为，且.（1）求角；（2）求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；（2）根据为锐角三角形求出，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得结果.【小问1详解】，，又，，.【小问2详解】由（1）可知，，且为锐角三角形，.Ω221152212S =⨯π⨯π=π>πABC 、、A B C a b c 、、2sin 0b A -=B sin sin A C +π33(2ABC ππ(,62A ∈2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-2sin 0b A -= 2sin sin 0AB A ∴-= π0,,sin 02A A ⎛⎫∈∴≠ ⎪⎝⎭πsin 0,2B B ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭∴π3B =π3B =ABC所以，，则，因为，.18. 如图，已知为等腰梯形， ，，平面，.（1）求证：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，利用等腰梯形的性质证得，再利用线面垂直的性质判定推理即得.（2）取的中点，作出二面角的平面角，在中求解即得.【小问1详解】连接，在等腰梯形中，，，，则，于是，即，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以.π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩A ∴ππ(,)62∈2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-3sin 2A A =+π)6A =+ππ2π363A <+<sin sin A C ∴+3(2∈ABCD //AD BC 120BAD ∠=︒PA ⊥ABCD 2AB AD AP ===PC AB ⊥C BP A --AC AB AC ⊥BP H C BP A --Rt AHC AC ABCD //AD BC 120BAD ∠=︒2AB AD ==2,120CD AD ADC ==∠=︒30,90DAC BAC ∠=︒∠=︒AB AC ⊥PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD AB PA ⊥,,PA AC A PA AC ⋂=⊂PAC AB ⊥PAC PC ⊂PAC PC AB ⊥【小问2详解】取的中点，连接，由，得，在中，由平面，平面，得，则，于是，因此为二面角的平面角，因，平面，则平面，又平面，则，在中，所以二面角的大小为.19. ChatGPT 是OpenAI 研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT 对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT 的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT ，小张和ChatGPT 各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.（1）求小张能全部回答正确的概率；（2）求一个问题能被ChatGPT 回答正确的概率；（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT 答对题数的期望与方差.【答案】（1）； （2）0.9； （3）小张答对题数的的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT 答对题数的期望为8.1，方差为0.81.【解析】为BP H ,CH AH AB AP =AH PB ⊥ADC △2cos AC AD DAC =∠=PA ⊥ABCD AC ⊂ABCD AC PA ⊥PC BC ===CH BP ⊥CHA ∠C BP A --,PA AC AC AB ⊥⊥,,PA AB A PA AB ⋂=⊂ABP AC ⊥ABP AH ⊂ABP AC ⊥AH Rt AHC CA =AH =tan CA CHA AH∠==C BP A --110【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案；（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT 正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案；（3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案；【小问1详解】设小张答对的题数为，则.【小问2详解】设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT 正确回答”，由题意知，，，则，；【小问3详解】设小张答对的题数为，则的可能取值是，且，，设ChatGPT 答对的题数为，则服从二项分布，则，，，.20. 如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．A B X 99910C 1(9)C 10P X ===A B ()0.1P A =()0.98P B A =()0.18P B A =()1()0.9P A P A =-=()()()()()()()P B P B A P B A P B A P A P B A P A =⋂+⋂=+0.980.90.180.10.9=⨯+⨯=X X 8,98191910C C 9(8)C 10P X ===99910C 1(9)C 10P X ===Y Y 9(9,)10B 91()898.11010E X =⨯+⨯=()90.98.1E Y np ==⨯=22819811()(8)(9)0.0910101001D X =-⨯+-⨯=()90.90.10.81D Y npq ==⨯⨯=221:14x C y +=()22:20C x py p =>2C F 1C F 2C M N NO MO 1C A B AB OMN OAB OMN S △OAB S（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求的值；（2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求的值；（3）设直线、的方程，与椭圆联立方程组表示出，由，化简并结合基本不等式求取值范围.【小问1详解】椭圆的上顶点坐标为，则抛物线的焦点为，故.【小问2详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，联立可得，恒成立，则，p OM ON ⋅OMN OABS S 2p =3-[)2,+∞2C p MN OM ON ⋅NO MO ,A B x x OMN OAB OM ON S S OB OA⋅=⋅ 221:14x C y +=()0,12C ()0,1F 2p =MN y 2C MN MN 1y kx =+()11,M x y ()22,N x y 214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx --=216160k ∆=+>124x x =-.【小问3详解】设直线、的斜率分别为、，其中，，联立可得，解得点在第三象限，则，点在第四象限，同理可得，且，当且仅当时，等号成立.的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.（1）求函数在区间上的值域；（2）求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=-+=- NO MO 1k 2k 10k >20k <12244y k x x y =⎧⎨+=⎩()221414k x +=x =±AA x =B B x =121212121164y y x x kk x x ===-121222OMN OAB B A OM ON x x x x S S OB OA x x ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ ==2≥=112k =OMN OABS S [)2,+∞0+∞（,）()y f x =()sin cos f x x x x =-{}n x 1,N n n ≥∈()y f x =()0,π()y f x =()()π,1πn n +1,N n n ≥∈（3）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求得导数，判断的单调性，可得所求值域；（2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；（3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明.【小问1详解】由，当时，，即函数在区间上是严格增函数，且，，所以在区间上的值域为.【小问2详解】当时，①当是偶数时，，函数在区间上是严格增函数；②当是奇数时，，函数在区间上是严格减函数；且，故，所以由零点存在定理可知，函数在区间上有且仅有一个零点.【小问3详解】由（2）可知函数在上有且仅有一个零点，的()11ππn n n x x n ++<-<()0,π()f x ()f x n ()f x ()f x ()()π,1πn n +1,N n n ≥∈n x ()()cos cos sin sin f x x x x x x x '=--=()0,πx ∈()0f x ¢>()y f x =()0,π()00f =()ππf =()f x ()0,π()0,π()()π,1πx n n ∈+n ()0f x ¢>()y f x =()()π,1πn n +n ()0f x '<()y f x =()()π,1πn n +()()1π1πn f n n -=-()()()()2π1π1π0f n f n n n ⋅+=-+<()y f x =()()π,1πn n +()f x ()()π,1πn n +n x且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标）又因为，故， 所以由零点存在性定理可知，函数在上有且仅有一个零点， 于是，①因为，得所以，即；（或者）② 因为由（1）可知，当时，有故，所以；由①②可知.【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解.()sin cos 0n n n n f x x x x =-=tan n n x x =n x tan y x =y x =()ππ12n f n ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()ππππ02f n f n n ⎛⎫⋅+=-< ⎪⎝⎭()y f x =ππ,π2n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭n x ()()1ππ,1π,1π2n n x x n n +⎛⎫+∈+++ ⎪⎝⎭()1πππ,22n n x x +⎛⎫-+∈- ⎪⎝⎭()()()111111tan tan tan πtan 1tan tan 1n n n nn n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ++++++---+=-==+⋅+⋅10n n x x +->()()1tan π0n n x x +-+>()1π0n n x x +-+>1πn n x x +<-()111tan tan πtan tan 0n n n n n n x x x x x x +++-+=-=->()1tan tan πn n x x +⇒>+1πn n x x +⇒->()()112222133ππ3π22tan π1π2πn n n n n n nx x x x x x x n n n +++--+=<<=<+⋅π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan x x <()()()11ππtan πn n n n x x x x n ++-+<-+<1ππn n x x n +-<+()11ππn n n x x n++<-<()f x ()()π,1πn n +1,N n n ≥∈n x。

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合，，则 ．2．若复数满足（为虚数单位），则 ．3．函数,若，则 ．4．计算 ．5．设)0(24)(1≥-=+x x f x x ,则 .6．已知，，则 ．7. 若圆锥的侧面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为 .8．已知集合，在中可重复的依次取出三个数，则“以为边长恰好构成三角形”的概率是 ．9．已知等边的边长为3，是的外接圆上的动点，则的最大值为 ．10．函数1122log log y =+取最小值时的取值范围是 ．11．已知函数, ,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数所有零点的和为 .12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则的最大值为 .13．在中，记角、、所对边的边长分别为、、，设是的面积，若2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则下列结论中：①； ②；③cos cos sin sin B C B C >； ④是钝角三角形．其中正确．．结论的序号是 ． 14．已知数列满足：对任意均有（为常数，且），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则所有可能值的集合为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆和直线，则是圆与直线相切的（ ）(A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.16．展开式中各项系数的和为 ( )(A). (B). (C). (D).17．已知是定义在上的函数，下列命题正确的是 ( )(A)若在上的图像是一条连续不断的曲线，且在内有零点，则有.(B)若在上的图像是一条连续不断的曲线，且有，则其在内没有零点.(C)若在上的图像是一条连续不断的曲线，且有，则其在内有零点.(D)若在上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又成立，则其在内有且只有一个零点.18．数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，.则 ( )(A). (B). (C). (D)的值与公差的大小有关.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，90,2ACB AC BC ∠===，直线与平面所成角的大小为．求三棱锥的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲万件并全部销售完，每一万件的销售收入为万元，且2440040000()10100R x x x x=-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为 (万元). （注：利润销售收入成本）(1)写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；(2)为了让年利润不低于2760万元，求年产量的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点分别为，上顶点为，已知椭圆过点，且． （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上两点关于点对称，求．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求函数的最小正周期；（2）若存在满足2[()]()0f t t m -->，求实数的取值范围； （3）对任意的，是否存在唯一的，使成立，请说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列为等差数列，，其前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在，使得成立，若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由.（3）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-< 对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．；8．；9．，； 10．，； 11．；12．； 13． ④；14．二. 选择题 15． B ； 16． B ； 17．D ； 18． A ．三. 解答题19． [解]法一： 1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，平面，是直线与平面所成的角．…………………4分设1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=， ……………8分 所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 法二：如图，建立空间直角坐标系，设． 得点，，． 则，平面的法向量为． …………………4分设直线与平面所成的角为， 则11sin 48A B ny A B n θ⋅===⇒=⋅，……………8分 所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 20．[解] (1) 40000()(1640)164360W xR x x x x=-+=--+ ……6分 (2) 解400001643602760W x x =--+≥ ………………12分 得时， 所以.答：为了让年利润不低于2760万元，年产量. …………………14分21．[解] (1)因为椭圆过点,所以,解得……3分又以为直径的圆恰好过右焦点，所以又24(,),(,0),(0,)33b P Fc A b得，，所以而，所以得 ………………6分故椭圆的方程是． ………………………………7分（2）法一：设点的坐标分别为，则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-= 121212122()2()01y y xx y y x x--+-=⇒=-- 所以所在直线的方程为………………11分将代入得12|||3CD x x =-=== ………14分 法二：设点的坐标分别为，………9分则2222111122,(2)2(1)2x y xy +=-+-= 两等式相减得………………11分将代入得12|||CD x x =-===14分 22．[解]（1）221()cos 22sin cos 22f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 2226x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，……………2分 函数的最小正周期 ………………………………4分（2）当时，，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=- ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈-- …………………8分存在满足的实数的取值范围为.……10分（3）存在唯一的，使成立. ………………12分当时，，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-- ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==--+ ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭ ………………14分 设，则，由 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或 所以的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤ ∴在上存在唯一的值使成立. 16分23． [解] （1）法1：设数列的公差为，数列的公比为。

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟） 考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，则U A =ð ． 2．若复数z 满足(2)(1)2z i i ++=（i 为虚数单位），则z = ．3．函数()cos f x x x =,若1()2f a =，则()f a -= ．4．计算 22lim 2nn C n n →∞=+ ．5．设)0(24)(1≥-=+x x f x x ,则=-)0(1f . 6．已知2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sincos22θθ-，则cos θ= ．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .8．已知集合{1,3}M =，在M 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是 ．9．已知等边ABC △的边长为3，M 是ABC △的外接圆上的动点，则AB AM ⋅的最大值为 ．10．函数1122log log y =+取最小值时x 的取值范围是 ．11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为 .12．已知12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则mn 的最大值为 .13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，设S 是ABC △ 的面积，若2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则下列结论中： ①222a b c <+； ②222c a b >+；③cos cos sin sin B C B C >； ④ABC △是钝角三角形． 其中正确结论的序号是 ． 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆22:1O x y +=和直线:l y kx =1k =是圆O 与直线l 相切的（ ） (A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.16．8(2展开式中各项系数的和为 ( )(A) 1-. (B)1. (C)256. (D)256-.17．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是 ( )(A)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<.(B)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(),a b 内没有零点.(C)若()f x 在(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(),a b 内有零点.(D)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，则其在(),a b 内有且只有一个零点.18．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ，12k λλ=.则 ( ) (A) 4k =. (B) 2k =. (C) 1k =. (D) k 的值与公差d 的大小有关.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分） 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠===，直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan．求三棱锥11C A BC -的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x =-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元).（注：利润=销售收入-成本）(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．CB1C 1B1AA椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，已知椭圆Γ过点4(,)33bP ，且220F A F P ⋅=．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求||CD ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m -->，求实数m 的取值范围； （3）对任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立，请说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分． 已知数列{}n a 为等差数列，12a =，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得222()2020p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由.（3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<∈N都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 对一切n*闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．（理）1，（文）32； 6．54-；7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理) ，(文)4； 10．(理)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文) 1； 11．（理）5，(文)14x =；12．3； 13．(文理) ④；14．（理）{}1,3,67---，（文）1-或3-或67-二. 选择题 15． B ； 16． B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题19．（文）11111183323A ABC BC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒= ………………………………4分11//BB CC ，11A BB ∴∠是直线B A 1与直线1CC 所成的角 ……6分11111tan 2A B A BB BB y ∴∠=== ………………………10分11arctan2A BB ∴∠=所以直线B A 1与1CC所成的角为arctan2 ………………12分19．（理）法一：1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分 设1CC y =1BC ==11111tan 4AC A BC y BC ∴∠===⇒=， ……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =． 得点(020)B ，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 则1(22)A B y =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． …………………4分 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，则11sin 48A B ny A B n θ⋅===⇒=⋅，……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分20． (1)40000()(1640)164360W xR x x x x=-+=--+10100x <<， ……6分 (2) 解400001643602760W x x =--+≥ ………………12分得2(50)0x -≤时， 所以50x =. 答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =. …………………14分 21．（文）（1） 2a a =⇒=………………3分将点P 的坐标代入方程22212x y b +=得281199b+=⇒21b = ………6分 所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分（2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01x x y y x x -+-=⇒=-- ………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+………………9分将1(1)2y k x =-+代入2222x y +=得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--=由212242221k kx x k -+==+得1k =- ………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分21．（理）(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a +=,解得22a = ……3分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅=又24(,),(,0),(0,)33bP F c A b得2(,)F A c b =-，24(,)33b F P c =-，所以24()033b c c --+=而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c = ………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分（2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01x x y y x x -+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12|||CD x x =-=== ………14分法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分则2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-= 两等式相减得1132y x =-+………………11分将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12|||3CD x x =-===．……14分22．（1）（文理）221()cos 22sin cos 2f x x x x x =+-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，……………2分函数()f x 的最小正周期T π= ………………………………4分（2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=-∈-- …………………8分（理）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m 的取值范围为(),1-∞-.……10分 （文）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数m 的取值范围为[]2,1--.……10分（3）（理）存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分 （文理）当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=-- ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==-- ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒-- ⎪⎝⎭ ………………14分设11()a f x =，则[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分 23．（文） （1）法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+= 所以31242a a d d -==⇒=，所以12a =故2,n a n = ……………………………2分因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N 所以2n n b = ……………………………4分法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，又142()n n a a n n *++=+∈N ， 所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N 所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2na n = ………………2分 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n na b n n +=⋅≥ 又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N 所以2n n b = ……………………………4分（2）假设存在,p q *∈N 满足条件，则244)2392q p +-=（ 化简得2324472q p p -+-= ……………………………6分由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q = 得22244712240p p p p +-=⇒+-= ……………………8分 故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分（3）易得2n S n n =+，则22n n n S n n b +=， ……………………12分 下面考察数列2()2n n n f n +=的单调性， 因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f =21(6),32f = ……………………………16分因为M 中的元素个数为5，所以不等式,n n S n b λ*≥∈N 解的个数为5，故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………18分23．（理） （1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。