八年级数学下册相似三角形练习题

第3课时 相似三角形的识别（二）课前导学：1、如图，A B C ∆中，点P 在AB 上，在下列四个条件中：①A C P B ∠=∠；②A P C A C B ∠=∠；③2A C A P AB =⋅； ④A BC P A P C B ⋅=⋅。

能满足A P C ∆和A C B ∆相似的条件是 A 、①②④ B 、①③④ C 、②③④D 、①②③(第1题)PCBAD(第2题)CBA2、如图，在A B C ∆中，点D 在AB 上，请再添加一个．．适当的条件，使ADC ∆∽ACB ∆，那么要添加的条件是 。

（只需填写满足要求的一个条件即可）随堂检测：3、给出以下条件：①A B C ∆的两个角分别是58︒和70︒，'''A B C ∆的两个角分别是58︒、52︒；②A B C ∆的两边长分别是4cm 和32cm ，夹角为40︒，'''A B C ∆的两边长分别是43、12，夹角为40︒； ③A B C ∆的边长分别是5cm 、6cm 、8cm ， '''A B C ∆的边长分别是52cm 、3cm 、4cm;④A B C ∆中，90,3,4C A C B C ∠=︒==，'''A B C ∆中，'90,''6,''8C A C B C ∠=︒==； 其中能判定A B C ∆∽'''A B C ∆的条件有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如图，要使AEF ∆∽ACB ∆，已具备条件 ，还需补充的条件是或 或 。

CFE(第4题)BA 21CD E (第5题)BA5、已知：如图，AE=AD ·AB ，且12∠=∠，求证: BCE ∆∽EBD ∆提高题:1）、A B C ∆中，AB=6，CB=8，'''A B C ∆中，''9,''12A B B C ==，则A B C ∆∽'''A B C ∆,这个结论对吗？2）、如图，线段AC 、BD 相交于点O ，要使AOB ∆∽DOC ∆，已具备条件 ，还需补充的条件是 ， 或 或 。

数学相似练习题题目一：已知△ABC与△DEF相似，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm。

若EF=12cm，求△DEF的其他边长。

解答：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边长成比例。

设对应边长的比为k，则有：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k已知AB=6cm，EF=12cm，代入上述比例中可得：6/DE = 8/12 = 2/3解方程可以得到DE = 9cm。

同理，利用比例关系可得到DF = 15cm。

因此，△DEF的边长为DE = 9cm，EF = 12cm，DF = 15cm。

题目二：已知两个三角形相似，高分别为4cm和6cm，底边比为2:3，求这两个三角形的面积比。

解答：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

设两个三角形的面积比为k，则有：(k*4)/6 = (2/3)^2解方程可得k = 16/9。

因此，这两个三角形的面积比为16:9。

题目三：已知△ABC与△DEF相似，且∠A = 60°，∠DEF = 45°，BC = 8cm，EF = 6cm，求△ABC的周长。

解答：相似三角形的对应角相等。

已知∠A = 60°，∠DEF = 45°，根据相似三角形的性质，可得∠B = 45°。

由三角形的内角和为180°可知，∠C = 180° - 60° - 45° = 75°。

因此，△ABC的三个内角分别为60°，45°，75°。

利用三角形的内角和为180°和周长的概念，我们有：周长AB+BC+AC = 8cm + 6cm + AC由三角形内角和计算可得：AC = (180° - 60° - 45°) * π/180 * 8cm/(π/180) = 11.24cm因此，△ABC的周长为8cm + 6cm + 11.24cm ≈ 25.24cm。

相似三角形一．解答题（共30小题）中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．1．如图，在△ABC2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：的面积等于矩形ABCD面积的？（1）经过多少时间，△AMN（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、相似？B、Q为顶点的三角形与△BDCAC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，中，∠C=90°，8．如图在△ABC点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，相似．那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC11．如图，路灯（P点）距地面8米，身高 1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．两灯柱之间的距离OO′=m．13．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．14．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．AB=3，AC=4．15．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．相似三角形一．解答题（共30小题）FC．1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△Ｅ2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．CD=BG，只要求出BG的长即可（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则解题．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．点评：本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：的面积等于矩形ABCD面积的？（1）经过多少时间，△AMN（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解答：（1）设经过x秒后，（6﹣2x）x=×3×6，得x1=1，x2=2，（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或即①，或②解①，得t=；解②，得t=经检验，t=或t=都符合题意12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再分析：欲证△ADM∽△MCP，此对应角的两边对应成比例即可．6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、相似？B、Q为顶点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△B 分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC或△QBP∽△BDC，从而解得所需的时间．解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，时，有：，即；（1）当∠1=∠２时，有：，即，（2）当∠1=∠３∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；时，有=，∴AB==3．（2）当Rt△ACB∽Rt△CDABC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，8．如图在△ABC中，∠C=90°，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，相似？以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，∵∠C=∠C=90°，当或时，两三角形相似．（1）当时，，∴x=；（2）当时，，∴x=．AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，=，AP2﹣7AP+6=0，AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，=，∵∠A=∠B=90°，P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．∴△APD∽△BPC．此，点10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，相似．那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC分析：若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，有四种情况：AQ：BC=AP：AB；①△APQ∽△BAC，此时得AQ：AB=AP：BC；②△APQ∽△BCA，此时得AQ：BA=AP：BC；③△AQP∽△BAC，此时得AQ：BC=AP：BA．④△AQP∽△BCA，此时得可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值．11．如图，路灯（P点）距地面8米，身高 1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？即可由相似三角形的性质求解．分析：如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．分析：因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有，从而算出BC的长．（BC=4米）两灯柱之间的距离OO′=m．13.如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，A B=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．AB=15，AC=9，BD=5．求AE．14．已知：如图，△ABC∽△ADE，AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，解答：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：∴AE：9=（15+5）：15．AE=12．DC，若AB=3，AC=4．15．已知：如图Rt△ABC∽Rt△Ｂ（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．。

相似三角形的判定【知识梳理】1.相似三角形的概念：如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形2.相似比：相似三角形对应边的比叫相似比，如果两个三角形的相似比为1，则这两个三角形是全等三角形3.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

4.相似三角形判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似5.相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6.相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似7.直角三角形相似的判定定理：斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似【例题剖析】【例1】在ABC ∆和'''C B A ∆中，有下列条件（1）''''C B BC B A AB =，(2) ''''C B BCC A AC =， (3) '∠=∠A A ，(4) 'C C ∠∠=，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABC ∆∽'''C B A ∆的共有几组（ ）A. 5组B. 4组C. 3组D. 2组【例2】下列命题：（1）三边对应边成比例的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；（3）一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；（4）一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的是（ ）A. (1)(3)B. (1)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(3)(4)【例3】如图,矩形ABCD 是由三个正方形ABEG ,GEFH ,HFCD 组成的, 证明：AEF ∆∽AEC ∆笔记 思考【例4】 已知：如图，在ABC ∆中，CE BD ,分别是AB AC ,边上的高．求证：ABD ∆∽ACE ∆【例5】如图，已知AEACDE BC AD AB ==，试说明CAE BAD ∠=∠【经典习题】（A ）组1.下列各组条件中，不能判定△ABC 和△A 1B 1C 1相似的是（ ）A.11B A AB ＝11C B BC ，∠A ＝∠A 1 B. 11B A AB ＝11C B BC ＝11C A ACC. ∠C ＝∠C 1，11C B BC ＝11C A ACD. ∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 12.下列命题中，正确的是（ ）A. 所有的矩形都相似B. 所有的直角三角形都相似C. 有一个角是100°的所有等腰三角形都相似D. 有一个角是50°的所有等腰三角形都相似 3.下列命题中，真命题是（ ）A. 所有直角三角形都相似B. 所有等腰三角形都相似C.所有等腰直角三角形都相似D. 所有菱形都相似笔记 思考4.如图，点D 是ABC ∆边AC 上一点，满足∠CBD ＝∠A ，则（ ）A. △CBD ∽△BADB. △CBD ∽△CABC.△ABD ∽△ACBD. 图中没有相似三角形 5.下列命题一定正确的是（ ）A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D. 两个含有30°角的三角形一定相似 6.下列说法正确的是（）A. 相似三角形是全等三角形B.不相似的三角形可能是全等三角形C.不全等的三角形不是相似三角形 D ．全等三角形是相似三角形的特例． 7. 如图，在ABC ∆中，90BAC °∠=，AD BC ⊥，垂足为点D ，ABC ∠的平分线分别交AD .AC 于点E .F ，连结DF ，下列结论中错误的是（ ）A. ABD ∆∽ADC ∆B.BDF ∆∽DFA ∆C.BDE ∆∽BAF ∆D.ABE ∆∽CBF ∆8. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 有一个角为60°的两个等腰三角形B. 有一个角为80°的两个等腰三角形C.有一个角为90°的两个等腰三角形D. 有一个角为100°的两个等腰三角形9. 如图，已知△ABC 是直角三角形，∠C=90°，DA ⊥AB ．欲使△ABC 与△DBA 相似，除了添加角上的条件如∠ABC=∠DBA 外，还可添加一个边上的条件是 ．（只需填写一个你认为符合要求的条件）（B ） 组10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABCCBAD笔记 思考11. 已知：如图,△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E.F 是AB 边所在直线上的两点，且∠ECF ＝135° （1）求证：△ECA ∽△CFB（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域12.如图，在ABC ∆中，90CAB °∠=，CFG B ∠=∠，过点C 作CE AB ∥，交CAB ∠的平分线AD 于点E（1）不添加字母，找出图中所有相似的三角形，并证明（2）证明：FC ADCG ED=(C)组13.已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点B 为圆心，BD 长为半径画弧，交AD 于点E ．求证：AB AD AC AE ⋅=⋅ABCDE 笔记 思考14.已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，∠A=36º，AC=BC ，AC 2=AB·AD ．求证：（1）△ABC ∽△CAD ；（2）△BCD 是等腰三角形．15.如图，在直角坐标系内，A （0，6），B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P.Q 移动的时间为t 秒。