第16讲 高斯光束的传输和变换

在这个例子中，我们将考虑高斯光束在一个简单的成像系统中的传播。

在第一章中，关联物像平面的ABCD 矩阵可写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=m f m M /1/10 其中m 为透镜的横向放大率，f 是成像透镜的焦距。

用ABCD 定律，并假设1'==n n ，我们用q 描述物面上的高斯光束，通过透镜后，用q ’描述在像面上的高斯光束m a f m qq 11'+-=使用q 参数，可以方便地把上式分为实部和虚部。

聚焦点'ω和近轴像面的波面曲率半径为ωωm ='10.76mR f Rf m R -=2'10.77从上述关系中可以得出几个结论。

像物聚焦点大小的比率就是近轴横向放大率。

考虑将激光束腰放置在物方平面的情况，这时∞=R 。

将10.77的极值放在这个情况下，可得mf R -='对于正透镜的通常情况，它有实的物距和像距，f 为正，m 为负，因此R ’是正的，按照光束符号惯例表示像空间光束在通过它的近轴像面之前已经通过了它的束腰，例如，束腰位于近轴像的位置。

这种现象叫做“焦移”，因为最大近轴发光点不在几何焦点处。

为了在近轴像面处得到光束束腰（∞='R ）我们必须在物面处有m f R /=。

焦移现象对于有很小发散角的“慢”光束而言更生动，换句话说，对于有小的菲涅尔数的光束而言。

（孔径半径为a 和波前曲率半径为R 的菲涅尔数为R a λ/2）。

我们可以用OSLO中的交互式ABCD 分析数据表来阐明这一现象。

我们在目录数据库中选择一个焦距为500mm 的透镜，用近轴设置数据表来设置近轴放大率为-1。

将主波长设为0.6328m μ，在设置放大率前删除波长2和3，如下图所示使用交互式ABCD 分析表，我们可以考察穿过这个透镜的高斯光束。

用束腰直径为0.25mm ，束腰离第0面距离为0。

在OSLO 中使用高斯光束数据表时有几个惯例：1 使用这个数据表，你必须在4个区域（w,w0,z,R ）中的两个中添入数据。

高斯光束的传播一、 高斯光束的传播规律为了比较起见，我们仍从一般均匀球面波的传播讨论开始。

如图1所示，一个静止点光源发出的球面波，垂直于等相面方向的距离为z 的任意两个等相面的z图1曲率半径，应满足21R R z =+（1）的方程，曲率半径的符号是这样规定的：从正无穷远处看到凸的波阵面R 为正；看到凹的波阵面R 为负。

若球面波通过焦距为f 的薄透镜，由物象关系得知，透镜前后曲率半径R 1，R 2满足21111R R f=- （2）这里规定凸透镜的0f >，凹透镜的0f <。

我们曾讨论过近轴光线通过光学元件的传播满足的矩阵关系2121x x AB CD θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭近轴球面波通过光学元件前后的曲率半径分别为121212,x x R R θθ==因此1211112121111x A Bx Ax B AR B R x C x D C R DCDθθθθθ+++====+++ （3）所以对于一般均匀球面波，只用一个参数——曲率半径R 就可完全描述其传播和变换的特性。

与普通球面波不同，高斯光束必须由两个量即R （z ）和w (z)来描写。

但下面将看到，对于高斯光束——非均匀的、曲率中心不断变化的球面波——也具有一个与一般球面波曲率半径R 的作用类似的复曲率半径q (z )，它可被用来描述高斯光束的传播行为。

在推导高斯光束表达式时，我们已经得出复曲率半径在均匀空间传播的表达式，具体过程可以参考伍长征编写的《激光原理》书中的（3.3-14）式，即21q q z=+ （4）这里21,q q 分别为传播方向上任意两点21,z z 处的复曲率半径，z 为两点间距离，21z z z =-，参见图2(a)。

再看高斯光束通过薄透镜的变换，如图2(b)。

令薄透镜焦距为f ，由于是近轴光线，波阵面是一球面，透镜前后曲率半径应满足21111R R f=-,000(,)q w R 111(,)q w R 222(,)qwR z 1z 2图2(a)f 20w 10w q 1q 2图2(b)又透镜足够薄，两侧光斑尺寸相等，即12w w =，与上式合并，可以变形为22222112121()i iR kwR kw f-=-- (5)由复曲率半径定义式2112()()()i q z R z kw z =-，可得21111q q f=-（6）比较（4）式和（6）式与（1）式和（2）式知道，利用复曲率半径q ，形式上完全可等价于球面波的曲率半径R 。

高斯光束垂直入射到不同折射率介质中的传播规律
高斯光束垂直入射到不同折射率介质中时，其传播规律遵循几何光学和波动光学的基本原理。

当光束从真空（折射率为1）垂直入射到其他介质时：
传播方向：由于是垂直入射，光束的传播方向在界面处不会发生改变，即光束将沿着原方向直线传播进入介质。

光束宽度和强度分布：高斯光束在进入高折射率介质后，横向尺寸会发生变化，根据光束waist（最细处直径）的位置以及数值孔径（NA）等因素确定。

高斯光束在任何位置的强度分布仍保持高斯分布形式，但光束腰的位置会随传播距离而移动，并且在新介质中的束宽会不同于在真空或低折射率介质中的情况。

光速与波长：光在不同介质中的速度会变慢，具体由折射率n决定，v = c/n（c为真空中的光速）。

因此，光的波长λ' 在介质中也会相应缩短，即λ' = λ/n，其中λ为真空中波长。

聚焦特性：高斯光束的聚焦特性和焦距也会受到介质折射率的影响，在高折射率介质中，相同的透镜参数下，焦距会变短。

总结来说，尽管入射方向不变，但高斯光束在垂直入射进入不同折射率介质后，其横向传播特征、光强分布及光速、波长等都会发生变化。

高斯光束传输方程及其解法光学是研究光的物理现象和规律的科学，光在自然界中广泛存在并起到重要作用，对于现代科技的发展也有着不可替代的作用。

高斯光束是一种常见的光束形式，其具有良好的传输性质和应用前景，因此得到广泛应用。

一、高斯光束的定义和特性高斯光束是指在自由空间中横向至少二次可微、纵向一次可微的光束，其光强分布和相位分布都可用高斯函数表征。

高斯光束具有如下的重要特性：1. 具有良好的射程特性，能够在传输过程中保持约束的形态；2. 横向光强分布呈高斯分布，纵向呈指数分布，能够满足许多光学应用中对于光束形态和光强的要求；3. 光束通过透镜进行聚焦后，仍然是高斯光束，具有良好的自聚焦能力；4. 具有相干性，能够满足干涉、衍射等光学现象的要求。

二、高斯光束传输方程的推导在光学应用中，高斯光束的传输是一个重要的问题，需要准确描述其传输过程。

高斯光束传输方程可以描述高斯光束在自由空间中传输的过程，其推导如下：设高斯光束的累计相位为φ(x,y,z)，其横向强度分布为I(x,y)，则光强的分布可以表示为：I(x,y,z)=|A(x,y,z)|^2其中，A(x,y,z)是高斯光束的复振幅，其表示为：A(x,y,z)=u(x,y,z)exp(jφ(x,y,z))其中u(x,y,z)表示高斯光束的复场，根据标量波动方程可以得到：△u+k^2u=0其中k=2π/λ为波数，λ为波长。

将复场u分解为实部和虚部，可得到：u=u1+ju2则标量波动方程可以分解为实部和虚部的两个方程：△u1+k^2u1=-△u2-k^2u2△u2+k^2u2=△u1-k^2u1再利用高斯光束的对称性和横向可微性，可以得到：▽^2u1+k^2u1=0▽^2u2+k^2u2=0则高斯光束的传输方程可以写为：∂A(x,y,z)/∂z+iβ(x,y,z)A(x,y,z)=0其中β(x,y,z)为传输因子，可以表示为：β(x,y,z)=k/2n[∂^2φ(x,y,z)/∂x^2+∂^2φ(x,y,z)/∂y^2]则高斯光束的累计相位和传输因子分别代表了光束的位相和弯曲程度，通过方程可以描述光束在自由空间中传输时的演化形态。

高斯光束传播激光束腰和分布为了获得高斯光束光学的精确原理和限制，有必要理解激光束输出的特性。

在TEM（横模和纵模为0）模式下，光是从激光开始辐射，就像一个含有高斯横截发光剖面的完美平面波，如下图显示。

高斯形状被激光内部的尺寸或者某种光学序列的限制光圈在某个直径处被截断。

为了指定和论述激光光束的传播特性，我们必须给它的直径下一些定义。

普遍被采用的定义是光束发光（最强烈）峰值，轴向或者数值的地方的直径衰减1/e2（13.5%）。

高斯光束剖面图( TEM00 模式)衍射效应使光在传播过程中向横向传播。

因此它不可能有一个被精确校准的光束。

激光光束的传播可以被纯衍射理论精确地预测。

异常现象小到在这里可以统统不用去考虑。

在非常平常的情况下，光束传播可以小到被忽略。

下面的方程精确地描述了光束的传播，由此可以很容易地看出激光光束的能力和限制。

和即使一个高斯TEM（横模和纵模为0）激光光束波阵面在某个平面可以保持非常的平坦，它也需要弯曲并且通过如下的公式传播这里的z是当波阵面平坦时从平面上的传播路径，l是光的波长，w是当波阵面平坦时，在平面上1/e2发光轮廓的半径，w(z)是在波传播了距离z以后，1/e2轮廓的半径，R(z)是在波传播了距离z以后，波阵面的曲率半径。

在z=0的条件下，R(z)是无穷大的，在某种有限的z的最小值内传播，并且当z进一步增大的时候，趋近于无穷大。

Z=0平面标记了高斯腰的位置，或者表示波阵面是平坦的地方，这里w0叫做光束腰半径。

高斯TEM光束的发光分布按如下方式定义这里的w=w(z)和P是光束的总功率，在所有的相交的部分是等值的。

分布形式的恒定性是对在z=0的时候高斯分布预测的特殊结果。

如果统一的发光分布在z=0时刻被预测，z=∞时刻的形式将与贝塞尔公式给出的艾利斑（Airy disc）形式相似，这里z值中间的形式将变得非常复杂。

这里假定z远大于pw0 /l，因此1/e2发光轮廓渐渐逼近一个圆锥形的角半径这个值是一个高斯TEM光束的远场角半径。